重難點專題44阿波羅尼斯圓與蒙日圓七大題型匯總

題型1阿氏圓與軌跡..............................................................1

題型2阿氏圓與圓錐曲線..........................................................3

題型3阿氏圓求非對稱型最值......................................................6

題型4阿氏圓與向量..............................................................8

題型5阿氏圓與立體幾何..........................................................9

題型6橢圓中的蒙日圓...........................................................11

題型7雙曲線與拋物線中的蒙日圓................................................14

題型1阿氏圓與軌跡

阿波羅尼斯圓的定義

在平面上給定兩點48,設P點在同一平面上且滿足器=%當4>0且％A1時，P點的軌跡

是個圓，稱之為阿波羅尼斯圓.（％=1時P點的軌跡是線段4B的中垂線

【例題1】（2021下?陜西寶雞?高三統考階段練習）古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里

得、阿基米德齊名.他發現："平面內到兩個定點4B的距離之比為定值K1）的點的軌

跡是圓后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓在平面直

角坐標系xOy中，4（-2,0）,B（4,0）,點P滿足篇則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等

于（）

A.47rB.87TC.127rD.16TT

【變式1-1】1.（2023上?浙江金華?高三階段練習）已知圓C的直徑4B=6,點M滿足

\MA\=21MB卜記點M的軌跡為W,設勿與。交于P,Q兩點，則|PQ|=

【變式1-1】2.（江蘇省海高三模擬考試數學試題）在平面直角坐標%Oy中，已知點力（1,0）

,8（4,0）,若直線x-y+m=。上存在點P使得|P4|=]|PB|,則實數小的取值范圍是.

【變式1-113.（2021?湖南衡陽?校聯考一模）阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明

過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數依人>0加力1）的點的軌跡是圓，后人將

此圓稱為阿氏圓.若平面內兩定點4B間的距離為4,動點P滿足圜=8,則動點p的軌跡

所圍成的圖形的面積為；同?麗最大值是

【變式1-1】4.（2019上?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學?？茧A段練習）已知4B是平

面上兩個定點，平面上的動點滿足哥=§=m,若對于任意的m>3,不等式|下|<

用通恒成立，則實數帕勺最小值為

【變式1-1】5.（2023上?山東?高三沂源縣第一中學校聯考開學考試）我們都知道：平面內

到兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯

圓.已知平面內有兩點4（—1,0）和8（2,1）,且該平面內的點P滿足|P*=或伊8|,若點P的

軌跡關于直線爪％+九丫一2=。0，">0）對稱，則前勺最小值是（）

A.10B.20C.30D.40

【變式1-1】6.侈選）（2023上?貴州貴陽?高三清華中學?？茧A段練習）阿波羅尼斯是古

希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠，阿波羅尼斯發現:

平面內到兩個定點4B的距離之比為定值犯>0,且241）的點的軌跡是圓，此圓被稱為"阿

波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系久Oy中，省-2,0）鳳4,0）,點P滿足需=*設點P的軌跡為

曲線C,則下列說法正確的是（）

A.C的方程為。+4）2+y=16

B.點4B都在曲線C內部

C.當4B,P三點不共線時，貝吐4P0=NBP。

D.若D（2,2）,則|PB|+2|PD|的最小值為4遙

題型2阿氏圓與圓錐曲線

阿波羅尼斯圓的證明

pA

【定理1】設P(X,y),-a,O),B(a,O).若布=%(4>0且4J1),則點P的軌跡方程是

(“—雪。)2+產=(含)：其軌跡是以(雪a,0)為圓心，半徑為「=|段4的圓.

證明：由PA=4PB及兩點間距離公式，可得(％+a)2+y2=A2[(x-a)2+y2],

化簡可得(1-A2)x2+(1-A2)y2+2(1+A2)ax+(1-A2)a2=。①，

(1)當2=1時，得x=0,此時動點的軌跡是線段48的垂直平分線；

(2)當2豐1時，方程①兩邊都除以1-/得%2+y2+2aM%+a?=0,化為標準形式即

為：

(%-碧/+產=(含)[.-.點P的軌跡方程是以(碧a,0)為圓心，半徑為r=俁當的

圓.

