重難點07巧妙借助復數的幾何意義求與模有關的范圍

與最值問題

【題型歸納目錄】

題型一：單模長最值問題

題型二：多模長之和差最值問題

題型三：模長的范圍問題

【方法技巧與總結】

求復數模的范圍與最值問題是熱點問題，其解題策略是：

（1）把復數問題實數化、直觀化、熟悉化，即將復數問題轉化為實數問題來處理，轉化為實數范圍

內，求模的范圍與最值問題來解決；

（2）發掘問題的幾何意義，利用幾何圖形的直觀性來解答，把陌生的問題轉化為熟悉的問題來解

答；

（3）利用三角函數解決.

【典型例題】

題型一：單模長最值問題

【典例1-1】（2024.江西.模擬預測）已知復數z滿足|z-i|=|z|,則忖的最小值為C）

13

A.—B.~C.—D.1

424

【答案】B

【解析】設2=彳+W（蒼、€11）,

^|z-i|=|z|^>：|x+（y-l）i|=|x+yi|,/.x2+（_y-l）2=x2+/,

整理可得：y=g,；.z=x+；i,

.'.|z|=^2+|>!（當且僅當x=0時取等號），.1z|的最小值為

故選：B.

【典例1-2】（2024.全國.模擬預測）設z是復數且|z-l+2i|=l,則目的最小值為（）

A.1B.73-1C.V5-1D.75

【答案】C

【解析】根據復數模的幾何意義可知，|z-l+2i|=l表示復平面內以（1,-2）為圓心，1為半徑的圓，而目表

示復數z到原點的距離，

由圖可知，|z|mh1M+（-2）2一1=6一1.

故選：C

【變式1-1］（2024?陜西榆林?高二陜西省神木中學校考階段練習）已知復數2=犬+何（羽》€11"為虛數單

位）滿足|z-4i|=2,則目的最小值為（）

A.2B.1C.72D.4

【答案】A

【解析】因為|z—4i|=2,

所以復數z對應的點的軌跡是以（。,4）為圓心，2為半徑的圓，

所以ML1n=4-2=2.

故選：A

【變式1-2］（2024.全國?高一專題練習）已知復數z滿足：|z|=|z-（2+2i）|,則目的最小值是（）

A.1B.&C.V3D.2

【答案】B

【解析】由復數模的幾何意義知滿足忸=|z-（2+2i）|的z對應的點Z在以點0（0,0）和A（2,2）為端點的線段的

中垂線/,Q4的中點為3CM）,

|z|的最小值就是原點到直線I的距離即為|。目=屈,

故選：B.

【變式1-3］（2024?上海閔行?上海市七寶中學校考模擬預測）若|z+l-i|=l,則目的最大值與最小值的和

為.

【答案】2夜

【解析】由幾何意義可得：復數z表示以為圓心的半徑為1的圓，

貝U*[0+n〔九*2萬

故答案為：20

【變式1-4](2024.高一課時練習)已知復數z=cose+isin6(0vew27T),求。為何值時,|l-i+z|取得最

大值和最小值，并求出最大值和最小值.

【解析】11-i+z1=1cos0+1+i(sin-1)|

=J(cose+l)2+(sine_1)2

=J2(cos夕一sin夕)+3

二J近cos"：)+3.

V0<6><2^-,

7_____________

.?.當e=W不時，li-i+z|111ax=也0+3=J(3+i)2=應+1；

當。=與時，11-i+zL.=J(工I)「近-2

題型二：多模長之和差最值問題

【典例2-11著名的費馬問題是法國數學家皮埃爾?德費馬(1601-1665)于1643年提出的平面幾何極值問

題：“已知一個三角形，求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”費馬問題中的所求點稱為

費馬點，已知對于每個給定的三角形，都存在唯一的費馬點，當，的三個內角均小于120。時，則使得

NAaB=ZBPC=NCR4=120。的點尸即為費馬點.根據以上材料，若zeC,貝ij|z-2|+|z+2|+|z+2i|的最小

值為()

A.273-2B.2A/3+2C.73-1D.6+1

【答案】B

【解析】設2=%+/(毛yWR),則|z-2|+|z+2|+|z+2i|表示點Z(x,y)到ABC三頂點A(-2,0)、8(2,0)、

C(0,-2)的距離之和.

依題意結合對稱性可知的費馬點P位于虛軸的負半軸上，且44尸8=120,則/P49=/P3O=30.

