第05講：空間立體幾何高頻考點突破

【考點梳理】

考點一：空間幾何體結構

（1）多面體

多面體定義圖形及表示相關概念特殊情形

棱柱有兩個面互相平行，其余各EA底面（底）：兩個互相平行的直棱柱：側棱垂直于

產

面都是四邊形，并且相鄰兩面底面的棱柱

個四邊形的公共邊都互相側面：其余各面斜棱柱：側棱不垂直

平行，由這些面所圍成的多側棱：相鄰側面的公共邊于底面的棱柱

面體叫做棱柱A頂點：側面與底面的公共頂正棱柱：底面是正多

記作：棱柱ABCDEF

點邊形的直棱柱

A'B/CrD，E，F

/

棱錐有一個面是多邊形，其余各ill點底面（底）：多邊形面正棱錐：底面是正多

面都是有一個公共頂點的側面：有公共頂點的各個三邊形，并且頂點與底

三角形，由這些面所圍成的角形面面中心的連線垂直于

多面體叫做棱錐側棱：相鄰側面的公共邊底面的棱錐

Ah頂點：各側面的公共頂點

記作;棱錐S-ABCD

棱臺用一個平行于棱錐底面的o上底面：原棱錐的截面

-戾

平面去截棱錐，底面和截面下底面：原棱錐的底面

之間那部分多面體叫做棱側面：其余各面

臺側棱：相鄰側面的公共邊

頂點：側面與上（下）底面的

公共頂點

記作：棱臺ABCD一

葭B'CD'

（3）圓柱、圓錐、圓臺、球

旋轉體結構特征圖形表示

圓柱以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周圓柱用表示它的軸的字

形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱.旋轉軸叫做圓柱母母表示，如圖中的圓柱

的軸；垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓柱的底底而q;1f-MiFti記作圓柱0,0

面；平行于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面；

無論旋轉到什么位置，平行于軸的邊都叫做圓柱側面

的母線

圓錐以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余圓錐也用表示它的軸的

軸

字母表示，如圖中的圓

兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐雷

錐記作圓錐so

底而18

圓臺用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間：、、圓臺也用表示它的軸

的部分叫做圓臺的字母表示，如圖中的

母線圓臺記作圓臺o'0

球半圓以它的直徑所在直線為旋轉軸，旋轉一周形成的▼球常用表示球心的字母

曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體叫做球體，簡半徑來表示，左圖可表示為

稱球.半圓的圓心叫做球的球心，連接球心和球面上球0

心

任意一點的線段叫做球的半徑；連接球面上兩點并且

經過球心的線段叫做球的直徑

考點二：空間幾何體的直觀圖

1、用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟

2、斜二測畫法的步驟：①平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸；②平行于y軸的線長度變半，平行于x,z軸的線

長度不變

3>原圖與直觀圖的關系：S<=-^――SK；Sg=2V2SM

4

考點三：簡單幾何體的表面積與體積

1、空間幾何體的表面積

(1)棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和

(2)圓柱的表面積S=2勿7+2勿'2(3)圓錐的表面積S="/+勿

(4)圓臺的表面積§="/+獷2+成/+成2(5)球的表面積S=4成?

2、空間幾何體的體積

(2)錐體的體積V=；S底x/z

(1)柱體的體積V=S底x/z

(3)臺體的體積V=Ls上+百環+5下)x/z(4)球體的體積丫=百成3

3、球的組合體

(1)球與長方體的組合體：長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.

(2)球與正方體的組合體：正方體的內切球的直徑是正方體的棱長，正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線

長(A/3a).

(3)球與正四面體的組合體：棱長為。的正四面體的內切球的半徑為亞。，外接球的半徑為逅a.

124

考點四：空間直線、平面的平行

1.線面平行的判定定理和性質定理

文字語言圖形語言符號語言

平面外一條直線與此平面內的

l//a\

一條直線平行，則該直線與此

判定定理aUa>=>l//a

平面平行(簡記為“線線平行

/__7Via,

=線面平行”)

一條直線與一個平面平行，則

/〃a、

過這條直線的任一平面與此平

性質定理IUB}=/〃6

面的交線與該直線平行(簡記

為“線面平行=線線平行”)

2.面面平行的判定定理和性質定理

文字語言圖形語言符號語言

一個平面內的兩條相a///3、

交直線與另一個平面b///3

判定定理平行，則這兩個平面平尸>=a〃4

行(簡記為“線面平行口qUa

=面面平行”)bUa>

如果兩個平行平面同a//13]

性質定理時和第三個平面相交,aC\y=g>=>a//b

6G尸"J

那么它們的交線平行4^7

考點五.直線與平面垂直

⑴定義

如果直線I與平面a內的任意一條直線都垂直,則直線/與平面a互相垂直，記作/_La,直線I叫做平面a的垂線,

平面a叫做直線/的垂面.

