第06講動態平衡和臨界、極值問題

熱點題型歸納

題型一動態平衡問題

題型二平衡中的臨界問題

題型三平衡中的極值問題

考情分析

課標要求命題預測重難點

L學會用圖解法、解析法等

解決動態平衡問題。

索橋、千斤頂、刀、木楔的工(1)體會臨界和極值的物理含義。

作原理。(2)理解動態變化的過程。

2.會分析平衡中的臨界與

極值問題。

題型分類?舉一反三

題型一動態平衡問題

【典型例題剖析】

【例1】(多選)如圖所示，在傾角為a的斜面上，放一質量為用的小球，小球和斜面及擋板間均無摩擦,

當擋板繞。點逆時針緩慢地轉向水平位置的過程中()

A.斜面對球的支持力逐漸增大

B.斜面對球的支持力逐漸減小

C.擋板對小球的彈力先減小后增大

D.擋板對小球的彈力先增大后減小

【答案】BC

【詳解】對小球受力分析知，小球受到重力加g、斜面的支持力FNI和擋板的彈力FN2,如圖，當擋板

繞。點逆時針緩慢地轉向水平位置的過程中，小球所受的合力為零，根據平衡條件得知，FN1和尺2的

合力與重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三個不同位置力的受力分析圖，由圖看出，斜面對小

球的支持力尸N1逐漸減小，擋板對小球的彈力尸N2先減小后增大，當尸N1和尸N2垂直時，彈力風2最小，

故選項B、C正確，A、D錯誤。

【高考考點對接】

動態平衡是指物體的受力狀態緩慢發生變化，但在變化過程中，每一個狀態均可視為平衡狀態。常用方

法：圖解法、解析法、相似三角形法、輔助圓法、正弦定理法。

1.“一力恒定，另一力方向不變”的動態平衡問題

(1)一個力恒定，另一個力始終與恒定的力垂直，三力可構成直角三角形，可作不同狀態下的直角三角形,

分析力的大小變化，如圖甲所示。

(2)一力恒定，另一力與恒定的力不垂直但方向不變，作出不同狀態下的矢量三角形，確定力大小的變化,

在變化過程中恒力之外的兩力垂直時，會有極值出現，如圖乙所示。

2.“一力恒定，另兩力方向均變化”的動態平衡問題

一力恒定(如重力)，其他二力的方向均變化，但二力分別與繩子、兩物體重心連線方向等平行，即三力

構成的矢量三角形與繩長、半徑、高度等實際幾何三角形相似，則對應邊比值相等。

基本矢量圖，如圖所不

mg

mgFNFT

基本關系式:

H~R+r~L

3.一力恒定，另外兩力方向均變化，但兩力方向夾角保持不變的動態平衡問題

利用正弦定理或利用輔助圓，恒力為圓的一條弦，恒力所對應角的頂點在圓上移動，可保持圓心角不變,

根據不同位置判斷各力的大小變化。

【解題能力提升】

分析動態平衡問題的流程

受力分析一一竺變上—＞畫不同狀態下的受力平衡圖構造矢量三角形

—里竺%一根據矢量三角形邊長關系確定矢量的大小變化

__里絲史1一,三角函數關系

―上吧更T正弦定理一找關系求解

相似三角形

【跟蹤變式訓練】

【變式1-1］如圖所示為一簡易起重裝置，/C是上端帶有滑輪的固定支架，5c為質量不計的輕桿，桿

的一端。用錢鏈固定在支架上，另一端2懸掛一個質量為加的重物，并用鋼絲繩跨過滑輪/連接在卷

揚機上。開始時，桿2c與/C的夾角乙8090。，現使乙BC4緩慢變小,直到N2C4=30。（不計一切阻

力）。在此過程中，桿8c所產生的彈力（）

A

///////B

A.大小不變B.逐漸增大

C.先增大后減小D.先減小后增大

【答案】A

【詳解】以結點8為研究對象，分析受力情況，作出力的合成圖如圖，根據平衡條件知，F、網的合

力尸合與G大小相等、方向相反。

1

尸N

"7."，7匚口機

G

F八FFN巾BC

根據三角形相似得一=一=——，又F,=二G,得尸N=-G

ACABBCAC

乙5C/緩慢變小的過程中，AC、8C不變,則風不變，故桿5c所產生的彈力大小不變，故選A。

【變式1-2］（多選）如圖，柔軟輕繩ON的一端O固定，其中間某點M拴一重物，用手拉住繩的另一

71

端N。初始時，豎直且被拉直，與九W之間的夾角為a（a>a）。現將重物向右上方緩慢拉起,

并保持夾角a不變。在0M由豎直被拉到水平的過程中（）

A.上的張力逐漸增大

B.上的張力先增大后減小

C.上的張力逐漸增大

D.O河上的張力先增大后減小

【答案】AD

【詳解】法一：以重物為研究對象分析受力情況，受重力mg、（W繩上拉力廠2、兒W上拉力尸1，由

題意知，三個力的合力始終為零，矢量三角形如圖所示，為、尸2的夾角不變，在月轉至水平的過程中,

矢量三角形在同一外接圓上，由圖可知，上的張力力逐漸增大，OAZ上的張力尸2先增大后減小，所

以A、D正確，B、C錯誤。

法二：正弦定理

meF\F?

根據正弦定理----=-----=—―,mg與sin仇保持不變，sin仇變大，尸i變大，sin。2先增大后減小,

sin伍sin0\sinO2

尸2先增大后減小，故選A、D,

【變式1-3］（2023?江蘇南京市模擬）如圖甲所示，筆記本電腦支架一般有多個卡位用來調節角度，某

人將電腦放在該支架上，由卡位4緩慢調至卡位1（如圖乙），電腦與支架始終處于相對靜止狀態，貝女）

4

乙

A.電腦受到的支持力變大

B,電腦受到的摩擦力變大

C.支架對電腦的作用力減小

D.電腦受到的支持力與摩擦力兩力大小之和等于其重力大小

【答案】A

【詳解】根據題意，電腦始終處于平衡狀態，對電腦受力分析，如圖所示，由平衡條件可得，電腦受

到的支持力大小為FN=GCOSe

電腦受到的摩擦力大小Ff=Gsin0

由卡位4緩慢調到卡位1,0減小，故&增大，居減小，故B錯誤，A正確。

支架對電腦的作用力即為電腦受到的支持力與摩擦力的合力，支持力與摩擦力的合力大小等于電腦的重

力，保持不變，根據“三角形兩邊之和大于第三邊”可知，電腦受到的支持力與摩擦力兩力大小之和大于

其重力大小，C、D錯誤。

題型二平衡中的臨界問題

【典型例題剖析】

【例2】（2023?河南洛陽市期末）如圖所示，一光滑球體放在支架與豎直墻壁之間，支架的傾角。=

60°,光滑球體的質量為加，支架的質量為2加，已知最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，整個裝置保持靜止,

