第04講等差數列的前〃項和

.

01學習目標

課程標準學習目標

1.經歷等差數列前〃項和公式的推導，提升數學抽象和

1.探索并掌握等差數列前n項和公式；

邏輯推理的核心素養；

2.理解等差數列的通項公式與前n項和公式

2.通過等差數列前n項和公式的運用，達成邏輯推理和

的關系；

數學運算的核心素養；

3.能在具體的問題情境中，發現數列的等差

3.在利用等差數列前n項和公式解決實際問題的過程

關系，會求等差數列前〃項的最值。

中，培養數學建模和數學運算的核心素養.

思維導圖

02卜

/求等差數列的前n項和

與等差數列前n項公式有關的基本呈計算

等差數列的前n項和

等差數列的片段和性質

!-等差數列前n項和與n的比值

等差數列的前n項和性質

等差數列的前n項和；兩個等差數列前n項和的比值

等差數列前n項和的最值等差數列奇數項與偶數項的和

含絕對值的等差數列前n項和

等差數列前n項和的最值

等差數列前n項和的實際應用

03知識清單

知識點01等差數列的前n項和

1、等差數列的前〃項和公式

已知量首項，末項與項數首項，公差與項數

”(%+4)n(n-\\

選用公式

S"=2=naxH-------d

2、等差數列前〃項和公式的推導

對于公差為“的等差數列，

Sn=〃]+("i+d)+(Q]+2d)+...+[%+(〃-l)d]①

Sn=c1n+(Q“-d)+(c1n_2d)+...+[a“l)d[②

由①+②得=(%+%)+(4+〃“)+(〃]+%)+-+(%+%)

〃個=〃(q+q〃),

n(a+&)

由此得等差數列前n項和公式S〃=一^A—叱，

2

代入通項公式4=q+(〃-l)d得S〃=nax+“(；1)射.

【即學即練1](24-25高三上?江蘇南京?期中)在等差數列｛%｝中，%=2〃-1(〃EN*),則S2°=.

【答案】400

【分析】根據等差數列的前幾項和公式計算即可.

[詳解]在等差數列｛?J中，S20=2。"。2。)=20(：39)=4Q()

故答案為：400.

知識點02等差數列的前n項和性質

1、片段和性質：設等差數列｛4｝的公差為d,S”為其前〃項和，等差數列的依次左項之和，

Sk,S2k-Sk,S3丘—邑*…組成公差為左2d的等差數列；

2、前n項和與n的比值：

數列｛%｝是等差數列=S"=a/+b〃(a,6為常數)=數列為等差數列，公差為：；

3、奇偶項和性質：若S奇表示奇數項的和，S偶表示偶數項的和，公差為4

s

①當項數為偶數2〃時，S2n=n[an+an+x),S偶一8奇=次/,—=

S偶an+\

S]

②當項數為奇數2〃+1時,J+1=(2〃+l)%+i，S奇-S偶=a“，=

S偶?

4、兩等差數列前n項和比值：在等差數列｛%｝,曲,｝中，它們的前〃項和分別記為S",7；,則

an_$2〃—1

bnTzn-i

【即學即練21(23-24高二下?甘肅慶陽?期中)已知等差數列｛%｝的前〃項和為，，且S4=4應=10,則無=

()

A.16B.18C.24D.26

【答案】B

【分析】利用等差數列的前〃項和S”的性質代入計算即得.

【詳解】因為｛%｝是等差數列，所以$4,-S’,幾-$8也是等差數列，

即2(%—國)=$一58+凡，即2%(10-4)=&T0+4,解得、=18.

故選：B.

知識點03等差數列前n項和的最值

1、等差數列的前〃項和與二次函數的關系

將等差數列前n項和公式S,=nax+〃(；一14，整理成關于n的函數可得S0.

當dwO時，關于"的表達式是一個常數項為零的二次函數式，即點(〃,S“)在其相應的二次函數的

圖象上，這就是說等差數列的前〃項和公式是關于〃的二次函數，它的圖象是拋物線了=^/+14—

上橫坐標為正整數的一系列孤立的點.

