第05講：空間立體幾何高頻考點突破

【考點梳理】

考點一：空間幾何體結構

（1）多面體

多面體定義圖形及表示相關概念特殊情形

棱柱有兩個面互相平行，其余各EA底面（底）：兩個互相平行的直棱柱：側棱垂直于

產

面都是四邊形，并且相鄰兩面底面的棱柱

個四邊形的公共邊都互相側面：其余各面斜棱柱：側棱不垂直

平行，由這些面所圍成的多側棱：相鄰側面的公共邊于底面的棱柱

面體叫做棱柱A頂點：側面與底面的公共頂正棱柱：底面是正多

記作：棱柱ABCDEF

點邊形的直棱柱

A'B/CrD，E，F

/

棱錐有一個面是多邊形，其余各ill點底面（底）：多邊形面正棱錐：底面是正多

面都是有一個公共頂點的側面：有公共頂點的各個三邊形，并且頂點與底

三角形，由這些面所圍成的角形面面中心的連線垂直于

多面體叫做棱錐側棱：相鄰側面的公共邊底面的棱錐

Ah頂點：各側面的公共頂點

記作;棱錐S-ABCD

棱臺用一個平行于棱錐底面的o上底面：原棱錐的截面

-戾

平面去截棱錐，底面和截面下底面：原棱錐的底面

之間那部分多面體叫做棱側面：其余各面

臺側棱：相鄰側面的公共邊

頂點：側面與上（下）底面的

公共頂點

記作：棱臺ABCD一

葭B'CD'

（3）圓柱、圓錐、圓臺、球

旋轉體結構特征圖形表示

圓柱以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周圓柱用表示它的軸的字

形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱.旋轉軸叫做圓柱母母表示，如圖中的圓柱

的軸；垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓柱的底底而q;1f-MiFti記作圓柱0,0

面；平行于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面；

無論旋轉到什么位置，平行于軸的邊都叫做圓柱側面

的母線

圓錐以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余圓錐也用表示它的軸的

軸

字母表示，如圖中的圓

兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐雷

錐記作圓錐so

底而18

圓臺用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間：、、圓臺也用表示它的軸

的部分叫做圓臺的字母表示，如圖中的

母線圓臺記作圓臺o'0

球半圓以它的直徑所在直線為旋轉軸，旋轉一周形成的▼球常用表示球心的字母

曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體叫做球體，簡半徑來表示，左圖可表示為

稱球.半圓的圓心叫做球的球心，連接球心和球面上球0

心

任意一點的線段叫做球的半徑；連接球面上兩點并且

經過球心的線段叫做球的直徑

考點二：空間幾何體的直觀圖

1、用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟

2、斜二測畫法的步驟：①平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸；②平行于y軸的線長度變半，平行于x,z軸的線

長度不變

3>原圖與直觀圖的關系：S<=-^――SK；Sg=2V2SM

4

考點三：簡單幾何體的表面積與體積

1、空間幾何體的表面積

(1)棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和

(2)圓柱的表面積S=2勿7+2勿'2(3)圓錐的表面積S="/+勿

(4)圓臺的表面積§="/+獷2+成/+成2(5)球的表面積S=4成?

2、空間幾何體的體積

(2)錐體的體積V=；S底x/z

(1)柱體的體積V=S底x/z

(3)臺體的體積V=Ls上+百環+5下)x/z(4)球體的體積丫=百成3

3、球的組合體

(1)球與長方體的組合體：長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.

(2)球與正方體的組合體：正方體的內切球的直徑是正方體的棱長，正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線

長(A/3a).

(3)球與正四面體的組合體：棱長為。的正四面體的內切球的半徑為亞。，外接球的半徑為逅a.