則支架和地面間的動摩擦因數至少為（）

A.—B；

9

【答案】D

【詳解】對光滑球體受力分析如圖所示，根據平衡條件可得/，N2COs0=mg,對支架受力分析如圖所示

根據牛頓第三定律可知FN3=FN2,

對支架由平衡條件可得FN4=2mg+FN3cos0,

Ff=R^sin仇

又達到最大靜摩擦力時bN4，

聯立以上各式解得〃=號，可知支架和地面間的動摩擦因數至少為、故選D。

【高考考點對接】

1.臨界問題

當某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態“恰好出現”或“恰好不出

現”，在問題的描述中常用“剛好”“恰能”“恰好”等。臨界問題常見的種類：

(1)由靜止到運動，摩擦力達到最大靜摩擦力。

(2)繩子恰好繃緊，拉力尸=0。

(3)剛好離開接觸面，支持力尺=0。

2.解題方法

(1)極限法：首先要正確地進行受力分析和變化過程分析，找出平衡的臨界點和極值點；臨界條件必須在

變化中去尋找，不能停留在一個狀態來研究臨界問題，而要把某個物理量推向極端，即極大和極小。

(2)數學分析法：通過對問題的分析，根據物體的平衡條件寫出物理量之間的函數關系(或畫出函數圖像),

用數學方法求極值(如求二次函數極值、公式極值、三角函數極值)。

(3)物理分析方法：根據物體的平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定

則進行動態分析，確定最大值與最小值。

【跟蹤變式訓練】

【變式2-1】制作木器家具時，工人師傅常在連接處打入木楔，如圖所示，假設一個不計重力的木楔

兩面對稱，頂角為a,豎直地被打入木制家具縫隙中。已知接觸面的動摩擦因數為〃，且最大靜摩擦力

等于滑動摩擦力。要使木楔能自鎖而不會自動滑動，a與〃應滿足（）

a

A.//>tan—B.//>tana

D.[L>

【答案】A

【詳解】由于存在對稱性，僅對木楔的一個側面受力分析，如圖所示，當木楔能自鎖而不會自動滑出

aaa

時，一定滿足尸Nsin戶，尸NCOS鼻，整理得〃〉tan5,故選A。

【變式2-2]（2024?重慶市七校開學考）小李發現小區的消防通道被一質量為加的石墩擋住了，為了移

開石墩小李找來一根結實的繩子，將繩的一端系在石墩上，雙手緊握繩的另一端用力斜向上拖拽石墩。

設繩子與水平方向的夾角為仇小李對繩施加的最大拉力為0.6mg,g為重力加速度，石墩與水平地面間

的動摩擦因數為苧，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。則下列說法正確的是（）

A.無論。取何值，小李都不可能拖動石墩

71

B.小李能拖動石墩，且當6=-時最省力

3

71

C.小李能拖動石墩，且當6=-時最省力

71

D.小李能拖動石墩，且當。=-時最省力

4

【答案】C

【詳解】對石墩進行受力分析如圖所示

y

X

mg

Feos0—[iF^

F^+Fsin0=mg

Q]

解得ZFL^-cos0+-sin6）=mg

m27171

即/=------——,可解得，當夕=-時，尸最小為0.5冽g,故小李能拖動石墩，且當夕=-時最省力，故

2sinD^+0D‘6

選Co

【變式2-3】如圖所示，豎直面內固定一光滑大圓環軌道，。為圓心，在大圓環軌道最高點N固定一

個光滑的小滑輪，一輕繩繞過小滑輪，一端連接套在大圓環軌道上的小球，用力尸拉輕繩另一端，在小

球從2點緩慢上升到C點的過程中，有（）

A.拉力尸逐漸增大

B.拉力少先減小后增大

C.小球對大圓環軌道的壓力大小保持不變

D.小球對大圓環軌道的壓力先增大后減小

【答案】C

[詳解】對小球進行受力分析如圖所示，根據相似三角形法可得F一=——FN=*me

ABOBOA

在小球從3點緩慢上升到C點的過程中，重力大小、方向均不變，AB變小，04、。2不變，則拉力?

逐漸減小，大圓環軌道對小球的支持力樂大小不變，由牛頓第三定律知小球對大圓環軌道的壓力大小

保持不變，故選C。

題型三平衡中的極值問題

【典型例題剖析】

【例3】如圖所示，質量m=5.2kg的金屬塊放在水平地面上，在斜向右上的拉力尸作用下，向右以

%=2.0m/s的速度做勻速直線運動。已知金屬塊與地面間的動摩擦因數〃=0.2,g=10m/s2o求所需拉

力廠的最小值。

【答案】2而N

【詳解】設拉力與水平方向夾角為0,根據平衡條件有Feos0=武加g—尸sin6),整理得cos6+〃sin6=

J1+/?sin(a+0)=/&其中sina=-^===),當0=：-a時廠最小，故所需拉力廠的最小值尸min=

患=2"

