第03講等差數列

「學習目標

01

課程標準學習目標

1.通過對等差數列概念、通項公式的學習，達成數學抽

1.理解等差數列的概念.象、邏輯推理和數學運算的核心素養；

2.掌握等差數列的通項公式及其應用；2.通過等差數列中項、性質的學習培養邏輯推理、數學

運算的素養；

3.理解等差中項的概念，了解等差數列的

3.通過等差數列解決實際問題，達成數學建模的核心素

有關性質.

養。

02思維導圖

等差數列的定義等差數列的通項及計算

等差數列的判斷與證明

等差數列的通項公式等差中項及應用

等差數列等差數列的性質

等差中項等差數列的單調性及最值

構造法的應用

等差數列的性質

7實際問題中的等差數列

03知識清單

知識點01等差數列的定義

一般地，如果數列｛。“｝從第2項起，每一項與它的前一項之差都等于同一個常數%即斯+1—斯=4恒

成立，則稱｛%｝為等差數列，其中d稱為等差數列的公差.

【解讀】(1)“從第2項起”是指第1項前面沒有項，無法與后續條件中“與前一項的差”相吻合.

(2)“每一項與它的前一項的差”這一運算要求是指“相鄰且后項減去前項”，強調了：①作差的順序;

②這兩項必須相鄰.

(3)定義中的“同一個常數”是指全部的后項減去前一項都等于同一個常數，否則這個數列不能稱為等

差數列.

【即學即練1】下列數列是等差數列的是()

1111

A.—,—：B.a

3579

C.1,—1,1,-1D.0,0,0,0

【答案】D

【解析】因為』一1w［一」，故排除A;因為退一INJ?—「，故排除B;又因為一1—1W1—(―1),故排除

5375

C;對選項D,每一項與前一項的差都等于常數0,符合等差數列的定義.

知識點02等差數列的通項公式

1.通項公式：首項為死，公差為d的等差數列｛斯｝的通項公式為0"=01+(〃-1)4.

【解讀】(1)要確定等差數列的通項公式，只需確定首項和公差;

(2)在通項公式a“=ai+(〃-l)d中有四個量：a?,可，n,d,只要知道任意三個就可求出第四個.

2.從函數角度認識等差數列｛a“｝

若數列｛a〃｝是等差數列，首項為a”公差為d,則a“=/(")=ai+(〃-l)d="Z+(ai—<7).

(1)點(小a”)落在直線>=公+(°1—④上；

(2)這些點的橫坐標每增加1,函數值增加4

3.等差數列與一次函數的區別與聯系

一等差數列一次函數

通項公式(解析式)an=kn-\~b(n￡N*)於)=履+/左W0)

定義域為N*或N*的子集｛1,2,3,…，n｝,定義域為R,圖象是一

不同點

圖象是一系列孤立的點(在直線上)條直線

相同點等差數列的通項公式與一次函數的解析式都是關于自變量的一次整式

4.等差數列的單調性

等差數列｛。“｝的公差為d,

(1)當辦0時，數列｛斯｝為遞增數列；

(2)當d<0時，數列｛斯｝為遞減數列；

(3)當d=0時，數列｛斯｝為賞數列.

【解讀】(1)等差數列是定義域為N*或N*的子集｛1,2,3,4,....以的一次函數的函數值.

(2))等差數列的通項公式不一定都是關于〃的一次函數，常數列a,a,a,。的通項公式a〃=a

為常函數.

5.等差數列通項公式的變形及推廣

已知等差數列｛%｝中的任意兩項a“WJGN*,mWn),則

件=ai+(〃一\)d

=—=>an-am=(n-m)d,

(a,nai+(m1)(Z

所以①冊=Q加+（〃一加）d（加，〃￡N*）,

?a-a*「

@d=--n---m-（m,,且加W〃）.

n-m

【即學即練2】已知等差數列｛〃,｝的首項句=4,公差d=—2,則通項公式為=（）

A.4一2〃B.2〃一4

C.6—2nD.2n—6

【答案】C

【解析】為=〃1+（〃-l）d=4+（〃-1）X（—2）=4—2〃+2=6—2幾

知識點03等差中項

（1）如果x,ay是等差數列，那么稱/為x與1，的等差中項.

（2）在一個等差數列中，中間的每一項（既不是首項也不是末項的項）都是它的前一項與后一項的等差中項.

