重難點專題27數列分奇偶、公共項、重新排序、插入項等十一大題

型匯總

題型1數列分奇偶之隔項型........................................................1

題型2數列分奇偶之cm+an+1=/(n)型..........................................10

題型3數列分奇偶之cman+1=/(n)型.............................................19

題型4數列分奇偶之含有(-1)n................................................23

題型5數列分奇偶之含有｛a2n｝,｛a2n-1｝型.........................................30

題型6數列分奇偶之分段數列型..................................................35

題型7數列公共項問題...........................................................43

題型8重新排序問題.............................................................51

題型9插入項問題...............................................................64

題型10與概率統計結合的數列問題...............................................79

題型11新定義數列..............................................................92

題型1數列分奇偶之隔項型

【例題1](2023?湖南?鉛山縣第一中學校聯考三模)在數列入｝中，a】=18,ag=24,

(1)求｛aj的通項公式;

(2)記數列｛aj的前11項和為S“，求S”的最大值.

21-3n,n為奇數,

【答案】⑴a0={

30-3n,n為偶數.

(2)96

【分析】(1)由已知條件a0+2-a”=-6可得，當n為奇數時，數列｛a0｝的奇數項的通項公

式為a”=21—3n,當n為偶數時，即數列但4的偶數項的通項公式為a”=3。—3n；

⑵分別討論當n為奇數或偶數，得出數列｛aj各項的值或大小，從而求得S”的最大值.

【詳解】(1)當11為奇數時，即數列｛a0｝的奇數項是以18為首項，-6為公差的等差數列,

a=21-3n

當n為偶數時，即數列｛aj的偶數項是以24為首項，-6為公差的等差數列，a”=3。—3n

所以a。=｛21—3n,n為奇數,

30-3nm為偶數

（2）當n為奇數時，an=21-3n>0r

即a§,都大于0,27=。，a9<0,

當n為偶數時，an=30-3n>0z

即a2,a4,a6,都大于°,a9=0,a12<0,

所以Sn的最大值為a1+a2+-+a8=96

【變式1-1】1.（2023?天津?統考一模）已知數列但口｝中，a1=1,a2=2,an+2-an=4

(neN*),數列｛aj的前11項和為

(1)求數列｛aj的通項公式:

1

(2)若\=%而，求數列｛以｝的前11項和T”；

b1n+3v-mn+4

(3)在(2)的條件下，設％=西仁，求證：6—尹<Z『］A<8—尹.

2n_l,n為奇數

【答案】⑴a「｛

2n-2,n為偶數

n

（2）Tn=4H74

⑶證明見解析

【分析】⑴根據條件可得數列同｝的奇數項和偶數項均為等差數列，分奇偶求數列阿｝的

通項公式；

(2)先分組求和求得Szn，再利用裂項相消法求得T”；

(3)先求出％的通項公式，%=至*=等，再根據°<誓三%〈安，得到

1111nn+24tqq

n+1n+2n+2n+1

尹<A<尹，令4=護和en=護，利用錯位相減法求得Qn和Pn，再通過比較大小可

證明結論.

【詳解】(1)；ai=1,a2=2,a3—n=4(neN*),

..當n=2k_1,kN*時，數列｛a。｝的奇數項是首項為1,公差為4的等差數列,

12n1

則a。=a2k_t=1+4(k_1)=4k_3=2?k-I)-=-;

當n=2k,卜6N*時，數列｛aj的偶數項是首項為2,公差為4的等差數列,

則=a2k=2+4(k_i)=4k_2=2,2k_2=2n_21

.a=jn_l,n為奇數.

