培優點01切線放縮（2大考點+強化訓練）

在高考壓軸題中，經常考查與導數有關的不等式問題，這些問題可以用常規方法求解，也可以用切線不等式

進行放縮.導數切線放縮法是一種非常實用的數學方法，它可以幫助我們更好地理解函數的性質和變化規

律，更能使問題簡單化，利用切線不等式進行求解，能起到事半功倍的效果.

—【知識導圖】

?考點一：單切線放縮

★切線放縮

?考點二：雙切線放縮

【考點分析】

考點一：單切線放縮

常見的切線放縮：VxGR都有e*2x+l.當x〉一1時，ln（x+l）Wx.當x〉0時，x>sin矛；當水0時，Xsin

x.

規律方法該方法適用于凹函數與凸函數且它們的凹凸性相反的問題（拆成兩個函數），兩函數有斜率相同

的切線，這是切線放縮的基礎，引入一個中間量，分別證明兩個不等式成立，然后利用不等式的傳遞性即可，

難點在合理拆分函數，尋找它們斜率相等的切線隔板.

【例1】（2023上?遼寧大連?高三大連八中校考期中）已知函數〃x）=oxlnx,（a*O）.

⑴若函數g（尤）=7⑺（其中：尸（無）為外力的導數）有兩個極值點，求實數a的取值范圍；

(2)當4=1時，求證：y(x)<ex+sinx-l.

i3

【變式】（2023上?貴州黔東南?高三統考期中）函數/（無尤+5（〃>0）.

⑴求函數”力的單調區間；

⑵當a=l時，若〃芯）+〃々）=。,求證：^+X2>2.

考點二：雙切線放縮

規律方法含有兩個零點的/<x）的解析式（可能含有參數荀，生），告知方程『5）=6有兩個實根，要證明

兩個實根之差小于（或大于）某個表達式.求解策略是畫出f（x）的圖象，并求出f（x）在兩個零點處（有時候

不一定是零點處）的切線方程（有時候不是找切線，而是找過曲線上某兩點的直線），然后嚴格證明曲線Hx）

在切線（或所找直線）的上方或下方，進而對荀，后作出放大或者縮小，從而實現證明.

【例2】（2024上?浙江嘉興?高三統考期末）已知函數無）=g/+（a-根一1）尤-q尤m尤.

（1）若機=-1時，y=/（x）在其定義域內不是單調函數，求a的取值范圍；

⑵若°=2,時，函數y=〃x）有兩個極值點X1,x2（xl<Xj）,求證：當-不<3（〃?+1）.

【變式】（2024下?河北-高三校聯考開學考試）已知函數

/(%)=(x+Q)(e“_Q),=4ex—ax,/zW=|e2OT—ax

⑴若“X）、g（元）在（2,42））處切線的斜率相等，求。的值;

⑵若方點""有兩個實數根孫々，試證明：—

Z?+e+leZ?

（3）若方程/（%）=/有兩個實數根“蒼，試證明：|再一々區1++---.

3e-le-1

【強化訓練】

1.（2024上?江蘇揚州?高三統考期末）已知函數f（x）=（lnx-的最小值為-1.

（1）求實數加的值；

⑵若〃尤）=。有兩個不同的實數根%,%（%<々），求證：2—A2cxi<%—（a+l）e.

2.（2024上?重慶?高三重慶南開中學校考階段練習）若函數f（x）在定義域內存在兩個不同的數4,

巧，同時滿足〃為）=/伍），且“X）在點（占,/（占）），值,/（%））處的切線斜率相同，則稱/（X）為“切

合函數”.

⑴證明：〃力=2尤3一6尤為“切合函數”；

⑵若g（x）=xliM-：V+也為“切合函數”（其中e為自然對數的底數），并設滿足條件的兩個數為4，

（i）求證：玉/<二；

3

(ii)求證:(〃+I)2玉%2-<-.

4

3.（2023,重慶模擬）已知函數3（x）=sinx—aln（x+l）.

⑴若石=1,證明：當［0,1］時，f（x），0；

（2）若石=—L證明：當x￡［0,+8）時，2.

4.(2023?柳州模擬)已知函數f(x)=lnx+~~2x.

x

⑴當a>0時，討論f{x}的單調性；

(2)證明：e-L2x〉f(x).

X

5.(2023?福州模擬)已知函數廣(x)=xlnx—x.若廣(x)=6有兩個實數根不，如且矛《雙求證：be+e<x2

—^i<2A+e+~.

e

6.(2023?山東省實驗中學模擬)已知函數Mx)=(x+l)(e'—1),若函數g(x)=Hx)一"(或0)有兩個零點荀,

X2,且xi〈生，證明：X2—XIW1+2H+"一

e—1

7.(2023,廣州模擬)已知函數F(x)=ln(x+l).