124

考點四：空間直線、平面的平行

1.線面平行的判定定理和性質定理

文字語言圖形語言符號語言

平面外一條直線與此平面內的

l//a\

一條直線平行，則該直線與此

判定定理aUa>=>l//a

平面平行(簡記為“線線平行

/__7Via,

=線面平行”)

一條直線與一個平面平行，則

/〃a、

過這條直線的任一平面與此平

性質定理IUB}=/〃6

面的交線與該直線平行(簡記

為“線面平行=線線平行”)

2.面面平行的判定定理和性質定理

文字語言圖形語言符號語言

一個平面內的兩條相a///3、

交直線與另一個平面b///3

判定定理平行，則這兩個平面平尸>=a〃4

行(簡記為“線面平行口qUa

=面面平行”)bUa>

如果兩個平行平面同a//13]

性質定理時和第三個平面相交,aC\y=g>=>a//b

6G尸"J

那么它們的交線平行4^7

考點五.直線與平面垂直

⑴定義

如果直線I與平面a內的任意一條直線都垂直,則直線/與平面a互相垂直，記作/_La,直線I叫做平面a的垂線,

平面a叫做直線/的垂面.

(2)判定定理與性質定理

文字語言圖形語言符號語言

一條直線與一個平面

ZbUa、

內的兩條相交直線都7aCb=O

判定定理

垂直，則該直線與此平l-La

面垂直l±b,

ab

垂直于同一個平面的a-La\

性質定理1~~7

兩條直線平行2

2.直線和平面所成的角

⑴定義

平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個平面所成的角.若一條直線垂直于平面，它

們所成的角是直角,若一條直線和平面平行，或在平面內，它們所成的角是￡的角.

(2)范圍:［。,2.

3.平面與平面垂直

(1)二面角的有關概念

①二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角;

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線,這兩

條射線所構成的角叫做二面角的平面角.

(2)平面和平面垂直的定義

兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.

(3)平面與平面垂直的判定定理與性質定理

文字語言圖形語言符號語言

一個平面過另一

Z_Lccl

判定定理個平面的垂線,則/

/u0"

這兩個平面垂直￡

兩個平面垂直，則a-L)3、

一個平面內垂直4lup

性質定理/>=/_La

aCB=a

于交線的直線與￡Z

另一個平面垂直l-La>

【題型梳理】

題型一：空間幾何體的結構

1.(2023春?福建南平?高一校考期末)下列命題中正確的是()

A.正方形的直觀圖是正方形

B.平行四邊形的直觀圖是平行四邊形

C.有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱

D.用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺

2.（2023春?四川宜賓?高一宜賓市敘州區第一中學校校考期末）下列命題中，正確的是（）

A.經過正方體任意兩條面對角線，有且只有一個平面

B.經過正方體任意兩條體對角線，有且只有一個平面

C.經過正方體任意兩條棱，有且只有一個平面

D.經過正方體任意一條體對角線與任意一條面對角線，有且只有一個平面

3.（2023春?黑龍江大慶?高一鐵人中學校考期中）給出下列說法：

①有兩個面平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體是棱臺

②有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；

③有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱

④一個圓柱形蛋糕，切三刀最多可切成7塊

其中正確說法的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

題型二：直觀圖

4.（2023春?四川成都?高一成都外國語學校校考期末）如圖，一個水平放置的平面圖形048c的斜二測直觀圖是平

行四邊形ON'3'C',且O'C'=4,O'A=2,/4'0C'=45。，則平面圖形。42c的面積為（）

5.（2023春?云南昆明?高一昆明一中校考期中）己知RtAOAE是一平面圖形的直觀圖，斜邊。8'=2,則這個平面

A.gB.1C.V2D.2A/2

6.（2023春?廣東茂名?高一統考期中）如圖，水平放置的AABC的斜二測直觀圖為AA'3'C，已知A'O'=B'O'=CO'=1,

則AABC的周長為（）

題型三：空間幾何體的表面積和體積

7.（2023春,江蘇常州?高一常州市第一中學校考期末）陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發現的