(2)判定定理與性質定理

文字語言圖形語言符號語言

一條直線與一個平面

ZbUa、

內的兩條相交直線都7aCb=O

判定定理

垂直，則該直線與此平l-La

面垂直l±b,

ab

垂直于同一個平面的a-La\

性質定理1~~7

兩條直線平行2

2.直線和平面所成的角

⑴定義

平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個平面所成的角.若一條直線垂直于平面，它

們所成的角是直角,若一條直線和平面平行，或在平面內，它們所成的角是￡的角.

(2)范圍:［。,2.

3.平面與平面垂直

(1)二面角的有關概念

①二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角;

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線,這兩

條射線所構成的角叫做二面角的平面角.

(2)平面和平面垂直的定義

兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.

(3)平面與平面垂直的判定定理與性質定理

文字語言圖形語言符號語言

一個平面過另一

Z_Lccl

判定定理個平面的垂線,則/

/u0"

這兩個平面垂直￡

兩個平面垂直，則a-L)3、

一個平面內垂直4lup

性質定理/>=/_La

aCB=a

于交線的直線與￡Z

另一個平面垂直l-La>

【題型梳理】

題型一：空間幾何體的結構

1.(2023春?福建南平?高一校考期末)下列命題中正確的是()

A.正方形的直觀圖是正方形

B.平行四邊形的直觀圖是平行四邊形

C.有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱

D.用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺

【答案】B

【解析】選項A,正方形的直觀圖是平行四邊形；選項由斜二測畫法規則知平行性不變知②正確；選項C,要

注意棱柱的每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行；選項。，用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的

部分組成的幾何體叫棱臺.

【詳解】解：選項A,正方形的直觀圖是平行四邊形，故A錯誤；

選項8,由斜二測畫法規則知平行性不變，即平行四邊形的直觀圖是平行四邊形，故②正確；

選項C,有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱，要注

意棱柱的每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行，故C錯誤；

選項。，用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺，故。錯誤.

故選：B.

2.（2023春?四川宜賓?高一宜賓市敘州區第一中學校校考期末）下列命題中，正確的是（）

A.經過正方體任意兩條面對角線，有且只有一個平面

B.經過正方體任意兩條體對角線，有且只有一個平面

C.經過正方體任意兩條棱，有且只有一個平面

D.經過正方體任意一條體對角線與任意一條面對角線，有且只有一個平面

【答案】B

【詳解】因為正方體的四條體對角線相交于同一點（正方體的中心），因此經過正方體任意兩條體對角線，有且只有

一個平面，故選B.

點睛：確定平面方法：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面;經過一條直線和這條直線外一點有且只有

一個平面；經過兩條相交直線有且只有一個平面；經過兩條平行直線有且只有一個平面.

3.（2023春?黑龍江大慶?高一鐵人中學校考期中）給出下列說法：

①有兩個面平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體是棱臺

②有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；

③有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱

④一個圓柱形蛋糕，切三刀最多可切成7塊

其中正確說法的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】根據棱柱、棱錐、棱臺和平面的的定義，逐項判定，即可求解.

【詳解】對于①中，根據棱臺的定義，延長棱臺的所有側棱交于一點，所以有兩個面平行且相似，其他各個面都是

梯形的多面體不一定是棱臺，所以①不正確；

對于②中，根據棱錐的定義，有一個面是多邊形，其余各面都是有公共頂點的三角形的幾何體是棱錐，所以②不

正確；

對于③中，根據棱柱的定義，有兩個面平行，且該多面體的頂點都在這兩個平面上，其余各面都是四邊形的幾何體

叫棱柱，所以③不正確；

對于④中，一個圓柱形蛋糕，切三刀最多可切成8塊，所以④不正確.

故選：A.