(1)證明：當x>—1時，f(力Wx：

。1+岸+.”

⑵已知證明：e23n>sin（77+l）.

8.(2023?遂寧模擬)已知函數HX)=3(X+1)——x￡R.

e

⑴若F(x)是減函數，求實數a的取值范圍；

2a

(2)若_f(x)有兩個極值點矛,1X2,其中求證：至一荀＞一+2.

e

培優點01切線放縮（2大考點+強化訓練）

在高考壓軸題中，經常考查與導數有關的不等式問題，這些問題可以用常規方法求解，也可以用切線不等式

進行放縮.導數切線放縮法是一種非常實用的數學方法，它可以幫助我們更好地理解函數的性質和變化規

律，更能使問題簡單化，利用切線不等式進行求解，能起到事半功倍的效果.

弋【知識導圖】

?考點一：單切線放縮

★切線放縮

?考點二：雙切線放縮

?【考點分析】

考點一：單切線放縮

常見的切線放縮：VxGR都有e*2x+l.當x>—1時，ln（x+l）Wx.當x〉0時，x>sin矛；當水0時，矛<sin

規律方法該方法適用于凹函數與凸函數且它們的凹凸性相反的問題（拆成兩個函數），兩函數有斜率相同

的切線，這是切線放縮的基礎，引入一個中間量，分別證明兩個不等式成立，然后利用不等式的傳遞性即可，

難點在合理拆分函數，尋找它們斜率相等的切線隔板.

【例1】（2023上?遼寧大連?高三大連八中校考期中）已知函數〃x）=talnx,（。二0）.

⑴若函數g（尤）=f（尤）+士（其中：/（x）為了（力的導數）有兩個極值點，求實數a的取值范圍;

（2）當a=l時，求證：/（x）<ex+sinx-l.

【答案】（1）1°，;[

（2）證明見解析

【分析】（1）先求得g（x）,然后求得g'（x）,根據g'（x）在（0,+8）有兩個變號零點列不等式組，由此求得

。的取值范圍.

(2)要證/'(x)<e"+sinx-l,即證e*+sinx-xlnx-l>0,設M(x)=e*+sinx—xlnx—l(x>0),

M,(x)=eJC+cos%-(lnx+l),M,(%)>ex-lnx-2,利用切線放縮可證”(x)>0,利用單調性證得所證不

等式成立.

【詳解】(1)依題意知：xe(0,+oo),f'(x)=alnx+a,

g(x)=alnxd——^—^+a,XG(0,+CO),

ax2+(2a-l)x+a

g，(x)=

x(x+l)2

：g(x)有兩個極值點,

g'(x)在(0,+8)有兩個變號零點,

令g'(x)=O得：ax2+(2a-l)x+o=0,(awO),

關于x的一元二次方程有兩個不等的正根，記為七，

A>01。+1>0

xl+x2>0,即《2a-l八，

八------>0

玉?%>°Ia

1

a<一

4

解得**?0<a<一,

4

0<a<一

2

故a的取值范圍為：(0,；

(2)證明：當a=l時，/(x)=xlnx,要證/(%)ve'+sinx—l,即證％In%ve"+sinx—l,即證

ex+sinx-xlnx-l>0,

設=e"+sin九一xlnx-1(無>0),(九)=e“+cosx-(lnx+l),

vcosx>—1,/.Afr(x)>ex—Inx—2,

先證e">x+l,

令g(x)=e'—x—1,g<x)=e*—l,當％>0時，gz(x)>0,

???g(x)在(0,+8)上單調遞增，又???g(o)=o,

???尤>0時g(x)>。，BPex>x+1.

再證lnx<x-l,

令/z(x)=lnx-x+l,

h'(x}=--l=^,

XX

當Ovxvl時,〃(x)>0,〃(x)單調遞增；

當x>l時，〃(x)<0,/z(x)單調遞減.

/./；(%)<7/(1)=0,/.]nx<x-l,即一InxN-x+l成立,

/.M,(%)=er-lnx-2>(x+l)+(l-%)-2=0,

xe(0,+oo)時,M(x)單調遞增,

當xe[l,+8),M(%)>M(l)=e+sinl-l>0,

當xe(0,l),-xlnx>0,

M(x)=er+sinx—xlnx—1>eA+sin%—1,

又丫=入y=sinx是(0,1)上的增函數，所以函數〉=6，+5m》-1在(0,1)上增函數，

.,.ev+sinx—l>e°+sinO—1=0,即當第?0』),M(x)>0,

綜上,xe(O,同,M(x)>0,命題得證.