【例題2](2021上?北京?高三北京市八一中學校考期末)古希臘數學家阿波羅尼斯的著作

《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質網羅殆盡，幾乎使后人沒

有插足的余地，他證明過這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數k伊>。且kW1)

的點的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓，現有橢圓廠]+譽=l(a>b>0),4B為

橢圓廠長軸的端點，。、。為橢圓廠短軸的端點，動點M滿足黯=2,的面積的最大

值為8,△MCD的面積的最小值為1,則橢圓廠的離心率為

【變式2-1]1.(2021?安徽黃山統考一模)在平面上給定相異兩點A,B,設點P在同一

平面上且滿足圖|=%當2>0且4力1時，P點的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘

22

數學家阿波羅尼斯發現，故我們稱這個圓為阿波羅尼斯圓.現有雙曲線a-左=l（a>0,b

>0）,Fi，F2分別為雙曲線的左、右焦點，A,B為雙曲線虛軸的上、下端點，動點P滿足

黑=2,4PAB面積的最大值為4.點M,N在雙曲線上，且關于原點O對稱，Q是雙曲

線上一點，直線QM和QN的斜率滿足kQM-kQN=3,則雙曲線方程是；

過尸2的直線與雙曲線右支交于C,D兩點（其中C點在第一象限）,設點M、N分別為△CF#2

、△DF1F2的內心，則|"N|的范圍是

【變式2-1】2.（2021上?吉林通化?高三梅河口市第五中學?？计谀┕畔ＥD數學家阿波

羅尼斯（約公元前262-190年），與歐幾里得、阿基米德并稱古希臘三大數學家；他的著作

《圓錐曲線論》是古代數學光輝的科學成果，它將圓推曲線的性質網絡殆盡，幾乎使后人沒

有插足的余地.他發現“平面內到兩個定點4B的距離之比為定值4（471）的點的軌跡是

圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.比如在平面

直角坐標系中，4（0,1）、5（0,4）,則點P滿足4=3所得P點軌跡就是阿氏圓；已知點C

（—2,4）,Q為拋物線產=8久上的動點，點Q在直線％=-2上的射影為乩M為曲線（％+2）2+

步=4上的動點，則/"Cl+|QH|+|Q陽的最小值為.則|MC|+|QH|+|QM|

的最小值為

【變式2-1]3.（2022下?浙江?高三校聯考開學考試）公元前3世紀，阿波羅尼奧斯在《圓

錐曲線論》中明確給出了橢圓和圓的一個基本性質：如圖，過橢圓（或圓）上任意一點P

（不同于A,B）作長軸（或直徑）AB的一條垂線段，垂足為Q,則瑞B為常數k.若此

圖形為圓，則卜=；若k=則此圖形的離心率為

【變式2-1】4.(2022?湖北?荊門市龍泉中學校聯考二模)歷史上第一個研究圓錐曲線的是

梅納庫莫斯(公元前375年-325年)，大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統地研究了

圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學性質：如圖甲，從橢圓的一個焦點出

發的光線或聲波，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點，其中法線。表示與橢圓C

的切線垂直且過相應切點的直線，如圖乙，橢圓C的中心在坐標原點，焦點為Fi(-C,0),F2

(c,0)(c>0),由Fi發出的光經橢圓兩次反射后回到Fi經過的路程為8c.利用橢圓的光學性

質解決以下問題：

(1)橢圓C的離心率為

⑵點P是橢圓c上除頂點外的任意一點，橢圓在點P處的切線為次2在?上的射影H在

圓%2+產=8上，則橢圓C的方程為

題型3阿氏圓求非對稱型最值

中:劃1占

當題目給了阿氏圓和一個定點，我們可以通過下述方法快速找到另一個定點，便于計算，令

圓O與直線OA相交于M,N兩點設點E為OA上一點,且滿足第=A,由阿氏圓定理蔡=

A,慧=晨貝1MN=ANE^OA-R="R—OE),：ME=(1+X)R-。4①

同理ZM=AME=>R+OA=4(OE+R),.,.AOE=(1—+。/②

由①②消OA得：2入OE=2R,即言=L即R=4OE,由①②消R得：CM=〃。巳

因此，滿足條件的點E在阿氏圓的圓心和定點A的連線上，且白=詞淺=A2.