11為偶數，

(2)由(1)得a=qn_；n為奇數

113_2用為偶數，

,，S2n=ai+a2+a3++a2n=(ai+S3-----卜a2n_l)+(S2+S4----卜a2n)=

(l+4n-3)n(2+4n—2)n

巴+a如_i)n,(az+aQn=4n2—n,

2十222

11

2

，上門—S2n4-5n-4n+4n

11111111n

-，Tn=bl+b2+…+4=4(1-2+2-3+,,,+n-H7i)=一中)二疝3

(3)證明：由(2)得\=￡亶—石3)，則％=可/毋=y-1，

22

?-?°<*W*<*(n=1時等號成立),

n+1n+2

由不等式的性質得護<<尹，

令dn=/r,數歹1」｛七｝的前口項和為Q/

11n+2

「Q=d]+d?+…+dn=3x^o+4x2+…+產:①,

111n+2

2=3><2+4><?+…+丁②，

由得①一②得,

1111n+2n+2n+41

3一H=4---

lQn=+2+^+…+尹一？=3+1

1一2

n+4

?&=8一尹

由不等式的性質得A<Qn，

inn+4

故2k=1A<8—k

令0口=尹，數歹!!｛en｝的前n項和為

11n+1

e=2x3x+

/.Pn=ex+e2+…+n^o+2…③

1c1cln+1

升n=2X2+3x齊+…+丁④

由③一④得,

1

111n+l式1-產r)n+1n+31

升n=Z+2+尹+…+尹一丁=2+--------=J--,^=7,

1~2

n+3

；心=6一尹

由不等式的性質得P。＜WilA，

n+3inn+4

故6-尹＜/=］仄＜8-k

【變式1-1】2.（2023?四川南充?四川省南充高級中學校考模擬預測）已知數列同｝滿足:

3

1191n

3a一an.,an+6-an>-3,)^2023=()

1=8-n+2

3202332023q

_aO,

A--^—+2B，-8-+2

[2023[2023

C--g-D-~^2~

【答案】c

【分析】由｛+2—，W3n得到或+6—%W91.3、結合為+6—a0291.3:得到外+6—a”

=91.3n,從而得到a0+2—an=3n,再利用累加法得到a?”*]=a】+3+38++…+

3211-1,結合等比數列求和公式求出a2023的值.

3n

a-a3

【詳解】"31=8,n+2n<-

/.a,-a<3n+2,a,-a,<3n+4,

n+4n+27'n+6n+4'

.../n+4.n+2.nn

aaa3+33+a33o+3non

??n+6-n(n+6-n+4)(n+4-n+2)(n+2-n)+3=3

42n

(3+3+l)=91.3,

又an+6—an2'I?3、故a”6—a0=91.3:

11n+2n+4

所以an+2—=3,an+4-an+2=3,an+f)-an+4=3

3n3

所以a?—a】=3,a5-a3=3，…，a3.-an=3,a[=9

aa=aa+aa++aa+a3=3+3++

故2n+l-i2n+l-2n-l2n-l-2n-3-5-33-1"…

+32n-1

352n1

^2n+1=a1+3+3+3+-+3-

3(1-91011)32023

所以a2023=0+3+33+3，+…+32021=|+

1-9-8~

故選：c.

a=

【變式1-1】3.(2020?全國?高三校聯考階段練習)已知數列｛斯｝中，l1/a2n=a2n_1

n

+(-l)(neN*),a2n=a2n_2++(—1)、SP2,且neN*),則｛a-的前20項的和

為

【答案】212-34

n

【解析】根據遞推公式a2n=a2?-i+(-l)(neN*)列舉出前20項中偶數項與奇數項關系,

兩端相加可得前20項中偶數項的和與奇數項的和相等，故問題轉化為只需求偶數項的和，

再由a2n=a2n-2++(-l)n采用累加法可求出偶數項的通項公式，從而可求出偶數項

的和，進而求出數列｛斯｝的前20項的和.

【詳解】由題意，得。2=01-1,+1,。6=。5—1,???/。20=。19+1,

所以@2+。4+…+。20=H---1"。19,即S偶=S奇，

n

又。2=-1=0,a2n=a2n-2+2*1+(-l)(n>2,且幾EN*),

122

a4=a2+2+(-l)=21+(-1)Z

%=。4+2?+(—l)3,

。8=%+2?+(—1)3

a2n=a2n-2+2n-1+(—1)",

將上式相加，得

223n71

a2n=2+2+…++(-l)+(-l)+…+(-l)=2。言f+「(/尸=2-

3+(-l)"T

2,

所以S偶=(2+22+23+…+29+2lo)-1x3O=青善—15=211-17,

所以$20=2(2*-17)=212_34.