【點睛】思路點睛：本題第二問屬于利用導數證明不等式問題，可先用分析法化簡轉化所證不等式，即證

ex+sinx-xlnx-l>0,通過構造函數河(%)=/+5111%-幻11彳一1(%>0),再結合導數

M,(x)=ex+cosx-(lnx+l),利用切線放縮e，>x+l,InxVx—1,可證(尤)>0,再由單調性來證得不

等式成立.

13

【變式】(2023上?貴州黔東南?高三統考期中)函數/(%)=。12+5尤2一,+1)尤+](“>()).

⑴求函數的單調區間；

⑵當“=1時，若〃玉)+〃％)=0，求證：xl+x1>2.

【答案】(1)答案見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)求出函數的導數尸(x)=("T)：一"),分類討論a的取值范圍，結合解不等式，即可求得函

數的單調區間；

13

(2)當。=1時，確定〃到=9+；尤2-2尤+；在(0,轉)單調遞增，/(1)=0,由此可判斷與飛是否相等的

情況，當工產尤2時，和馬分別位于(0,1),(1+8)內,構造函數g(x)=/(x)+〃2-x),判斷其性質，結合其

性質即可證明不等式成立.

13

【詳解】(1)由題意/(x)=alnx+/x2一(Q+I)%+/(Q>O)定義域為(0,+8),

/?，+尤_(4+1)=\一(—=(1)(i),

XXX

當0<0<1時，令/'?了)>。，解得0cx<4或無>1,

此時“X)的單調增區間為(0,a),(1,+8)；

令解得0<無<1,〃力的單調減區間為3D；

當。=1時，/(司=攵3上0,等號僅在x=l是成立，

此時“X)的單調增區間為(0,+8),無減區間；

當0>1時，令解得O<X<1或x>a,

此時〃x)的單調增區間為(0,1),3+◎；

令/⑺<0,解得K,〃x)的單調減區間為(1M)；

綜合上述：0<“<1時，〃尤)的單調增區間為(0,初(1,+8),單調減區間為(4,1)；

當。=1時，“X)的單調增區間為(0,+8),無減區間；

當時，”X)的單調增區間為(0,1),3+8),單調減區間為(1M);

13

(2)當a=l時，/(%)=Inx+e%?—2%+5,

13

由(1)知〃%)=?+92—2x+：在(0,+8)單調遞增，且/⑴=0,

故當網=w時，必有%=%=1，此時占+尤2=2,

當占時，則必有蒼，三分別位于(0,1)分+8)內;

1313

令g(x)=/(x)+/(2-x)=lnx+—x2-2x+—+ln(2-x)+—(2-x)2-2(2-x)+—

ln[x(2-切+/-2x+l=ln[l-(x-l)2]+(x-l)2,xe(0,1),

11—Y

令尸(%)=lnx-%+L(x>0),則F'(x)=——1=---,

xx

當0<x<l時，F'(x)>0,P(x)在(0,1)上單調遞增，

當x>l時，F(x)<0,尸⑴在(1,y)上單調遞減，

故尸(x)V/(1)=。,即InrWx-L當且僅當x=l等號成立；

令=fe(0,1),則g(t)=ln(l-f)+t<l-t-l+t=0,

故g(x)=/(x)+〃2r)<0恒成立，

不妨設。貝了(占)+〃2—%)<0,即—),

又/(%)+/?)=0,BP-/(^)=/(X2),故/㈤>/(2-xJ,則/>2-占,

即玉+工2>2,

綜合上述可得否+%222.

【點睛】難點點睛：本題考查了利用導數求解函數的單調區間以及證明不等式；難點在于不等式的證明，

解答時要注意到當。=1時，/(引=11?+5--2工+：單調遞增，且/⑴=0,由此可判斷為，%的取值情

況，進而構造函數g(尤)=〃力+〃2-力，結合其性質即可證明不等式.

考點二：雙切線放縮

規律方法含有兩個零點的/'(x)的解析式(可能含有參數不，苞)，告知方程/'(x)=6有兩個實根，要證明

兩個實根之差小于(或大于)某個表達式.求解策略是畫出f(x)的圖象，并求出f(x)在兩個零點處(有時候

不一定是零點處)的切線方程(有時候不是找切線，而是找過曲線上某兩點的直線)，然后嚴格證明曲線/<x)

在切線(或所找直線)的上方或下方，進而對荀，熱作出放大或者縮小，從而實現證明.