【例題3](2022?全國?高三專題練習)已知點P是圓Q-4)2+(y—4)2=8上的動點，A

(6,-1),O為坐標原點，則PO+2P4的最小值為

【變式3-1】1.(2022?全國?高三專題練習)已知圓C：(%-11+(y—1)2=1,定點p

是圓C上的動點，B(2,0),。是坐標原點，則或PO+PB的最小值為

【變式3-1】2.(2021?全國?高三專題練習)阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，他對圓錐曲

線有深刻系統的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書，阿波羅尼斯圓

是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點A,B的距離之比為人(入＞0,入H1),

那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.下面我們來研究與此相關的一個問題，已知圓O:x2

+y2=1上的動點M和定點A(—卻)，B(1,1),則21MAl+|MB|的最小值為()

A.V6B.V7

C.VioD.VTT

【變式3-1】3.(2023下?廣東東莞?高三東莞實驗中學?？奸_學考試)對平面上兩點A、B,

滿足需=A(A豐1)的點P的軌跡是一個圓，這個圓最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現,

命名為阿波羅尼斯圓，稱點A,B是此圓的一對阿波羅點.不在圓上的任意一點都可以與關

于此圓的另一個點組成一對阿波羅點，且這一對阿波羅點與圓心在同一直線上，其中一點在

圓內，另一點在圓外，系數幾只與阿波羅點相對于圓的位置有關.已知4(1,0),8(4,0),D

(0.3),若動點P滿足概則2|PD|+|PB|的最小值是

【變式3-1]4.(2021?江西贛州?統考模擬預測)阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾

里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統的研究，阿波

羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點A,B的距離之比為2(4>0,4

*1),那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，圓。:

/+7=1、點4(三,0)和點B(0,9,M為圓。上的動點，則2|M4|—|MB|的最大值為

()

A.|B.C.1D.孝

【變式3-1】5.(2022上?湖北恩施?高三恩施土家族苗族高中校聯考期末)希臘著名數學

家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名他發現："平面內到兩個定點4B的距離之比為定

值力1)的點的軌跡是圓".后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡

稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系X?！抵?，4(-2,1),8(-2,4),點P是滿足4=^的阿氏圓上

的任一點，則該阿氏圓的方程為；若點Q為拋物線E:y2=軌上的動點,

Q在y軸上的射影為“，則如B|+\PQ\+|QH|的最小值為

題型4阿氏圓與向量

.____1b2x__>.v

【例題4】(2022?全國?高三專題練習)已知8c=6,AC=24B,點D滿足AD=—+玉麗

AC,設/(x,y)=|砌，若/O，y)Nf3),yo)恒成立，則/'(xo.yc))的最大值為.

【變式4-1】1.(2020下?河北石家莊?高三石家莊二中?？茧A段練習)已知點4(0,1),B

(1,0),C(t,O),點D是直線AC上的動點，若|而|W2|而|恒成立，則最小正整數t

【變式4-1】2.(2019上?浙江?高三統考期末)已知。B是平面內兩個互相垂直的單位向

量，若向量表滿足忙一回=1則|五+石一句+2怔一臼最小值為

【變式4-1]3.(2019?浙江寧波?浙江省寧波市堇洲中學校考模擬預測)已知向量%0滿足

|a|=||b|=|c|=l,a-b=l,則1+同+2傳一瓦的取值范圍是

【變式4-1】4.（2018?江蘇揚州?校考三模）已知等邊2MBe的邊長為2,點P在線段4c上,

若滿足雨?而-24+1=0的點P恰有兩個，則實數4的取值范圍是

【變式4-1】5.（2019?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）在ZL4BC中，X=120°,

AB-2AC=6,點。滿足A。=3x+3，B+梟力貝山而|的最小值為

題型5阿氏圓與立體幾何

【例題5】（2019?浙江?校聯考一模）如圖，4B是平面a的斜線段，力為斜足，點C滿足sin/CAB

=AsinzC5X（A>0）,且在平面a內運動，貝!]