2、求等差數列的前〃項和S“的最值的解題策略

(1)將S"=配方，若"wo,則從二次函數的角度看：

當">0時，S”有最小值；

當"<0時，S“有最大值.

當n取最接近對稱軸的正整數時，S”取到最值.

(2)鄰項變號法：

(2>0

當生〉0,d<0時，滿足〈〃的項數〃使S〃取最大值；

4+1<0

(2<0

當％<0,d>0時，滿足〈〃的項數〃使S〃取最小值。

a

n+lN0

【即學即練3](23-24高二下?北京懷柔?期末)已知等差數列｛6｝的前"項和s“，若%=7,生=-1,則

an=；前n項和S“的最大值為.

【答案】-2〃+916

【分析】根據等差數列的通項公式，利用。5=q+4"即可求得d,從而求得。從二次函數的角度思考,

可求出S),的最大值.

【詳解】設等差數列｛%｝的公差為d,則

q=7,%=%+4d=—1,角軍彳導d=—2,

所以%=-2〃+9,S,="("*")=""一2"+9)=—n2+8〃，

22

當"=4時，S”的最大值為S4=-42+8X4=16,

故答案為：-2〃+9,16.

04題型精講

k

題型01求等差數列的前n項和

【典例1】（24-25高三上?海南海口?階段練習）設等差數列｛與｝的前〃項和為S,,已知名=24,S“=33.

⑴求數列｛%｝的通項公式；

（2）求數列｛%｝的前〃項和S”.

【答案】(!)??=-7?+45

-7/+83〃

(2電=---------

【分析】（1）設出公差后，可列出與〃、6有關方程組，解出即可得;

（2）利用等差數列求和公式計算即可得.

=4+2d—24

【詳解】（1）設｛%｝的公差為4,則有

Sn=11%+55d=33

“I=38

解得

d=-7

故氏=38-7(1)=-7"+45；

(38-7?+45)?_-7〃2+83"

（2）由題可知S,=

22

【變式1】（2024高三?全國?專題練習）記J為等差數列｛與｝的前〃項和.若q=-2,出+必=2,貝”9=（

A.-54B.-18C.18D.36

【答案】C

【分析】根據等差數列的基本量求出公差d,再根據等差數列前"項和公式即可得出答案.

【詳解】設等差數列公差為d，則出+%=2%+6d=-4+61=2,解得"=1,

9x8

所以，S9=9^+—4/=9X（-2）+36=18.

故選：C.

【變式2】（24-25高三上?上海嘉定?期中）若數列｛%｝是等差數列，其前"項和為S",出+%=12,貝|

$9=-

【答案】54

【分析】根據等差數列的性質，可得%=6,再利用前〃項和公式與等差中項，即可求得名的值.

【詳解】因為數列｛七｝為等差數列，所以%+%=2%=12,解得%=6,則5=（"'+?"9=^^=9%=54.

故答案為：54

【變式3]（24-25高三上■上海,階段練習）數列｛%｝中，a,+i=a”-2,%=18,則a]+a2^---=

【答案】170

【分析】得到｛見｝為公差"=-2的等差數列，利用等差數列求和公式求出答案.

【詳解】an+l=an-2^an+l-an=-2,故｛%｝為公差"=-2的等差數列，

又見=18,所以％=%-42=18-4x（-2）=26,

q+&+…+。10=1Oq+45d=260—90=170.

故答案為：170

題型02與等差數列前n項公式有關的基本量計算

【典例2】（24-25高二上?甘肅張掖?階段練習）已知等差數列｛與｝的前"項和為S"，若2s3=$2+3幾%=1，

則｛%｝的公差等于（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】利用等差數列的通項公式解方程組計算可得結果.

【詳解】設等差數列｛%｝的公差為d,

6(%+d)=%+%+d+3%

根據2s3=邑+3*%=1可得

q+4d=1

〃[+5d=0%—5

即得：+4d=l,解得

d=—\

故選：B

1（24-25

【變式】高二上?浙江寧波?期中）在等差數列｛。“｝中,已知4=2,53=15,則應等于（）

A.11B.13C.15D.16

【答案】A

【分析】根據等差數列通項公式和前〃項和表達式即可得到方程，解出即可.

