寶安區(qū)2023-2024學(xué)年第二學(xué)期學(xué)情調(diào)研問(wèn)卷八年級(jí)數(shù)學(xué)

說(shuō)明：

1.試題卷共6頁(yè)，答題卡共4頁(yè).考試時(shí)間90分鐘，滿分100分.

2.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上寫上學(xué)校、班級(jí)、姓名并填涂考生號(hào)，不得在其它地方作任何標(biāo)記.

3.本卷選擇題1~10,每小題選出答案后，用25鉛筆將答題卷選擇題答題區(qū)內(nèi)對(duì)應(yīng)題目的答案

標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題的答案（含作輔助線）必須用規(guī)定的筆，寫在答題卷指定的答題區(qū)內(nèi)，寫

在本卷或其他地方無(wú)效.

第一部分選擇題

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是

正確的）

y

i.若分式丁+3有意義，則，滿足的條件是（）

A.y=3B.y=-3C.yw3D."-3

2.下列選項(xiàng)中，能使不等式乃＜13成立的是（)

A.t=1B.t=2C.t=3D.t=4

3.2024年4月30日17時(shí)46分，神舟飛船再一次按計(jì)劃準(zhǔn)時(shí)準(zhǔn)點(diǎn)從太空返回地面，中國(guó)航天員不斷在太

空創(chuàng)造新的紀(jì)錄.下列四個(gè)以航天為主題的圖案中，是中心對(duì)稱圖形的是（）

A.am+an-+B.ax2+bx+c=x^ax+b^+c

C.(x+l)(x-2)=x?-x-2D.(x+y)(x-y)=x2-y2

5.過(guò)某個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引出4條對(duì)角線，這些對(duì)角線將這個(gè)多邊形分成（）個(gè)三角形.

A.4B.5C,6D.7

6.若一個(gè)點(diǎn)在第二象限，且它到x軸和y軸的距離分別為3和4,則這個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)

為（）

A.（3,卜4）B.（-3,4）C.（4,-3）D.（-4,3）

第1頁(yè)/共7頁(yè)

hn

7.如果-+-=4,那么

8.下列命題中，假命題是（）

A.多邊形的外角和都等于360°

B.三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半

C.兩條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等

D.如果。。=0,那么。=0,b=0

9.又到了荔枝成熟的季節(jié)，家住寶安的張華同學(xué)想給遠(yuǎn)在老家的親人們寄一些荔枝，某快遞公司規(guī)定每件

重量不超標(biāo)的普通小件包裹的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：

10元/千克6元/千克

說(shuō)明：①單件包裹重量不超過(guò)5千克；

②運(yùn)費(fèi)計(jì)算方式：首重運(yùn)費(fèi)+續(xù)重x續(xù)重運(yùn)費(fèi)，首重為1千克，超過(guò)1千克即要續(xù)重，

續(xù)重以1千克為一個(gè)計(jì)重單位（不足1千克按1千克計(jì)算）

例如：寄出的包裹為3.7千克，則總運(yùn)費(fèi)為10+6x3=28元.

若張華想要寄7.5千克的荔枝回老家，在不考慮保價(jià)及其它優(yōu)惠活動(dòng)的情況下，至少需要付運(yùn)費(fèi)（）元.

A.46B.52C.56D.60

10.在045。中，已知A8=AC=3指，BC=6,AC的垂直平分線DE分別交AB,AC于點(diǎn)。，E,

點(diǎn)廠和點(diǎn)G分別是線段。石和邊上的動(dòng)點(diǎn)，則C/+R7的最小值為（）

81

二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）

11.因式分解：3X2-12=.

12.若不等式（加-3）y-1>0（m為常數(shù),且加力3）的解集為"」刀，則根的取值范圍是

第2頁(yè)/共7頁(yè)

13.若關(guān)于尤的分式方程生]+一一=1有增根，則。的值為一.

x-88-x

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形。4BC是平行四邊形，04=AB,A（2,2月），將對(duì)角線0B繞

點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則點(diǎn)/的坐標(biāo)為.

ZBAC=150°,以為邊作等邊AABD,連接

DC,若AE平分/D4C交于點(diǎn)E,則BE的長(zhǎng)為

三、解答題（本題共7小題，其中第16題6分，第17題6分，第18題8分，第19題8

分，第20題8分，第21題9分，第22題10分，共55分）

3x-l<2（x+l）

16.解不等式組：《15，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

—x+6>2—x

[33

2a(1a—3]

17.先化簡(jiǎn)，再求值：-1+―-,其中。=2024.

a2-9(a+3J

18.已知UABC.