題型二：直觀圖

4.（2023春?四川成都?高一成都外國語學校校考期末）如圖，一個水平放置的平面圖形048c的斜二測直觀圖是平

行四邊形O'AB'C',且O'C'=4,O'A=2,NA'0C'=45。，則平面圖形。42c的面積為（）

【答案】A

【分析】根據斜二測畫法得到平面圖形，即可得解；

【詳解】根據斜二測畫法的規則可知該平面圖形是矩形，如下圖所示,

其中長OC=8,寬OA=2.

故平面圖形Q4BC的面積為。4OC=16.

故選：A

5.（2023春?云南昆明?高一昆明一中校考期中）已知是一平面圖形的直觀圖，斜邊。8'=2,則這個平面

圖形的面積是（）

y

A,「

C.72D.2A/2

2

【答案】D

【分析】由給定的直觀圖畫出原平面圖形，再求出面積作答.

【詳解】根據斜二測畫法的規則，所給的直觀圖對應的原平面圖形，如圖,

其中08=。'8'=2,04=2。'4=2。'8"0$45=20,ZAOB=90，

1/-

所以這個平面圖形的面積為S=5*2x2點=2五.

故選：D

6.（2023春?廣東茂名?高一統考期中）如圖，水平放置的ABC的斜二測直觀圖為,已知=B'O'=C'O'=1,

則ABC的周長為（）

A.6B.8

C.2+2^D.2+46

【答案】C

【分析】根據題意，作出原平面圖形，ASC,由斜二測畫法分析原圖的數量關系，計算可得答案.

由斜二測畫法，在原圖中，CO=2C'O'=2,AO=BO=1,

所以AB=AC=石，故ABC的周長為2+2岔.

故選：C.

題型三：空間幾何體的表面積和體積

7.（2023春?江蘇常州?高一常州市第一中學校考期末）陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發現的

新石器時代遺址.如圖所示的是一個陀螺立體結構圖.已知，底面圓的直徑AB=12cm,圓柱體部分的高BC=6cm,圓

錐體部分的高CD=4cm,則這個陀螺的表面積（單位：cm?）是（)

B.(144+24加卜

C.(108+12713D.(108+24?)兀

【答案】C

【分析】根據圓柱與圓錐的表面積公式求解.

【詳解】由題意可得圓錐體的母線長為/=后彳=2屈，

所以圓錐體的側面積為Ll27t

2

圓柱體的側面積為12兀乂6=72兀,

圓柱的底面面積為兀x6?=36兀，

所以此陀螺的表面積為12反兀+72兀+36兀=（108+12屈兀）（cm2）,

故選：C.

8.（2023春?江蘇鎮江?高一揚中市第二高級中學校考期末）三棱錐尸-ABC的所有頂點都在球。的球面上.棱錐

尸—ABC的各棱長為：PA=2,PB=3,PC=4,AB=A,BC=5,AC=2下,則球。的表面積為（）

A.28%B.29%C.30萬D.31%

【答案】B

【分析】由各棱長結合勾股定理知P-ABC為直三棱錐，有尸面EBC,進而求出的外接圓半徑，，由

外接球半徑尺與,、承的幾何關系即可求出R,最后求外接球表面積即可.

【詳解】由題意知：PB1+PC2=BC2,P^+PC2=AC2,P^+PB2=AB2.

團PAPB,PC兩兩垂直，即尸-ABC為直三棱錐，

回若加上臺。的外接圓半徑為「，則，?=些=*,又PAL面PBC,

22

回外接球心。到PA的距離為r=（,故外接球半徑R=Jr2+（—）2=叵，

2V22

團外接球表面積S=4乃*=297r.

故選：B.

【點睛】關鍵點點睛：由棱長推出尸-ABC為直三棱錐，有面尸3C,根據其外接球半徑R與及△PBC外接圓

半徑八%的幾何關系求出R,進而求球的表面積.

9.（2023春?浙江金華?高一浙江金華第一中學校考期末）"辛普森（Simpson）公式”給出了求幾何體體積的一種估算

方法：幾何體的體積V等于其上底面的面積S、中截面（過高的中點且平行于底面的截面）的面積s。的4倍、下底

面的面積S'之和乘以高場的六分之一，即V=JMS+4SO+S'）.我們把所有頂點都在兩個平行平面內的多面體稱為擬

柱體.在這兩個平行平面內的面叫作擬柱體的底面，其余各面叫作擬柱體的側面.中國古代名詞"芻童"（原來是草堆

的意思）就是指上下底面皆為矩形的擬柱體.已知某"芻童"尺寸如圖所示，且體積為與，則它的高為（）

53

C.-------7=D.4

9+3V2

【答案】D

【分析】求出上下底面積和中截面面積，代入公式即可求出高.