【點睛】本題主要考查數列遞推關系的應用及累加法求數列的通項，同時考查轉化的思想和

運算能力，屬于難題.

【變式1-U4.(2023秋?湖南?高三校聯考階段練習)已知數列｛而滿足的=2,。2=1，。九+2

=(1+sir)2詈)an+2cos2詈，九6N*.

(1)求數列｛an｝的通項公式；

(2)若數列｛%｝滿足Cn=求證：Ci+C2+…+Cn<3.

n+1

2~n=2.」需)，

｛n—l,n=2fc(fcGN);

(2)證明見解析

【分析】(1)分別取n為奇數和偶數時，再利用誘導公式化簡遞推式，即可得出數列包?｝的

通項公式；

(2)由(1)知4=竽，利用錯位相減化簡即可得出S=3-要，從而得證.

【詳解】(D當n=2k—l(keN*)時，a2k+i=[1++2cos^-n.=2

a2k-l/

即出=2,所以數列｛做『1｝是首項為2、公比為2的等比數列，因此。2仆1=2與

當幾=2k(kGN*)時，a2k+2=(1+sin?等)3+2cos2等=a2k+2,

所以數列｛。2欠｝是首項為1、公差為2的等差數列，因此a2k=2k-1.

n+1

2J?：少一枕需〉

｛/LA.ffL乙M\Z21wjf

(2)證明：由(1)知，%=青甘，記5=4+。2+~+。71.

貝(Js=[+*■1--

l_1,32n-32n-l

弁c=/+7+…+下~+訴"②，

①-②得S=?+2(?尹…+巳—霽!="2.總漳L得,

2

化簡得s=3—鬻.

故Cl+C2+,11+cn<3.

【點睛】關鍵點睛：隔項數列求通項，分類討論n為奇數和偶數兩種情況是關鍵.考查了數列

遞推式，誘導公式及數列前n項和的錯位相減法，屬于較難題.

【變式1-U5.(2021秋浙江杭州?高三學軍中學校考期中)已知數列｛總的各項均為正數,

前傾和為%,%=2,,a2=4,若對任意的正整數n,有曲+2=像譽或士〉族案:

⑴求｛an｝的通項公式;

1C

⑵設數列｛既｝滿足刈=￡三，求證：打+歷+?/?<*

【答案】⑴/=2",neN*;

(2)證明過程見解析.

【分析】(1)當n=2k—1,n=2k,keN*時，分別求出通項公式，再綜合即可；

(2)利用放縮法進行證明即可.

⑴

解：當？1=2k-l,keN*時，an+2=4a。即0^-1+2=4a2fc-i

a2k+l=4a2k-l

???奇數項成等比數列

???ci2k-i=x4k-1=2x42—i=22/c-1

n

??.n=2k—1時，an=2

當幾=2k,kEN*時，an+2=2Sn+4即。2k+2=2s2k+4①

當k=k+1時,a2k+4—2s2k+2+4②

②-①得a2k+4—a2k+2=2(S2k+2—S2Q—2(a2/c+i+a2k+2)

化簡得。2k+4—3a2k+2+2a2/c+i

即a2k+4=3a2k+2+4*+i

等式兩邊同時除以小+2得

a2(/c+2)_3。2(k+1)1

4k+244Z+1+4

等價于攀詈_l=|x(半筌_1)

即筆"1=1x(一)

由題知=4,當k=1時，薨-1=中一1=3-1=0

故*一1=。即a2k=4fe=22k

n

n=2k時，an=2

n

綜上，an=2,n€N*

(2)

解：由(1)知,an=2"