新石器時代遺址.如圖所示的是一個陀螺立體結構圖.已知，底面圓的直徑AS=12cm,圓柱體部分的高BC=6cm,圓

錐體部分的高8=4cm,則這個陀螺的表面積（單位：cn?）是（）

B.(144+24713)71

C.(108+12萬)兀D.(108+24萬卜

8.（2023春?江蘇鎮江?高一揚中市第二高級中學校考期末）三棱錐尸-ABC的所有頂點都在球。的球面上.棱錐

「一45c的各棱長為：上4=2,PB=3,PC=4,AB=^3,BC=5,AC=2^5,則球。的表面積為（）

A.28%B.29萬C.30萬D.31萬

9.（2023春?浙江金華?高一浙江金華第一中學校考期末）〃辛普森（Simpson）公式〃給出了求幾何體體積的一種估算

方法：幾何體的體積V等于其上底面的面積S、中截面（過高的中點且平行于底面的截面）的面積S。的4倍、下底

面的面積S'之和乘以高//的六分之一，即丫=!MS+4S0+S'）.我們把所有頂點都在兩個平行平面內的多面體稱為擬

6

柱體.在這兩個平行平面內的面叫作擬柱體的底面，其余各面叫作擬柱體的側面.中國古代名詞"芻童"（原來是草堆

的意思）就是指上下底面皆為矩形的擬柱體.已知某"芻童"尺寸如圖所示，且體積為己二則它的高為（

53

C，9+30

題型四：內接球和外接球表面積和體積

10.（2023春?浙江寧波?高一慈溪中學校聯考期末）在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉膈.

在鱉席A-BCZ）中，AB工平面BCD,BCLCD,且AB=BC=Cr>=l,則其內切球表面積為（）

A.37tB.心RC.^3—2-\/2jnD.—1）兀

11.（2023春?江蘇蘇州?高一統考期末）蹴鞠，又名蹴球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、

內實米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非

物質文化遺產經國務院批準列入第一批國家非物質文化遺產名錄.已知某鞠的表面上有四個點尸，A,B,C恰好構

成三棱錐尸一A5C,若BC1CP,且BC=1,CP=2,AB=3,&尸=內，則該鞠的表面積為（）

7

A.-71B.7〃C.14%D.287r

2

12.（2023春?江蘇鎮江?高一揚中市第二高級中學校考期末）已知三棱錐O-ABC中，A,B,。三點在以0為球心

的球面上，若AS=BC=2,ZABC=120°,且三棱錐O-ABC的體積為山，則球。的表面積為（）

32?—一

A.-----B.1671C.52〃D.647r

3

題型五：點線面的位置關系

13.（2023春?江蘇連云港?高一校考期末）下列表述中正確的是（）

A.若直線a〃平面a,直線〃_La,貝

B.若直線平面a,直線6ua,且；，力，則。_L<z

C.若平面a內有三個不共線的點到平面夕的距離相等，則a〃6

D.若平面a,，滿足。，aVy,0Ry=l,貝

14.（2023春?江蘇蘇州?高一統考期末）設加，〃是兩條不同的直線，a,夕是兩個不同的平面，則下列結論不正確

的是（）

A.若根_L〃，mua,則。_14

B.若ml/a,ri-La,貝U機_L〃

C.若mJla,MIIB,貝〃萬

D.若mua,HuamlIp,nlip,加與〃相交，則a〃/?

15.（2023春?江蘇鎮江?高一揚中市第二高級中學校考期末）已知直線加、n,平面a、夕，給出下列命題:

①若mJ_a,n工廿,且機_L〃，則a_L尸

@）若m//a,a[y/3=n,則加//〃

③若m_La,nll/3,且機_L〃，則。_1尸

④若m_La,nlip,豆mlIn,則尸

其中正確的命題是（）

A.①②B,①③C.①④D.③④

題型六：線面的平行和性質

16.（2023春?湖南邵陽?高一邵陽市第二中學校考期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB〃CD,ABL平面

PAD,PA=AD=DC=2AB=4,PD=2幣,M是PC的中點.

（1）證明：〃面PAD

（2）證明：平面ABAf_L平面尸CD；

⑶求三棱錐M-PAB的體積.

17.(2023春?寧夏吳忠?高一吳忠中學校考期末)如圖：在正方體ABCD-ABCA中AB=2,M為的中點.

______C,

AB

(1)求三棱錐M-ABC的體積；

⑵求證：BD\U平面AMC；

⑶若N為CG的中點，求證：平面40C//平面BNR.

18.(2023春?四川宜賓?高一校考期末)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD,底面ABCD為菱形，點產

為側棱PC上一點.

