專題21導數綜合題

1.(2023?北京)設函數/(無)=無一三產"，曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線方程為〉=一尤+1.

(I)求。，b的值；

(II)設g(x)=/(x),求g(x)的單調區間;

(III)求/(X)的極值點的個數.

2.(2022?北京)已知函數/(x)=eY〃(l+x).

(I)求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(II)設g(x)=r(x),討論函數g(x)在［0,+oo)上的單調性；

(III)證明：對任意的s,te(0,-H?)?Wf(s+t)>f(s)+f(t),

3.(2021?北京)已知函數=

『+a

(I)若。=0,求曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(II)若/(x)在x=-l處取得極值，求/(x)的單調區間，并求其最大值和最小值.

4.(2020?北京)國知函數f(x)=12-d.

(I)求曲線y=/(x)的斜率等于-2的切線方程；

(II)設曲線y=/(x)在點Q,/⑺)處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為S⑺，求S⑺的最小值.

5.(2023?朝陽區一模)已知函數/⑺=e2"一改_l(qeR).

(I)求/(x)的單調區間；

(II)若/(x)>0對尤e(0,+co)恒成立，求a的取值范圍；

(III)證明：若/(X)在區間(0,+co)上存在唯一零點尤。,則不<。-2.

6.(2023?西城區一模)已知函數/(x)=婕-cosx.

(I)求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(II)設g(x)=V'(x)-/(X),證明：g(x)在(0,+aO)上單調遞增;

(III)判斷3/g)與4/(；)的大小關系，并加以證明.

7.(2023?東城區一模)已知函數/(犬)=辦2一無如

(I)當a=0時，求/(%)的單調遞增區間；

(II)設直線/為曲線y=/(x)的切線，當時，記直線/的斜率的最小值為g(a),求g(a)的最小值;

1311..

(Ill)當a>0時，設M={y|y=/'(%),xw(一,一)},N={y\y=/f(x),xG(一,一)},求證：MVN.

2a4〃4a2a

8.(2023?豐臺區一模)已知函數/Xx)=x+9(a>0).

ex

(I)求函數/(無)的極值；

(II)若函數〃無)有兩個不相等的零點石，x2.

⑴求。的取值范圍；

(拓)證明：^+x2>2lna.

9.(2023?順義區二模)己知函數/(了)=尤2+cosx.

(I)求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(II)求函數/(元)在［-2萬，2加上的最大值和最小值；

(III)設g(x)=7'(x),證明：對任意的s>t,有g(s)-g((<3s-3f.

10.(2023?石景山區一模)已知函數/(%)=/-1一機sinx(機￡尺).

(I)當根=1時.

(i)求曲線y=/(x)在點(0,F(0))處的切線方程；

(ii)求證：VxG(。彳)，/(x)>0.

(II)若/(X)在(0,1o上恰有一個極值點，求機的取值范圍.

11.(2023?東城區二模)已知函數/'(x)=e*sinx-2x.

(I)求曲線在點(0,7(0))處的切線方程；

(II)求f(x)在區間［―1,1］上的最大值；

(III)設實數a使得f(x)+x>ae'對xeR恒成立，寫出。的最大整數值，并說明理由.

12.(2023?海淀區二模)已知函數/(x)=&阮r.

(I)求曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線方程;

(II)求證：f(x)<X；

(III)若函數g(x)=/(x)+a(x2-％)在區間(l,+oo)上無零點，求］的取值范圍.

13.(2023?西城區二模)已知函數/0)=f+依x+1).

(I)求/(%)在區間[-50]上的最大值和最小值；

(II)若(e*+acosx)/(x)..0恒成立,求實數a的值.

14.(2023?朝陽區二模)已知函數/(x)=/"x+2a6(aeR).

(I)當a=l時，

⑴求曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(拓)證明：/(x)?2x；

(II)若函數〃(x)=/(尤)-2x的極大值大于0,求a的取值范圍.

15.(2023?海淀區一模)已知函數f(x)=*-x,

(I)當。=1時，求曲線y=f(x)在點(0,/(x))處的切線方程；

(II)求/Q)的單調區間;

(III)若存在％,x2e[-l,1],使得/(%)/(%)..9,求a的取值范圍.