11

bn=右T=

2n-1/1\

2n-1=2x2nt-1=2x2nt-布:=2ntX(2-赤R

當心3時，2—

2"-1x(2-表)>jx2"-1即2n-1>^x2"-1,n>3

141

-1?萬口W亍X—,,n>3

111114/111\

+++…+^1<1+?+/慶+”“+殖)

1,1,1,,1J」/1\4,234,355

即nn耳+目+n+…+=<三+'乂(1—布)<§+'=五<五=5

5

?'?bt+b2+■■-bn<-

【點睛】思路點睛：在利用放縮法證明數列不等式時，要注意放縮的方向，在放縮方向明確

之后，放大得太多，或者縮小得太多，可以適當進行調整，比如從第二項開始放縮或者第三

項開始放縮.

【變式1-1】6.(2022秋?江蘇鹽城?高三統考階段練習)已知數列l｛an｝滿足的=。2=/

冊+2=斯+2*3%九€2*),且6=an+an+i(neN*).則數列｛%｝的通項公式

為—.若“Cn=*｝(nCN*),則數列｛4｝的前n項和為.

【答案】圖=3\咫*|-3?+1(^+1)

n

【分析】(1)根據遞推關系求得久+1—匕九=冊+1+斯+2-(即+。九+1)=CLn+2—CLn=2%3,

利用累加法求得好的通項公式；

、4n+411

(2)代入求得的b九,化簡”,得％=3n+1(2n-l)(2n+l)=3n(2n-l)-3n+1(2n+l),

利用裂項相消法求得前n項和.

3

an

【詳解】解:=?2=2/n+2=。九+2x3(neN*),可得歷=a1-ha2=3,an+2一斯

=2x3n,

n

又如+1—bn=an+1+an+2—（an+an+1）=an+2—an=2x3,

XX

則bn=b1+（h2-必）+（仇-fo2）+…+（bn-既_i）=3+23+232+…+2x3"t

=1+督=3、

上式對九=1也成立，

所以bn=3n,n€N*;

,4（n+l）*/B4n+411

n1/

田。九。九=3（4九2一1）（九EN）,可得C九=3n+i（2n-l）（2n+l）=3（2n-l）-3?+（2n+l）

、，、,.111111

則數列｛Cn｝的前拉頁和為而一荻i+三石一意+…+3"(2n-l)-3"+。+1)

_1]

-3-3n+1(2n+l)*

11

故答案為：6n=3\MN*;j-3?+1(2n+1).

【點睛】關鍵點點睛：求既通項時，累加法求和需要考慮九=1的情況；化簡/成可以裂項

4九+411__、

的形式cn—3計i(2n-l)(2n+l)=3"(2n-l)13"+i(2n+l)，從而利用裂項相消法求和?

題型2數列分奇偶之時+an+1=f(n)型

【例題2】(2023春?山東淄博?高三沂源縣第一中學校考期中)已知數列｛aj的前n項和為

Sn,且a1=44+an+1=4n+2(neN*),則使得S”<2023成立的n的最大值為()

A.32B.33C.44D.45

【答案】C

【分析】分奇偶項討論，根據題意利用并項求和求運算求解即可.

11

［詳解］當為偶數時，Sn=+a2+???+an=(at+a2)+(a3+a。+…+(anl+aj

=6+14+...+4J2=(6+4)2)/=n(n+i),

令Sn=n(n+l)<2023,且n為偶數，

解得2Wnw44,故門的最大值為44;

當n為奇數時，S0=a1+a?+…+a。=a［+(a?+a3)+(a4+a5)+-+(a1+aj

n—1

=4+10+18+...+4n_2=4+(i°+4n12)x丁=^2上n上2,

令S0=〃+n+2<2023,且n為奇數，

解得nw43,故門的最大值為43；

綜上所述：n的最大值為44.

故選：C.

【點睛】方法點睛：并項求和適用的條件和注意事項:

1.適用條件：數列中出現（-1）何嗎4+…an+k=f（n）等形式時，常用利用并項求和求Sn；

2.注意分類討論的應用，比如奇偶項，同時還需注意起止項的處理.