【例2】(2024上?浙江嘉興?高三統考期末)已知函數〃無)=；尤2+(a-根T)尤-arlnx.

⑴若根=-1時，y=〃x)在其定義域內不是單調函數，求a的取值范圍;

(2)若a=2,機<。時，函數y=/(x)有兩個極值點看，/(公<%)，求證：%-玉<3(機+1).

【答案】⑴°<0或a>e

(2)證明見解析

【分析】(1)求出函數的導數，將函數/(X)在其定義域內不是單調函數，轉化為方程。=六有解，構造

函數，g(x)=盧，利用導數判斷其單調性，確定其取值范圍，結合驗證，即可求得答案；

Inx

(2)函數y=7(x)有兩個極值點，即1(x)=o有兩解，轉化為函數/?(x)=x-l-21nx的圖象與直線y=m

有兩個交點的問題，進而設y=//(x)的圖象與X軸的交點為尸(1,。)，。(1，0),表示出兩點處的切線方

f/lX

Q

程，即可求得與直線丁="交點的橫坐標七，與的表達式，結合々-玉<%-工3=--+x0-l+m,整理變

形，即可證明結論.

【詳解】(1)當機=一1時，/(x)=^x2+ax-ax\nx,(x>0),f^x)=x-a\nx.

令廣x)=0,顯然x=l不是該方程的解，故。=［匚，令g(x)=1匚，g(x)=7下，

'，Inx'7Inx(Inx)

當0<x<l以及l<x<e時，g'(x)<0；當x>e時，g'(x)>0；

g(x)在(0,1)遞減，在(Le)遞減，在(e,+。)單調遞增.

當xe(O,l)時，g(x)<0；當xe(l,+e)時，g(x)>g(e)=e.

由于函數/(X)在其定義域內不是單調函數，即方程。=熹有解,

從而〃<0或〃之匕，

當〃=e時，令加(x)==x—elnx,則加(％)=1_士=^~,

xx

當0<x<e時，m(x)<0,相⑴在(0,e)上單調遞減，

當％>e時，m(x)>0,根(%)在(e,+8)上單調遞增，

故根(無)之機(e)=0,gp/r(x)>0,元二e取等號，

此時八％)在(。，+8)上單調遞增，不符合題意,

故。<0或〃>e；

(2)〃=2時，/(x)=^-x2+(l-m)x-2xlnx,/r(x)=x-l-21nx-m.

因為函數y=有兩個極值點，即/（無）=0有兩解，

即函數/2（x）=x-l-21nx的圖象與直線丁=根有兩個交點,

2

令=l=0,得x=2.當0<x<2,〃（x）<0；當x>2,/?,（x）>0,

h（x）在（0⑵上單調遞減，在（2,+8）上單調遞增,

故〃min（x）=l—21n2,所以1一21n2<〃z<0.

設〉=〃（司的圖象與x軸的交點為尸（1,0）,g（xo,O）,

則函數產力⑺的圖象在點尸處的切線4為,=-（彳-1）.又人優）=0,/i（3）=3-l-21n3<0,

/2（4）=4-l-21n4>0,

所以與?3,4）,函數y=/z（x）的圖象在。處的切線4為y="a（x-x。）.

玉）

J/IX

設直線,=根與直線4，，2的交點的橫坐標分別為W，%，則％3=1-機，%=一、十%，

X。一，

12m/_x_1

所以％2一%</一%3=-----+x0-1+m=--------F（x0-21+2m+1,

x0-2x0-2

由于飛一2￡（1,2）,m<0,

2m/_\_t21tl/、

故----+（%-2）+2m+1<----1-2+2m+1=3（m+l）,

x（）—22

即%2一%<3（m+l）.

【點睛】難點點睛：本題考查了導數的綜合應用，涉及到函數的單調性以及極值和不等式的證明問題，難

點在于（2）根據函數有兩個極值點，證明不等式吃-藥<3（m+1）,解答時要將函數y=『（x）有兩個極值

點，即1（x）=0有兩解，轉化為函數%（x）=x-1-21nx的圖象與直線y=m有兩個交點，進而再借助于切

線方程，證明結論

【變式】（2024下?河北?高三校聯考開學考試）已知函數

x〃(x)=：

/(x)=(x+6z)(e-a),g(x)=4e"-ax,e2ax-ax

⑴若“X)、g(尤)在(2J⑵)處切線的斜率相等，求。的值;

x

⑵若方/'擊(x墨)-g存'(x有)兩個實數根孫々，試證明：e丁i+e源巧;