【詳解】上底面S=3x2=6,下底面S'=3x4=12,

所以中截面是過高的中點，且平行于底面的截面，其中AB,。,。分別是對應棱上的中點，如圖所示,

1715

根據中位線定理得DC=54=5X（3+4）=],BC=AD=-X（3+2）=~,

所以S0=：7x5|=?35,

（,,35、1,106

6+12+4x—x-/i=-—,解得人=4,

I4J63

故選：D.

題型四：內接球和外接球表面積和體積

10.（2023春?浙江寧波?高一慈溪中學校聯考期末）在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉膈.

在鱉膈A—5CD中，平面5CD,BCLCD,&AB=BC=CD=1,則其內切球表面積為（）

()

A.3兀B.百兀C.3-27271D.(3-1,

【答案】C

【分析】設四面體ABCD內切球的球心為0,半徑為廠，則

^ABCD=^O-ABC+^O-ABD+^O-ACD+^O-BCD~ABC+ABD+SACD+BCD),求得

SABCD=SAABC+SAABD+SAACD+SABCD=1+72,匕BC0=g':X1X1X1=g,從而求得一="1,根據球的表面積公式

即可求解.

【詳解】

因為四面體A3CD四個面都為直角三角形，AB1平面BCDICLCD,

所以AB_LAB_L8C,BC_LCD,AC±CD,

設四面體A3C。內切球的球心為。，半徑為小

則匕BCD=^O-ABC+^O-ABD+^O-ACD+^O-BCD§「(SABC+S.D+SACD+SBCD)

3V

所以廠=T—

^ABCD

因為四面體ABCD的表面積為S^CD=SAABC++S&CD+SABCD=1+及,

又因為四面體A5c。的體積%68=1x!xlxlxl=!

326

所以，工四

S2

所以內切球表面積5=4兀產=（3-2&）兀.

故選：c.

n.（2023春?江蘇蘇州?高一統考期末）蹴鞠，又名蹴球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、

內實米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非

物質文化遺產經國務院批準列入第一批國家非物質文化遺產名錄.已知某鞠的表面上有四個點尸，A,B,C恰好構

成三棱錐尸一ABC,若BC1CP,且BC=1,CP=2,AB=3,AP=，則該鞠的表面積為（）

7

A.—7iB.7冗C.14%D.28%

2

【答案】C

【分析】由條件求尸3,證明結合利用線面垂直判定定理證明平面3cP,由此確定三

棱錐P-ABC的外接球的球心及半徑，利用球的表面積公式求解.

【詳解】在PCB中，BC1CP,CP=2,BC=1,

所以PB=JCP?+BC2=5

在APBA中，PB=#）,AB=3,AP=714，

所以Ap2=Ag2+p32,所以

在.ABC中，ABIBC,AB=3,BC=1,

所以AC=以笈+叱,

在VPG4中，CP=2,AC=410,AP=m，

所以Ap2=AC2+C產，所以。1J_PC,

所以△尸班，V尸C4都是以上4為斜邊的直角三角形，

取R4的中點0,則0P=0A=02=0C=恒，

2

所以點。為三棱錐尸-ABC的外接球的球心，半徑為巫，

2

所以三棱錐P-ABC的外接球的表面積S=4兀（理］=147r,

即該鞠的表面積為14兀.

故選：C.

12.（2023春?江蘇鎮江?高一揚中市第二高級中學校考期末）已知三棱錐O-ABC中，A,B,C三點在以0為球心

的球面上，若AS=3C=2,ZABC=120°,且三棱錐ABC的體積為百，則球。的表面積為（）

32萬_

A.-----B.16萬C.52nD.64%

3

【答案】C

【解析】由題意AB=BC=2,/ABC=120。,可求得AABC的面積，進而通過。-ABC的體積得到三棱錐的高，即

球心到平面ABC的距離.通過外接圓的半徑公式，求得截面圓的半徑，得到球。的半徑，即得解.