第3頁(yè)/共7頁(yè)

AA

Z圖1U圖2

(1)如圖1,請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)按要求作圖：作線段AC的中點(diǎn)D(不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)如圖2,在(1)的條件下，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)且.EC=2BE,連接AE,取AE的中點(diǎn)R連

接。尸、DE、BF,求證：四邊形BED尸為平行四邊形.

19.人工智能的快速發(fā)展帶動(dòng)了物流行業(yè)的高速發(fā)展，給我們的生活帶來(lái)了很多便利.某快遞公司計(jì)

劃購(gòu)進(jìn)A,8兩種型號(hào)的快遞分揀機(jī)器人，已知A型號(hào)分揀機(jī)器人的單價(jià)比B型號(hào)分練機(jī)器人的單價(jià)

少3萬(wàn)元，且用120萬(wàn)元購(gòu)買A型號(hào)分揀機(jī)器人的數(shù)量是用180萬(wàn)元購(gòu)買3型號(hào)分揀機(jī)器人的數(shù)量的

2倍.

(1)43兩種型號(hào)分揀機(jī)器人的單價(jià)各是多少？

(2)若該快遞公司購(gòu)進(jìn)A,8兩種型號(hào)的快遞分揀機(jī)器人共50個(gè)，每個(gè)A種型號(hào)的快遞分揀機(jī)器人每天

能分揀0.8萬(wàn)個(gè)包裹，每個(gè)3種型號(hào)快遞分揀機(jī)器人每天能分揀1.2萬(wàn)個(gè)包裹，若該快遞公司每天至少要

分揀44萬(wàn)個(gè)包裹，求最多購(gòu)進(jìn)A種型號(hào)分揀機(jī)器人多少個(gè)？

20.在學(xué)習(xí)《圖形的平移》后，某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了在平面直角坐標(biāo)系中研究直線平移的探究活動(dòng).

素

材兩點(diǎn)確定一條直線

1

素

材圖形平移的本質(zhì)就是點(diǎn)的平移

2

素

材平移不改變直線的傾斜程度

3

一次函數(shù)y=2x+4,與x軸的交點(diǎn)為A,與y軸的交點(diǎn)為8,若該函數(shù)圖象向左

任

平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，此時(shí)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_____，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D的

務(wù)1

坐標(biāo)為_(kāi)_____,并求出平移后的函數(shù)表達(dá)式；

第4頁(yè)/共7頁(yè)

任

一次函數(shù)y=-3x+4,與X軸的交點(diǎn)為E,與y軸的交點(diǎn)F,將該函數(shù)向右平移

務(wù)

加個(gè)單位長(zhǎng)度，線段E尸掃過(guò)的圖形面積為12,請(qǐng)求出平移后的函數(shù)表達(dá)式.

2

21.【閱讀理解】

我們把形如。%+勿=。（a、。均為整數(shù)，且.匕70）的方程稱為二元一次整系數(shù)方程.若。=1,則

y>010

可以用以下方法確定其正整數(shù)解的數(shù)量，例如.x+3y=10,則x=10-3y,：〈；。^,：.0<y<—,

10-3j>0'3

x=7（x=4fx=1

???y為正整數(shù)，，y=l,2,3,故原方程的正整數(shù)解有3個(gè)，分別為<〈C，<：

"1U=2[y=3

9-2x2

若。wOwl,則可以用以下方法確定其正整數(shù)解的數(shù)量，例如2x+3y=9,貝。y=-------=3一一%,設(shè)

-33

3^>03

x=3k（左為正整數(shù)），則y=3—2左，……：.0<k<—,:.k=l,故原方程的正整數(shù)解有1

3-2^>02

個(gè)，為〈\x=3..

【問(wèn)題解決】

（1）結(jié)合上述內(nèi)容，請(qǐng)直接寫出4x+2y=10的所有正整數(shù)解；

（2）若關(guān)于x和y的二元一次方程x+2y=相有且只有一個(gè)正整數(shù)解，請(qǐng)求出機(jī)的值；

【應(yīng)用遷移】

（3）假期臨近，吳老師為表彰本學(xué)年積極參與班級(jí)活動(dòng)的學(xué)生，委托采購(gòu)小組購(gòu)買獎(jiǎng)品.組長(zhǎng)小麗匯報(bào)稱：

“我們購(gòu)買了兩種類型的筆記本，其中A類型筆記本7本，B類型筆記本12本，總計(jì)花費(fèi)84元，由于未索

取收銀小票，因此暫不能確定兩種筆記本的具體單價(jià).”吳老師聽(tīng)后，敏銳地指出：兩種類型筆記本的單價(jià)

不可能同時(shí)為整數(shù).請(qǐng)你結(jié)合上述內(nèi)容分析吳老師的判斷是否正確.

22.【材料背景】

如圖1,在048。中，以邊為底邊向外作等腰RZOAB。，其中乙4。8=90°,且那么點(diǎn)

D就被稱為邊的“外展等直點(diǎn)”.