【即學即練3］（24-25高二上,上海寶山,階段練習）-2和8的等差中項是.

【答案】3

【分析】由等差中項定義求解即可.

【詳解】由等差中項定義可知，-2和8的等差中項為W丑=3.

2

故答案為：3

知識點04等差數列的性質

一般地，如果｛。“｝是等差數列，而且正整數s,f,p,q滿足s+f=p+q,則4+q=劭+%.

（1）特另II地，如果2s=p~\~q,貝lj2%=他十%.

（2）對有窮等差數列，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首末兩項的和，即01+斯=02+。“_1=~=

。不+a“—左+1-,*'-

（3）若｛斯｝是公差為d的等差數列，貝U

①｛c+%｝（c為任一常數）是公差為d的等差數列；

?｛ca?｝（c為任一常數）是公差為cd的等差數列；

?｛an+an+k］（k為常數，左GN+）是公差為2d的等差數列.

（4）若｛%｝,｛6“｝分別是公差為4，電的等差數列，則數列q是常數）是公差為pd-qd?

的等差數列.

【即學即練4】（24-25高二上?湖南長沙?期中）已知等差數歹!］,“｝滿足&+%+/=6,則%等于（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】B

【分析】利用等差數列的性質進行求解.

［詳解］???。6+〃7+。8=3a7=6,/.〃7=2

故選：B

題型精講

題型01等差數列的通項及計算

【典例1］（24-25高二上?黑龍江綏化?階段練習）在等差數列｛%｝中，％=-1,%=3,則％。=（）

A.10B.17C.21D.35

【答案】B

【分析】首先求出公差，再應用等差數列通項公式即可求出生。.

【詳解】設等差數列｛%｝的公差為d,則d=%￥=七｝=2,

所以%o=q+9d=—1+9x2=17.

故選：B

【變式1】（24-25高二上?江蘇鎮江?期中）等差數列｛%｝中，若。z+%=4,%+。4=5,則。9+須等于（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【分析】根據給定條件，求出數列的公差即可計算得解.

【詳解】設等差數列｛%｝的公差為“，由的+。3=4,%+%=5,得2d=5-4=1,

所以為+%o=。3+6d+%+6"=（%+%）+12d=5+6=11.

故選：C

【變式2】（2024?山東?模擬預測）在等差數列｛%｝中，已知％=-9,%+%=-9,%T=9,則"=（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】A

【分析】根據等差數列基本量的計算即可求解.

3

【詳解】由〃3+%=-9,%=—9可得q=—9,公差d=i，

故生〃—1=+（2〃一2）d=9,解得〃=7,

故選：A

【變式3】（23-24高二下?河南,期末）己知等差數列｛6｝滿足%+4=16,且%-%=4,則首項/=（）

A.-1B.0C.1D.3

【答案】C

【分析】根據等差數列基本量運算求解即可.

【詳解】設等差數列｛%｝的公差為"，

因為〃3+&=16,且。5-。3=4,

。3+。6=2q+7d=166Z]—1

所以,所以

—。3=2d—4d=2.

故選：C.

【變式3】（24-25高二上?上海,期中）滿足條件3G｛1,2,3｝的等差數列｛對｝共有（）個

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】由。「短｛1，2,3｝得2MqM4,根據枚舉法列出所有的情況，即可求解.

【詳解】由q-le｛L2,3｝,得2VqV4.

%-le｛1,2,3｝

設等差數列｛%｝的公差為］，由題意知，&-2=%+d-2e｛l,2,3｝①，

%-3=%+2d-3e｛1,2,3｝

當q=2時，由①,得"=1或2,此時(q,%,。3)=(2,3,4)或(2,4,6)；

當q=3時，由①,得"=1,此時（4的，%）=（3,4,5）；

當q=4時，由①，得〃=。或1,此時（。1，%,。3）=（4,4,4）或（4,5,6）.

所以滿足題意的等差數列｛%｝共有5個.

故選：D

題型02等差數列的判斷與證明

【典例2］（23-24高二下?海南?期中）下列數列的通項公式中，能得到｛%｝為等差數列的是（）

A.a=n2+2

B.an=2n+2

C.an=2"+2D.an=log2n+2

【答案】B

【分析】根據等差數列的定義即可結合選項逐一求解.