【變式2-1]1.（2023春?遼寧鞍山?高三鞍山一中校考期中）已知數列伊小⑴eN*）的前n

2

項和為Sn，^Sn+1+Sn=3n+6n+3,a1=2.

（1）記\=211+211+1判斷｛t｝是否為等差數列，若是，給出證明；若不是，請說明理由.

（2）記7=（一1廣，M+],6｝的前n項和為以求用

【答案】（1）不是等差數列，證明詳見解析；

3n

（2）當n為偶數時，4=黯+”_48,當n為奇數時，Tn=++^.

11

【分析】（1）取=1時可求可，當n>2時可根據s”與a0的關系求出a0+an+1,再驗證n=1

是否滿足即可判斷其是否為等差數列；（2）當n>2時，由a0+a31=6n+3,得a嗎?+a”]

=6n+9,兩式相減即可得a"？-a”=6,進而可以得出｛%｝從第2項起的奇數項和偶數項

分別成等差數列，討論11為奇數時和為偶數時分別解決.

【詳解】⑴因為Sn+i+Sn=3n2+6n+3,

當n=1時,S?+S[=2a1+a2=3+6+3=12,又因為a1=2,所以％=a1+a2=1。

當n?2時，因為Sn—Sn」=an，由/+S0=3/+6n+3,得am+S”+S0=3,+6n+3

22

①，所以an+Sn_1=3（n_l）+6（n-1）+3②,

所以①一②得：

a+a=6n+

n+ln^經驗證，當"=1時不等于耳，所以｛bj不是等差數列?

（2）由an+1+an=6n+3（n22）,得a—+=6“+9（n22）,兩式相減得：

aa

n+2-n=6（?>2）.

所以當n22時：

數列｛a?k｝（keN*）是首項為a2=8,公差為6的等差數列;

數列色)<+1｝(keN*)是首項為23=7,公差為6的等差數列.

當n為偶數時，不妨設n=2k(keN*),則a2k=6卜+2,

此時T2k=C]+C?+C3+…+C2k_i+c2k

aaaa

=i2-23+a3a4—a4a5+a5a6_+-a2Ra2k+1

aaaaaaaa

=i2-a2a3+(5-3)4+(7-5)6+巴—a,R…+(a2k+1-

=16-56+6a4+6a6+6ag+…+6a2k

r(k_1).(k-2).6]

=-40+6[14(k-1)+----------------]

=3k2+5k-48

35

因為n=2k@GN*),所以此時T”=舒+/_48

當n為奇數時，不妨設n=2k+l(keN*),貝必2k+i=6卜+1,

c

此時T2卜+1=J+C?+C3+…+C2k_T+C2k+2k+1

aaaa

=i2-23+a3a4—a4a5+a5a6_+-a2Ra2k+1+a2k+1a2k+2

aaaaaaaa33aa

=i2+(4-2)3+(6-4)5+~6)7-+?2k+2—2k)2k+l

=16+6a3+6a5+6a7+...+6a2k+1

“，「fk.(k_1).61

=16+617k+-----------j

2

=18k+24k+16.

917

因為n=2k+l(keN*),所以此時1；=刊2+3n+_

113275n44O811993n17

綜上所述，當為偶數時，Tn=?n+2-,當為奇數時，Tn=++^-

【變式2-1]2.(2023?全國?高三專題練習)已知｛an｝是由非負整數組成的數列，滿足a1=0,

a=3總-a=(a+2)(a4-2)

2n+1nn—1n—2

⑴求a3；

(2)證明an=an2+2,n=3,4,5,…；

(3)求｛an｝的通項公式及其前n項和Sn.

【答案】(1)2;

(2)證明見解析；

(；n(n+l),n=2k(k=i,2,3〃..)

(3)a=n+(_i)n,n=i,2,3〃...s=L217

(凡()，11Cn(n+l)_l,n=2k—1?=1,2,3,…).

