第四章因式分解（A卷基礎夯實）一北師大版八年級下冊

數學單元雙測卷

【滿分：120】

一、選擇題：（本大題共10小題，每小題4分，共40分，給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的）

1.將多項式6仍2_3仍進行因式分解，公因式是（）

B.labD.6ab

2.若“+/?=4,〃力=5,則a2b+ab2的值為(

3.下列因式分解結果正確的是（

A.—+4x=-xB.x2-4y2=(x+4y)(x-4y)

C.——2x—1=—x(x+2)—1D.-5x+6=(%-2)(x—3)

4.某課外密碼研究小組接收到一條密文：8%（川-“2）-8乂蘇-"）.已知密碼手冊的部分信息如

下表所示:

密文m-n%-yx+y8X

明文我愛中華大地

把密文8x（加-1）-8y（療-用因式分解解碼后，明文可能是（）

A.中華大地B.愛我中華C.愛大中華D.我愛中大

5.已知長方形的周長為16cm,它兩鄰邊長分別為xcm,ycm,且滿足（x-y）?-2x+2y+l=0,

則該長方形的面積為（）cm2

A.—B.—C.15D.16

42

6.已知a、b、c為△ABC的三邊，且滿足2c2,則△他。是（）

A.直角三角形B.等腰或直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

7.如圖為2024年某月日歷，現用一個正方形方框框住部分（陰影部分）9個位置上的數，若最小的

數與最大的數的積記為〃，中間位置上的數記為幾下列所給的數據中,〃不可能是（）

A.161B.298C.420D.465

8.已知多項式2x-3,當x=7"時，該多項式的值為〃，當了=〃時，該多項式的值為如若

mwn,則加+〃的值為（）

A.-lB.lC.-3D.3

9.將（2x）"-81因式分解后得（4/+9）（2x+3）（2龍-3）,那么〃等于（）

A.2B.4C.6D.8

10.數論是研究整數性質的一門理論.它滲透于我們的中小學數學教材之中，其中整數的奇偶性

也屬于數論研究內容的一部分，偶數與奇數的運算性質為：奇數土奇數=偶數；偶數土偶數=偶

數；奇數土偶數=奇數；奇數x奇數=奇數；偶數x偶數=偶數;奇數x偶數=偶數.有這樣一道關于

整式運算的試題：已知a,b,c為自然數，使得（d-2伊-cRc°-力=11713,請求出a,

c的值.小明運用整數的奇偶性進行分析，得出以下結論：

①要使等式成立，則（4-加）伊-c"）/片）=11713三個因式均為奇數；

②可以求出a,b,c的1組解；

③可以求出a,b,c的6組解；

④沒有符合條件的自然數a,b,c.

以上結論正確的個數為（）

A.lB.2C.3D.4

二、填空題（每小題4分，共20分）

11.分解因式：3a2—27=.

12.分解因式：4a2〃—84。+44=.

13.化簡：a+1++1)++Ip+…++1)2024=.

14.已知m+n=3，則m2—n2+6n=.

15.定義：任意兩個數見瓦按規則c=a+b-就擴充得到一個新數c,稱所得的新數c為“鴻蒙數”,

若。=2,。=爐一2%+2,比較瓦c的大小：bc.

三、解答題(本大題共6小題，共計60分，解答題應寫出演算步驟或證明過程)

16.(8分)因式分解：

(1)25m2—1Qmn+rr；

(2)12a%(x-y)-4aZ?(y-x).

17.(8分)閱讀理解學習：

將多項式尤?+3x-10分解因式得d+3x-10=(x-2)(x+5),說明多項式f+3x-10有一個因

式為％—2,還可知，當x—2=0時光？+3x—10=0.

請你學習上述閱讀材料解答以下問題：

⑴若多項式/+日—6有一個因式為％-3,求左的值；

(2)若x+2,x-l是多項式2三+G?+5%-人的兩個因式，求a,6的值.

18.(10分)閱讀材料：教科書中提到4+2而+〃和4―2必+〃這樣的式子叫做完全平方式.

有些多項式不是完全平方式，我們可以通過添加項，湊成完全平方式，再減去這個添加項，使整個

式子的值不變，這樣也可以將多項式進行分解，并解決一些最值問題.

例如：(1)分解因式：X2-2X-3

x2—2x—3

=%2—2x+l—1—3

Ki)'?

=(x-l+2)(%-l-2)

=(x+l)(x-3)

⑵求代數式r-2x-3的最小值.

?.-(x-l)2>0,

?,.當x=1時,代數式X2-2X-3有最小值-4.

結合以上材料解決下面的問題：

(1)若二次三項式f-丘+9恰好是完全平方式，上的值是；

(2)分解因式：x2-8x+15；

⑶當x為何值時—8%+15有最小值?最小值是多少？

19.(10分)若一個整數能表示成/+b\a,b是整數)的形式，則稱這個數為“完美數”例如,5是“完

美數”，因為5=22+F.再如,Mf+2q+2y2=(X+y)2+y2是整數)，所以M也是“完美數”.