【詳解】設等差數列的公差為d,

貝ljS3=q+〃]+d+q+2d=15,

即6+3d=15,角軍得d=3,則%=q+3d=2+9=11.

故選：A.

【變式2】（24-25高二上?福建莆田?階段練習）已知等差數列｛氏｝的前〃項和為J,若a,=20,葭=392,則

a\3)

A.36B.35C.42D.38

【答案】D

【分析】根據等差數列的通項公式和前〃項和公式列方程組求解即可.

。7=%+6d—20

【詳解】設等差數列的公差為d,貝"16x15

5=16%H------a=392

、162

[a=2

解得]故％3=q+12d=2+12x3=38.

[a=3

故選：D.

【變式3】（23-24高二下?海南海口?期中）數列｛〃“｝為等差數列，S.為其前〃項和，已知。,=5,57=21,

則不正確的是（）

A.B.d=--C.a2+an=10D.^10=40

【答案】B

%—1

【分析】根據等差數列基本量的計算解得/2,從而即可對選項進行逐一判斷.

a=—

[3

4—1

ci~j—5%+6d=5

【詳解】根據題意，由凡=21’得解得，

7〃i+21d=21d7=一2

3

故A正確，B錯誤；

2

則出+42=2al+12d-2+12x—=10,CTF*；

2

Si。=10%+45d=10+45x§=40,D正確.

故選：B.

【變式4】（23-24高二下?四川成都?階段練習）在等差數列｛《｝中，若y5=5（%+&+4），貝1左=

【答案】15

【分析】利用等差數列的通項公式和前"項和公式求解.

]5x14

【詳解】因為岳5=15%+23=15%+1054,

+a

5（%+&k）=5[fl[+2d+a1+5d+ai+（"l）d]=15%+5（k+6）d,

所以5（左+6）=105,所以5=15,

故答案為：15.

題型03等差數列的片段和性質

【典例3]（24-25高二上?全國?課后作業）若等差數列｛%,｝的前加項的和S,“為20,前3〃?項的和品以為90,

則它的前2〃?項的和邑“為（）

A.30B.70C.50D.60

【答案】C

【分析】根據等差數列前n項和分段和的性質計算即可求值.

【詳解】???在等差數列｛%｝中，旌，S2m-Sm,-邑?也成等差數列，

?■-2（S2m-S?）=Sm+S3M-S2ra,

.?.2（S2m-20）=20+90-S2m,.-.52m=50.

故選:c.

【變式1】（23-24高二下?海南?期末）記S,為等差數列｛叫的前〃項和，若$6=24,Sg=2電，則$=（）

A.144B.120C.108D.96

【答案】B

【分析】根據等差數列的前〃項和性質解題即可.

【詳解】記S?為等差數列｛%｝的前〃項和，則S3,S6-S3,S9-S6,Si2-S9也是等差數列.

由于$6=24,Sg=2，則S3，24-品，21S3-24,一2IS3成等差數歹U.

則S3+23-24=2（24-星），解得$3=3.

則3,21,39,幾-63成等差數列.故1-63=57,則幾=120.

故選：B.

【變式2】（23-24高二下?廣東廣州?期末）在等差數列｛%｝中，S“為其前"項和，若$3=1，^=4,則其=

（）

A.7B.8C.9D.12

【答案】C

【分析】利用等差數列前〃和的性質，得出$3+59-56=2（5-53）,求解即可.

【詳解】因為數列是等差數列，且$3=1,艮=4,

所以根據等差數列前"項和的性質可得$3，S6-S3，Sg-S6成等差數列，

所以S3+S9-$6=2(56-$3)，所以1+且一4=2(4-1),解得Sg=9.

故選：C.

【變式3】（2024?全國?模擬預測）已知等差數列｛6｝的前"項和為S"，63=6,S,T=16（"N4,〃eN*）,

S,=20,貝心的值為（）

A.16B.12C.10D.8

【答案】B

【分析】利用等差數列的性質，以及前"項和公式，即可求解.