【分析】⑴代入n=3,可得-a4=10,求得23；

(2)利用數學歸納法證明即可；

(3)隔項差為定值，采用奇偶分析法求解.

【詳解】(1)當n=3時，233=⑸+2)包+2)=10

因為as2均為非負整數，所以a3的可能的值為1,2,5,10.

335

若=1,則=1°飛=笈與題設矛盾；若=5,則=2%=/與題設矛盾；

6

若=10,則=l-a5=604=耳與題設矛盾.

所以a3=2.

(2)①當n=3時，23=a1+2等式成立；

②假設當門=卜位23)時等式成立，即ak=ak2+Z由題設ak+^k=(akl+2)(ak2+2)

a+2

又ak=k_2*°,所以ak+i=a—+2,BPak+1=a(k+1)_2+2,

所以當n=k+1時，等式成立

根據①和②，可知結論對一切n>3正整數都成立.

a

⑶因為a。=n_2=3,4,5,…

當n=2k_l(k=2,3,4,..)01a2ki=a2k_3+2=a2gx+2,

即數列｛aj的奇數項為等差數列，且首項為a1=0,公差為2,

??.a2k1-2(卜—1)=(2k_1)_Lk_1,2,3,…

所以當n=2k_l(k=1,2,3，…)時，a0=n_L

當門=2k(k=2,3,4,…)時，a2k=a2k_2+2=+2,a2=3

即數列｛aj的偶數項為等差數列，且首項為a2=3,公差為2,

a2k=3+2(k—1)=2k+l,k=1,23…

11

所以當n=2k化=1,2,3，…)時，an=+1,

綜上所述，an=n+(_l)n,n=l,2,3,…

當n=2k(k=i,2,3,...阿,

S2k=(ai+a3+-^k-?+(a2++…a2pk(0+2k-2)+k(3+2k+l)=卜沖+1)=

2k(2k+l)

2；

所以當n=2k9=1,2,3,…)時,Sn=；n(n+1)；

當n=2k_l(k=l,2,3〃..M，

k(02k-2)(k-l)(32k-l)

S2k-1=(ai+a3+…a2k_P+(a2+a4+…a2k-2)++

=—2—+------2----(--k-_l)(2k

(、(2k—l)(2k—I4-I)1

+1)=-------2--------

所以n=2k_雕=1,2,3,...)時，Sn="n+1)-1.

f*n(n+l),n=2k(k=i,2,3,...)

綜上所述，=+=

【點睛】方法點睛:

數學歸納法的一般步驟:

(1)驗證n=n0時成立；

(2)假設當n=k時成立，證得n=k+i也成立；

(3)得到證明的結論.其中在n=k到n=k+i的推理中必須使用歸納假設

?

【變式2-1】3.(2022全國?高三專題練習)已知在數列｛an｝中，=3,冊+i+=3?

2-nWN*.

⑴求數列3J的前n項和Sn；

(2)若l<r<s且r,SEN*,是否存在直線。使得當的,ar,a$成等差數列時，點列(2『,

2S)在Lt?若存在，求該直線的方程并證明；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴2=2”(—1尸+1

(2)存在，y=2x+6,證明見解析

1

【分析】(1)根據題干條件得到即+1—2幾=-(an-2"-),從而得到｛詼一2口1｝是以2為

首項、-1為公比的等比數列，進而得到缶“｝的通項公式，進而得到前幾項和Sn；(2)根據

題干條件得到2『—2s-1=3+2x(-iy-i-4x(-I)-1,分情況討論，最后只有若r為

奇數、s為偶數，2r-2，-1=-3時成立，從而求出直線方程.

⑴

n

1?,On+1+an=3-2T,

an-1

n+i—2"=—(an—2),

又,.?%-20=3—1=2,

???數列｛斯-2-1｝是以2為首項、-1為公比的等比數列，

???an—2—=2x(—I)—,

1

???an=2"-+(-1尸?2,

n

當n為正偶數時，Sn=W=2—1；

當n為正奇數時，Sn=^+2=2"+l,

nn+1

.?.Sn=2+(-l);

(2)

結論：存在滿足條件的直線y=2%+6.