此時1PAi+|P@+|PC|=x2+(2-2tan30)=2退+2.

故選：B.

【典例2-2](2024.高一課時練習)已知復數z滿足|z|=3,貝UIz+41+1?-4|的取值范圍是.

【答案】[8,10]

【解析】復數z滿足|z|=3,表示以原點為圓心，以3為半徑的圓，

則|z+4|+|z-4|的表示圓上的點到(-4,0)和(4,0)的距離,

由圖象可知，

當點在E,G處最小，最小為:4+4=8,

當點在D,尸處最大，最大為2行百=10，

則|2+4|+|2-4|的取值范圍是[8,10],

故答案為：[8,10]

【變式2-1](2024.全國.高三專題練習)若復數z滿足目=2,則|z+3|+|z-3|的取值范圍是.

【答案】[6,2拒]

【解析】由于復數z滿足忖=2,故復數z對應的點在圓心為原點，半徑為2的圓上，設圓上任意一點的坐

標為(2cose2sin6),ee[0,27t)[z+3|+|z-3|表示圓上的點到(3,0)和(-3,0)兩點距離之和,即

^(2cos6?-3)2+(2sin6>)2+J(2cos6?+3『+(2sin行=J13-12cos6+J13+12cos6①，①式平方得

26+27169-144cos2>由于cos?6>e[0,l],169-144cos2Qe[25,169],所以

V169-144COS26?e[5,13],所以26+2,169-144cos26e[36,52],所以

J13-12cosd+J13+12cos，F16,2^/13J.

故答案為：[6,2岳].

【變式2-2](2024.遼寧沈陽.高一東北育才學校校考)已知復數2=。+歷(02eR)滿足|z+l|=|z+l—8i],求

|z+l+i|+|z-5-i|的最小值_____.

【答案】10

【解析】復數z=a+bi(a,beR),由|z+l|=|z+l-8i|,即|(a+l)+回=|(a+l)+(6—8川,

于是得Jm+iy+b?=J(a+1)?+(6—8)2,整理得6=4,oeR,即z=a+4i,

|z+1+i|+|z—5—i|=|(￡?+1)+5i|+|(G—5)+3i|=J(a+1)?+5~+J(a—5)~+(—3)2表示點尸(a,0)與點A(—1，-5)、

8(5,3)距離的和，

顯然點尸在x軸上，而線段與無軸相交，因此，|z+l+i|+|z-5-i|HB4|+|PSHAB|=10,

當且僅當點P為線段AB與x軸的交點時取“=”，

所以|z+l+i|+|z-5-i|的最小值是10.

故答案為：10

題型三：模長的范圍問題

【典例3-1】(2024.高三.江蘇南通.開學考試)設復數z=l-i,Z2=cos6+isin6,其中。€[0,相，若復數

z=[-Z2為實數，貝,匕+Zzl的范圍為.

【答案】手[拒-1,問/卜1+及，石]

【解析】因為Z=l-i,所以)=l+i，

所以z=4?Z2=(l+i)(cos8+isin0)=(cos6—sin，)+i(cos8+sinff),

因為復數z為實數，所以cos6+sine=0,即應sin(e+?)=0,

4

所以6+4=也(左eZ),因為6日0,兀],所以。=包，

44

因為4+Z2=(1+cos0)+i(sin0-1),所以

12

|Zj+z21=yl(l+cos6)+(sin0-1)=13+2cos6-2sio0=J3-20sin(6-；),

因為6e[0,兀],[-；，當，所以$皿6-?)€-^,1],

44442J

所以L+Z2|e[?_l,括]

故答案為：彳；[^2-1,^5].

【典例3?2】(2024?高一?全國?單元測試)(1)4=(2x-l)+i,z2=-l-xi(xeR),若㈤>"1，求犬的取值

范圍.

(2)已知復數馬=cos。-i,z2=sin+i,求卜.的最大值和最小值.

【解析】(1)由題意得(2%—I)?+1>l+f,gp3x2—4x+1>0>得或%>1,

所以X的取值范圍(1,+8).

(2)-z2|=|l+sin^cos^+(cos^-sin^)i|

=^(1+sin0cos^)2+(cos6-sin6)1

=V2+sin2^cos20=^2+-^-sin220,

因為sir?2,￡[0,1],所以j2+：sin22。￡后]，

故1zjZzI的最大值為i，最小值為0.