【詳解】由禺=6,得卬+&+。3=6①，

因為S,T=16（"24/eN*）,S,,=20,

所以S"-S“-3=4,即an+%+%_2=4②,

①②兩式相加，得+出+。”-1+。3+。”-2=10，即3（%+%）=1。，

所以%+%=］,所以斗=小詈J=g=20,解得〃=12.

故選：B.

【變式4】（23-24高二上?廣東深圳?期末）已知等差數列｛6｝的前”項和為S,,邑=1，$8=4,貝I

〃17+/8+49+。20=（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

［分析］根據等差數列中S〃,S.n-Sn,邑〃-S2n成等差數列求解即可.

【詳解】在等差數列｛0“｝中，

$4=1,工=4,所以邑=1,5/=3,

故邑,工-邑,幾-Sg,S16-S12，邑。-染構成公差為2的等差數列，

所以邑。-鼠=1+（5-1”2=9,

BP47+。18+。19+。20=9.

故選：C

題型04等差數列前n項和與n的比值

【典例4】（2024高二?全國?專題練習）已知S,是等差數列｛%｝的前"項和,若為=-2024,

瓢-瓢=6,貝日等于（）

A.-4040B.-2024C.2024D.4040

【答案】B

【分析】根據等差數列前〃項和的性質，結合等差數列的通項公式進行求解即可.

【詳解】S,是等差數列缶“｝的前〃項和，則數列是等差數列.

4=—2024,

20192013=

則數列的公差d=1=l,首項為白=?=-2024,

LnJ611

=-2024+lx2023=-1,S=-2024.

20242024

故選：B.

【變式1】(23-24高二上?河北保定?期末)已知數列｛氏｝滿足〃用=%+6,｛%｝的前〃項和為色，則

$2024_$2022=()

2024—2022一

A.12B.6C.3D.2

【答案】B

【分析】根據等差數列定義可證得數列是以3為公差的等差數列，由此可得結果.

【詳解】??.％+】=%+6,.??數列｛%｝是以6為公差的等差數列，

/、n(n+l)n(n—l)

q《(〃+1)qH——-----x6na｛H——-----x6

/.—----=----------------------------------=a+3n-a-3(n-l]=3,

n+1nn+1nll

,數列是以3為公差的等差數列，.?.黯-黑=2x3=6.

InJ20242022

故選：B.

【變式2】(23-24高三上?山東淄博?期末)設S,為等差數列｛%｝的前〃項和，貝/對V〃eN*,“用>%”是

"礙+1>(〃+1同"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據題意判斷兩個條件都等價于d>0,進而判斷答案即可.

【詳解】設等差數列｛%｝的公差為“，

若對W〃eN*,??+1>a?,即%+i-a“=d>0,

若+則辿>2，即為單調遞增數列，

H+1n[〃J

le、rn(n-l),“…S”n-ldd

又因為-------d>所以--=Q]H丁T+-彳，

2n222

所以邑>0,即d>0,

2

所以"對V〃eN*,%>4"是"科+1>（〃+1應”的充要條件.

故選：c

【變式3】（23-24高二上?湖北武漢?階段練習）在等差數列｛。"｝中，%=1,其前"項和為S,,若

4-4=2-則岳。等于（）

OO

A.10B.100C.110D.120

【答案】B

【分析】利用結論：在等差數列｛%｝中，其前〃項和為S"，則數列也為等差數列，再求出S”的通項,

代入即可.

【詳解】因為數列｛%｝是等差數列，則數列也為等差數列，設其公差為4,，

則W=2=2優,則屋=1,又因為3=%=1,

861

所以2=1+〃-1=〃,所以S,=〃2,所以凡o=lOO.

n

故選：B.

【變式4】設等差數列｛%｝的前"項和為S"，若斗=1,5?=16,則S“=（）

A.18B.36C.40D.42

【答案】B

【分析】確定

【詳解】之二

n

'故"「A》”

解得$6上=36.

4kk2(6左4kJ

故選：B

題型05兩個等差數列前n項和的比值

【典例5］（24-25高二上?陜西榆林?階段練習）已知等差數列｛4｝,｛4｝的前幾項和分別為S〃Z，若

S=2n產+%()

n)

Tn-3H+1'人」與+4

9171112

A.B.—C.—D.