A.當4=1時，點C的軌跡是拋物線

B.當4=1時，點C的軌跡是一條直線

C.當4=2時，點C的軌跡是橢圓

D.當2=2時，點C的軌跡是雙曲線拋物線

【變式5-1】1.（2022?全國?高三專題練習）如圖，在長方體4BCT—&B1C1O1中,AB=2

4。=2441=6,點E在棱4B上，BE=2AE,動點P滿足BP=V^PE.若點P在平面4BCD內運

動，則點P所形成的阿氏圓的半徑為；若點P在長方體力BCD-4出道山1內部運動,

F為棱C"i的中點，M為CP的中點，則三棱錐BiCF的體積的最小值為

DiG

【變式5-1】2.（2021上?山東荷澤?高三統考期末）古希臘數學家阿波羅尼斯發現：平面

上到兩定點4B距離之比2（%>0,2豐1）是常數的點的軌跡是一個圓心在直線4B上的圓，該

圓簡稱為阿氏圓.根據以上信息，解決下面的問題：在棱長為2的正方體4BCD-4中1的以

中，點P是正方體的表面4DD14（包括邊界）上的動點，若動點P滿足PA=2PD,則點P所形

成的阿氏圓的半徑為；若E是CD的中點，且滿足乙4PB=NEPD,則三棱錐P-4CD

體積的最大值是

阿波羅尼奧斯

【變式5-1】3.（2020下?河北石家莊?高三石家莊二中?？奸_學考試）棱長為36的正四面

體4BCD的外接球與內切球的半徑之和為，內切球球面上有一動點M,則的

最小值為

【變式5-1】4.（2022?全國?高三專題練習）已知正方體4BCD-公當的小的棱長為1,點

P為側面BBiCiC內的動點，且P4=2PB,則點P所形成的軌跡圖形長度為.

【變式5-1】5.（2021?貴州貴陽統考模擬預測）在平面內,已知動點P與兩定點A,B的

距離之比為"4>0/41）,那么點P的軌跡是圓，此圓稱為阿波羅尼斯圓.在空間中，也可

得到類似結論.如圖，三棱柱ABC—占B1C1中，4遇1平面ABC,AB=BC=2,BB、=譏

肛AABC=90°,點M為AB的中點，點P在三棱柱內部或表面上運動，S.\PA\=y/2

\PM\,動點P形成的曲面將三棱柱分成兩個部分，體積分別為乙，V2(V1<V2),則晟=

A"B.|C.D.|

題型6橢圓中的蒙日圓

在橢圓上，任意兩條相互垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑

等于橢圓長半軸短半軸平方和的幾何平方根，這個圓叫蒙日圓，如圖1.

圖1⑴圖1(2)

如圖1,設橢圓的方程為4+匕=l(a>6>0),則橢圓兩條互相垂直的切線PA,P8父點P

的軌跡是蒙日圓：%2+y2=2+b2.

證明：證法一(解析法+韋達定理)：①當題W沖的兩條互相垂直的切線P4PB斜率均存在

且不為。時，可設PQo,yo)(比0*±a且Vo*±m,過P的橢圓的切線方程為y-y0=k(x-x0

y-=k(x—%o)

由得(a2k2按)%2—2kaz(kxQ—y)x+—y。)2

(fc#=0),—+比=1,+0

bz=0,

222

由其判別式值為0,得(就-a>-2x0y0k+必一爐=0(就-a^0),

"kpA,演8是這個關于土的一元二次方程的兩個根，:kpA-kpB=磊I，

22

由已知PA1PB,kPA-kPB=-1,.1?瑞|=-1,x1+yl=a+b,：.點P的坐標滿足方

程/+y2=.

②當題設中的兩條互相垂直的切線P2,PB有斜率不存在或斜率為。時，可得點P的坐標為

(±a,b)或(a,+b),此時點P也在圓/+y2=a2+爐上.

綜上所述：橢圓總+餐=l(a>b>0)兩條互相垂直的切線PA,P8交點P的軌跡是蒙日圓：

x2+y2=a2+b2.

證法二(橢圓的切線方程+切點弦方程+點在公共曲線上)：

①當題設中的兩條互相垂直的切線P4PB斜率均存在且不為0時，設P(>o,yo)(孫力士。且

yo*±b),切點4。1,月)，8。2/2)01月％2丫2大。)，則切線PA：黃+貴=1，PB：等+矍

PQo,yo)在切線P4,PB上，二警+需=1,等+繁=1,由兩點確定一條直線得直線

4B的方程為簧+兼=1.

,,,融電=(-篙)(-篙)=，卜。人卜013=■管=黑，：?(kpAkpB)(koAkoB)=￡，

???(%,%)(E=1,2)即在圓的方程為5+g=1,又在直線4B:黃+兼=1上，.?/+條=

22

(箸+黃)2，可得-b)(g)+2a2b2%oy°e)+b^x2_a2)=0,

.,,_Z1Z2_b4(就-aZ)_q-a2)---_Q

,?"OAKOB-X1X2-必(羽_〃)_a4(羽_板)'-^OAKOB)'6出一前

又(kpAkpB)(koAkoB)=kpAkpB=等方，

由已知241PB,■■kPA-kPB=-1,第%=-1,W+羽=a?+爐，...點p的坐標滿足方

程%2+y2=42+.