【變式3-1](2024.全國.高三專題練習)已知復數z滿足|z+l-i|W2,則|z-l|的取值范圍是.

【答案】[A/5-2,75+2]

【解析】由|z+l-i|<2,則z在復平面內對應的點Z是以(-1,1)為圓心，2為半徑的圓上及圓內，

所以匕-1|表示Z到。,0)的距離，故其范圍為[石-2,遙+2].

故答案為：[君-2,如+2].

【變式3-2](2024.全國?高一假期作業)設復數z滿足|z+2i|+|z-2i|=4,則|z-1-i|的取值范圍是

【答案】口,出可

【解析】設復數z在復平面上的對應點為Z,復數1+i的在復平面上的對應點為尸(U),

由|z+2i|+|z-2i|=4,可知點Z的軌跡為以A(0,2),3(0,-2)為端點的一條線段，又表示點Z到點

(1,1)的距離，觀察圖象可知當z=i時，取最小值，最小值為1,當z=-2i時，|z-l-i|取最大值，

最大值為M，

所以|z-l-i|取值范圍為[1,回].

故答案為：

【變式3-3］(2024?全國?高一期末)已知復數z滿足|z+i|+|z-i|=2,那么Iz-3|的取值范圍為.

【答案】［3,A/W］

【解析】設z=_x+yi(x,yeR),由Iz+i|+1z-i|=2可得|x+(y+l)i|+|x+(y-l)i|=2

即］尤2+(。+1)2+［-+(。_1)2=2,表示點(x,y)到點(。，-1),(0/)的距離之和為2.

又點(0,-1),(0,1)之間的距離為2,所以|z+i|+|z7|=2表示z對應的點的軌跡是以(0,-1),(0,1)為端點

的線段

|z-3|=J(x-3)2+y2表示z對應的點與(3,0)的距離，

如圖在z取(0,0)時有最小值3,z取(0,-1)或(0,1)時有最大值JiG,

故取值范圍為［3,如］.

故答案為：

【過關測試】

1.(2024?高三?江蘇鹽城?階段練習)已知復數z滿足|z-2-制=1,當z的虛部取最小值時，z=()

A.2+3iB.2-3iC.-3+5iD.-3+3i

【答案】A

【解析】設z=x+M(x,yeR),則z—2—4i=(x-2)+(y—4)i,

所以，|z-2-4i|=J（x-2）2+（y-4）2=1,即（x—Z）?+（y-4）2=1,

所以，（y-4）*l,可得-My-441,解得33V5,

當z的虛部取最小值時，即當y=3時，!UlJ（x-2）2+（3-4）2=l,解得X=2,

故z=2+3i,

故選：A.

2.（2024?高一?河北石家莊?期末）復數z滿足［=1（i為虛數單位），則|z-4+3i|的最小值為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】卜卜

...忖=1,Z對應的點在以原點為圓心1為半徑的圓上,

|z-4+3i|=|z-（4-3i）|表示復數z對應點和"3i對應的點間距離,

又上肥舊+㈠1=5,

所以|z-4+3i|的最小值是5-1=4,

故選：B.

3.（2024?高一?河南鄭州?期末）已知復數z滿足|z+3i|=|z-i|,貝中+1+型的最小值為（）

A.1B.3C.上D.75

【答案】A

【解析】設復數z在復平面內對應的點為Z,

因為復數z滿足|z+3i|=|z-i|,

所以由復數的幾何意義可知，點Z到點（0,-3）和（0,1）的距離相等，

所以在復平面內點Z的軌跡為，=-1,

又|z+1+2i|表示點Z到點（-1,-2）的距離，

所以問題轉化為y=-1上的動點Z到定點（-1,-2）距離的最小值，

當Z為時，到定點的距離最小，最小值為1,

所以|z+l+2i|的最小值為1,

故選：A.

4.（2024?高一?山東荷澤?期末）已知復數4/2/3，z2=1,z3=2i,且|zj=2,在復平面內對應向量為

OZt,OZ2,OZ3,（。為坐標原點），則Z|Z；-Z|Z3的最小值為（）

A.4+2A/5B.4-2上C.472-4D.4-472

【答案】B

【解析】由題意，

z?=l，z3=2i>且㈤=2,

所以得OZ2=(1,0),OZ3=(0,2),

設OZX-2(cosa,sina),

ZtZ2=(1—2cosa,—2sina),

Z1Z3=(—2cosa,2—2sina)，

22

ZjZ2?Z14=-2cos6r(l—2cosa)—2sina(2—2sincr)=4coscr+4sincr—2(2sina+cosa)=4—2/sin(cr+cp)

其中tan^=1,

.?.sin（a+夕）=1時，,Z；?也取最小值為4-275.