【解題能力提升】

在力的方向發生變化的平衡問題中求力的極小值時，一般利用三角函數求極值。也可利用“摩擦角”將四力

平衡轉化為三力平衡，從而求拉力的最小值。例如：如圖所示，物體在拉力尸作用下做勻速直線運動，改

變6大小，求拉力的最小值時，可以用支持力與摩擦力的合力/代替支持力與摩擦力，Fmin=mgsin6,其中

Ft

FN與吊的合力斤方向一定，“摩擦角滿足tan6=—。

斤N

【跟蹤變式訓練】

【變式3-1](2023?江蘇揚州市質檢)如圖所示，在質量為加的物塊甲上系著兩條細繩，其中長30cm的

細繩另一端連著輕質圓環，圓環套在水平棒上可以滑動，圓環與棒間的動摩擦因數〃=0.75。另一細繩

跨過光滑定滑輪與重力為G的物塊乙相連，定滑輪固定在距離圓環50cm的地方，系統處于靜止狀態,

0/與棒的夾角為仇兩繩夾角為小當G=6N時，圓環恰好開始滑動。最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,

g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8o求：

B50cm.

(1)04繩與棒間的夾角仇

⑵物塊甲的質量加。

【答案】(1)53。(2)1kg

【詳解】(1)當圓環恰好要開始滑動時，設此時水平棒對圓環的支持力大小為尸N，細繩對圓環的拉力

大小為后，對圓環受力分析，如圖甲所示，根據平衡條件有〃尸N=FTCOS0①

FN=FTsin。②

……14

聯立①②解得tan6=-=-，即6=53°。

(2)由題意，根據幾何關系可知9=90°

按如圖乙所示，以。為坐標原點建立xQy直角坐標系，對物塊甲受力分析，根據平衡條件有Geos0+

FTsin。一"zg=O③

mg

乙

FTCOS0—Gsin0=0④

聯立③④解得加=1kgo

【變式3-2］（多選）（2023?安徽安慶市三模）如圖所示，把傾角為30。的粗糙斜面體C置于粗糙水平地面

上，質量為的物塊/通過跨過光滑輕定滑輪的輕繩與質量為m的小球3連接，。點為輕繩與定滑輪

的接觸點，初始時，小球2在水平向右的拉力廠作用下，使輕繩。5段與水平拉力廠的夾角為8=120。,

4、B均保持靜止狀態。現改變拉力F,并保持夾角Q大小不變，將小球B向右上方緩慢拉起至0B水平，

物塊/始終保持靜止狀態。g為重力加速度，下列關于該過程的說法正確的是（）

A.拉力廠一直變大

B.拉力廠最小為

C.斜面體C所受地面摩擦力一直變小

D.斜面體C所受地面摩擦力先變小后變大

【答案】AB

【詳解】對小球3受力分析，將尸T、尸、，〃g組成矢量三角形，由于bT和尸的夾角始終不變，作輔助

圓如圖所示

拉力廠一直變大，初始狀態時最小，為與ng,A、B正確；拉力廠的水平分力先變大后變小，對A、

B、C整體進行受力分析知斜面體C所受地面摩擦力大小等于拉力廠的水平分力大小，也是先變大后變

小，故C、D錯誤。

【變式3-3】如圖所示，物體甲放置在水平地面上，通過跨過光滑定滑輪的輕繩與小球乙相連，整個

系統處于靜止狀態。現對小球乙施加一個水平力尸，使小球乙緩慢上升一小段距離，整個過程中物體甲

保持靜止，甲受到地面的摩擦力為”，則該過程中（）