⑶若方程〃力=人有兩個實數根出尤2,試證明：++

3e—1e—1

【答案】(1)1

(2)證明見解析;

(3)證明見解析

【分析】(1)利用導數的幾何意義求解即可;

(2)由題意得首先證明—Ve-3,再結合差比性質得?一】變形后，結

g\2x)-h\x)exeleX1-e2X2

x2

ei+e*e』-e1

合換元法及導數知識求證一^>-------即可得證；

2xx—x2

(3)首先令尤2>占去掉絕對值符號，再求得“X)N—(X+1),—(x+i)=6的根玉上王，以及方程

(3e-l)x-e-l=人的根工；=^^29，結合放縮的矢口識可得%-玉V%-國41+1可+且；，所以原

3e-l3e-le-1

不等式可得.

【詳解】(1)/f(x)=(x+o+l)ev-a,g'(x)=4e*-a,

r(2)=(3+?)e2-?,g'⑵尸右-a又〃2)=g'(2),

所以a=1.

(2)由⑴知a=l,貝=,"⑺=3e2「l

尸(x)-g，(x)_(x+2)ex-l-4ev+l_x-2

8〈2尤)一//(力一4e"-l-3e2，+l-h

令夕(x)=/，

江(兀)=^~^令“(%)=0,x=3

%<3時，°'(x)>0,°(x)單調遞增

元>3時,夕'(%)<0,夕(%)單調遞減

所以0(%)(0(3)=1

因為口=三1

e1e2

由差比的性質知：R=—=手與，

e1e2e1一e巧

▼x—2/-3x-x/_.eX1-e%2

X—^<e3,}—^2-<e3,則nJ---------->e33

1

ee-exr-x2

pXi_LpX2

欲證：J^>e3

2

不妨設：%

..2

下證（王一元2）>一令爐』=A（?>1）

下證Inf>亞？令%⑺=3*^1mf(r)=1--^--=>0

所以加⑴在(1,+8)上單調遞增，m(t)>〃?(1)=0

所以1m〉止D

/+1

所以￡1±￡二>匕3

2

/小、丁上、、門十、十八b+e+1eZ?

(3)不妨設％2>再，下證％-玉Win—-—：—I------

3e-le-1

〃尤)在處的切線方程為y=1(x+l)

1—p1

構造F(元)=/(尤)-----(x+1),歹'(x)=(尤+2)e*——，E"(x)=(無+3)e*

當x<—3時，尸(x)<0;x>-3時，F"(x)>0；

所以F'(x)在(-a),-3)上單調遞減，在(-3,+e)上單調遞增

XF,(-3)=-e-3--,limF'(x)=~,F,(-l)=0

所以歹（X）在（-8,-1）上單調遞減，在（-1,+。）上單調遞增,

所以b(x)2萬(—1)=0,

所以“X)2L^(x+1),

e

設方程S(x)的函數值為L^(x+l)=b的根%，貝l]s(藥)=6=〃%)、S(XI)

因為s(x)在R上單調遞減，所以占'〈尤一

f(x)在(l,2e-2)處的切線方程為f(x)=(3e-l)x—e-1,

構造G(x)=/(%)—《%)=(X+l)e”-3ex+e

G(x)=(x+2)e"-3e,G"(x)=(x+3)e”

當xv-3時，G"(%)<0;%>-3時，G"(%)>0；

所以G〈x)在(-a),-3)上單調遞減，在(-3,+8)上單調遞增

又G(-3)=-e-3-3e<0,limGf(x)=-3e,G(1)=0

所以G(x)在(-8,1)上單調遞減，在。,+8)上單調遞增

所以G(x"G⑴=0

所以/(A：)>(3e-l)x-e-l

設方程《x)=(3e—l)x-e-l=b的根無2=

又6=/(尤2)=〃尤2)2/(工2)，由《X)在R上單調遞增

所以x24%

又為2%

匚匚I、1/，;Ib+e+1eb

所以％2-M々一玉<1+——H-----.

3e-le-1

【點睛】本題考查了導數的綜合運用：求切線的斜率切線方程，求函數單調性和最值，考查分類討論思想

方法和構造函數法，考查化簡運算能力和推理能力，屬于難題.

二

【強化訓練】

1.(2024上?江蘇揚州?高三統考期末)已知函數〃x)=(lnx-根)尤的最小值為-1.

(1)求實數機的值；

(2)若/(x)=a有兩個不同的實數根外,%(%<赴)，求證：2—A2cxi</一(<7+1》.

【答案】(1)1;

(2)證明見解析.