【詳解】由題意—=2,加C=12。。，^c=>B1|BC|sinZABC=^

Sh

VO-ABC=~^ABC=6；/=3.

AB2

又AABC的外接圓的半徑=2

2sinC2sin30°

因此球。的半徑R=722+32=713

球的表面積：5=4萬4=52%.

故選：C

【點睛】本題考查了球和三棱錐以及球的截面圓的綜合問題，考查了學生的綜合分析，空間想象，數學運算能力,

屬于中檔題.

題型五：點線面的位置關系

13.（2023春?江蘇連云港?高一校考期末）下列表述中正確的是（）

A.若直線a〃平面a,直線6_La,貝1_Lc

B.若直線a平面a,直線6ua,且a_L6，則。_Ltz

C.若平面a內有三個不共線的點到平面夕的距離相等，則a〃￡

D.若平面滿足,夕'/=/,貝i"J_a

【答案】D

【分析】根據空間線面關系的定義及幾何特征，逐一分析四個命題的真假，可得答案.

【詳解】若直線a〃平面a,直線則可能可能6ue,b可能與a只相交不垂直，A選項錯誤;

若直線平面a,直線6ua,且a_LZ?,則可能aJ_a,可能。與a只相交不垂直，B選項錯誤；

若平面a內有三個不共線的點到平面尸的距離相等，則可能。〃尸，可能。與一相交，C選項錯誤；

若平面a,6滿足,a±/,￡）=1,則/J_a,由面面垂直的性質可知，D選項正確.

故選：D

14.（2023春?江蘇蘇州?高一統考期末）設小，〃是兩條不同的直線，a,夕是兩個不同的平面，則下列結論不正確

的是（）

A.若"Z_L尸，"2U1,則a_L/?

B.若m/la,nLa,貝!

C.若m11a,mlI/3,則a〃尸

D.若"?ua,”ua,mlI[3,nlip,俄與“相交，則a〃6

【答案】C

【分析】根據空間中線面、面面的位置關系判斷可得.

【詳解】對于A：若能_L￡,mua,由面面垂直的判定定理可知,故A正確；

對于B：若m//a,則平面a內存在直線c,使得zn//c,又〃_La,cua,所以〃J_c,所以"故B正確;

對于C：若mlla,ml1/3,則a〃6或a與夕相交，故C錯誤；

對于D：若〃zua,〃ua,mlIp,〃///7,m與〃相交，根據面面平行的判定定理可知M/6，故D正確；

故選：C

15.（2023春?江蘇鎮江?高一揚中市第二高級中學校考期末）已知直線機、n,平面a、夕，給出下列命題：

①若7"_L（z,n工f3,且加_1_〃，則

②若mlla,a/3=n,則nilln

③若nllff,且根J_〃，則ar-L月

④若力?_La,nll/3,且mlln,則aJ■尸

其中正確的命題是（）

A.①②B,①③C.①④D.③④

【答案】C

【分析】根據線線、線面和面面位置關系的有關知識對各個命題進行分析，由此確定正確答案.

【詳解】①，根據線面垂直的知識可知，當〃尸，且加，〃時，a，/3,所以①正確.

②,若mlla,ap=n,則可能機〃是異面直線，所以②錯誤.

③，若機J_a,nll/3,且〃此時無法判斷機是否與平面口內的兩條相交直線垂直，

所以③錯誤.

④，若"z_L（z,mlIn,所以〃_Le,由于"〃夕，所以所以④正確.

所以①④正確.

故選：C

題型六：線面的平行和性質

16.（2023春?湖南邵陽?高一邵陽市第二中學校考期末）如圖，在四棱錐尸-ASCD中，平面

PAD,PA=AD=DC=2AB=4,PD=2幣,M是PC的中點.

⑴證明：BM面PAD

（2）證明：平面平面PCD；

⑶求三棱錐M-的體積.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

⑶近

【分析】（1）取尸。中點N,連接腦V,4V,證5M〃㈤V即可；

（2）由R1=A￡＞得ANJ_PD,由平面PAD得AB_LPD,所以PD_L平面A3N,從而得證;

（3）MN//AB,所以MN平面9,根據%=%.=匕一如求解.

【詳解】（1）取尸。中點N,連接W,4V,

0AB〃DC,AB=：DC,MN〃DC,MN=；DC,

RMN〃AB,MN=AB,

laABMN為平行四邊形，則3M〃AN,

IBBA/cZ面PAD,?Vu面PAD,0BM面PAD.