A.bf變小，尸變大B.4變小，尸變小

C.Ff變大,尸變小D.Ff變大，尸變大

【答案】D

【詳解】以小球乙為研究對象受力分析，設繩與豎直方向的夾角為a,根據平衡條件可得，水平拉力尸

=mgtana,夾角a逐漸增大，則水平拉力尸逐漸增大，繩子的拉力為尸丁=」鷺，故繩子的拉力逐漸增

cosa

大；以物體甲為研究對象受力分析，根據平衡條件可得，物體甲受到的地面的摩擦力與繩子拉力水平方

向的分力等大反向，尸f=FrCOSo='"gc°s°,逐漸增大，故選D。

cosa

綜合過關檢測】

1.（2023?山東煙臺市模擬）如圖所示，用一個質量不計的網兜把足球掛在光滑豎直墻壁上的/點，足球與墻

壁的接觸點為瓦若只增大懸繩的長度，足球始終保持靜止狀態，關于懸繩對球的拉力尸和墻壁對球的

支持力FN，下列說法正確的是（）

A.E和風都增大B.尸增大，FN減小

C.尸減小，尺增大D.尸和FN的合力不變

【答案】D

【詳解】對球受力分析，由平衡條件得懸繩對球的拉力滿足Feos。=摩，墻壁對球的支持力滿足tan。

F

=——N，所以當增大懸繩的長度時，夾角e減小，貝Ucos。增大，tan?減小，所以尸和尺都減小，故A、

mg

B、C錯誤；因為足球始終保持靜止狀態，所以尸和尸N的合力始終與加g等大反向，故D正確。

2.（2024?重慶市渝中區期中）如圖甲所示，用瓦片做屋頂是我國建筑的特色之一。鋪設瓦片時，屋頂結構可

簡化為圖乙所示，建筑工人將瓦片輕放在兩根相互平行的模條正中間，若瓦片能始終靜止在楝條上。已

知模條與水平面夾角均為0,瓦片質量為m,橡條間距離為d,重力加速度為g,下列說法正確的是（）

A.瓦片共受到4個力的作用

B.橡條對瓦片作用力方向垂直楝條向上

c.緩慢減小楝條的傾斜角度e時，瓦片與楝條間的摩擦力變大

D.緩慢增大楝條間的距離d時，兩根楝條對瓦片的彈力都增大

【答案】D

【詳解】瓦片受重力、兩根棵條的支持力和摩擦力，共5個力，A錯誤；楝條對瓦片作用力應為支持

力與摩擦力的合力，方向豎直向上，B錯誤；摩擦力等于加gsinO,減小模條的傾斜角度6時，摩擦力減

小，C錯誤；檄條對瓦片的兩個彈力等大，合力等于機geos仇當增大檄條間的距離d時，兩彈力與豎

直方向的夾角增大，則兩彈力增大，D正確。

3.（2024?云南省聯考）如圖所示，晾曬衣服的繩子（可視為輕繩）固定在兩根豎直桿A、B上，繩子的質量及

衣架掛鉤之間的摩擦均可忽略不計，衣服處于靜止狀態。保持A桿及A桿上繩子的結點位置不動，則

下列說法正確的是（）

A.若保持繩子的長度、繩子與B桿的結點不變，將B桿緩慢向右移動，繩子上的拉力大小逐漸減小

B.若保持繩子的長度、B桿的位置不變，將繩子與B桿的結點緩慢向上移動，繩子上的拉力大小逐漸

增大

C.若保持繩子的長度、B桿的位置不變，將繩子與B桿的結點緩慢向下移動，繩子上的拉力大小保持

不變

D.若保持繩與B桿的結點不變，只改變繩子的長度，繩子上的拉力大小可能保持不變

【答案】C

【詳解】若保持繩子的長度、繩子與B桿的結點不變，將B桿緩慢向右移動，繩子與豎直方向之間的

夾角增大，繩子上的拉力逐漸增大，故A錯誤；若保持繩子的長度、B桿的位置不變，只移動繩子與B

桿的結點，繩子與豎直方向