【分析】(1)利用導數研究，(尤)的單調性，結合最小值求參數值即可；

(2)根據題設及導數判斷的單調性及區間符號，進而有根據極值點偏

移，構造g(x)=〃尤)-〃2-力并利用導數研究x?O,l)上的單調性，證明再+巧＞2,再記函數＞與

x—e

%=-無和必=—交點的橫坐標分別為與，彳4，結合導數證得玉＜退=-。、x2＞x4=ae-a+e,有

%-毛=(〃+l)e,即可證結論.

【詳解】(1)因為r(x)=lnx+l-歡X＞O)K令洋(x)=0,可得無=e*L

當尤e(0,e?-1)時/'(x)＜0"⑺單調遞減；當尤e(底,+s)時/(x)＞0,/(x)單調遞增.

所以f(x)mn=f(e'"T)=一e'i=-1,所以〃?=1.

(2)證明：由(1)知,y(x)=x(lnx-1)在(0,1)上單調遞減,在(1,+8)上單調遞增，

先證明%＞2-％.

iHg（x）=/（x）-/（2-x）=xliu+（x-2）ln（2-x）-2x+2,則g'（x）=lnx+ln（2-x）=ln[x（2-尤）],

當xw（0,l）時,0＜x（2-x）＜l,所以g'（x）＜0,g（x）單調遞減,

所以當xe（O,l）時,g（x）＞g⑴=0,BP/（x）＞/（2-x）,

故〃玉）＞/（2-占），即/㈤＞/（2-占）.

又入2>1,2-玉>1,由單調性知：9>2-玉，即%>2-％2.

再證明尤2-%>(a+l)e.

X——p

記函數y=，與％=T和%=―T交點的橫坐標分別為￡，%.

e-1

①當兀￡(0,1)時，/(x)+x=xlnx<0,故〃=_忍=/(%)<_%,所以，x1<x3=-a.

(或：丁=/(尤)的圖象在弘=-工的圖象的下方，且兩個函數在(。,1)上都是減函數)

②當了￡(l,e)時，/i(x)=/(%)-——-=xlwc-x--―,所以〃(x)=hix———.

e—1e—1e—1

(/j_A

當XEl,ee-1時"(x)<O,/z(x)單調遞減；當ee-1,e時〃(x)>O,/z(x)單調遞增.

\7\7

又〃(l)=/z(e)=O,當xe(l,e)時，h(x)<0,即〃x)<4.

故a=〃xJ="<W

e-1e-1

所以馬〉Z=〃e_〃+e,故/一%>乂一毛=(Q+l)e.

(或y=F(x)的圖象在必=^^的圖象的下方，且兩個函數在(Le)上都遞增)

X

綜上，2-2<X^<X2-(d!+l)e.

【點睛】關鍵點睛：第二問，首先應用極值點偏移構造g(x)=〃x)-"2-"證石+%>2,再記函數

x—e一

>=。與必=-尤和%=:一T交點的橫坐標分別為了3,X4，依次證再<尤3=-。、々>Z=ae-a+e為關鍵.

e-1

2.(2024上?重慶?高三重慶南開中學校考階段練習)若函數/(尤)在定義域內存在兩個不同的數4，

巧，同時滿足〃為)=/伍)，且“力在點(占,〃3))，(馬，“尤2))處的切線斜率相同，則稱/(X)為“切

合函數”.

(1)證明：〃x)=2/_6x為“切合函數”；

⑵若8(同=只0%-』/+6為“切合函數”(其中e為自然對數的底數)，并設滿足條件的兩個數為4，

e

巧

.2

(i)求證：x,x<一e；

124

3

(ii)求證:(a+1)2x,x-J%%<-.

24

【答案】(1)證明見解析

(2)①證明見解析；②證明見解析

【分析】(1)假設存在的，々滿足題意，結合題意/&)=/(%),廣(占)=/'(%),即可求解;

(2)結合新定義“切合函數”滿足的條件，得到玉，演的關系，構造新的函數求導利用單調性證明?

【詳解】(1)假設存在為，巧滿足題意，易知/(x)=6x2-6,由題可得:

〃玉)=〃馬)024—6芯=2%2-6xj=邸+X|X2+x；=3,

/'(可)=)'5)06;^-6=6尺一6n百=0n七=一馬代入上式可解得,

%=-\/3,x2=陋或&=-\/3,x2=-\/3,

故〃x)為“切合函數”.

