熱點(diǎn)04二次函數(shù)

明考情-知方向

安徽中考數(shù)學(xué)中二次函數(shù)部分主要考向分為四類(lèi)：

一、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（必考，4~18分）

二、二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用（常考，12分）

三、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（常考，5~14分）

四、二次函數(shù)的最值（必考，4~10分）

研究二次函數(shù)的最值，一般需要三個(gè)條件：

（1）圖象的開(kāi)口方向；

（2）對(duì)稱(chēng)軸（由對(duì)稱(chēng)軸看增減性）；

（3）自變量的取值范圍。在此基礎(chǔ)上找到取得最值的點(diǎn)解決問(wèn)題。

熱點(diǎn)題型解讀

:次函數(shù)的圖象,性質(zhì)

:次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

:次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

:次函數(shù)的最值

考向一：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)的曲線，這條曲線叫拋物線，該直線叫做拋物線的對(duì)

稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).

圖象特注意：

征二次函數(shù)圖象的畫(huà)法⑴依據(jù)解析式列表、描點(diǎn)、連線畫(huà)出二次函數(shù)圖象；（2）利用配方法找出

函數(shù)圖象頂點(diǎn);利用因式分解法或公式法找出圖象與x軸的交點(diǎn);利用一般式中的c值找出圖象

與y軸的交點(diǎn),畫(huà)出簡(jiǎn)易的函數(shù)圖象.

基本形

y=axz2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky-ax2+bx+c

式

V/

a>\l/h>0,k>0

A

0

\y\h<0,k<0x

圖

象

ZNh<0,k>0

a<

0*y^>di>0,k<0A

Iv0-----X-0---------

b

對(duì)稱(chēng)軸y軸y軸x=hx=hX----------

2a

頂點(diǎn)坐/b4ac-b2\

(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)

標(biāo)2a4a

a>開(kāi)口向上，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)，當(dāng)x=-2時(shí)y有最小值號(hào)打；

2a4a

最0

值

a<開(kāi)口向下，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)，當(dāng)X=一2時(shí)時(shí)y有最大值”爐.

02a4a

增a>

在對(duì)稱(chēng)軸X=-白的左邊y隨x的增大而減小，在對(duì)稱(chēng)軸x=-9的右邊y隨x的增大而增大.

2a2a

0

減

a<

在對(duì)稱(chēng)軸X=-二的左邊y隨x的增大而增大，在對(duì)稱(chēng)軸x=-二的右邊y隨x的增大而減小.

02a2a

性

一、單選題

1.（2024?安徽亳州?模擬預(yù)測(cè)）二次函數(shù)y=（尤+3）2-5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（3,—5）B.（—3,—5）C.（—3,5）D.（3,5）

【答案】B

【分析】本題考查了y=a（尤-力）?+4的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

利用y=a（x-/7）2+A的圖象與性質(zhì)即可直接得出答案.

【詳解】解：二次函數(shù)y=（尤+3）2-5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-3,-5）,

故選：B.

2.（2024?安徽淮南?三模）下列函數(shù)中，有最小值的是（）

219/、2

A.y=-B.y=-C.y=xD.y=-（x-l）+1

x%\7

【答案】C

【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì).根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，

逐項(xiàng)判斷即可求解.

【詳解】解：A、y=-士沒(méi)有最小值，故本選項(xiàng)不符合題意；

x

B、沒(méi)有最小值，故本選項(xiàng)不符合題意；

X

C、y=Y的最小值為0,故本選項(xiàng)符合題意；

D、y=-（x-l）2+i有最大值，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：C

3.（2023?安徽?中考真題）下列函數(shù)中，,的值隨尤值的增大而減小的是（）

A.j=x2+1B.y=-x2+1C.y=2x+lD.y=-2x+l

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷即可求解.

【詳解】解：A.y=x2+l,a>0,對(duì)稱(chēng)軸為直線x=0,

當(dāng)尤<0時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，當(dāng)x>o時(shí)，y的值隨尤值的增大而增大，故該選項(xiàng)不正確，不符

合題意；

B.y=-x2+1,a<0,對(duì)稱(chēng)軸為直線x=0,

當(dāng)尤<o時(shí)，y的值隨x值的增大而增大，當(dāng)x>o時(shí)，y的值隨為值的增大而減小，故該選項(xiàng)不正確，不符

合題意；

C.y=2x+l,k>0,y的值隨尤值的增大而增大，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

D.y=-2x+l,k<o,y的值隨X值的增大而減小，故該選項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2024?安徽安慶?二模）二次函數(shù)丫=滿-（療-3時(shí)x+l-機(jī)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則根的值（）

A.m=0B.m=3C.m=lD.根=0或3

【答案】B

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由題意可得加力0,-"-3嘰0,求解即可，熟練掌握二

2m

次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：團(tuán)二次函數(shù)y=_（療-3#x+l-/"的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，

c—（m2-3m）

團(tuán)機(jī)w0,-3----------L-o,

2m

回機(jī)=3,

故選：B.