(1)若「尸=尸。，求證：PA〃平面由加；

(2)若3產，PC,求證：平面比/_L平面PBC.

題型七：線面的垂直和性質

19.(2023春?江蘇蘇州?高一統考期末)如圖，在直三棱柱ABC-a4G中，AG=4G，4。：+與。；=4因，

44=2AA,M為棱的中點.

(1)求證：平面C4M_L平面BC|M；

⑵若AG=2,求點M到平面ABG的距離.

20.(2023春?河南?高一校聯考期末)如圖，三棱柱ABC-44C中，AA3耳為等邊三角形，AB=BC=2,CA=CBt,

CA1CB-

(1)證明：平面CA瓦，平面

⑵求直線BBI和平面A片G所成角的正弦值.

21.(2023春?福建南平?高一校考期末)如圖所示，已知在三棱錐中，APLPC,AC±BC,M為AB的中

點，。為P8的中點，且△PMB為正三角形.

(E)求證：DM//平面APC；

(0)求證：平面ABC平面APC；

(0)若8C=4,AB=20,求三棱錐￡)-BCM的體積.

題型八：距離和線面角平面角問題

22.(2023春?江蘇南通?高一校考期末)如圖，AB是圓。的直徑，C是圓上異于A、B一點,直線尸C,平面ABC,

⑴求點C到平面PAB的距離;

(2)求二面角8-P4-C的正切值.

TT

23.(2023春?浙江寧波?高一慈溪中學校聯考期末)己知邊長為6的菱形ABC。，ZABC=~,把“SC沿著AC翻

折至VABC的位置，構成三棱錐耳-ACD,且詼=；函，CF=^CD,FE=叵.

232

Bi

（1）證明：AClBtD.

（2）求二面角4-AC-。的大小；

⑶求EF與平面AB,C所成角的正弦值.

24.（2023春?江蘇鎮江?高一揚中市第二高級中學校考期末）如圖，在四棱錐尸一A8CD中，PB=PD,P^PC,M,

N分別為如，BC的中點底面四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且回。48=60。，AC交2。于點O.

（2）二面角8—PC—。的平面角為0,若cos。=-3.

①求PA與底面ABCD所成角的大小；

②求點N到平面CDP的距離.