第5頁(yè)/共7頁(yè)

DA

圖1

【建構(gòu)與探究】

如圖2,正方形網(wǎng)格是由邊長(zhǎng)為“1”的正方形組成，點(diǎn)。、A、B、C都在格點(diǎn)上，ZOAB=90°,點(diǎn)C為

圖2

(1)連接。4、OB、AB,請(qǐng)分別作邊。4、AB的“外展等直點(diǎn)”尸和。，連接尸C、QC和尸。，則

△PCQ的形狀為

(2)如圖3,點(diǎn)E、尸在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)诰€段E戶上的格點(diǎn)中任取一點(diǎn)。(不與點(diǎn)A重合)，連接BD,

分別作口的邊。。和邊3。的“外展等直點(diǎn)”G、H,連接GC、和G”,請(qǐng)判斷DGUC的形狀,

并說(shuō)明理由.

圖3

【應(yīng)用與拓展】

(3)如圖4,點(diǎn)N為平面內(nèi)某三角形兩條邊的“外展等直點(diǎn)“，已知”(-2,-1),N(3,l),請(qǐng)直接寫

第6頁(yè)/共7頁(yè)

出該三角形第三條邊的中點(diǎn)K的坐標(biāo).

斗

?N

To

M

圖4

第7頁(yè)/共7頁(yè)

寶安區(qū)2023-2024學(xué)年第二學(xué)期學(xué)情調(diào)研問(wèn)卷八年級(jí)數(shù)學(xué)

說(shuō)明：

1.試題卷共6頁(yè)，答題卡共4頁(yè).考試時(shí)間90分鐘，滿分100分.

2.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上寫上學(xué)校、班級(jí)、姓名并填涂考生號(hào)，不得在其它地方作任何標(biāo)記.

3.本卷選擇題1~10,每小題選出答案后，用25鉛筆將答題卷選擇題答題區(qū)內(nèi)對(duì)應(yīng)題目的答案

標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題的答案（含作輔助線）必須用規(guī)定的筆，寫在答題卷指定的答題區(qū)內(nèi)，寫

在本卷或其他地方無(wú)效.

第一部分選擇題

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是

正確的）

y

i.若分式丁+3有意義，則，滿足的條件是（）

A.y=3B.y=-3C."3D."-3

【答案】D

【解析】

【分析】此題考查了分式有意義的條件，根據(jù)分式有意義分母不為零，進(jìn)行計(jì)算即可，解題的關(guān)鍵是列出

不等式并正確求解.

【詳解】由題意得，y+3^0,

解得：尸-3,

故選：D.

2.下列選項(xiàng)中，能使不等式7/<13成立的是（）

A.f=lB.t=2C.t=3D.7=4

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了不等式的解集，將7/<13求解，得出解集，再比較即可，解題的關(guān)鍵是求出不等式

的解集.

【詳解】解：：7/<13,

.13

../<--,

7

第1頁(yè)/共21頁(yè)

A、由/'=1＜一，符合題意；

7

13

B、由/=2〉一，不符合題意;

7

13

C、由/=3〉一，不符合題意；

7

13

D、由/=4〉一，不符合題意;

7

故選：A.

3.2024年4月30日17時(shí)46分，神舟飛船再一次按計(jì)劃準(zhǔn)時(shí)準(zhǔn)點(diǎn)從太空返回地面，中國(guó)航天員不斷在太

空創(chuàng)造新的紀(jì)錄.下列四個(gè)以航天為主題的圖案中，是中心對(duì)稱圖形的是()

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了中心對(duì)稱圖形，根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義判斷即可，解題的關(guān)鍵是正確理解中心對(duì)

稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形

就叫做中心對(duì)稱圖形可得答案.

【詳解】A、圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后與原來(lái)的圖形不重合，所以不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

B、圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后與原來(lái)的圖形不重合，所以不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

C、圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后與原來(lái)的圖形重合，所以是中心對(duì)稱圖形，符合題意；

D、圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來(lái)的圖形不重合，所以不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

故選：C.

4.下列從左邊到右邊的變形中，屬于因式分解的是()

A.am+an=a(m+n^B.ax2+bx+c=x^ax+b)+c

C.(x+l)(x-2)=x?-%-2D.(x+y)(x-y)=x2-y2

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了因式分解，根據(jù)因式分解的定義(把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)最簡(jiǎn)整式的乘積的形式，這種

式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式)逐項(xiàng)判斷即可得.

【詳解】解：A.。根+皿=。(加+")是因式分解；

第2頁(yè)/共21頁(yè)

B.。%2+笈+。=》(辦+0)+。最后運(yùn)算是整式加法，不是因式分解；

C.(x+l)(x-2)=x?-%-2,是整式的乘法，不是因式分解；

D.(x+y)(x-y)=x2-儼，是整式的乘法，不是因式分解；

故選：A.