5.（2024?安徽六安?模擬預(yù)測(cè)）拋物線y=-（xi）2+2024經(jīng)過(guò)點(diǎn)“（4,2008）和N（a+6,2008）,若b>0,則

b的值為（）

A.8B.16C.24D.32

【答案】A

【分析】此題主要考查了關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的性質(zhì)，得出。力的值是解題關(guān)鍵.

把y=+2024看作y=-c2+2024,再根據(jù)y=2008求解即可.

［詳解］把y=—（無(wú)一切2+2024看作y=_02+2024

令y=2008

解得c=±4

又b>0

:.a=-^,a+b~^

故6=8

故選A.

6.（2024?安徽合肥?二模）如圖，拋物線y=ox2_8x+c（a、b、c為常數(shù)，且〃力。）的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-2,

與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1,0）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.a-b+c<QB.abc<0C.4a+Z?=0D.5〃+c=0

【答案】D

【分析】本題考查根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷式子的符號(hào)，先根據(jù)拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、與y軸的交點(diǎn)位

置，確定瓦。的符號(hào)，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸％=-2、當(dāng)％=-1和兀=1時(shí)y的取值，即可確定相關(guān)式子是否正確.

【詳解】解：由圖可知，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-2,與無(wú)軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1,0）,與y軸交于

正半軸,

a<0,--=-2,c>0,與1軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（一5,0）,

la

Z?=4a<0,

abc>0,4a-b=0,故B選項(xiàng)和C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；

由圖可知，當(dāng)犬=一1時(shí)y〉o,

a-b+c>09故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；

由圖可知，當(dāng)％=1時(shí)y=o,

〃+人+。=0,

團(tuán)Z?=4〃，

團(tuán)5a+c=0,故D選項(xiàng)正確，符合題意，

故選：D.

7.（2024?安徽?模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y=a（x+ay+l-a3為常數(shù)，。*0）,當(dāng)0Vx46時(shí)，y>l,則

。的取值范圍是（）

A.。>0或a?-3B.-3<?<0

C.。<0或。23D.0<?<3

【答案】A

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)拋物線解析式得出對(duì)

稱(chēng)軸為直線x=-a,分a>0,。<0兩種情況討論，根據(jù)當(dāng)0VxW6時(shí)，得出a的范圍即可求解.

【詳解】解：當(dāng)a>0時(shí)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線》=-。，

此時(shí)拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)，

當(dāng)x=0時(shí)，y=l,故拋物線與>軸交于（0,1）,

當(dāng)0VxV6時(shí)，y隨X增大而增大，對(duì)于任意。的取值均成立；

當(dāng)。<。時(shí)，此時(shí)拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，

由于拋物線經(jīng)過(guò)（o,i）,故必經(jīng)過(guò)（-2?,1）,

要滿足當(dāng)0Wx<6時(shí)，y>l,貝|一2a26,此時(shí)aW—3,

綜上所述，。>0或<74-3,

故選：A.

8.（2024?安徽合肥?二模）已知點(diǎn)尸（根,必），。（。-加，力）是拋物線丫=-父+2為+3上的不同兩點(diǎn)，拋物線

>=-￡+2x+3與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)8.下列四個(gè)論斷：①當(dāng)4=2時(shí)，%=%；②若

點(diǎn)尸是線段AB上方的點(diǎn)，作軸于點(diǎn)交AB于點(diǎn)、N,當(dāng)1<m<3時(shí)，PN的長(zhǎng)度隨機(jī)增大而減

小；③當(dāng)a=l,初<3時(shí)，“<〉2；④當(dāng)。=3時(shí)，點(diǎn)P不與點(diǎn)A,8重合，直線尸。〃A8.其中正確的

有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】由拋物線方程，得到對(duì)稱(chēng)軸解析式，A、B坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線的解析式，當(dāng)。=2時(shí)，根據(jù)

中點(diǎn)公式，得到P、。的對(duì)稱(chēng)軸，即可判斷①，將機(jī)分別代入直線A3與拋物線方程，并配方，根據(jù)一元

二次方程的增減性，即可判斷②，當(dāng)。=1,根<1時(shí)，計(jì)算％-%的值，即可判斷③，當(dāng)。=3時(shí)，計(jì)算”工

2石一％2

的值，結(jié)合點(diǎn)尸不與點(diǎn)48重合，即可判斷④，

本題考查了，求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，解題的關(guān)鍵是：熟練掌

握二次函數(shù)的性質(zhì).

【詳解】

：回,=—%2+2x+3-—（x—3）（x+l）,

2

國(guó)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-兩個(gè)=1,4（3,0）,3（0,3）,

（0=3左+b[k=-l

回設(shè)直線AS的解析式為？=丘+6,貝I。,解得：r.