(2)由題可知g'(無)=lnx-■—+a+l,因為g(x)為“切合函數",故存在不同的A，巧(不妨設

0<x1<x2),

令，=則由。<為</可知才>1,要證上式，只需證：

t—〉ln〃=21n.<=>=21m—tT—<0,易知/?/(/_)=―---——<09

故加(。在(1,+8)上單調遞減，所以加(。<租(1)=0,故有>同成立,

i-----ee2

由上面的②式可得J%%<—=>x1x2<—；

=

(ii)由上面的②式可得：~2(x~-xiy代入到①式中可得：

_-x2lnx2+1（1噸—皿）（工2+七）

%2一再2x2-x,

xj叫一x2lnx2-xQ\nxl+x^wc2

2（%-玉）

x1lnx1x2-x2lax1x2_1叫/__2

2（4-網）

（另解：由上面的②式可得，代入到①式的變形:

a{^x2-Xy）=xjnx：1-x2ln%2+—~,整理后也可得到〃=）

___3

故要證（。+1）2再入2-6^<-，只需證：

（6Z+1）2e-2fl-e-"<|?|e2a+ea-（^z+1）2>0

設/z（〃）=1""+e"—（a+1）?[〃>In—j,則即證：h（a）>0,

33

h'（a）=^e2a+ea-2（a+l）,設M（a）=+e"-2（a+l）

M'（a）=3e2a+e"-2=（31-2）（e"+1）,

=36"一2＞0="（0）＞00〃（4）在［4，+°］上單調遞增,

下面證明犬-lnx-120在（0,+。）上恒成立，

11_r

令￡（x）=x-lnx-l,則Z/（x）=l——=---,

所以當無?0,1）時，r（x）＜o,

當X￡（1,+8）時，r（x）＞o,

所以“X）在兄=1處取得最小值，￡（1）=0,

所以“力N。在（0,+。）上恒成立，

所以當X=g時，2^|-ln|-l^|＞o,即為M）＞。，

=＞為(。)在［lng,+8］上單調遞增,

=>/Z(Q)>h\In—

所以原不等式成立.

【點睛】方法點睛：考查了函數的新定義以及不等式的證明問題，利用導數研究函數的單調性，通過構造

新函數，利用函數的單調性證明.

3.(2023?重慶模擬)已知函數3(x)—sinx—aln(x+l).

(1)若，=1,證明：當[0,1]時，_f(x)20；

(2)若〃=-1,證明：當x￡[0,+8)時，_f(x)W2e'—2.

【解析】證明(1)首先證明sin后x,[0,+°°),證明如下:

構造JCY)=sinx—x,[0,+°°),

則j'(x)=cosx—1W0恒成立，

故/(x)=sin太一才在[0,+8)上單調遞減，

故J(x)?0)=0,

所以sinxWx,[0,+°°).

當a=l時，F(x)=sinx—ln(x+l),[0,1],

21

X]

1一5一1+x

x]

2x十1

,,,/、、2+2x—x—x—2x1—x、.rt-—、

故f(x)2~TT720在[r0,1]上恒成立，

乙~I-乙X乙I乙X

所以f(x)在[0,1]上單調遞增，

故/*(才)2〃0)=0.

⑵令g(x)=(2e+一2)—F(x),x￡[0,+^).

當@=一1時，g^x)=2ex—2—sinx—ln(x+l)

=2(ex-x—1)+jr—sinx+x—ln(x+l),

下證:e'—x—120(x20),x—sinx20(x20),x—In(x+1)20(x20),且在x=0處取等號,

令r(x)=e*—x—1(xNO),則/(x)=e'—120,

故r{x)=e'—x—1在[0,+°°)上單調遞增，

故r(x)2r(0)=0,且在x=0處取等號，

由(1)知J(x)=sinx—x在［0,+8)上單調遞減,

故J(x)WJ(O)=0,且在x=0處取等號，

令t{x}=x—ln(x+l)(x20),

1V

則t'W=1——T=~T7>0,

x+1x-\-1

故［(x)=x—ln(x+l)在［0,+8)上單調遞增,

故方(x)21(0)=0,且在x=0處取等號，

綜上有g(x)=2(e“一x—1)+x—sinx+x—ln(x+l)20,且在x=0處取等號，即(2e*—2)—_f(x)20,即

證廣(x)W2e>—2.

4.(2023,柳州模擬)已知函數f{x}=lnx+~~2x.

x

(1)當a>0時，討論f(x)的單調性；

(2)證明：e-L2x“(x).

X

【解析】(1)解由題意可知x>0,

，/、1a2x~x+a

f'W=—--2=-----2—，

XXX

對于二次函數y=2x—x+a,/=1—8a.