5.過(guò)某個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引出4條對(duì)角線，這些對(duì)角線將這個(gè)多邊形分成()個(gè)三角形.

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了多邊形的對(duì)角線問(wèn)題，熟練掌握過(guò)”邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，可以引出("-3)條對(duì)角線，

這些對(duì)角線把該多邊形分成(n-2)個(gè)三角形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???某個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引出4條對(duì)角線，

該多邊形的邊數(shù)為4+3=7,

這些對(duì)角線將這個(gè)多邊形分成7-2=5個(gè)三角形.

故選B.

6.若一個(gè)點(diǎn)在第二象限，且它到x軸和y軸的距離分別為3和4,則這個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)

為()

A.(3,卜4)B.(-3,4)C.(4,-3)D,(-4,3)

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查的是點(diǎn)的坐標(biāo)的幾何意義：點(diǎn)到x軸的距離為點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，到y(tǒng)軸的距離為點(diǎn)的

橫坐標(biāo)的絕對(duì)值.

尸在第二象限，那么點(diǎn)尸的橫縱坐標(biāo)的符號(hào)為負(fù)，正；進(jìn)而根據(jù)尸到x軸的距離為縱坐標(biāo)的絕對(duì)值.到y(tǒng)軸

的距離為橫坐標(biāo)的絕對(duì)值判斷出具體坐標(biāo).

【詳解】解：第二象限內(nèi)的點(diǎn)橫坐標(biāo)小于0,縱坐標(biāo)大于0；

???到x軸的距離是3,

其縱坐標(biāo)為3,

到y(tǒng)軸的距離為4,

其橫坐標(biāo)為-4,

第3頁(yè)/共21頁(yè)

坐標(biāo)是（一4,3）.

...關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,-3）

故選：C.

ba（〃+b）

7.如果一+—=4,那么:——&的值為（）

ab（a-by

A.1B.1.5C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了分式求值，根據(jù)題意得出a2+b2=4ab代入分式進(jìn)行計(jì)算即可求解.

【詳解】解：V-+^=4

ab

...a=4,gpa1+b~=4ab

ab

（a+0）2a2+b~+2ab4-ab+lab

----------=—----------------=---------------=3

（?！猙）~a~+b^-lab4ab-lab

故選：D.

8.下列命題中，假命題是（）

A.多邊形的外角和都等于360°

B.三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半

C.兩條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等

D.如果。。=0,那么a=0,b=0

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了命題與定理的知識(shí)，利用多邊形的外角和，三角形的中位線定理，全等三角形的判定,

實(shí)數(shù)的性質(zhì)，分別判斷后即可確定正確的結(jié)論.

【詳解】解：A、多邊形的外角和都等于360。，故原命題是真命題，故該選項(xiàng)不符合題意；

B、三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半，故原命題是真命題，故該選項(xiàng)不符合題意；

C、兩條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等，故原命題是真命題，故該選項(xiàng)不符合題意；

D、如果。。=0,那么a=0或。=0,故原命題是假命題，故該選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

第4頁(yè)/共21頁(yè)

9.又到了荔枝成熟的季節(jié)，家住寶安的張華同學(xué)想給遠(yuǎn)在老家的親人們寄一些荔枝，某快遞公司規(guī)定每件

重量不超標(biāo)的普通小件包裹的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：

首重續(xù)重

10元/千克6元/千克

說(shuō)明：①單件包裹重量不超過(guò)5千克；

②運(yùn)費(fèi)計(jì)算方式：首重運(yùn)費(fèi)+續(xù)重x續(xù)重運(yùn)費(fèi)，首重為1千克，超過(guò)1千克即要續(xù)重，

續(xù)重以1千克為一個(gè)計(jì)重單位（不足1千克按1千克計(jì)算）

例如：寄出的包裹為3.7千克，則總運(yùn)費(fèi)為10+6x3=28元.

若張華想要寄7.5千克的荔枝回老家，在不考慮保價(jià)及其它優(yōu)惠活動(dòng)的情況下，至少需要付運(yùn)費(fèi)（）元.

A.46B.52C.56D.60

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了列代數(shù)式，根據(jù)表中給出的運(yùn)費(fèi)計(jì)算方式應(yīng)當(dāng)分5千克和2.5千克，然后計(jì)算運(yùn)費(fèi)即

可，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解表中給出的運(yùn)費(fèi)計(jì)算方式.

【詳解】解：張華想要寄7.5千克的荔枝回老家，根據(jù)表中給出的運(yùn)費(fèi)計(jì)算方式應(yīng)當(dāng)分5千克和2.5千

克，

則總運(yùn)費(fèi)為10+6義（5—l）+10+6x（3—1）=56（元），

故選：C.