[3=p[o=3

回直線AB的解析式為y=-x+3,

、r,-rtm+2—m3

團(tuán)當(dāng)〃=2時(shí)，-------=1,

回Q（a-m,y2）,是關(guān)于直線x=l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，

國(guó)必=力，故①正確，

若點(diǎn)尸是線段上方的點(diǎn)，貝!]0<m<3,PN=（-療+2m+3）-帆+3）=-療+3機(jī)=-評(píng)-T+；,

3

當(dāng)5<加<3時(shí)，PN的長(zhǎng)度隨機(jī)增大而減小，故②錯(cuò)誤，

當(dāng)4=1,加<|■時(shí)，X-y?=（-根2+2m+3）-蓄（1-加）2+2（1-加）+3=2*-；<0,

回必<必，故③正確，

力3時(shí)，>力_（一病+2加+3）-氟1-q+2（1-相）+3_3一2加一1

xx-x2m-13-g2m-3

回點(diǎn)P不與點(diǎn)A,8重合，直線尸Q〃4B,故④正確，

綜上所述，①③④正確，

故選：C.

k

9.（2023?安徽?中考真題）已知反比例函數(shù)>=4X。）在第一象限內(nèi)的圖象與一次函數(shù)y=r+》的圖象如

圖所示，則函數(shù)y=f-公+%-1的圖象可能為（）

【答案】A

【分析】設(shè)4（1,%）,則8優(yōu),1）,41,將點(diǎn)3（%，1），代入產(chǎn)T+》，得出左=6-1,代入二次函數(shù)，可得當(dāng)

k

X=1時(shí)，y=-l,則y=x2-bx+k-l,得出對(duì)稱(chēng)軸為直線X=5>1,拋物線對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè)，且過(guò)定

點(diǎn)進(jìn)而即可求解.

設(shè)A。,％）,則8（匕1）,根據(jù)圖象可得上>1,

將點(diǎn)3（左,1）代入y=-*+》，

m=-k+b,

回左=6—1,

國(guó)人>1,

回6>2,

回y=%?—bx+k—1=d—bx+（b—1）—1=f—bx+Z7—2,

b

對(duì)稱(chēng)軸為直線工=三>1,

當(dāng)x=l時(shí)，1—人+人一2=—1,

回拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)

回拋物線對(duì)稱(chēng)軸在X=1的右側(cè)，且過(guò)定點(diǎn)（1,-1）,

當(dāng)x=0時(shí)，y-k-l=b-2>0,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，得出％=6-1是解題的關(guān)鍵.

10.（2024?安徽安慶?二模）拋物線丁=公2+桁+。的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=-l,其圖象如圖所示.下列結(jié)論：①

abc<0；②（4°+c）2<（26）2；③若（百，乂）和（%，%）是拋物線上的兩點(diǎn)，則當(dāng)阮+[>因+]時(shí)，％<必；

④拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,加），則關(guān)于X的方程62+云+。=〃-1無(wú)實(shí)數(shù)根.其中正確結(jié)論的是（）

【答案】B

【分析】①由圖象開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸位置，與y軸交點(diǎn)位置判斷a,b,C符號(hào).②把x=12分別代入函

數(shù)解析式，結(jié)合圖象可得（4a+c）z-（2匕『的結(jié)果符號(hào)為負(fù).③由拋物線開(kāi)口向上，距離對(duì)稱(chēng)軸距離越遠(yuǎn)的

點(diǎn)y值越大.④由拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為根可得ax?+6無(wú)+cZM,從而進(jìn)行判斷G？+fcv+c=wi-1無(wú)實(shí)數(shù)根.

【詳解】解：①拋物線圖象開(kāi)口向上，

:.a>0,

對(duì)稱(chēng)軸在直線y軸左側(cè)，

a,〃同號(hào)，b>0,

拋物線與y軸交點(diǎn)在無(wú)軸下方,

/.c<0,

/.abc<0,故①正確.

②（4a+c）2—（2Z?『=（4a+c+2b）（4a+c-2b）,

當(dāng)％=2時(shí)辦2+宗+c=4〃+c+2Z?,由圖象可得當(dāng)兀=2時(shí)，y>0,即4a+c+2Z?>0,

當(dāng)x=—2時(shí)，ax2+bx+c=4a+c—2b,由圖象可得x=—2時(shí)，><0,BP4a+c—2b<0,

「.（4〃+c）2—（2））2<o,即（4a+°yv（2b『，故②正確.

③n+1|=歸一（一1）|,|x2+l|=|x2-（-l）|,

回％+1]>居+1,

點(diǎn)（%,X）到對(duì)稱(chēng)軸的距離大于點(diǎn)（%，%）到對(duì)稱(chēng)軸的距離，

；?%>%，故③錯(cuò)誤.

④拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

:.y>m,

ax2+bx+c>m9

.?.加+樂(lè)+,=加-1無(wú)實(shí)數(shù)根.故④正確，

綜上所述，①②④正確，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)》=依2+法+。（。工0）中。，b,C

與函數(shù)圖象的關(guān)系.

11.（2024?安徽亳州?模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)爪-Lx）,鳥(niǎo)（3,%）,月（5,%）均在二次函數(shù),=-/+2%+°的圖象上,

則歸,為，%的大小關(guān)系是（）

A.%>%>JiB.%>%=%C.%>%>%D.%=%>%

【答案】D

【分析】本題主要考查了函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系，同時(shí)考查了函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及增減

性.根據(jù)函數(shù)解析式，求出對(duì)稱(chēng)軸尤=1,根據(jù)函數(shù)對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：y=-x2+2x+c,

，對(duì)稱(chēng)軸x=l,開(kāi)口向下，

￡（3,%），A（5,%）在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，）隨x的增大而減小，

:3<5,

%>為，

根據(jù)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性可知，片（-1,%）與片（3,%）關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，

故％=%>%，

故選：D.

二、填空題

12.（2024?安徽合肥?一模）在平面直角坐標(biāo)系》分中，MaDj.Nlw，%）是拋物線y=a（x-/7）2+Ma<0）

上任意兩點(diǎn).

（1）若對(duì)于%=1,%=5,有乂=必，貝！J/z=;

（2）若對(duì)于。<玉<1,4<馬<5,都有%>%，貝的取值范圍是.

【答案】3h<2

【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)：

（1）把再=1,尤2=5代入，可得。（1一力）2+4=°（5-〃）2+左即可；

（2）根據(jù)題意判斷出離對(duì)稱(chēng)軸更近的點(diǎn)，從而得出”（玉,乂）與N（%,%）的中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，再根據(jù)

對(duì)稱(chēng)性即可解答.

【詳解】解：（1）回對(duì)于無(wú)1=1,%=5,有%=%，

0a（l-/7）2+^=a（5-/i）2+^,

解得：h=3；

故答案為：3

（2）0O<x1<1,4<%2<5,

一X,+x?

02<2]<3,x,<x2,

回%>必，a<0,

團(tuán)當(dāng)x>/z時(shí)，y隨x的增大而減小，

點(diǎn)M（下,乂）距離對(duì)稱(chēng)軸的距離小于點(diǎn)N（x2,y2）距離對(duì)稱(chēng)軸的距離，且點(diǎn)加（占,%）,N（%,%）的中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)

軸x=/z的右側(cè)，

0/2<2.

故答案為：h<2

13.（2024?安徽?模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，則稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為"相

反點(diǎn)"，如A（L-l）,3（-2,2）都是“相反點(diǎn)〃.已知二次函數(shù)y=f-3x+c,請(qǐng)完成下列問(wèn)題：

（1）若c=l,則此二次函數(shù)上的"相反點(diǎn)”為.

（2）在0<x<3的范圍內(nèi)，若此二次函數(shù)圖像上存在兩個(gè)"相反點(diǎn)"，則c的取值范圍為.

【答案】（1,-1）0<c<l/l>c>0

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系，熟知二次函數(shù)的圖

像與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)"相反點(diǎn)”的定義可知，"相反點(diǎn)"在直線>=-％上，將>=爐-3》+1與丫=-％聯(lián)立成方程組，即可

求解；

(2)根據(jù)題意可知，方程三一3尤+。=-彳，在0<x<3內(nèi)存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)一元二次方程根即

可求解.

【詳解】解：(1)當(dāng)c=l時(shí)，二次函數(shù)的解析式為y=Y-3x+l,

根據(jù)"相反點(diǎn)"的定義可知，"相反點(diǎn)"在直線>=-了上，

???此二次函數(shù)上的"相反點(diǎn)"為。,-1)，

故答案為：(1,-1)；

(2)在0<x<3的范圍內(nèi)，此二次函數(shù)圖像上存在兩個(gè)"相反點(diǎn)"，

方程元2-3元+c=-無(wú)，即f-2尤+c=0在0<x<3內(nèi)存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

A=(-2)2-4C>0,

解得：c<l,

解方程x?-2x+c=0可得：=1—A/1—c,x2=l+A/1—c,

0<x<3,且占<1,

0<玉<1,

即=7<i,

解得：0<c<l,

此時(shí)l<l+5/n<2,滿足要求，

c的取值范圍是0<c<l,

故答案為：0<c<l.

14.(2024?安徽阜陽(yáng)與模)已知&(西,3)與3%,%)是拋物線y=.x-2『+無(wú)上的兩點(diǎn)，且2|<|芍-2].

(1)若。<0,則%與治的大小關(guān)系是％%;

(2)當(dāng)A(X[，x)與5(9，%)恰好是直線y="+上與拋物線兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，若%-%<3,則a的取值范圍

是.