故選：B.

5.（2024.高一.河南濮陽.期末）復數z滿足=1（i為虛數單位），則|z-3+倒的最小值為（）

A.3B.4C.275D.5

【答案】B

【解析】設z=o+歷，力eR,

^^\=\^^\=\b-ar=4b^=l

復數z的對應點Z在以原點。（0,0）為圓心，半徑廠=1的圓上運動,

|z-3+4i|表示Z點與復數z°=3-4i的對應點Z0（3,-4）的距離,

22

Q|OZ0|=73+（-4）=5

」z-3+旬"%一廠=5-1=4

故選：B.

6.（多選題）（2024?高一?廣東清遠?階段練習）已知復數4=2-2i（i為虛數單位）在復平面內對應的點為

復數Z?滿足同-i|=l,則下列結論正確的是（）

A.耳點在復平面上的坐標為（2,2）B.Z]=2+2i

C.|z「Z2|的最大值為JR+1D.I4-Z2I的最小值為石一1

【答案】BC

【解析】％=2-2i,則爪2,-2）,故A錯誤；

因為4=2-21,所以ZI=2+2i,故B正確；

設Z2=x+yi（尤,yeR）,則|z2T=|x+yi-i|=Jd+ER=],即/+（,_1）2=],所以，復數z2在復平面

內對應的點8在圓爐+（>-1）2司上,其圓心為C（O,1）,半徑廠=1,

區-zJ表示的是復數Z]和Z2在復平面內對應的兩點之間的距離，即由耳.

而出國的最大值是『（+'=，（2-0）2+（-2-1）2+1=歷+1:出回的最小值是山。-廠=爐-1.所以

卜-4的最大值為JB+1,最小值為屈-1,故C正確，D錯誤.

故選：BC

7.（多選題）（2024.高三?湖南?階段練習）已知復數Z=2-2i（i為虛數單位）在復平面內對應的點為片,

復數Z2滿足|z2-i|=l,則下列結論正確的是（）

A.匕點的坐標為（2,-2）B.]=2+2i

C.區-zJ的最大值為而'+1D.區-馬|的最小值為20

【答案】ABC

【解析】對于A選項，因為馬=2-方，則勺（2,-2）,A對；

對于B選項，由共輾復數的定義可得]=2+2i,B對；

對于C選項，Z1-i=2-3i,則1d22+（_3『=屈,

1+

Iz2-Z1|=|（z2-i）-（zi-i）|^lz2-i|+|zi-i|=^,

當且僅當N=-等+]誓+l]i時，等號成立，即艮-目的最大值為舊+1,c對；

13I13J

對于D選項，同-zj=弧-i）-（4-i）|>|z1-i|-|z2-i|=V13-l,

等號成立,即區-zj的最小值為JR-1,D錯.

故選：ABC.

8.（多選題）（2024?高一?河北張家口?階段練習）已知z為復數，則下列說法中正確的有（）

A.z+彳為實數

B.若復數z滿足z?彳=0,貝Uz=0

C.|z|2=z2

D.若|z+i|=|z-[,則|z+l|的最小值為日

【答案】ABD

【解析】設2=〃+〃（。,/?￡氏），則N=Q-歷.

對于A,Z+乞=々+歷+（々一歷）=2々為實數，A正確；

對于B,z-z=（?+Z?i）（6Z-/?i）=6Z2+Z?2=0,于是〃=0=0,z=0,B正確；

對于C,取Z=l+i,則|z|2=|l+i|2=12+12=2,z2=（l+i）2=l+2i+i2=2i,

此時|2『人件《不正確;

對于D,在復平面內|z+i|=|z-l|表示復數z對應的點到（OT）與（1,0）距離相等，

則復數z對應的點Z到（-1,0）的距離最小值為*,D正確.

故選：ABD.