H111719

【答案】C

【分析】利用等差數列的性質把代數式等價變形，即可得到豈學=變，結合條件即可得到結果.

bs+b]Tu

—(a,+?I,)Su

【詳解】由等差數列性質得，今土乎

b+%4+41

5￡伍+"4

,S?_2n,a2+4Z1O_Sn_2x1111

由廣--

b5+b.7^3xll+l_l7'

故選：C.

【變式1】（24-25高三上?遼寧?階段練習）已知兩個等差數列｛七｝和抄」的前〃項和分別為S“和北，且

【答案】A

【分析】根據等差數列的性質及前"項和公式求解即可.

Sn+17"5〃+3

【詳解】解：因為^n=不不，即言=1T，

Tn5〃+3Snn+\

\19

所以=5.+九）=一.+%）旦=5x19+3=49

%Jg（%+%9）-￡（%+%9）幾19+1一。

故選：A.

【變式2】（24-25高二上?甘肅甘南?期中）等差數列｛〃/，抄/的前〃項和分別為S〃，Tn,且

S'+北=5V+5（〃GN*）則￡1=（）

Tn3〃+2、八人％5

13172133

A.—B.—C.—D.—

17232947

【答案】C

S”2〃+3

【分析】根據給定條件，可得；"=不工，再利用等差數列前〃項和公式，結合等差數列性質計算即得.

Tn3〃+2

（）（、S”+45fl+5S2〃+3

【詳解】等差數列｛七｝,上｝的前"項和分別為S",Tn,由二曾二三白，得^=三3，

9(。1+為)

a52a5ax+tz92592x9+321

石—而―h+b「93]+^_^_3x9+2—j?

-2-

故選：c

【變式3】（24-25高二上?甘肅慶陽?階段練習）已知等差數列｛%｝與等差數列抄“｝的前"項和分別記為

Ss〃+3cto

SM，若亍=-4,則力勺值為（)

11191812

A.——B.—C.—D.——

12201913

【答案】C

【分析】等差數列的前〃項和公式5,="（%：）.根據等差數列的性質,若m+n=p+q,

則aja“=a"，對于本題，我們可以利用〃=15時/與幾的關系以及“與幾的關系來求解詈.

“8

【詳解】根據等差數列前〃項和公式￡=*&，當〃=15時，晶J?；陽）

由等差數列性質4+45=2%，所以兒=互等=15%.

同理，對于數列也,｝,當〃=15時，同=15（6；1）

?二153

又因為4+九=24,所以幾

n+3幾_15+3_18

已知亍7二二^,當〃二15時,7^~15+4-19,

T〃〃+4

S]5_15%_"所以/18

而刀一項一“

19,

故選：C.

zxz.S”3〃+4

【變式4】（2024?廣東深圳?模擬預測）已知等差數列｛%｝和也｝的前〃項和分別為S,、T?,若=

〃十/

2a,

貝()

°2+4()

1113711137

A.——BD.—C.---D.

13132626

【答案】B

【分析】計算出變=總由等差數列的性質得妥=%2a6_%

從而得到答案.

T

n13Ttlb6

【詳解】因為等差數列｛%｝和｛2｝的前〃項和分別為S“、T?,滿足，=罷:

?S..3x11+437

所以刀—11+2一可

11(4+4i)

2q2fl

Su_2_&..6677?67737

7;1-11(1+如)~b6,暇b2+bl02b$b613

故選：B

題型06等差數列奇數項與偶數項的和

【典例61（23-24高二上?陜西榆林?階段練習）已知等差數列｛七｝的項數為2加+1（加eN*）,其中奇數項之和

為140,偶數項之和為120，則機=（）

【答案】A

【分析】根據等差數列的性質，知等差數列的奇數項、偶數項分別成等差數列，故奇數項、偶數項的和直

接代入等差數列的前"項和公式，結合等差中項的性質化簡即可.

【詳解】項數為2機+1的｛（｝中奇數項共有（加+1）項，

其和為+

項數為2加+1的｛。“｝中偶數項共有m項，其和為加血+%，）=竺&L=叫巾=120,

故選:A.