【答案】>且"。

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題：

(1)先求出拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2，再由歸<昆-2|得到點(diǎn)A離對(duì)稱(chēng)軸的距離小于點(diǎn)B離對(duì)稱(chēng)軸的

距離，結(jié)合拋物線開(kāi)口向下，可得離對(duì)稱(chēng)軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小，據(jù)此可得答案；

(2)聯(lián)立兩函數(shù)解析式可得玉=1，%=4,進(jìn)而可得不等式。+左-(4“+左)<3,解之即可得到答案.

【詳解】解：（1）回拋物線解析式為y=a（尤-2丫+左，

回拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線尤=2,

01-2|<|x,—2|,

回點(diǎn)A離對(duì)稱(chēng)軸的距離小于點(diǎn)B離對(duì)稱(chēng)軸的距離，

回。<0,

回拋物線開(kāi)口向下，

團(tuán)離對(duì)稱(chēng)軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小，

團(tuán)%>%，

故答案為：>;

（;2）聯(lián)立,'“°之）+上得/_5ax+44=0,

y=ax+k

解得x=l或x=4,

國(guó)%=1,x2=4,

回M-<3,

0A+A：-（4a+左）<3,

團(tuán)。>-1且awO,

故答案為：且awO.

三、解答題

15.（2024?安徽安慶二模）在平面直角坐標(biāo)系宜刀中，拋物線>=加-（4+1）%（0/0）,若加（和另）,N（%,%）

為拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=r.

⑴當(dāng)f=l時(shí)，求。的值；

（2）若對(duì)于占>無(wú)2、-都有％<%，求。的取值范圍.

【答案】（l）a=l

⑵-：4a<0

【分析】此題考查了拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，解一元一次方程，二次函數(shù)的性質(zhì)，利用拋物線增減性結(jié)合對(duì)稱(chēng)軸

列不等式，掌握拋物線的性質(zhì)和對(duì)稱(chēng)軸公式是解題關(guān)鍵.

（1）由題意可得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=l,再利用拋物線的對(duì)稱(chēng)軸公式尤=-乂"D=i可得。的值；

2a

（2）對(duì)于任意的-g,,隨工的增大而減小，分類(lèi)討論〃>0和a<0時(shí)〃的取值范圍，當(dāng)〃>0時(shí)不能滿

足玉>馬2-；，都有％<%，當(dāng)。<0時(shí)可以滿足對(duì)于占>%2-；,都有％<%的條件，使得對(duì)稱(chēng)軸

x=_d￡±Q<_l,從而可求出。的取值范圍.

2a2

【詳解】(1)解：拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=f,且r=l,

，對(duì)稱(chēng)軸為：尤=1,

即一乜%,

2a

解得4=1.

(2)解：由題意可得，對(duì)于任意的y隨》的增大而減小，

2

①當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為_(kāi)―6+1)3工>0,在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)滿足題意，而在對(duì)稱(chēng)

2a22a

軸的右側(cè)無(wú)I>Z2-g都有%>外,故不符合題意；

②當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)于任意的xN-g,y隨X的增大而減小，

a<0

從而<—(a+1)1,

、la~~2

解得：~—<a<0.

16.(2024?安徽?模擬預(yù)測(cè))已知二次函數(shù)25+2卜+片的圖象頂點(diǎn)為人，二次函數(shù)

2

y2—~^+2(a—2卜—片+8的圖象頂點(diǎn)為B.

⑴分別求出點(diǎn)A,3的坐標(biāo)(用。表示)；

(2)證明：函數(shù)為與%的圖象相交于A,3兩點(diǎn)；

(3)當(dāng)。=0時(shí)，點(diǎn)尸，。為為圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)尸在點(diǎn)A,3之間，P,。兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為r+4,

作尸軸交為于點(diǎn)M，QN,九軸交直線A5于點(diǎn)N,若四邊形尸MQN,為平行四邊形，求才的值.

【答案】⑴A(a+2,-4a-4)；2,-4a+12)

⑵詳見(jiàn)解析

(3)f=--

3

【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到平行四邊形的性質(zhì)、函數(shù)的交點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn).

(1)由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解；

(2)證明：令％=%，得=a+2或a—2,即可求解；

(3)由四邊形尸MQN為平行四邊形，得到尸M=QN,即可求解.