⑴請你再寫一個小于10的“完美數”，并判斷41是否為“完美數”；

(2)已知S=V+4/+2%—12y+左(x,y是整數，左是常數)，要使s為“完美數”，試求出符合條件的一

個左值，并說明理由.

(3)如果數m,n都是“完美數”，試說明mn也是“完美數”.

20.(12分)你數學老師教你因式分解的場面你一定還記憶猶新吧！現讓我們來溫故一下因式

分解的幾種方法并練習！

(1)提取公因式法：提取各單項式中的公因式，提取完后合并單項式分解因式：肛2_犬3'=；

(2)十字相乘法：十字左邊相乘等于二次項系數,右邊相乘等于常數項，交叉相乘再相加等于一次

項系數.其實就是運用乘法公式(x+a)(x+b)=f+(a+b)x+"的逆運算來進行因式分解：

①分解因式f+5x+6=；

②解方程：x~-6x+12=x.

(3)拆項添項法：即把多項式中某一項拆成兩項或多項，或在多項式中添上兩個符合相反的項.

CDx'+2x~+2x+1=；

②了3—2x—1=；

除以上方法外因式分解還有雙十字相乘法、換元法、因式定理法、待定系數法等.

［綜合應用］分解因式：a2+2ab+b2-3a-3b-4=.

21.(12分)某數學興趣小組將如下一些關于。的多項式因式分解后，發現各因式的常數項是兩

個連續的整數，且與多項式的系數之間存在著某種聯系：

cT—a=a(a—1)

a2+a=a(a+l)

cT+3a+2=(a+1)(a+2)

cT+5ci+6=(a+2)(a+3)

我們定義具有這種規律的多項式為“關于a的連續式”.觀察上述規律，思考以下問題：

(1)請根據上述規律，再寫一個“關于。的連續式”，并寫出其因式分解的形式：=.；

(2)已知k為整數，多項式/+(左+1)。—耳—9能否成為“關于a的連續式"？若能,請求出k的值,

并將該式寫成因式分解的形式；若不能，請說明理由.

答案以及解析

1.答案：A

解析：多項式6而2—3而=3"(，一1),

公因式是3ao.

故選：A.

2.答案：C

解析：；a+b=4,必=5,

a^b+ab2=ab(a+b)=5x4=20,

故選：C.

3.答案：D

解析：A、—x5+4x=——4)=—x(x+2)(x—2),故本選項不符合題意;

B、x2-4y2=(x+2_y)(x-2_y),故本選項不符合題意；

C、-x2-2x-l=-(x+l)2,故本選項不符合題意；

D、x2-5x+6=(x-2)(x-3),故本選項符合題意；

故選：D.

4.答案：D

解析：8%(加2_“2)_8y?2_“2)

原式=8(%-丁)(加-叫

=8(x-y)(m+n)(m—n)

對應密文可得到的字為：愛，我，中，大；

故選：D.

5.答案：A

解析：,長方形的周長為16cm,它兩鄰邊長分別為xcm,ycm,

2(x+y)=16,

x+y=8①，

...(x-y)2-2(x-y)+l=0,

???(x-y-l)2=Q,

x—y—1—0(2),

r9

x=一

聯立①②解得1,

7=2

...長方形的面積=孫=2)<]=但，

224

故選A.

6.答案：B

解析：="02—。2。2,

.?.,2+幻,2_/)=。2(/_廿)

.?.0+〃)(4—)2)-02(/-〃)=0,

葉,2]=0,

2

:.a-b-=0或(a?+〃2)_02=。，

:.a2=b-^a2+b2=c2,

a=。(舍去負值)或a?+b2=c2,

.?.△ABC是等腰三角形或直角三角形.

故選：B.

7.答案：B

解析：最大和最小的兩個數是m+8和m-8,

n—(m-8)(〃7+8)=m2-64,

即m2=64+n,

A選項中，當〃=161時,161+64=225=15?,則7〃=15,15—8=3,15+8=23,所以n可能是161,故

A不符合題意；

B選項中，當〃=298時,298+64=362,則沒有正整數的平方等于362,不符合日歷，所以n不可能

是298,故B符合題意；

C選項中，當〃=420時,420+64=484=22?,貝I］加=22,22—8=14,22+8=30,所以n可能是420,

故C不符合題意；

D選項中，當〃=465時,465+64=529=23?,貝I］口=23,23—8=15,23+8=31,所以n可能是465,

故D不符合題意；

故選：B.