(2)因為上4=AD,所以AN_LPD,

由平面尸ARPDu平面pa。，所以Afi_LPD,

又由4VAB=A,且A7V,ABu平面AB肱V,所以陽，平面AB跖V,

又PDu平面PCD,所以平面ABW_L平面PCD,即平面ABM_L平面PC￡).

(3)由(1)可得MN〃AB,且ABu平面上4B,MN<Z平面所以MN「平面P4B,

=

所以九-PABVN—PAB=VB-NAP，

因為平面PAD,可得匕*”=；34如X45,

又由AP=4,PN=幣，AN1PD,

x

所以AN=“2—7=3,SNAP——V7x3=°幣,

所以vi=3當"幣,即三棱錐〃-總的體積為"

17.(2023春?寧夏吳忠?高一吳忠中學校考期末)如圖：在正方體ABC￡)-A4G2中AB=2,M為OR的中點.

(1)求三棱錐M-ABC的體積；

⑵求證：82//平面.。；

⑶若N為CG的中點，求證：平面AMC//平面BNR.

【答案】⑴:

⑵證明見解析

⑶證明見解析

【分析】(1)根據錐體的體積公式計算即可;

(2)根據線面平行的判定進行證明；

（3）根據面面平行的的判定進行證明.

1119

【詳解】（1）顯然MDJ■平面A5C,=-XMDXS=-xlx-x2x2=-.

Ci

二AB：

設ACBD=O,連接ON,

，在正方體中，四邊形ABCD是正方形，是8。中點，

M是。2的中點，

BD]0平面AMC,OMU平面AMC,

BR'平面AMC；

（3）QN為CG的中點，M為D?的中點，

:.CN//DxM,:.CN=DtM,

..四邊形CN2M為平行四邊形，，D.N//CM,

又.MCu平面AMC,2"0平面4"。,.?.。“?平面AMC,

由（2）知22平面AMC,.BDcD\N=Di，BDiU平面BND、,RNu平面BND,,

「?平面y平面3A0.

18.（2023春?四川宜賓?高一校考期末）如圖，四棱錐P-ABCD中,如，底面ABCD,底面A3CD為菱形，點F

為側棱尸C上一點.

P

AB

⑴若尸尸=FC,求證：E4〃平面應加'；

（2）^BF±PC,求證：平面比陰，平面P3C.

【答案】⑴證明見解析；

（2）證明見解析.

【分析】（1）AC,3。的交點為。，連接O尸，由菱形及中位線性質有BV/5,再由線面平行的判定可證結論;

（2）由題意及線面垂直的性質有3。_LAC、BD±PA,再由線面垂直的判定和性質得3。_LPC,最后根據線面垂

直、面面垂直的判定證結論.

【詳解】（1）設AC,8。的交點為。，連接OF,

因為底面ABC。為菱形，且。為AC中點，PF=FC,

所以BW/OF,又PAa平面以>，0/<=平面尸，

故R4〃平面3DF.

（2）因為底面ABCD為菱形，所以3。，AC,

因為P4_L平面45cD,BDu平面ABCD,所以BD_LR4,

XACr?PA=A,AC<PAu平面尸AC,

所以平面PAC,又PCu平面PAC,

所以BD工PC,又BFLPC,BD\BF=B,BD,3尸u平面3￡（尸,

所以PC_L平面3￡>F,又尸Cu平面尸BC,故平面皮）F_L平面尸BC.

題型七：線面的垂直和性質

19.（2023春?江蘇蘇州?高一統考期末）如圖，在直三棱柱ABC-A片G中，AG=AG，44+用4=48；,

\B}=2A,A,M為棱A片的中點.

（1）求證：平面CW_L平面BGM；

（2）若AG=2,求點以到平面ABC,的距離.

【答案】（1）證明見解析；

⑵點M到平面ABC,的距離為1.

【分析】（1）先證明平面AABBi，可得GM，AM，再證明可得401平面以；〃，根據面面

垂直判定定理證明結論；

（2）由（1）中的證明過程可匕一BCm=%.ABM=gsABMxGM=；x；xAMx3MxGM,計算數據代入即可.

【詳解】（1）因為ABC-4與C為直三棱柱，所以AAL平面ABC-

又GMU平面ABG,所以AA^GM.