理由如下:

假設的,ar,as成等差數列,則20r=ai+aSl

???2[2—1+(-l)rTx2]=3+2s-1+(-1)STx2,

r

整理得：2-2ST=3+2x(—1尸-1-4x(-I)一1，

依題意，1<r<sgr,seN*,下面對r、s進彳五寸論：

①若r、s均為偶數,則2r-2S-J3-2+4=5>0,

解得：s<r+l,與l<r<s且r,seN*矛盾，舍去；

②若r為奇數、s為偶數，則2r-2s-1=3-2-4=-3<0,

解得：s>r+l;

③若r為偶數、s為奇數，貝叨-2ST=3+2+4=9>0,

解得：s<r+l,與l<r<s且r,seN*矛盾，舍去；

④若八s均為奇數，則2r-2ST=3+2-4=1>0,

解得：s<r+1,與l<r<s且r,seN*矛盾，舍去；

綜上①②③④，只有當r為奇數、s為偶數時，州,ar,詼成等差數列，

因為2r—2ST=—3,所以2s=2(2『+3),即滿足條件點列(2『，2，)落在直線y=2x+6在/

上.

【變式2-1】4.(2023?全國?高三專題練習)已知Sn是數列｛an｝的前幾項和,％=1,.

①V/ieN*,an+an+1=4n;②數列用為等差數列，且用的前3項和為6從以上兩個條件

中任選一個補充在橫線處，并求解：

⑴求%

(2)設g=含￡生，求數列｛bn｝的前幾項和幾?

【答案】⑴條件選擇見解析，an=2n-l

⑵T—2帥+1)

I乙〃九一(271+1)2

【分析】(1)選①，分析可知數列國2g1｝、包2欠｝(卜6|\|*)均為公差為4的等差數列，求出。2

的值，可求得。2『1、a2k(keN*)的表達式，可得出數列｛即｝的通項公式；

選②，求得靠勺值，可得出數列閘的公差，即可求得sn,再由斯=廣22可求

得數列｛an｝的通項公式；

(2)求得"=?六"—/』，利用裂項相消法可求得〃.

zL(2n—I)2(2n+l)2J

(1)

解：選條件①：PnEN*,an+an+1=4nz得冊+i+a九+2=4(幾+1),

所以，an+2-an=4(n+1)—4n=4,

即數列｛如一小｛儂｝/WN*)均為公差為4的等差數列,

于是。2女―1=ai+4(fc-1)=4fc—3=2(2k—1)—1,

又。1+。2=4,a2=3,做々=。2+4(/c-1)=4/c-1=2?(2/c)—1,所以冊=2幾一1;

選條件②：因為數列愕為等差數列，且閘的前3項和為6,

黯+等+g=3x等=6,所以3=2,

所以用的公差為"=日—,=2—1=1,

2

得至嶺=1+O—1)=時貝!]sn=n,

22

當n>2,an=Sn—Sn-i=n—(n—I)=2n—1.

又ai=1滿足an=2n-1,所以，對任意的"€N*,an=2n-1.

⑵

解：因為6n=(a；a=;;2=(27)2(2n+l)2=一五樂J'

所以4=/+岳+-+bn=皓_《+2_專+…+小取一扁曰

_ir11_2noi+1)

=2L1―(2九+1)21=(2九+1)2?

【變式2-1]5.(2023秋?廣東珠海?高三珠海市第二中學校考階段練習)已知數列｛%J滿足

n

ai-l,an+an+1=A?2(neN*)(%是常數)?

(1)若4=0,證明｛斯｝是等比數列；

(2)若4力0,且｛冊｝是等比數列，求屈勺值以及數列｛(—l￥log2a的前幾項和

【答案】(1)證明見解析

(2)2=|,S_(6?i-l)x(-l)n+l

n-4-

【分析】(1)根據等比數列的定義證得結論成立.