【詳解】對于A,%-4=("+1)2-"2=2"+1不為常數，故A錯誤，

對于B,%+「%=2(〃+1)-2〃=2為常數，故B正確，

對于C,。-2前-2"=2"不為常數,故C錯誤，

對于D,a-a=log(?+1)-logon=log----不為常數，故D錯誤，

n+ln22n

故選：B

[變式1](23-24高二下?上海寶山?階段練習)已知數列｛??｝是等差數列，下面的數列中①｛%"｝②｛。“+a?+l｝

③｛34+1｝④Ml｝必為等差數列的個數是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】設出等差數列的公差，利用等差數列定義一一判斷四個數列，對于④中數列，只需舉反例即可說

明.

【詳解】由數列｛0“｝是等差數列，不妨設其公差為d,則為=%+(〃-l)d,

對于①，因%哂=%+(2〃+1)",出”=%+(2"T)d,則。2("+1)-。2“=。1+(2〃+1)4-[%+(2"-1)<|=2〃為常

數，故｛2“｝是等差數列；

對于②，不妨設％=。“+4”+1,貝3,=2%+(2"-l)d,”+1=2%+(2〃+l)d,于是。+1-60=24為常數，故

｛%+。同｝是等差數列;

對于③，設c“=3a“+l,貝ljc“=3%+3("-l)d+l,*=3%+3"d+1，于是%-%=3”為常數，故｛3%+1｝

是等差數列；

對于④，若數列應｝為-2,-1,0,1,2,3…，顯然是等差數列，則數列｛,」｝為2,1,0,1,2,3…，因0一故

｛㈤｝不是等差數列.

即在①，②，③，④中，是等差數列的有3個，

故選：C.

【變式2］（2024高二,全國?專題練習）下列數列是等差數列的是（）

1111廠廠廠

A.-,-,—,—B.1,石,<7

C.1,-1,1,-1D.0,0,0,0

【答案】D

【分析】由等差數列定義逐項判斷即可得.

【詳解】故排除A；

V3-1*V5-V3,故排除B；

故排除C,

常數列是等差數列，故D正確.

故選：D.

【變式3】（24-25高二上?吉林長春?期中）已知數列｛2｝和｛"｝都是等差數列，公差分別為4,d2,數列｛c“｝

滿足4=%+2*

（1）數列｛1｝是不是等差數列？若是，證明你的結論；若不是，請說明理由.

（2）若｛%｝的公差為-2,低｝的公差為-3,%=5,4=8,求數列｛c.｝的通項公式.

【答案】（1）數列｛g｝是等差數列，理由見解析

（2）。〃=29-8〃

【分析】（I）先根據題意得4=%+1-%,"2=4+1-。，然后利用等差數列的定義判斷即可；

（2）由（1）結合已知可得數列｛g｝的首項為21,公差為-8,從而可求出數列｛%｝的通項公式.

【詳解】（1）數列｛g｝是等差數列，理由如下：

因為數列｛%｝，｛2｝都是等差數列，公差分別為4,d2,

所以4=%-冊,內=bn+l-bn,neN,,

因為g+26",

a

所以c“+i-g=?+l+2"+i-+2b“)

=(a“+i-a“)+2(，+i-，)

=4+24為常數，

所以數列｛%｝是以4+24為公差的等差數列；

(2)因為％=5,[=8,

所以G=%+24=5+2x8=21,

由(1)可知數列｛g｝是等差數列，且公差為4+24，

因為｛對｝的公差為-2,｛2｝的公差為-3,

所以數列上｝的公差4=-2+2*(-3)=-8,

所以數列｛g｝的通項公式為c“=G+("-1”=21-8(〃-1)=29-即.

題型03等差中項及應用

【典例3](24-25高二上?全國?課后作業)己知等差數列｛%｝的前3項分別為"l,2a+l,a+7,則。的值為

()

A.0B.2C.4D.9

【答案】B

【分析】利用等差中項求解.

【詳解】解：因為等差數列｛%｝的前3項分別為。-l,2a+l,a+7,

所以2(2。+1)=—1)+(。+7),解得a=2.

故選：B

【變式1】(24-25高二上?全國?隨堂練習)若。，6是方程尤2一2》-3=0的兩根，則。，6的等差中項為

33

A.—1B.C.1D.一

22

【答案】C

【分析】應用韋達定理及等差中項計算即可.