【變式1】一個等差數列共100項，其和為80,奇數項和為30,則該數列的公差為（）

112

A.-B.2C.-D.一

435

【答案】D

【分析】根據等差數列的項的關系及和的性質列式求解即可.

【詳解】設等差數列的公差為d,則由條件可知：

數列的奇數項之和為%+。3+%+…+。99=3。，①

偶數項之和為出+%+。6---Ha1Oo=80-30=50,②

由②-①，得50d=20,所以"=；,即該數列的公差為

故選：D.

【變式2］已知等差數列｛4｝的前30項中奇數項的和為A,偶數項的和為8,且2-4=45,24=5+615,

則%=（）

A.3n-2B.3n-lC.3〃+1D.3n+2

【答案】B

【分析】根據條件列出關于首項和公差的方程，即可求解.

【詳解】設等差數列的公差為d,首項為q,

則B-/=15d=45,所以d=3,

因為24=5+615,即2/=/+45+615,則4=660,

等差數列的奇數項是以卬為首項，2d為公差的等差數列，等差數列｛%｝的前30項中奇數項有15項，所以

,15x14,“八,日c

A—\5%H-----——x6=660,得4=2,

所以%=4=2+3（〃-1）=3〃-1.

故選：B

【變式3】（2024高二上,全國?專題練習）已知等差數列｛4｝的項數為奇數，且奇數項和為44,偶數項和為

33,則數列的中間項為；項數為.

【答案】117

【分析】根據奇數項的和與偶數項的和，可作比得到"，由此可得項數和中間項.

【詳解】設等差數列｛叫的項數為2"+1（〃eN）,

則5奇=%+%+%+…+=（〃+1）（；+一向）=（〃+1）%+1=44,

n（a2+2〃）

S偶=。6Hha2n-2+U2n==33,

S在n+14zx

二大包=——=￡,解得：〃=3,即等差數列｛%｝的項數為2〃+1=7；

,偶〃J

??,2n+1項的數列的中間項為第〃+1項，即。用，

.?.由=44得：4°用=44,解得:。用=11,即中間項為H.

故答案為：11；7.

【變式4】（23-24高二下?江西?階段練習）已知等差數列｛%｝共有2〃-1項，奇數項之和為60,偶數項之和

為54,則〃=.

【答案】10

【分析】根據等差數列的求和公式，結合等差數列的性質，即可求解.

【詳解】奇數項有“項，偶數項有1項，所以奇數項和為"（%[%,偶數項和為

2

（〃1）（：+出“一2）

故上7=獸，解得"=10.

n-154

故答案為：10

題型07含絕對值的等差數列前n項和

【典例7］（24-25高二上?江蘇蘇州?階段練習）記，為等差數列｛%｝的前〃項和，已知的=11，&。=40.貝|數

列｛|%|｝的前20項和為.

【答案】218

【分析】根據題意，列式求出｛。.｝的通項公式，判斷當"V7時，a?>0,當"28時，。，<0,列式求出數

列的前20項和為心。.

【詳解】設等差數列｛%｝的公差為人

a[=%+d=11

a[+d=11。1=13

由題意可得inx9,解得

S]o=lOq+^—d=402%+9d-8d=—2

，%=—2〃+15,可得當時，an>0,當〃28時，見<0,

設數列｛?|｝的前20項和為金，

貝I^20=|"11+|?|+…+|"20|%%+…+%—〃8——…—〃20

=2(Q[+“2+…+%)一("1+”2+…+”20)

=2(7x13-2x21)-(20x13-20x19)=218.

故答案為:218.

【變式1］（24-25高二上?江蘇徐州?期中）在等差數列｛叫中，q=9,%=3,設4=|%|+同+…+同，

則弓=（）

A.281B.651C.701D.791

【答案】C

【分析】根據給定條件，求出等差數列｛%｝的公差及通項公式，判斷正數、負數項，再求出心.