【詳解】(1)J]=-X2-2(a+2)x+a2,對(duì)稱(chēng)軸x=2^+2^=a+2,

當(dāng)JV=〃+2時(shí)，％=(a+2)2—2(a+2)(a+2)+[2=—4a—4,

團(tuán)A(a+2,~4a—4),

%=-%2+2(a-2)x-a?+8,對(duì)稱(chēng)軸x=—------=a—2,

—2

當(dāng)x=〃-2時(shí)，y2~-(a—2)2+2(a-2)(a—2)—片+8=-4a+12,

團(tuán)5(a-2,-4a+12)；

(2)令%%,彳導(dǎo)?了?-2(〃+2)x+(i——%?+2(〃-2)%—4+8,

化簡(jiǎn)得：X2—2ax+tz2-4=0,BP(x-a)2=4,

角軍得：xx=a-2,x2=a+2f

將玉=Q-2,々=〃+2分另II代入二次函數(shù)中，得：M=—4Q+12,y2=-4a-4,

團(tuán)交點(diǎn)坐標(biāo)為(a—2,—4a+12)和(a+2,—4〃—4),

即：函數(shù)%與巴相交于A、3兩點(diǎn).

22

(3)當(dāng)Q=0時(shí)，yr=x-4x,頂點(diǎn)A(2,—4)；y2=-x-4x+8,頂點(diǎn)3(—2,12),

團(tuán)直線AB解析式為：y=-4x+4,

設(shè)4%),貝ijM(/,—一41+8),

BPM=yM—yP=-2d+8,

則。?+4]+町,則N?+4,-4—12),

回QN=%一y%=產(chǎn)+8,+12,

回四邊形PMQN為平行四邊形，

^\PM=QN,

回-2R+8=，2+&+12,

2

解得：K=——，G=-2(舍去)，

2

團(tuán)(=—.

3

考向二：二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

1.二次函數(shù)的平移變換

總結(jié)：拋物線的平移規(guī)律左加右減自變量，上加下減常數(shù)項(xiàng)”

方法一：

(1)將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k);

(2)保持拋物線y=ax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到(h,k)處，

方法二：

(1)將拋物線y=ax2+bx+c沿y軸向上(或向下)平移個(gè)單位，得拋物線丫=°無(wú)2+云+<?+””或

y=ax2+bx-^c-m);

(3)(2)將拋物線y=ax2+bx+c沿x軸向左(或向右)平移個(gè)單位，得拋物線y=〃(x+加產(chǎn)+貽+刈+c(或

尸〃(工-帆)2+貼_旬+0具體平移方法如下：

平移方式(n>0)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x—h)2+k平移口訣

向左平移n個(gè)單位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加

向右平移n個(gè)單位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右減

向上平移n個(gè)單位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加

向下平移n個(gè)單位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下減

2.二次函數(shù)圖象的翻折與旋轉(zhuǎn)

變換前變換方式變換后口訣

繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x-h)2+ka變號(hào),h、k均不變

y=a(x-h)2+k繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x+h)2-ka、h、k均變號(hào)

沿X軸翻折y=-a(x-h)2-ka、k變號(hào),h不變

沿y軸翻折y=a(x+h)2+ka、h不變,h變號(hào)

3.二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題

拋物線的對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在：

1)求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；

2)已知拋物線上兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，求其對(duì)稱(chēng)軸.

解題技巧：

L拋物線上兩點(diǎn)若關(guān)于直線，則這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)與x=-^■的差的絕對(duì)值相等；

2a

2若二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x=-F對(duì)稱(chēng)；

2a

二次函數(shù)y=ax2+bx+c^y=ax2-bx+c的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=-a&-bx-c

1的圖象于X軸對(duì)稱(chēng).

4.二次函數(shù)與a,b,c之間的關(guān)系

關(guān)系符號(hào)圖象特征

a決定拋物線a>0開(kāi)口向上⑷遨尢拋物線的開(kāi)口小.

的開(kāi)口方向

a<0開(kāi)口向下

a.b共同決b=0對(duì)稱(chēng)軸是y軸

定拋物線對(duì)

ab>0(a,b同學(xué)對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)左同右異

稱(chēng)軸的位置

ab<0((a,b異號(hào)))對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)

c決定了拋物c=0拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)

線與y軸交

c>0拋物線與y軸交于正半軸

點(diǎn)的位置.

c<0拋物線與y軸交于負(fù)半軸

b2-4ac確b2-4ac>0拋物線與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)

定拋物線與

Xb2-4ac=0拋物線與X軸有一個(gè)交點(diǎn)

軸交點(diǎn)的個(gè)

b2-4ac<0拋物線與X軸沒(méi)有交點(diǎn)

教

注意：當(dāng)x=l時(shí),y=a+6+c;當(dāng)x=-l時(shí),y=a-6+c.若a+6+c>0,即當(dāng)x=l時(shí)y>0;若a-6+c<0,即當(dāng)x=-l時(shí),y<0.

1.(2024?安徽阜陽(yáng)?三模)若將拋物線丁=明2+"+0(々*0)向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度或向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)

度后都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),則下列結(jié)論正確的是()

A.a+b+c=0B.2a+b=0C.4a-Z>=0D.b=0

【答案】D

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象與上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象與與系數(shù)

的關(guān)可，求得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是y軸是解題的關(guān)鍵.

由題意可知拋物線y=+bx+c與X軸的交點(diǎn)為(-2,0)和(2,0),則拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，即可求得6=0.