10.在口48。中，已知AB=AC=3y/5>BC=6,4c的垂直平分線分別交AB,AC于點(diǎn)O,E,

點(diǎn)廠和點(diǎn)G分別是線段。E和BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則CP+R7的最小值為（）

A.376B.6D.5

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，垂線段最短,勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，由垂直平分

第5頁(yè)/共21頁(yè)

AC,得AF=CF,則CE+EG=AE+EG,當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線，且AGLBC時(shí)，CF+FG

有最小值A(chǔ)G,最后由勾股定理即可求解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】???。石垂直平分AC,

AF=CF,

：.CF+FG=AF+FG,

當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線，且AGJ_8C時(shí)，C/+FG有最小值A(chǔ)G,

如圖，

AB=AC,

：.BG=GC=-BC=3,ZAGB=ZAGC=90°,

2

由勾股定理得：AGZAC-GC?=小石『―32=6,

CF+FG有最小值A(chǔ)G=6,

故選：B.

二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）

11.因式分解：3d_12=.

【答案】3（x+2）（x-2）

【解析】

【分析】此題主要考查了提取公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，正確運(yùn)用平方差公式是解題關(guān)鍵.首先提取公

因式3,再利用平方差公式分解因式即可.

【詳解】解：原式=3（必一4）

=3（x+2）（x-2）,

故答案為：3（x+2）（x-2）.

12.若不等式（加-3）丁-1>0（m為常數(shù)，且加力3）的解集為y<-i—,則根的取值范圍是

m-3

【答案】m<3##3>m

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【解析】

【分析】本題考查不等式的基本性質(zhì)，掌握不等式兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變是解

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題可知，m-3<0,

解得：m<3,

故答案為：m<3.

13.若關(guān)于尤的分式方程上望+——=1有增根，則。的值為一.

x-88-x

【答案】-14

【解析】

【分析】本題考查了增根的概念，利用增根的意義即可求解，正確理解增根的含義是解題的關(guān)鍵.

2x+〃—2—x—8，

x=-a-6,

?.?關(guān)于X的分式方程生］+一一=1有增根，

x-88-x

??x——ci—6=8,

解得：a=-14,

故答案為:-14.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形Q4BC是平行四邊形，0A=A5,4（2,273）,將對(duì)角線08繞

點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則點(diǎn)歹的坐標(biāo)為.

【分析】連接AC,過(guò)歹作軸于點(diǎn)歹，由。4=A3證明四邊形。4BC是菱形，則

第7頁(yè)/共21頁(yè)

OA=AB=OC,ZAOB=ZBOC=-ZAOC,根據(jù)兩點(diǎn)間的距離可證口。4c是等邊三角形，最后由勾股

2

定理和30°所對(duì)直角邊是斜邊的一半即可求解.

【詳解】如圖，連接4C,過(guò)歹作網(wǎng)軸于點(diǎn)月，

:四邊形。4BC是平行四邊形，0A=A3,

.??四邊形。4BC是菱形，

OA=AB=OC,ZAOB=NBOC=-ZAOC,

2

VA（2,2V3）,

???OA=^22+（2V3）2=4，

OA=OC=4,

.-.C（4,0）,

???AC="2—4『+（2廚=%

OA=OC=AC=4,

：.UOAC是等邊三角形，

ZAOC=60°,

ZAOB=NBOC=-ZAOC=30°,

2

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：ZBOF=60°,

ZCOF=NBOF—ZBOC=60°-30°=30°,NOBC=30°,

/.ZBFO=90°,

NDFC=ZCOF=30°,

CF=-OC=2,

2

CD=-CF=1,則OD=OC—C￡>=4—1=3,

2

在中，由勾股定理得：DF=Jeb?一CD。=5

第8頁(yè)/共21頁(yè)

.-.F（3,-V3）,

故答案為：（3,-V3）.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，30。所對(duì)直角邊是斜邊的一

半，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，在等腰口ABC中，AB=AC=6,ZBAC=150°,以AB為邊作等邊AABD,連接

DC,若AE平分交于點(diǎn)E,則3E的長(zhǎng)為.