8.答案：B

解析：由題意得，m2—2m—3=n?,n2—2n—3=

①-②得,m2—n~—2m+2n=n—m,

（m—77）（m+n）—2（m—n）+（m—n）=0,

（m—n）（m+n—2+1）=0，

（m—n）（m+n—1）=0,

mWn,

m+n—l—Q,

m+n=l.

故選：B.

9答案:B

解析：V（4X2+9）（2X+3）（2X-3）

=（4%2+9）（4X2-9）

=16d—81,

=（2x）4—81

又?.?將（2x）"-81因式分解后得（4犬+9）（2x+3）（2x—3）,

A（2X）"-81=（2X）4-81,

，〃=4,故B正確.

故選：B.

10.答案:B

解析：v(?z,-&c)(y-ca)(cfl-?z,)=11713,11713=13x17x53,ab-bc+bc-ca+ca-ab=0,

ab-bc,bc-ca,c“—4是2負1正，

?.?—13—17+53/0,—13+17—53/0,13—17—53/0,

.??沒有符合條件的自然數a,b,c.

故正確的是①④.

故選：B.

11.答案：3(a+3)(a-3)

解析：3a2—27=3(4—9)=3(a+3)(a-3),

故答案為：3(a+3)(a-3)

12.答案：4a29―葉

1

解析：4a2b2_80b+4a2

=44僅2—2)+1)

=440—1)2.

故答案為：4a20—1)2.

13.答案：(a+1產5

解析：原式=(a+1)2++1)2+...++1)2024

=(a+以+...++1)2024

=(a+1)2025.

故答案為：(a+1)2°25.

14.答案:9

解析：m2-rr+6n=^m+n^^m-n)+6n,m+n—3,

二?原式=3(加—九)+6〃

=3m—3n+6n

=3(m+n)=3x3=9；

故答案為：9.

15.答案：＞

解析：由題意得，當〃=2/=Y一2%+2時,

c-a+b-ab

=2+(x2-2%+2)-2(x2-2%+2)

=2+x?—2%+2—2/+4-x—4

—+2x,

b—c—(%2—2元+2)—(一九？+2%)

—f—21+2+—2%

=2%2—4X+2

=2(X2-2X+1)

=2(1)220,

：.b＞c,

故答案為：＞.

16.答案：⑴(5加-〃了

(2)4ab(3Q+l)(x-y)

解析：(l)25m2—10mn+n2,

=(5m)2—2x5mn+n2,

=(5m-n)2；

(2)12a2b(x-y)-4ab(y-x),

=12a2b(x-y)+4ab(x-y),

二(12a2b+4aZ?)(x-y),

=4〃/?(3a+l)(x-y).

17.答案：(1)左=—1

a=ll

(2)

[b=lS

解析：(1)?.?4+七一6有一個因式為九一3,

/.當元一3=0時，x2+kx-6=0,

.,.當％=3時，X2+Ax-6=0,

9+3左—6=0,

k=-1；

(2)?.?x+2,%-1是多項式2/+以2+5%—6的兩個因式,

當元+2=0和犬一1=0時，2%3+依2+5%一人=0,

x——2和x=l時，2%3+4ix2+5x—b=Qf

-16+4^-10-/?=0

2+〃+5—b—0

a=11

.

b=lS

18.答案：(1)6或-6

⑵(―)

(3)尤=4時,最小值-1

解析：(I)：V一質+9=%2一履+3?恰好是完全平方式，

k=+2x1x3=+6,

即左的值是6或-6；

⑵V—8%+15

=%2—8x+16—16+15

=(1)2-1,

=(x-4+l)(x-4-l),

=(x-3)(x-5)；

(3)X2-8X+15

=X2-8X+16-16+15

=(1)2-1,

?.?(x-4)2>0,

??.當x=4時,代數式X2-8X+15有最小值-1.

19.答案：(1)8,是

⑵左=10時,s為“完美數”，理由見解析

⑶證明見解析

解析：(1)-.-8=22+22,

??.8是完美數，

?1.41=42+52,

.?.41是完美數；

⑵左=10時,s為“完美數”，理由如下：

S=+4y2+2x—12y+k

=d+2]+1+(4/—i2y+9)+"10

=(X+1)2+(2J-3)2+Z:-10,

?.”,y是整數，

，無+l,2y-3也是整數，

??.當上一10=0,即左=10,5是完美數；

(3)證明:設加=>+62,〃=c?+屋,(a,b,c,d為整數),

:.mn=[a1+Z?2)(c2+屋)

=a2c2+b2d2+a2d°+b2c2d

=a-c~+b~d~+a?d~+c~+2abcd—2abed

=(ac+hd)2+(ad-hc)~,

?.Z,仇c,d是整數，

ac,M,ad,Z?c都是整數，

冽〃是完美數.

20.答案:(l)xy(y-x2)

⑵①(x+2)(x+3)；②X1=3,4=4

(3)①(尤+0(無?+尤+1