【詳解】回將拋物線+6.X+C向左平移1個(gè)單位或向右平移3個(gè)單位后都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),

回拋物線y=ax2+6x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一2,。)和(2,0),

b_-2+2

??一，

2a2

「2=0,

故選：D.

2.（2024?安徽?二模）若關(guān)于x的一元二次方程/+云+°=。的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為％=-1,%2=3,則拋物

線y=r+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸為直線（）

A.x=lB.x=-1C.尤=2D.x=—2

【答案】A

【分析】本題考查二次函數(shù)與一元二次方程，利用對(duì)稱(chēng)性求對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)題意，得到拋物線與x軸的兩個(gè)交

點(diǎn)坐標(biāo)為（T。）,（3,0）,對(duì)稱(chēng)性得到對(duì)稱(chēng)軸為x=三2=1，即可.

【詳解】解：回一+云+。=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為%=-1,%=3,

回拋物線y=爐+6x+c與無(wú)軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-L0）,（3,0）,

回對(duì)稱(chēng)軸為x==1.

故選A.

3.（2023?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y=a（尤+丸）2+4的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，分別是「（-2,0）,

<2（4,0）,二次函數(shù)y=++后的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是（5,0）,則6的值是（）

A.7B.-1C.7或1D.一7或—1

【答案】D

-2+4

【分析】根據(jù)題意易知二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線X=^^=l，即/7=-1,然后根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移可

2

進(jìn)行求解.

【詳解】解：由二次函數(shù)y=a（x+4+上的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，分別是尸（-2,0）,。（4,0）可知：二次

-2+4

函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=--------=1,即=

2

團(tuán)二次函數(shù)y=a^x-l+by+k的對(duì)稱(chēng)軸為x=l—b,

團(tuán)當(dāng)點(diǎn)尸（-2,0）平移后得到（5,0）,貝|]6=一2-5=-7,

當(dāng)點(diǎn)。（4,0）平移后得到（5,0）,則6=4-5=-1,

即b的值為-7或一1；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及平移，熟練掌握二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及平移是解題的關(guān)鍵.

4.（2024?安徽六安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，且。力0）的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-2,

與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1,0）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.a—Z?+cvOB.abc<0C.4a+b=0D.5a+c=0

【答案】D

【分析】本題考查根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷式子的符號(hào)，先根據(jù)拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、與y軸的交點(diǎn)位

置，確定b,c的符號(hào)，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸％=-2、當(dāng)尤=-1和無(wú)=1時(shí)y的取值，即可確定相關(guān)式子是否正確.

【詳解】解：由圖可知，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-2,與X軸的一個(gè)交點(diǎn)為(1,0),與y軸交于

正半軸，

a<0,--=-2,c>0,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(一5,0),

2a

b-4a<0,

abc>0,4a-b-0,故B選項(xiàng)和C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；

由圖可知，當(dāng)x=—1時(shí)y>。，

a-b+c>0,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；

由圖可知，當(dāng)x=l時(shí)y=o,

a+b+c-0,

團(tuán)Z?=4a,

05a+c=O,故D選項(xiàng)正確，符合題意，

故選：D.

二、填空題

5.(2023?安徽合肥?一模)在同一平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù)％=以2+6無(wú)，y2=ax+b(ab^0),函數(shù)內(nèi)的

圖象經(jīng)過(guò)》的頂點(diǎn).請(qǐng)完成下列探究：

(1)函數(shù)%=④^+法的對(duì)稱(chēng)軸為;

(2)若。>0,當(dāng)%>%時(shí)，自變量x的取值范圍是.

【答案】x=ix>2或x<l

bh2h2h

【分析】⑴配方法求得函數(shù)％的頂點(diǎn)為由函數(shù)內(nèi)的圖象經(jīng)過(guò)M的頂點(diǎn)，得-±=ax(_2)+b,

2a4〃4。la

h

求得人=—2a.于是x=-----=1.

2a

(2)由Z?=-2a,得必=ax(%—2),y2=a(x-2).于是(x—2)(x—l)>0,求解得兀>2或x<l.

bA2

【詳解】解：(1)%=ax1+bx=a(xH---)2----，

la4。

bA2

回函數(shù)%的頂點(diǎn)為(---,----).

2a4a

回函數(shù)內(nèi)的圖象經(jīng)過(guò)耳的頂點(diǎn)，

I21--=〃X(—一—)+Z?,BPZ?=--.

4a2a2a

回"wO,

回匕=—2a.

b1

0x=---=l.

la

故答案為：直線%=l；

(2)^\b=-2a,

22

團(tuán)X=ax+bx=ax-lax=ax(x-2),y2=ax+b=ax-2a=a(x-2).