【答案】3V2+V6

【解析】

【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，先根據(jù)等邊三角形得到

AB=BD=AD=6=AC,ABAD=ZABD=60°,即可得到ND4c=90°,然后根據(jù)三線合一得到

ED=EC,然后分別在RtOBO尸和中，利用勾股定理解題即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作。于點(diǎn)R連DE,

?：△A3。是等邊三角形，

AB=BD=AD=6=AC,/BAD=ZABD=60°,

又：ZBAC=150°,

ZABC=ZACB=15°,ADAC=ABAC-/BAD=150。—60°=90°,

ZDBE=45°,

BF=DF,

DFLBC,

ZBFD=90°,

BF2+DF2=BD?，即2BF?=BD2，

；?DF=BF=—BD=372，

2

又???AD=AC,AE平分/D4C,

Z.AE垂直平分DC,ZACD=ZADC=45°

第9頁(yè)/共21頁(yè)

:.ED=EC,

???/EDC=/ECD=ZACD-ZACB=45。-15。=30°,

AZFED=60°,即//?！?30。，

???ED=2EF,

又：ED2-EF2=DF2，即3EF2=DF2，

解得EF=^DF=a，

3

?*-BE=BF+EF=372+V6.

D

三、解答題（本題共7小題，其中第16題6分，第17題6分，第18題8分，第19題8

分，第20題8分，第21題9分，第22題10分，共55分）

3x-l<2（x+l）

16.解不等式組：,15-并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

[33

11II?11B■II?Ilin童.

"5"3-2"1012345

【答案】-2<x43,在數(shù)軸上表示見(jiàn)解析

【解析】

【分析】本題主要考查了一元一次不等式組的求解，以及用數(shù)軸表示解集，熟練掌握解不等式組的方法與步

驟是關(guān)鍵.

分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到來(lái)確定

不等式組的解集.

3x-l<2（x+l）①

【詳解】解:15

—x+6>2——x?

133

解不等式①得3,

解不等式②得%>-2,

不等式組的解集為：-2<x<3,

第10頁(yè)/共21頁(yè)

數(shù)軸上表示為:

17.先化簡(jiǎn)，再求值：一—--？1--------j,其中a=2024.

a--9Ia+3)

1

【答案］--

6Z—32021

【解析】

【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，原式利用完全平方公式、平方差公式、分式的混合運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算,

得出最簡(jiǎn)結(jié)果，再代入a=2024,即可求解.

2a\a—3

【詳解】解：丁三+A1+-------

a-9(a+3

2a〃

____________x__+__3

(a+3)(〃-3)2a

1

a-3，

1

當(dāng)a=2024時(shí)，原式=---

2024-32021

18.已知口ABC.

（1）如圖1,請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)按要求作圖：作線段AC的中點(diǎn)。（不寫作法，保留作圖痕跡）;

（2）如圖2,在（1）的條件下，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)且.EC=2BE,連接AE,取AE的中點(diǎn)R連

接。DE、BF,求證：四邊形BED尸為平行四邊形.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】

【分析】本題考查線段的垂直平分線的作法，三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定定理，掌握三角形的

中位線定理是解題的關(guān)鍵.

（1）利用基本作圖一作已知線段的垂直平分線的作法作圖即可;

（2）先證明是DACE的中位線，得到DR口EC,DF=BE,即可得到結(jié)論.

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【小問(wèn)1詳解】

解：點(diǎn)。即為所作;

【小問(wèn)2詳解】

證明：EC=2BE,

AEB=-BC,EC=-BC,

33

又，：D,E是AC,AE的中點(diǎn),

DFHEC,DF=-EC=BE,

2

.??四邊形BEDF為平行四邊形.

19.人工智能的快速發(fā)展帶動(dòng)了物流行業(yè)的高速發(fā)展，給我們的生活帶來(lái)了很多便利.某快遞公司計(jì)

劃購(gòu)進(jìn)4B兩種型號(hào)的快遞分揀機(jī)器人，已知A型號(hào)分揀機(jī)器人的單價(jià)比B型號(hào)分練機(jī)器人的單價(jià)

少3萬(wàn)元，且用120萬(wàn)元購(gòu)買A型號(hào)分揀機(jī)器人的數(shù)量是用180萬(wàn)元購(gòu)買8型號(hào)分揀機(jī)器人的數(shù)量的

2倍.

(1)43兩種型號(hào)分揀機(jī)器人的單價(jià)各是多少？

(2)若該快遞公司購(gòu)進(jìn)A,B兩種型號(hào)的快遞分揀機(jī)器人共50個(gè)，每個(gè)A種型號(hào)的快遞分揀機(jī)器人每天

能分揀0.8萬(wàn)個(gè)包裹，每個(gè)3種型號(hào)快遞分揀機(jī)器人每天能分揀L2萬(wàn)個(gè)包裹，若該快遞公司每天至少要

分揀44萬(wàn)個(gè)包裹，求最多購(gòu)進(jìn)A種型號(hào)分揀機(jī)器人多少個(gè)？

【答案】(1)A型號(hào)分揀機(jī)器人的單價(jià)是1.5萬(wàn)元，B型號(hào)分揀機(jī)器人的單價(jià)是4.5萬(wàn)元

(2)最多購(gòu)進(jìn)A型號(hào)分揀機(jī)器人40個(gè)

【解析】

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意找到等量關(guān)系和不等關(guān)系是解題

的關(guān)鍵.