【詳解】等差數列｛叫中，由/=9,%=3,得公差"=*1=-2,

貝|%=ax+[n-\)d=-2n+11,

顯然當〃<5時>0,當篦>6時,。〃<0,

以4]=|1+|〃2|+…+|0311=(%+”2+…+〃5)—(“6+〃7+…+〃31)

=2(4+%+…+”5)-("1+”2+…+”31)

5(%+%)31(4+%)5(9+1)31(9-51)

一，X—/X—/v1.

2222

故選：c

【變式2](2024高二?全國?專題練習)在等差數列｛%｝中，％=60,%=12,則數列的前n項和為.

32,123

—nH-----n,n<21

22

【答案】T=<

n3123

-n2------n+1260,?>22

、22

【分析】利用己知易求得數列｛%｝的通項公式%=63-3”，令a,2Q,可得〃421,分類討論可求也」｝的前

”項和公式.

【詳解】等差數列｛%｝的公差為"=好?=與"=-3,

17-116

故通項公式為%=%+(〃-1)4=60+(—3)x(〃—1)=63—3〃.

令即63—3〃之0,解得〃K21,

設s“，T?分別表示數列｛%｝與數列業“|｝的前n項和,

皿g〃(%+%)3123

貝IJ3“=------------=——n2H-------n?

〃222

32123

當〃(21時，Tn=同+同+…+|%|=%+2+…+%=S〃——nH------n；

22

當〃222時，（二+WI_*-----1~|^21|+|。22I-----H4I=Q]+。2-----a2i_（。22------）

=§21-（S1-邑1）=2s21-Sn.

31?3

由S=——X212+——x21=630,

2122

=2即$+叼占2-旦+1260

（22J22

32123…

——nH------n.n<21

22

故北

3123

-n2--—n+1260,?>22

32,123

—nH------n.n<Z\

22

故答案為：T=<

n3123

-n2----幾+1260.222

22

【變式3】((24-25高二上?江蘇鎮江,階段練習)已知等差數列｛%｝的前〃項和為S”，且出+&=4,Sg=9

⑴求數列｛%｝的通項公式；

⑵設b?=\a,\,求數列也｝的前"項和1.

【答案】⑴%=2〃-9

T_l??（8-n）,l<n<4,?6N*

（2）一）

\n~0-8/7+32,?>5,7?eN

【分析】（1）由凡=9,求得見=1，再由生+4=4,得到。6=3,求得d=2,進而求得數列｛2｝的通項

公式；

（2）由（1）,利用等差數列的求和公式，求得S“=〃（"-8），令為20,得至IJ1W/W4時，a?<0,“25時，

。“>0,根據“=|。”|，分類討論，即可求解.

【詳解】（1）解：設等差數列｛七｝的公差為d,

因為其=9,可得9（%；%）=%=9,所以。5=1，

又因為牝+4=4,所以&=3,所以1=%-。5=2,

所以數列｛00｝的通項公式為a“=%+（"-5）d=l+（"-5）x2=2”-9.

（2）解：由（1）知，=2/7-9,可得$,二"』；?"）=〃（〃_8）,

9

令%之0,即2〃一920,解得〃之藥，

所以，當1<〃<4,〃￡N*時，。〃<。；當〃之5,H￡N*時，an>0f

因為且數列｛4｝的前”項和。,

當1W〃V4/wN*時，1=4+仇+—電=一(4+a2-\---H%)=-Sn=n(S-n)；

當〃25,〃￡N*時，Tn=bx+b2-\-----卜=—(q+出+%+。4)+(。5+。6---*■%)

2

=-S4+(Sn-S4)=Sn-2S4=n(n-8)+2xl6=n-8n+329

〃(8-〃),1<n<4,〃GN*

綜上可得,數列低｝的前"項和（=

后一8〃+32,n>5,HeN*

【變式4】（2024?遼寧?模擬預測）等差數列｛%｝的前"項和為S"，已知％=0，兀=6.

⑴求數列｛%｝的通項公式；

（2）求數列｛|%|｝的前〃項和乙

【答案】⑴%="6

-772+11".

--------<5

2

2）7=1

"/_15+60

----------,n>6

12

【分析】（1）根據條件轉化為首項和公差的方程