當(dāng)%>必時(shí)，cix(x—2)—a(x—2)>0,gp6z(x—2)(x—I)>0,

回。>0,

|?](x-2)(x-l)>0.

fx-2>0(x-2<0

唯一l>0或「一1<0；

解得x>2或X<1.

故答案為：x>2或x<l.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，不等式的應(yīng)用；由題意構(gòu)建不等式求解是解題的關(guān)鍵.

6.(2024?安徽合肥?三模)二次函數(shù)丁=依2-2工+1(?片0)的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=l,點(diǎn)4(2九%),B(m-l,y2)

都在函數(shù)、=加-2x+l(aH。)圖象上.

(1)a=；

(2)若必，則加的取值范圍為.

【答案】1m>1或"2<-1

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)及點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)與不等式.

(1)根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸-h白=-9-7=1,即可求出。的值；

2a2a

(2)根據(jù)%>必，列出關(guān)于，〃的不等式即可解得答案.

【詳解】解：(1)；二次函數(shù)丁=仆2-2%+1(。工0)的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=l,

...--=1,

2a

a=1,

故答案為：1;

（2）點(diǎn)4（2私外）,3（冽-1,%）都在二次函數(shù)2x+l=（x-的圖象上,

2

；.%=（2〃?—1）~,y2=（m—1—1）-=（m—2）

X>%，

（2/zz—l）2>（/M—2）2

.?.（2/n-l）2-（m-2）2>0

即蘇>1

|m|>1,

ZM>1或

故答案為：〃7>1或,〃<-1.

7.（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)丁=依2—（3a+l）x+3（a是常數(shù)，且4中0）,

（1）若點(diǎn)。,-2）在該函數(shù)的圖象上，則a的值為；

（2）當(dāng)a=-1時(shí)，若-3<xV2,則函數(shù)值y的取值范圍是.

【答案】2-12<y<4

【分析】本題考查了待定系數(shù)法，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，增減性，解不等式，熟練掌握拋物線的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

（1）把。，-2）代入函數(shù)解析式計(jì)算即可；

（2）根據(jù)拋物線開(kāi)口向，結(jié)合對(duì)稱(chēng)軸，利用函數(shù)的增減性列出不等式計(jì)算即可.

【詳解】解：（1）回點(diǎn)（1,一2）在二次函數(shù)y=^2_（3a+l）x+3的圖象，

回-2=a-（3a+1）+3,

解得a=2；

（2）當(dāng)a=-1時(shí)，y=—x2+2%+3=—（%—1）2+4

回-1<0,

回拋物線開(kāi)口向下，

團(tuán)當(dāng)尤=1時(shí)，y有最大值4,

又當(dāng)了=-3時(shí)，y=-12,

當(dāng)x=2時(shí)，y=3.

回當(dāng)一3WxV2時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍是-124y44.

8.（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：>=辦2-2。尤-4。+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（版一4）,與x軸正半軸交

于點(diǎn)A,與V軸交于點(diǎn)B.

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為；

(2)將拋物線C沿x軸向右平移〃(">0)個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的拋物線C'與拋物線C相交于點(diǎn)“，且點(diǎn)M

在第四象限內(nèi)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，〃的值為.

【答案】(3,0)1

【分析】本題考查求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的最值，了解二次函數(shù)頂點(diǎn)式和用含〃的式子表示的

面積是解題關(guān)鍵.

(1)把二次函數(shù)解析式表示為頂點(diǎn)式，即可得頂點(diǎn)坐標(biāo)求解；

(2)先表示出C'的解析式，聯(lián)立C得出點(diǎn)M坐標(biāo)，再表示出一的面積，最后利用二次函數(shù)最值求解.

【詳解】角牟：(1)回y=tzx?-2ax-4a+l=a(x--2x+l)-5a+l=-1)-5a+1，

回拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(I,-5a+l),

m=l

-5a+1=-4

解得

團(tuán)拋物線解析式為y=x2-2x-3,

當(dāng)y=0時(shí)，得/一2%-3=0,

13A(3,0),

故答案為(3,0)；

(2)拋物線C：y=x2-2x-3=(x-行-4,

團(tuán)將拋物線C沿x軸向右平移n(n>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得拋物線C'，

回拋物線C的解析式為：y=(x-1-aJ—4,

y=(無(wú)―1—-4

解得

YInI

即點(diǎn)M坐標(biāo)為—+1---4,

24

團(tuán)點(diǎn)M在第四象限內(nèi),

-+l>0

2

團(tuán)，2，再結(jié)合〃>0,

n八

----4A<0

[4

得0<4,

0A（3,O）,B（0,-3）,

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,

\3k+b=Q

0,一

[b=-3

[k=l

解得匕V

[b=-3

回直線AB的解析式為y=x-3,

回如圖，過(guò)點(diǎn)M作MNLx軸，交直線48于點(diǎn)N,

11133

回SQM=S8MN+S.M=7XAOXMN=7X3X--+-+2\^--n2+-n