16.(2023?豐臺區二模)己知函數/(x)=(?+“)/(“eR).

(I)當。=0時，求曲線y=〃尤)在點(1,f(1))處的切線方程;

(II)若/(x)是增函數，求a的取值范圍；

(III)證明：/(x)有最小值，且最小值小于/(1).

17.(2023?房山區一模)已知函數/■(尤)=ar-(a+l)/nx-L.

X

(I)當a=O時，求曲線y=/(x)在點(1,/(1))處的切線方程；

(II)若y=/(x)在x=2處取得極值，求/(幻的單調區間；

(III)求證：當0<a<l時，關于x的不等式/(尤)>1在區間口，e］上無解.

18.(2023?平谷區一模)已知函數/(x)=—-eOT,(a>0).

1-x

(I)當。=1時，求曲線y=f(x)在點(0,/(0))處的切線方程;

(II)討論y=/(x)的單調性；

(III)若對任意xe(0,l)恒有/(尤)>1,求。的最大值.

19.(2023?通州區一模)已知函數f(x)=e"g(x)=ln(x+a)(aeR).

(I)求曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(ID設次龍)=f(x)g(x),請判斷°(x)是否存在極值？若存在，求出極值；若不存在，說明理由；

(III)當4=0時，若對于任意s>r>0,不等式g(s)-g(r)>M」----匚)恒成立，求左的取值范圍.

/⑸/(0

20.(2023?西城區校級三模)已知函數/'(x)=ox-x/nx.

(I)當4=1時，求/(X)的零點；

(II)討論了(尤)在口,e］上的最大值；

(III)是否存在實數°,使得對任意x>0,都有〃x),,a?若存在，求a的取值范圍；若不存在，說明理由.

21.(2023?昌平區二模)已知函數3(x)=履一速(l+x)(J>0).

(I)當左=1時，求曲線y=f(x)在點(0,/(0))處的切線方程;

(II)若函數/(無)在(0,+oo)上有最小值，求后的取值范圍；

(III)如果存在無oe(0,+oo),使得當xe(0,尤0)時，恒有/(x)<f成立，求左的取值范圍.

22.(2023?延慶區一模)已知函數/(x)=/7tr-e*.

(I)求曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線方程;

(II)求證：/(無)有且只有一個極值點；

(III)求證：方程x/nx=e*+x無解.

23.(2023?海淀區校級模擬)已知函數/。)=一一.

弋x-a

(I)已知曲線y=y(x)在(1,f(1))處的切線與X軸平行.

①求實數。的值;

②求函數/(X)的單調區間;

(II)若“X)在(0,1)上單調遞減，求實數a的取值范圍.

24.(2023?西城區校級模擬)已知函數/(x)=2/〃x+q.

(I)若/(%)在(1,f(1))處的切線與X軸平行，求4的值；

(II)/(%)是否存在極值點，若存在求出極值點，若不存在，請說明理由;

(III)若/(%)..a在區間(0,1］上恒成立，求。的取值范圍.

25.(2023?北京模擬)已知函數/(x)=(x-2)e*-got?+ov(aeR).

(I)當。=0時，求曲線y=f(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(II)若“>0,討論函數/(尤)的單調性；

(III)當X..2時，/(x)..O恒成立，求a的取值范圍.

26.(2023?東城區校級模擬)已知函數/(X)=(X-Q2/.

(I)求/(x)的單調區間；

(II)若對于任意的xe(0,+oo),都有/(球,1,求左的取值范圍.

e

27.(2023?大興區模擬)已知函數/(x)=e'-冰2,a&R

(I)當a=l時，求曲線y=/(x)在點4(0,/(0))處的切線方程；

(II)若/(幻在區間(0,+00)上單調遞增，求實數a的取值范圍；

(III)當。=-1時，試寫出方程f(x)=l根的個數.(只需寫出結論)

28.(2023?北京模擬)已知函數/(%)=包"，g(x)=mcosx-x,

m>0.

x

(I)討論函數/⑴在(-?，0)U(0,%)上的單調性；

鼻77"

(II)若方程時(%)=g(x)在區間(0,y)上有且只有一個實數根,求相的取值范圍.