(1)設(shè)A型號(hào)分揀機(jī)器人的單價(jià)是x萬(wàn)元，B型號(hào)分揀機(jī)器人的單價(jià)是(X+3)萬(wàn)元，根據(jù)“用120萬(wàn)元

購(gòu)買A型號(hào)分揀機(jī)器人的數(shù)量是用180萬(wàn)元購(gòu)買B型號(hào)分揀機(jī)器人的數(shù)量的2倍”列出方程并解答；

(2)設(shè)購(gòu)進(jìn)A型號(hào)分揀機(jī)器人機(jī)個(gè)，則購(gòu)進(jìn)B型號(hào)分揀機(jī)器人(50-租)個(gè)，根據(jù)“快遞公司每天至少要

分揀44萬(wàn)個(gè)包裹”列出不等式并解答.

【小問(wèn)1詳解】

第12頁(yè)/共21頁(yè)

設(shè)A型號(hào)分揀機(jī)器人的單價(jià)是了萬(wàn)元，B型號(hào)分揀機(jī)器人的單價(jià)是（x+3）萬(wàn)元,

由題意，得型=幽、2,

xx+3

解得：x=1.5,

經(jīng)檢驗(yàn)x=1.5是原方程的解，且符合題意,

x+3=4.5,

答：A型號(hào)分揀機(jī)器人的單價(jià)是1.5萬(wàn)元，B型號(hào)分揀機(jī)器人的單價(jià)是4.5萬(wàn)元;

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)購(gòu)進(jìn)A型號(hào)分揀機(jī)器人m個(gè)，則購(gòu)進(jìn)B型號(hào)分揀機(jī)器人（50-m）個(gè),

由題意，得0.8根+12x（50—根）244,解得：加＜40

答：最多購(gòu)進(jìn)A型號(hào)分揀機(jī)器人40個(gè).

20.在學(xué)習(xí)《圖形的平移》后，某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了在平面直角坐標(biāo)系中研究直線平移的探究活動(dòng).

素

材兩點(diǎn)確定一條直線

1

素

材圖形平移的本質(zhì)就是點(diǎn)的平移

2

素

材平移不改變直線的傾斜程度

3

一次函數(shù)y=2x+4,與無(wú)軸的交點(diǎn)為A,與》軸的交點(diǎn)為B,若該函數(shù)圖象向左

任

平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，此時(shí)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。的坐標(biāo)為_(kāi)_____，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為。的

務(wù)1

坐標(biāo)為_(kāi)_____,并求出平移后的函數(shù)表達(dá)式；

任

一次函數(shù)y=-3x+4,與X軸的交點(diǎn)為E,與y軸的交點(diǎn)F,將該函數(shù)向右平移

務(wù)

冽個(gè)單位長(zhǎng)度，線段E尸掃過(guò)的圖形面積為12,請(qǐng)求出平移后的函數(shù)表達(dá)式.

2

第13頁(yè)/共21頁(yè)

【答案】任務(wù)1：(-7,0),(-5,4)；平移后的函數(shù)表達(dá)式為y=2x+14

任務(wù)2：平移后的函數(shù)表達(dá)式為y=-3x+13

【解析】

【分析】任務(wù)1：由y=2x+4得A(-2,0),8(0,4),再由函數(shù)圖象向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得

C(-7,0),￡>(-5,4),y=2x+14；

任務(wù)2：當(dāng)x=0時(shí)，y=4,則/(0,4),由線段E尸掃過(guò)的圖形面積為12,可得根=3,最后由一次函

數(shù)的平移即可求解；

本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】任務(wù)1：由y=2x+4得，

當(dāng)y=0時(shí)，x=-2；當(dāng)x=0時(shí)，y=4,

.?.A(-2,0),8(0,4),

?.?該函數(shù)圖象向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，

(-7,0),￡>(-5,4),

平移后的函數(shù)表達(dá)式為y=2(x+5)+4=2x+14,

故答案為：(-7,0),(—5,4)；

任務(wù)2：當(dāng)％=0時(shí)，y=4,

F(0,4),則O/=4,

,/線段EF掃過(guò)的圖形面積為12,

mxOF=12,

?'?加=3,

??,平移不改變直線的傾斜程度，

?,?設(shè)平移后的函數(shù)表達(dá)式為y=-3x+d,

將/(3,4)代入得4=—3*3+1,解得d=13,

；?設(shè)平移后的函數(shù)表達(dá)式為y=-3x+13.