②當題設中的兩條互相垂直的切線P4,PB有斜率不存在或斜率為0時，可得點P的坐標為

(±a,b)或(a,+b),此時點P也在圓1+y2=a2+爐上.

綜上所述：橢圓?+§=Ka>b>0)兩條互相垂直的切線24,PB交點P的軌跡是蒙日圓：

x2+y2—a2+b2.

先給出幾個引理，然后給出證法三——蒙日圓的幾何證法.

【例題6】(2020?山東?高三專題練習)"蒙日圓"涉及幾何學中的一個著名定理，該定理

的內容為：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓

的蒙日圓.若橢圓C：系+?=1(。>0)的離心率為9，則橢圓C的蒙日圓方程為()

A.x2+y2=9B.%2+y2=7C.%2+y2=5D.%2+y2=4

【變式6-1】1.(2022?全國?高三專題練習)已知橢圓C:9+y2=l,M是圓%2+y2=3

上的任意一點，MA,MB分別與橢圓切于A,B.求aAOB面積的取值范圍.

【變式6-1】2.(2022?全國?高三專題練習)設橢圓卷+q=1的兩條互相垂直的切線的交

點軌跡為C,曲線C的兩條切線PA、PB交于點P,且與C分別切于A、B兩點，求西?麗

的最小值.

【變式6-1】3.(2020下?江西景德鎮?高三統考階段練習)蒙日圓涉及的是幾何學中的一個

著名定理,該定理的內容為:橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，

該圓稱為原橢圓的蒙日圓，若橢圓C：盍+￡=l(a>0)的蒙日圓為了+y=6,則(1=

()

A.1B.2C.3D.4

【變式6-1】4.(2022?全國?高三專題練習)給定橢圓C:§+g=l(G>b>0),稱圓心

在原點0、半徑是信不京的圓為橢圓C的"準圓已知橢圓C的一個焦點為F(VXO),

其短軸的一個端點到點F的距離為遙.

(1)求橢圓C及其"準圓"的方程；

⑵若點A是橢圓C的"準圓"與x軸正半軸的交點，B,D是橢圓C上的相異兩點，且

BDlx軸，求麗?麗的取值范圍；

⑶在橢圓C的"準圓"上任取一點P(s,t),過點P作兩條直線h%,使得%與橢圓C

都只有一個公共點，且人，%分別與橢圓的"準圓"交于M,N兩點.證明：直線MN過

原點O.

【變式6-1】5.(2019?安徽滁州?安徽省定遠中學校考一模)已知橢圓C:§+g=1

(a>b>0)的長半軸長為加點(l,e)(e為橢圓C的離心率)在橢圓C上.

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）如圖，P為直線％=2上任一點，過點P橢圓C上點處的切線為PA,PB,切點分別4,

B,直線x=a與直線PA,PB分別交于M,N兩點，點M,N的縱坐標分別為小，n,求rrm的

值.

29

【變式6-1】6.（2019?河南?校聯考模擬預測）已知橢圓。*+標=l（a>b>0）的左、右

頂點分別為4B,點P在橢圓。上運動，若apaB面積的最大值為2遮，橢圓。的離心率為

（1）求橢圓。的標準方程；

（2）過B點作圓E:/+（>—2）2=產，（0<「<2）的兩條切線，分別與橢圓。交于兩點C,

。（異于點B）,當r變化時，直線CD是否恒過某定點？若是，求出該定點坐標，若不是，請說

明理由.

題型7雙曲線與拋物線中的蒙日圓

蒙日圓在雙曲線、拋物線中的推廣

【定理1】雙曲圖-§=l（a>b>0）的兩條互相垂直的切線PA,PB交點P的軌跡是蒙日

圓:x2+y2=a2—b2（如圖3）.

圖3圖4

【定理2］拋物線產=2PMp>0）的兩條互相垂直的切線P4,PB交點P的軌跡是該拋物線的

準線：久=-與（如圖4,可以看作半徑無窮大的圓）.

注意：雙曲線中只有當a>6時才有蒙日圓，此時離心率e滿足1<e<魚；拋物線的蒙日圓

恰好為其準線(直線可以看作半徑為無窮大的圓).總結可得如下的蒙日圓定理：

【定理3】過圓錐曲線外一點作兩條互相垂直的切線，那么這一點的軌跡是一個圓，這個圓

被稱為蒙日圓，又叫外準圓.