因為加為棱A4的中點，AG=AG，所以

因為AAu平面AABB],A#u平面AABB],4耳=4，

所以C幽，平面AAB%

又AMu平面AABBj,所以GM

因為M為棱A耳的中點，所以AA=；ABI=AM.

又AA，AM，所以NAK4=45,同理NBIMB=45,所以

因為GMu平面BCM，平面BGM，3MBM=M,

所以AM1平面BGM，AMu平面C4M,

所以平面CW_L平面BGM；

B

(2)因為A￡=B1G=2,ac：+4c；=A氏，AA=：A與，

所以A4=20,=

所以AM=3M=JAT+A/=2.

由(1)知GM_L平面

iiii,Fy

所以％一明"=%一."=耳5.加，。/=3,5,4〃,府、6知=%，2'2，血=寸，

即三棱錐A-8GM的體積為冥1.

3

因為CG_LAC,CC,_LCB,AC=CB=2，M=0，

所以AC]=3Ci=&,又AB=26.，

取AB的中點為E,則C]E_LA8,所以C1E=2,

所以SABG=gx20x2=20，

設點M到平面ABC1的距離為d,

則』x20xd=逑，

33

所以d=l.

20.（2023春?河南?高一校聯考期末）如圖，三棱柱4BC-4瓦￡中，，A網為等邊三角形，AB=BC=2,CA=CB,,

CA±CB「

（1）證明：平面。4月_1平面43月4；

（2）求直線BB｝和平面A4G所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析

*

【分析】（1）連接BA交A用于o,連接CO,證明CO，60可得線面垂直，再由面面垂直的判定定理得證;

（2）利用等體積法求出點耳到平面ABC的距離d，再由線面角公式sinO=4求解即可.

DDy

【詳解】（1）連接BA交A用于。，連接CO,如圖，

因為A2瓦為等邊三角形，所以A4t瓦為等邊三角形，四邊形ABBA是菱形,

所以4月1.42,又C4=0,CALCBlt。是A片的中點,

所以COJLA用且CO=：A4，

所以AB[=AB=2,BO=-\/3,

在，3OC中，CO?+8。2=12+(6了=22=2。2,所以CO_L3O,

又BOABy=O,BO,Aqu平面ABB^,

所以CO,平面又COU平面CABI,

所以平面CAA，平面AB瓦A；

(2)設見到平面ABC的距離為d,

ABr-

因為ABC中，AB=BC=2,AC=~^-=y/2,

V2

所以sABC=-AC-

2CO=1,

又SABB1=—X2=V3,

4

所以由《-ABC=%-A即，可得丁心△.=；CO*S^ABB、'

_s△.烏V32y/21

即工;也一7

設直線BB］和平面A3C所成角為e,

2后

則sin—=，一旦

BB]27

因為平面ABC〃平面MG，所以求直線即和平面A4C所成角的正弦值為早.

21.(2023春?福建南平?高一校考期末)如圖所示，已知在三棱錐A-3PC中，APLPC,AC±BC,/W為AB的中

點，。為尸3的中點，且△PMB為正三角形.

(0)求證：。暇〃平面APC；

（0）求證：平面ABC1平面APC；

（E）若BC=4,AB=20,求三棱錐D—3CM的體積.

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）10百

【解析】⑴先證可證DM//平面APC.

（2）先證AP1平面PBC,得"，3C,結合AC，3c可證得3C1平面APC.

⑶等積轉換，由力-BCM=VM-DBC，可求得體積.

【詳解】證明：因為“為的中點，。為PB的中點，

所以是./IBP的中位線，MDPAP.

又MDE平面APC,APu平面APC,

所以尸平面APC.

（2）證明：因為為正三角形，。為P3的中點，所以ME>_LM.

又MDPAP,所以AP_LPB.

又因為APLPC,PBPC=P,所以AP工平面PBC.

因為3Cu平面P5C,所以

又因為3CLAC,ACryAP^A,

所以平面APC.

⑶因為AP/平面尸3C,MDPAP,

所以MD_L平面P3C,即是三棱錐M-DBC的高.

因為AB=20,M為A3的中點，△尸MB為正三角形，

所以PB=MB=10,MD=4MB=56

由平面APC,可得BC_LPC,

在直角三角形PCS中，由尸3=10,BC=4,可得尸C=2歷.

于