9.（多選題）（2024.高一.廣東湛江?階段練習）設復數z=x+yi（其中x,yeR）,1是z的共輾復數，則下

列結論正確的是（）

A.若忖=1,貝z?=1B.若忖=1,貝ljz.2=1

C.z+W必為實數D.若|z-2i|=l,則目的最大值為3

【答案】BCD

【解析】對于A,z=x+yi,貝lj目=Jx?+丁=]eR,而z?=（x+陽?=x?-y2+2以eC,故A錯誤，

對于B,|z|=yjx2+y2=1eR,z-z=（x+yi）（x-yi）=x2+y2=1,故B正確,

對于C,z+z=%+yi+x-yi=2%eR,故C正確，

對于D,|z-2i|=l可以看作復數z對應的點G（x,y）至U（0,2）的距離為1,故復數z對應在復平面內的軌跡為

以點（0,2）為圓心，以1為半徑的圓，故當點G（x,y）運動到與y軸的交點，且向上的位置時，此時

IW=|oq最大,為3.故D正確,

故選:BCD

10.（2024?高一?全國?專題練習）設z是復數且|z-l+2i|=l,則忖的最小值為.

【答案】A/5-1/-1+V5

【解析】根據復數模的幾何意義可知，|z-l+2i|=l表示復平面內以。，-2）為圓心，1為半徑的圓，而目表

示復數z到原點的距離，

由圖可知，LL=jF+（一2『一1=君一1.

故答案為：書-1.

11.（2024.高一.河南鄭州.期末）已知復數4和z?滿足匕+4|=區—4|,且卜+5—3i|=1,則>—2]的最小值

是.

【答案】4

【解析】設Z[=a+bi,a,beR,由用+4]=?—4|可得++由=-4）。+/=>°=0,

即為=歷，

又上+5-到=1,則Z?在以（-5,3）為圓心，1為半徑的圓上，

如圖所示，當Z?=-4+3i，z=3i時，此時區一21的最小值為4.

故答案為：4

12.（2024.高一.江西景德鎮.期末）已知復數z滿足上+1卜憶-1|=2,則|z-i|的最小值為.

【答案】A/2

【解析】設27+同，

因為卜+1|-歸一1|=2,所以J(x+iy+y2一41)2+9=2,

即點a,y)到點(-i,o)和(i,o)的距離之差等于2,

所以方程7(x+l)2+/-7(x-l)2+/=2表示射線y=0(x21),

|z-i|=J/+(y_])2表示點(x,y)到(0,1)的距離.

由圖可知，|z-i|的最小值為|AB|=夜.

13.(2024.高一.云南曲靖.期末)設〃是實數，復數z=l+2i,z2=(a+i)(l-2i)(i是虛數單位).

(1)若Z2在復平面內對應的點在第二象限，求。的取值范圍；

⑵求,+zJ的最小值.

【解析】(1)由己知可得，z2=(a+i)(l-2i)=a+2+(l-2a)i.

[a+2<0

因為Z2在復平面內對應的點在第二象限，所以有1)，

一[1一2〃>0n

解得a<—2.

(2)由已知可得，4=1-2i,

所以Z]+z2=1—2i+a+2+(l—2a)i=a+3—(l+2a)i,

2

所以，卜1+z2卜J(a+3)2+(l+2a)2=+10?+10=^5(a+l)+5>\/5,

所以，當。=-1時，卜i+z?1有最小值為人.

14.(2024?高二?浙江.開學考試)設。是實數，復數4=1+2/,z2(i是虛數單位).

(1”2在復平面內對應的點在第一象限，求。的取值范圍；

(2)求,i+Zz|的最小值.

/\/\/、]a+l〉0

【解析】⑴z2=(?+i)(l-i)=?+l+(l-a)i,則I”〉。,解得一1＜。＜1;

222

(2)4=1+2，，則4=l—2i,.Z[+Z2=a+2-(a+l)i,/.|^+z2|=^(tz+2)+(d!+l)=^2a+6a+5,當

a=-m時，肉+zj的最小值為變.

22

15.(2024?高一?全國?單元測試)已知復數z滿足|z+2-2i|=2,且復數z在復平面內的對應點為M.

(1)確定點M的集合構成圖形的形狀；

⑵求Iz-1+2i|的最大值和最小值.

【解析】(1)設復數-2+2i在復平面內的對應點為尸(-2,2),

貝lj|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=|MP\=2,

故點M的集合是以點尸為圓心，2為半徑的圓，如下圖所示.

(2)設復數1-2i在復平面內