證明：設圓錐曲線「的方程為a*2+28xy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,其中系數矩陣

[ABD1

BCE滿秩(即系數行列式大0).

VDEF1

設平面內有一點P(xo,y。)，P不在r上.過P作r的切線，當切線斜率存在時，設切線斜率為

k,則切線方程可設為y=k(x—勾)+%.聯立曲線方程，消去y得

222

(A+2Bk+Cfc)%+2[(y0—fcx0)(B+Ck)+D+Ek]x+C(y0—fcx0)+2￡(y0—fcx0)+F

=0,

為書寫方便，令6=-kx0,由切線與圓錐曲線只有一個交點可得A=0,即：

(AC-B2)G2+2(BE-CD)Gk+(CF-E2)k2+2(AE-BD)G+2(BF-DE)k+AF-D2

=0,

觀察上式，當把G=y°-丘0代入之后可知前三項都含有可寫出二次項系數為

2

(AC-+2(CO-BE)x0+CF-E.同理，第一、四、六項含有常數項，可以寫出常數

項為羽+2(aE-BD)yo+4/-。2.?倆條切線互相垂直，斜率之積為一1,因此

由韋達定理得器翳葭普讖黑=T，整理得到

22

(AC-講)就+(XC-講)羽+2(CD-BE)x0+2(XE-BD)y0+CF-E+AF-D0.

當切線斜率不存在時，很明顯兩條切線分別為x=%o,y=yo.聯立X=久0與r的方程，得到

22

Cy+2(B%0+E)y+端+2Dx0+F=0,由A=0得(AC—B)x1+2(CD-BE)x0+CF-

222

。=0,同理，(AC-B)yo+(AE-BD)y0+AF-D=0,

兩個方程相加，恰好得到此時P的坐標滿足方程

222

(AC-B)xl+(AC-5)岔+2(CD-BE)x0+2(4E-BD)y0+CF-E+AF-D=0,

,無論切線斜率是否存在，P的軌跡方程均為

222

{AC-B2)/+(XC-B)yl+2(CD-BE)x0+2QAE-BD)y0+CF-E+AF-D=0

(**).

習慣上用x,y表示動點坐標，上式的劭,見均改為x,y,得到P的軌跡方程

(71C-B2)X+(4C-B2)y+2(C￡>-BE)x+2(4E-BD)y+CF-E2+AF-D2=0(**).

??,/和好的系數相同，且缺少含砂的項，，方程(**)表示一個圓，即p的軌跡是一個圓(實

圓、點圓、虛圓均可).證畢.

說明：(1)令4=62,B=0,C=a2,D=E=0,F=—a2b2，代入(**)可得橢圓、+fl=

(a>b>0)的蒙日圓方程：x2+y2=a2+b2.定理1得證.

(2)令4=62,B=0,C=—a2,D=E=0,F=—a2b2,代入(**)可得雙曲線2一技=

(0>。1>0)的蒙日圓方程：％2+丫2二屋一爐當a>b時,a2-b2>0,雙曲線的蒙日

圓存在.但當a=b時，a?-爐=0,方程退化為一個點(0,0).此時易證過(0,0)的直線要

么和雙曲線有兩個交點，要么沒有交點。雙曲線關于中心對稱)，，過(0,0)無法作雙曲線

的切線，自然也不存在兩條互相垂直的切線.而當a<b時，a2-b2<0,于是方程表示一

個虛圓(無法在坐標平面上表示)，，平面內不存在雙曲線的兩條互相垂直的切線.綜上，

只有當a>。時(或離心率1<e<打時)，雙曲線才有蒙日圓.定理2得證.

(3)令4=8=0,C=l,D=—p,E=F=。，代入(**)可得拋物線儼=2pK(p>0)的

蒙日圓方程：%=-1.這恰好是拋物線的準線方程，因此拋物線的蒙日圓是其準線.這也

可以從蒙日圓的一般方程中看出，因拋物線滿足AC-5=0,二蒙日圓方程的二次項系數

為0,方程退化為一條直線.定理3得證.由此還能得出一個推論：過拋物線準線上的一點

作拋物線的兩條切線，這兩條切線互相垂直.