當

3時/WO,f'(x)WO恒成立,

f(x)在(0,+8)上單調遞減；

當0〈a〈(時，二次函數y=-+x—a有2個大于零的零點，

O

分別是「匕爐I片土戶I

當xe尸斗三，時,(幻〉°，

f(x)在尸產I1+『［上單調遞增;

當』,+8卜，

f(x)〈0,Mx)在［o,匕斗三可和尸斗三畫，+8)上單調遞減.

綜上，當時，f(x)在(0,+8)上單調遞減；

O

當。依時，f(x)在『斗三，1+『〔上單調遞增,在［。，匕斗三；產華￡+f上單調

遞減.

O—9Y—9Y

⑵證明要證ev+--------->f(x),

X

即證e*>lnx+2.

不妨設力(x)=e*—(x+1),

則為，(x)=e"—l,h'(0)=0,

當水0時，H(0)<0,當x>0時，ti(0)>0,

因此力(x)2力(0)=0,ex—(x+1)20恒成立.

11—x

令"(x)=lnx—x+l,m'(才)=一一1=----，

xx

當0<x<l時，m'(x)>0,勿(x)單調遞增，

當x>l時，m'(x)<0,勿(x)單調遞減，

故當x=l時，刃(x)取得最大值加(1)=0,因此Inx—x+IWO,

則e"—(x+1)+[x—(Inx+1)]

="—(Inx+2)>0恒成立(等號成立的條件不一致，故舍去)，

即ex>lnx+2.從而不等式得證.

5.(2023?福州模擬)已知函數_f(x)=xlnx—x.若F(x)=6有兩個實數根不，出且x《X2.求證:加+e(照

-xi〈26+e+‘.

e

【解析】證明Hx)的定義域為(0,+8),/(x)=lnx

令f(x)>0,得x>l；

令f(x)<0得，0<Xl,

所以f(x)在區間(1,+8)上單調遞增，在(0,1)上單調遞減.

因為廣(x)=6有兩個實數根矛1,如且矛<X2.

所以0<xi<l<x2,

先證不等式x—xi<2b+e+-,

2e

因為廣(e)=0,f電=-3，

f'(e)=1,f'g)=-l,

所以曲線y=_f(x)在x=:和x=e處的切線分別為li：y=—x—：和72：y=x-e,

如圖,

令g(x)=f(x)一(—x—，)=xlnx+，，0<Xl,則g'(jr)=1+Inx,

令"(x)>0,則gx〈l；

令g,(x)〈0,則0〈水｝

所以g(x)在(0,I)上單調遞減，在1%1)上單調遞增，所以g(x)》?f=0,

所以/U)》一x一工在(0,1)上恒成立，

e

設直線y=6與直線，交點的橫坐標為V1,

則X，WE,

設直線y=6與直線心交點的橫坐標為V2,

同理可證X2WX’2,

因為x'i=—b--,x'2=b+e,

e

所以范一X1〈X'2~x'i=6+e—(—5—3

=26+e+，(兩個等號不同時成立)，

e

因此劉一xK26+e+士

e

再證不等式x2—xi>6e+e,

函數圖象f(x)上有兩點4(1,-1),8(e,0),

設直線p=6與直線如：y=~x,AB：e)的交點的橫坐標分別為矛3,為，

e—1

易證Xi〈國〈為〈加，且不=-6,x4=(e—1)Z?+e,

所以用一矛i>屈一天=(e-1)b+e—(-6)=be+e.

綜上可得Z?e+e<A2—xK26+e+一成立.

e

6.(2023?山東省實驗中學模擬)已知函數廣(x)=(x+1)(/—1),若函數g(x)=f(x)—M蘇0)有兩個零點荀,

X2,且矛<1上2,證明：X2—X1W1+29

e—1

【解析】證明F(x)=(x+l)(eX—1),

令_f(x)=O,有矛i=-1,至=0,

f'(x)=e*(x+2)T,f(—1)=-1+4

f'(0)=1,設曲線尸『(x)在(一1,0)處的切線方程為y=〃x),

則力(x)=f'(―1)(x+1),

令/(x)=_f(x)—力(x)=(x+l)(e“一3，

則F'(x)=(x+2)e^-

e

令Mx)=F'(x)=(x+2)e"—L

e

則〃(x)=(x+3)e:

所以當x<—3時，m'(x)<0；

當x>—3時，m'(x)>0,

所以廠,(x)在(一8,—3)上單調遞減，

在(-3,+8)上單調遞增，

當X—-8時，尸(分一一L又F(—1)=0,

e

所以當水一1時，F'(x)<0,尸(x)單調遞減；

當￡>—1時，/(x)>0,/(x)單調遞增，

所以尸(x)2尸(一1)=0,