29.(2023?門頭溝區一模)已知了(尤)=3尤2-加(尤+1)+依(。€&.

(I)當。=2時，求函數/(元)在(0,0)處的切線方程；

(II)求證：+%..加(x+1)；

(III)若/(X)..()在％￡[0,+8)恒成立,求Q的取值范圍.

30.(2023?通州區模擬)已知函數/(%)=%物(2%+1)—依2.

(I)求曲線y=/(%)在點(0,〃0))處的切線方程;

(II)當〃<0時，求證：函數/(%)存在極小值;

(III)請直接寫出函數/(%)的零點個數.

31.(2023?西城區校級模擬)已知函數/(jr)=sin兄-(%+a)cosi,函數g(x)=gv+g以2,其中々WR.

(I)討論函數/⑴在(0,%)上的單調性；

(II)當a.O時，證明：曲線,=/(九)與曲線y=g(x)有且只有一個公共點.

32.(2023?房山區二模)已知函數/(%)=——.

x

(I)求曲線y=/(x)在％處的切線方程；

(II)當％w(0,刈時，求函數/(%)的最小值;

(III)證明：sin->-!-.

371

33.(2023?海淀區校級模擬)已知函數/(幻=產-〃(％+2).

(I)當4=1時，討論了(X)的單調性；

(II)若/(X)有兩個零點，求。的取值范圍.

34.(2023?海淀區校級模擬)已知函數3(x)=(l+Q/〃(l+x).

(I)當左=0時，求曲線y=/(x)在(0,7(0))處的切線方程；

(II)設尸(尤)=/(x)-x-2,記F(x)在區間［0,+oo)上的最大值為G(%).求G(%),并判斷函數G伏)的零

點個數.

35.(2023?西城區校級模擬)已知函數/■(x)=(x-l)e，-；w2(aeR).

(I)當a=0時，求曲線y=/Xx)在x=0處的切線方程；

(II)當。<“<1時，證明：/(x)有且只有一個零點；

(III)求函數f(x)在口,2］上的最小值.

36.(2023?海淀區校級三模)設函數/(幻=川-￡-2配c,其中e是自然對數的底數.

X

(I)當0=與時，求函數/(尤)的極值；

(II)若/(X)在其定義域內為單調函數，求實數°的取值范圍；

(III)設g(x)=生，若在口，e］上至少存在一點七,使得/(不)>g(%0)成立，求實數〃的取值范圍.

37.(2023?北京模擬)已知函數/(x)=h'-g/.

(I)當k=1時，求曲線y=f(x)在x=l處的切線方程；

(II)設g(尤)=f'(x),討論函數g(x)的單調性；

(III)若對任意的s,re(0,+oo),當0</<s時，幺^—色^>1恒成立，求實數左的取值范圍.

38.(2023?東城區模擬)已知函數/(x)=(x+l)配c-a(x-l).

(I)當a=4時，求曲線y=/(x)在(1,f(1))處的切線方程;

(II)若當xe(l,+oo)時，/(%)>0,求a的取值范圍.

39.(2023?順義區一模)已知函數/(x)=(尤-2)e*-|(x-l)2,aeR.

(I)當。=2時，求曲線y=在點(0,/(O))處的切線方程；

(II)求函數/(無)的單調區間.

40.(2023?海淀區校級模擬)設函數/(尤)=歷x-〃(犬-l)e",其中QWH.函數/(%)是函數/(九)的導函數.

(I)當〃=1時，求曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(II)證明：當Ovav1時，函數((%)有且僅有一個零點%,且不￡(1,加工)；

ea

(III)若。<1，討論函數的零點個數(直接寫出結論).

e

41.(2023?海淀區校級模擬)已知函數f(x)=xM-ad).

(I)當4=0時，求函數/(X)在點(1,f(1))處的切線方程；

(II)若函數y=/(x)在x=l處取得極值，求實數