【例題7】(2023?陜西西安?統考一模)數學家加斯帕爾?蒙日創立的《畫法幾何學》對世界

各國科學技術的發展影響深遠在雙曲線唁-翁=l(a>0,b>0)中，任意兩條互相垂直的

切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是雙曲線的中心，半徑等于實半軸長與虛半軸長的平

方差的算術平方根，這個圓被稱為蒙日圓.已知雙曲線C的實軸長為2遍，其蒙日圓方程為

%2+y2=4.

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)設點P(3,l)關于坐標原點的對稱點為Q,不過點P且斜率為吊勺直線與雙曲線C相交于M,N

兩點，直線PM與QN交于點。(久0，處)，求直線OD的斜率值.

【變式7-1]1.(2020上?陜西西安?高三校聯考階段練習)定義橢圓C：§+g=l(a>fo

>0)的“蒙日圓"方程為/+y2=a2+廿.已知拋物線/=4y的焦點是橢圓C的一個短軸

端點，且橢圓C的離心率為孚

(1)求橢圓。的標準方程和它的"蒙日圓"E的方程；

(2)若斜率為1的直線(與"蒙日圓"E相交于4B兩點，且與橢圓C相切，。為坐標原點，

求△04B的面積.

【變式7-1]2.(2023上?廣東清遠?高三統考期末)法國數學家加斯帕爾?蒙日創立的《畫

法幾何學》對世界各國科學技術的發展影響深遠.在雙曲圖-/=1(a>b>0)中，任意兩

條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是雙曲線的中心，半徑等于實半軸長與

虛半軸長的平方差的算術平方根，這個圓被稱為蒙日圓.已知雙曲線C:§-g=1(a>b>0)

的實軸長為6,其蒙日圓方程為x2+y2=1.

（1）求雙曲線C的標準方程；

（2）設D為雙曲線C的左頂點，直線I與雙曲線C交于不同于D的E,F兩點，若以EF為直

徑的圓經過點D,且DGLEF于G,證明：存在定點H,使|GH|為定值.

【變式7-1]3.（2020下?山西?高三統考階段練習）已知拋物線E：久2=2py過點（1,1）,

過拋物線E上一點Pg,加作兩直線PM,PN與圓C:久2+⑶一2）2=1相切，且分別交拋

物線E于M、N兩點.

（1）求拋物線E的方程，并求其焦點坐標和準線方程；

（2）若直線MN的斜率為-V3,求點P的坐標.

【變式7-1]4.（2019?河北石家莊?校聯考一模）已知拋物線=2PMp>0）上一點P

（久o,2）至瞧點F的距離|PF|=2x0.

（1）求拋物線C的方程；

（2）過點P引圓M:（x—3A+產=產（0<r<魚）的兩條切線24、PB,切線24、PB與拋物

線C的另一交點分別為人B,線段4B中點的橫坐標記為t,求t的取值范圍.

1.（多選）（2023?全國?模擬預測）已知P是定圓C（C為圓心）上的一個動點，4是不在圓C

上的一個定點.若點M滿足兩=4mQeR）,S.（MA+MPy（CA-CP）=0,則點M的軌跡

是（）

A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線（單支）

2.（2022?河南鄭州?統考模擬預測）在圓（久-3尸+（y—4）2=r2（r>0）上總存在點P,使

得過點P能作橢圓9+川=1的兩條相互垂直的切線，則r的取值范圍是（）

A.(3,7)B.[3,7]C.(1,9)D.[1,9]

3.(2022?江蘇?模擬預測)在平面直角坐標系xOy中，若直線%+町+3=0上存在動點P,使

得過點P的橢圓C：￡+y2=1的兩條切線相互垂直，則實數a的取值范圍是()

A.(-8,-用U停,+8)B.(-8,-g]u惇,+8)

C1返回D[匹圜

J卜2，2「[2，2」

2

4.(2021?上海虹口?統考二模)已知橢圓C的方程為》+y2=i.

(1)設MQM/M)是橢圓C上的點，證明：直線等+處沙=1與橢圓C有且只有一個公共點;

(2)過點N(l,偽作兩條與橢圓只有一個公共點的直線，公共點分別記為4B,點N在直

線4B上的射影為點Q,求點Q的坐標；

(3)互相垂直的兩條直線A與辦相交于點P,且人、，2都與橢圓C只有一個公共點，求點P的軌

跡方程.

5.(2020?全國?校聯考三模)法國數學家加斯帕爾?蒙日發現：與橢圓，+g=l(a>fa>0)

相切的兩條垂直切線的交點軌跡為久2+*=+/,這個圓亦被稱為蒙