【專題突破】

一、單選題

25.（2023春?江蘇無錫?高一輔仁高中校考期末）四棱臺ABCZJ-EFG8中，其上、下底面均為正方形，若麻=2AB=8,

且每條側棱與底面所成角的正切值均為3亞，則該棱臺的體積為（

224

A.224B.448C.—D.147

3

26.（2023春?寧夏吳忠?高一吳忠中學校考期末）已知圓錐尸。，其軸截面（過圓錐旋轉軸的截面）是底邊長為6m,

頂角為胃的等腰三角形，該圓錐的側面積為（）

A.6m1?B.6^7tm2C.3^nm2D.1267tm2

27.（2023春?湖南邵陽?高一邵陽市第二中學校考期末）在《九章算術》中，底面為矩形的棱臺被稱為"芻童已知

棱臺ABC。-A'3'C'O是一個側棱相等、高為1的“芻童"，其中AB=2AB'=2,BC=2B'C=273,則該“芻童"外

接球的表面積為（）

A.20兀B.—7tC.兀D.5y/5n

33

28.（2023春?浙江寧波?高一慈溪中學校聯考期末）如圖，在棱長均為2的直三棱柱ABC-ABG中，。是人e的中

點，過3、C、。三點的平面將該三棱柱截成兩部分，則頂點與所在部分的體積為（）

A.正B.亞C.73D.友

366

29.（2023春?江蘇連云港?高一江蘇省海頭高級中學校考期末）已知/,m,〃是三條不同的直線，夕，》是三

個不同的平面，則下列結論正確的是（）

A.若1///?,///。，則/〃尸

B.若機ua,〃ua,/_Lm,/_L〃，貝

C.若/_L%7_La,則分///

D.若機機，則///〃

30.（2023春?江蘇常州?高一常州市第一中學校考期末）已知〃1是兩條不同的直線，。,尸是兩個不同的平面，下列

命題中正確的是（）

A.若。〃則。_Lc

B.若a_La,a_L6,則人尸。

C.箱aua,bua,a〃0,b〃0,貝Ija〃夕

D.羌ac\b=N,a〃a,b〃a,a"、則a〃/

3L（2023春?江蘇常州?高一常州市第一中學校考期末）如圖，平面四邊形ABC。中，ZABC=^,AACD為正三角

形，以AC為折痕將△ACD折起，使。點達到尸點位置，且二面角P-AC-3的余弦值為-由，當三棱錐P-ABC

3

的體積取得最大值，且最大值為正時，三棱錐尸-ABC外接球的體積為（）

A.兀B.0兀C.y/3TtD.巫K

32.（2023春?福建南平?高一期末）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，24,平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,

PA=AB,E為AP的中點，則異面直線PC與OE所成的角的正弦值為（）

?

5。?半

33.（2023春?河南南陽?高一統考期末）如圖是正方體的平面展開圖.關于這個正方體，有以下判斷:

①ED與NF所成的角為60°②CN團平面AFB

③BM/IDE④平面由江;團平面NCF

其中正確判斷的序號是（）.

A.①③B.②③C.①②④D.②③④

二、多選題

34.（2023春?江蘇鹽城?高一江蘇省響水中學校考期末）已知圓錐的頂點為P,底面圓心為。，為底面直徑,

ZAPB=120°,PA=2,點C在底面圓周上，且二面角「一AC-O為45。，貝”（）.

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側面積為兀

C.AC=20D.△PAC的面積為6

35.（2023春?湖南株洲?高一統考期末）某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺。。2,在軸截

面ABC。中，AB=AD=BC=2cm,^.CD=2AB,下列說法正確的是（）

A.該圓臺軸截ABCD面面積為3j3cm2

B.該圓臺的體積為弩￡cn?

C.該圓臺的表面積為1071cm2

D.沿著該圓臺表面，從點C到AD中點的最短距離為5cm

36.（2023春?江蘇蘇州?高一統考期末）如圖，在正方體ABC。-AAGA中，點尸在線段8G上運動，下列判斷中

A.平面G2Q，平面AC，

B.4尸,。耳

C.^P-ACDi=J-ACDt

D.異面直線A7與A，所成角的取值范圍是（og

37.（2023春?浙江寧波?高一統考期末）已知正四棱柱ABCD-A462的底面邊長為工，側棱長為2,點M為側棱CQ

上的動點（包括端點），A加上平面下列說法正確的有（）

A.異面直線AM與瓦C可能垂直

B.直線BC與平面a可能垂直

C.AB與平面a所成角的正弦值的范圍為

D.若Vea且CM=MC一則平面a截正四棱柱所得截面多邊形的周長為3人

三、填空題

38.（2023春?河南周口?高一校聯考期末）已知圓錐的母線長為1,底面半徑為r,若圓錐的側面展開圖的面積為扇

形所在圓的面積的《，則,=____________.

3r

39.（2023春?江蘇南京?高一南京市中華中學校考期末）已知三棱錐S-ABC中，SAL平面ABC,AB=BC=CA=2,

異面直線SC與A8所成角的余弦值為巫，則三棱錐S-ABC的外接球的表面積為.

4

40.（2023春?浙江寧波?高一慈溪中學校聯考期末）杭州第19屆亞運會會徽"潮涌"的主題圖形融合了扇面、錢塘江、

錢江潮頭、賽道、互聯網及太陽六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蘊.在中國歷史上，歷代書畫家都

喜歡在扇面上繪畫或書寫以抒情達意.一幅扇面書法作品如圖所示，經測量，上、下兩條弧分別是半徑為30和12

的兩個同心圓上的弧（長度單位為cm）,側邊兩條線段的延長線交于同心圓的圓心，且圓心角為寶.若某空間幾何

體的側面展開圖恰好與圖中扇面形狀、大小一致，則該幾何體的高為.

41.（2023春?寧夏吳忠?高一吳忠中學校考期末）如圖，在棱長為1的正方體A8CO-A4G2中，點A到平面A