【詳解】因為0+6=-彳=2,

所以4,b的等差中項為個=1.

故選：C.

【變式2］（24-25高二上?山東荷澤?階段練習）在等差數列｛%｝中，%=5,〃6=3,則%=（）

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】A

【分析】利用等差數列的中項求解.

【詳解】解：由等差數列的性質可知的+佝=2%，

所以佝=26—/=2x3—5=1.

故選：A.

【變式3］（24-25高二上?全國?課前預習）已知加和2〃的等差中項是4,2加和〃的等差中項是5,貝!J2加-〃

和2〃-加的等差中項是（）

A.8B.6C.4.5D.3

【答案】D

【分析】運用等差中項概念及性質可解.

【詳角軍】?「加+2〃=8,2加+〃=10,

，3加+3〃=18,:.m+n=6,

2m-n^2n-m的等差中項是僅加一冷+僅"%）=竺土己=3.

22

故選：D.

【變式4】（24-25高二上?上海松江?階段練習）已知1,。,5-2a構成等差數列，則實數。的值為.

【答案】|/1.5

【分析】根據等差數列的性質進行求解即可.

【詳解】因為1,。,5-2a構成等差數列，

,3

所以2〃=1+5-2〃，解得?=—.

3

故答案為：—

題型04等差數列的性質

【典例4】.（24-25高二上?全國?課后作業）已知數列｛%｝為等差數列，且4+%+。9=兀，則cos（%+a8）=

（）

A_1R近r1D百

2222

【答案】A

【分析】利用等差數列的性質求解即可.

【詳解】由等差數列的性質知g+%=%+。9=2%，

TT

所以3%=兀，解得％=：，

所以cos（%+）=cos2a5=cosg=一%,

故選：A

【變式1】（24-25高二上?吉林長春?期中）已知等差數列｛%｝滿足&+%+做=6，則。7等于（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】D

【分析】根據條件，利用等差數列的性質，即可求解.

【詳解】因為。6+。7+。8=3%=6,解得%=2,

故選：D.

【變式21（24-25高三上?遼寧?期中）公差不為0的等差數列｛叫滿足冊+%=2%（n,m,peN*）,則六+￡

的最小值為（）

235

A.1B.—C.—D.一

344

【答案】C

【分析】根據等差數列的下標和性質，結合基本不等式，求解即可.

【詳解】由題可知，加+。=10,貝M加+2）+p=12,所以3|義+己=1,

1m+2p

所以

m+2+p1)12V2

當且僅當廣q=%'”+2）且加+1=10時,即加=2,p=8時等號成立，

（m+2）p

143

所以一^+一的最小值為

m+2p4

故選：C.

【變式3］（24-25高二上?山東青島,期中）等差數列｛。“｝中，ax+a5+ag=11,貝！---1"%=（）

A.12B.33C.36D.45

【答案】B

【分析】根據題意，由等差數列下標和的性質可得牝，然后代入計算，即可得到結果.

【詳解】由等差數歹U的性質可知4+%+%=3。5=11，即％=g，

所以+〃2■1—+為=9%=9x：=33.

故選：B

【變式4】（24-25高二上?重慶渝中?期中）己知在等差數列｛%｝中，出+%=%+11且%+%=%+2,則數

列｛%｝的通項公式為（）

A.。〃=3〃+2B.an=3n-l

C.an=3n+5D.an=271+3

【答案】A

【分析】利用等差數列的下標性質求出公差，進而得通項公式.

【詳解】設等差數列公差為力

由題意:%=+2d-a?+。5—%=11，故〃2+。4=2a③—22,即6+2=22,解得-20；

故等差數列｛%｝的公差為4=與二?=3,通項公式為。“=11+3（〃-3）=3"+2；

故選：A.

題型05等差數列的單調性及最值

【典例5］（23-24高二下?安徽宿州?開學考試）已知等差數列｛叫，則”｛%｝單調遞增"是“<%”的（）

條件

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據等差數列的概念得到an+l-an=d,進而推得結果.

【詳解】已知等差數列｛%｝的公差為d,即。用-%=4,

當｛%｝單調遞增時，d>0,令〃=1得到電-q=d,a2>al；

反之在>%,d>0,｛6｝為單調遞增.