21.【閱讀理解】

第14頁(yè)/共21頁(yè)

我們把形如ax+6y=cQ、b均為整數(shù)，且.。工0)的方程稱為二元一次整系數(shù)方程.若。=1,則

>0,；.0<”叱

可以用以下方法確定其正整數(shù)解的數(shù)量,例如.x+3y=10,則x=10-3y,；

[10-3y>0-3

x=7x=4（尤=1

為正整數(shù)，■,-y=l,2,3,故原方程的正整數(shù)解有3個(gè)，分別為],y=2'|y=3

>=1

y=^^=3--x,設(shè)

若。W匕wl,則可以用以下方法確定其正整數(shù)解的數(shù)量，例如2x+3y=9,則

-33

3%〉03

x=3k(人為正整數(shù))，則y=3—2左，?/,0<A:<—,:.k=L故原方程的正整數(shù)解有1

3—2%>02

x=3

個(gè)，為<

y=l

【問(wèn)題解決】

(1)結(jié)合上述內(nèi)容，請(qǐng)直接寫出4x+2y=10的所有正整數(shù)解;

(2)若關(guān)于x和y的二元一次方程x+2〉=根有且只有一個(gè)正整數(shù)解，請(qǐng)求出機(jī)的值；

【應(yīng)用遷移】

(3)假期臨近，吳老師為表彰本學(xué)年積極參與班級(jí)活動(dòng)的學(xué)生，委托采購(gòu)小組購(gòu)買獎(jiǎng)品.組長(zhǎng)小麗匯報(bào)稱：

“我們購(gòu)買了兩種類型的筆記本，其中A類型筆記本7本，B類型筆記本12本，總計(jì)花費(fèi)84元，由于未索

取收銀小票，因此暫不能確定兩種筆記本的具體單價(jià).”吳老師聽(tīng)后，敏銳地指出：兩種類型筆記本的單價(jià)

不可能同時(shí)為整數(shù).請(qǐng)你結(jié)合上述內(nèi)容分析吳老師的判斷是否正確.

x=1[x=2

【答案】(1)〈,(2)m=3(3)吳老師的判斷正確

y=31y=1

【解析】

【分析】本題主要考查了二元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)題意，找到解題思路.

(1)根據(jù)題意，可得y=5-2%,根據(jù)x、y均為正整數(shù)，即可求解；

(2)根據(jù)正整數(shù)解的解法計(jì)算即可；

(3)設(shè)A類型筆記本的單價(jià)為。元，8類型筆記本的單價(jià)為萬(wàn)元，根據(jù)題意，可得7a+126=84,根據(jù)

a、匕均為正整數(shù)，即可求解.

【詳解】(1)?；4x+2y=10,

/.y=5-2x,

第15頁(yè)/共21頁(yè)

???x、y均為正整數(shù),

%=1[x=2

y=31y=1

(2)解："：x^m-2y,

?；y〉0,

y=1,

XVx>0

m-2>0,

/.m>2,

:二元一次方程x+2y=m有且只有一個(gè)正整數(shù)解，

m=3；

設(shè)A類型筆記本的單價(jià)為。元，8類型筆記本的單價(jià)為。元，根據(jù)題意，

12

可得7a+12/?=84,即a=12——b,

7

,:a、。均為正整數(shù),

設(shè)b=1k（%為正整數(shù)），則a=12—12左，

」7k>0

?[12-12左〉0’

?:左不能為整數(shù)，

故原方程無(wú)正整數(shù)解.

.??吳老師的判斷正確.

22.【材料背景】

如圖1,在048。中，以邊為底邊向外作等腰RZ0AB。，其中乙4。8=90°,且那么點(diǎn)

D就被稱為邊的“外展等直點(diǎn)”.

圖1

【建構(gòu)與探究】

第16頁(yè)/共21頁(yè)

如圖2,正方形網(wǎng)格是由邊長(zhǎng)為“1”的正方形組成，點(diǎn)。、A、B、C都在格點(diǎn)上，/。43=90°,點(diǎn)C為

0B的中點(diǎn).

圖2

(1)連接。4、OB、AB,請(qǐng)分別作邊。4、AB的“外展等直點(diǎn)”尸和。，連接PC、QC和尸。，則

△PCQ的形狀為

(2)如圖3,點(diǎn)￡、P在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)诰€段石尸上的格點(diǎn)中任取一點(diǎn)。(不與點(diǎn)A重合)，連接。。、BD,

分別作口。8。的邊。。和邊3。的“外展等直點(diǎn)”G、H,連接GC、和G”,請(qǐng)判斷nGHC的形狀,

并說(shuō)明理由.

圖3

【應(yīng)用與拓展】

(3)如圖4,點(diǎn)M、N為平面內(nèi)某三角形兩條邊的“外展等直點(diǎn)"，已知”(-2,-1)，N(3,l),請(qǐng)直接寫

出該三角形第三條邊的中點(diǎn)K的坐標(biāo).