(2)利用分組求和法以及對九進行分類討論來求得治.

n

【詳解】⑴依題意，ai=l,an+an+1=2-2(neN*).

當4=0時，an+an+1-0,an+1=—an,

所以數列｛七｝是首項由=1,公比為-1的等比數列.

n

(2)依題意，cii=l,an+an+1=A-2(nGN*)，*0,且｛an｝是等比數列,

則+做=1+。2=a,2g=22—1,

。2+@3=24—1+的=4?22^3=24+1,

__O

所以(24—I)2=1X(2A+1),而4*0,故解得4=

則的=l,a2=2,a3=4,所以等比數列｛an｝的公比q=2,

n1

則0n=2-,a3n_1=23吁2,

nn3n2n

所以(-l)log2a31=(-l)log22-=(-l)(3n-2),

所以，當n為偶數時，

Sn=(-1)+(4)+(-7)+(10)+(-13)+(17)+-??+[-(3n-5)]+(3n-2)

?n36n

=3x-=-n=T,

當n為奇數時，

——3—3?i.+l—6n+2

S"=Sn+1-an+1=-(n+1)-(3n+1)=,

(6九一DxJlF+l

綜上所述，S”=4

【變式2-1]6.(2023秋?廣東廣州?高三廣州市第一中學校考階段練習)在數列｛即｝中，已

=

知%i+i+an=3,2",cii1.

⑴求證：｛a—n｝是等比數列.

(2)求數列｛an｝的前n項和土.

【答案】(1)證明詳見解析

n+1

(2)Sn=2+

【分析】(1)通過湊配法證得｛斯-2月是等比數列.

(2)利用分組求和法求得S%

nn+1nn+1n

【詳解】(1)由即+1+an=3-2,得an+i-2+an=3-2-2=2,

即0n+1_2.+1=_(即_2力,

所以5-2"｝是首項為由-2i=-1,公比為-1的等比數列.

(2)由(1)得＞―2n=(-1)X(-1)吁1=(—1)，0n=2”(一1產

n12n

所以Sn=2+22+...+2+(-I)+(-l)+.--+(-l)

2(l-2?)-[l-(-l)n]n+1

2九+1_2+(T)"T=2+(T)“一5

1-2十1-(-1)

題型3數列分奇偶之aan+1=/O)型

n

【例題3】(2023?全國?高三專題練習)已知數列｛斯｝的前n項和為%,a1=2,20,

?n??i+l-4Sn-

⑴求%

n

(2)設6n=(-l)-(3?-1),數列｛%｝的前n項和為〃，若VkeN*,都有〈入<T2k

成立，求實數屈勺范圍.

【答案】⑴冊=2n,n€N*

(2)2e(-2,6)

【分析】(1)由a/n+i=4Sn,可得即_q=4Sn_1(n>2),兩式相減并化簡后可得即+i-

Qn-1=4(n>2),后分奇偶情況可得加；

(2)方法1,由題"=(一3)'-(-1)",由等比數列前n項和公式可得72k表達式;

方法2,注意到62/CT+b2k=2-32J1,可得72k，T2『l表達式.后注意到T2k，T2『l的單調性,

利用好<A<T2可得答案.

aa=aa

【詳解】(1).；nn+l4Sn，:n-l?i=4Sn_i(n>2).

aa

?i(cin+i—n-i)=4an(n>2),"an^0,-?.an+i—an-i=4(n>2).

又的=2,aia2=4S-a?=4,???數列也?｝的奇數項，偶數項分別是以2,4為首項，4

為公差的等差數列.

當?i=2k—1時，a2fc-i=4/c—2=2(2fc—1)；當n=2k時，a2k=4k=2,2k.

綜上，an=2n,n€N*

(2)方法一：?；=(-l)n(3n-1)=(-3)"-(-l)n=(-3)"+(-1)"+1,

,1,1-(-11_3(-3)--3,1-(