故"｛%｝單調遞增"是"電>%"的充要條件.

故選：A.

【變式1】（23-24高二上?全國,課后作業）（多選）已知等差數列｛%｝的公差1>0,則下列四個命題中真命

題為（）

A.數列｛%｝是遞增數列B.數列｛|%|｝是遞增數列

C.數列｛叫是遞增數列D.數列｛%+3M是遞增數列

【答案】AD

【分析】根據">0可判斷A；舉反例可判斷B,C；結合函數的單調性可判斷D.

【詳解】對于A,等差數列｛%｝的公差4>0,則數列｛。”｝是遞增數列，正確；

對于B,不妨取｛%｝:-2,-1,0,1,2,…，貝川氏|｝：2,1,0,1,2,…不是遞增數列，B錯誤；

對于C,不妨取｛%｝:-2,-1,0,1,2,-一，則｛個｝：4,1,0,1,4,…不是遞增數列，C錯誤；

對于D,由于等差數列｛%｝的公差d>0,。“隨"的增大而增大，3加/隨"的增大而增大，

故%+3加/也隨〃的增大而增大，即數列｛%+3”"｝是遞增數列，D正確，

故選：AD

【變式2】（24-25高二上?全國,課后作業）已知數列｛%-2/｝為等差數列，且q=4=8,則%的最小值

為.

【答案】-4

【分析】先求得數列的公差，進而求得其通項公式，從而求得見,利用二次函數的知識求得最小

值.

【詳解】設數歹4%-2/｝的公差為d,則d=&2x6、(％2)=_]4,

6—1

故為-2"2=(q_2)_14("-1)=-14"+20,

故氏=2〃2_14〃+20=2(〃一3-1,

根據二次函數的性質可知：當〃=3或4時，。“取得最小值-4.

故答案為：-4

3

【變式3】(24-25高二上?江蘇連云港?期中)己知等差數列｛的｝的首項田=11,公差d=-“當1麗1最小時，

n=.

【答案】16

【分析】根據題意求通項公式％,由通項公式得的單調性，進而根據單調性判斷最值.

347

【詳解】由題意，an=ax+(n-\)d=--n+^-,〃eN*

347472

令a“VO,得一解得“2條=15+§,

所以當“415時，>0,此時|%|單調遞減；

當〃>15時，a?<0,此時|%|單調遞增；

又見5=一^'15+彳=5,a16=--xl6+—=貝！|向6|<|%5]，

因此當最小時，n=16,

故答案為：16

題型06構造法的應用

【典例6】(24-25高二上?全國,課后作業)已知數列｛6｝的首項%=1,且滿足。用=g%+g，則此數列的

通項公式。”等于()

A.InB.H(?+1)

【答案】C

【分析】根據數列的遞推關系式，結合等差數列的定義及通項公式即可得見.

即2"an+l-2"T%=1,則2""ae一2"a“=2,

所以數列｛2%“｝是以2%=2為首項，2為公差的等差數歹!],

所以2"%=2+（〃TX2=2〃,所以4=備.

故選：C.

【變式1]（24-25高二上?福建寧德?階段練習）已知數列｛%｝的首項%=:，且滿足=疝%（"€N*）,

則?20的《莖為（）

21

A.-一B.—C.—[

7?6978

【答案】A

利用取倒法證得，，，是等差數列，進而求得4,從而得解.

【分析】

【詳解】因為%=%+i=/^（"eN*）,易知%*0,

所以工—+1=4+—1,即一1——1一=4,

aaa

%+1nnn+l4

又％=：,所以'=3,

3%

故是以3為首項，4為公差的等差數列，

貝J=3+4（"-1）=41,故%=丁二

%4〃-1

所以"20=-----------=----?

204x20-179

故選：A.

【變式2]（24-25高二上?全國?課后作業）已知數列｛%｝滿足（〃+1）%+1-％=3,且g=2,貝!J%）=（）

23232929

A.—B.—C.—D.—

20102010

【答案】D

7

【分析】根據題意，得到數列｛〃%｝是公差為3等差數列，求得見=3-進而求得。2。的值，得到答案.

n

【詳解】因為數列｛《｝滿足=3,且02=2,

可得數列｛〃%｝為等差數列，且公差為3,

2129

所以加a=2。2+3（〃-2）=3〃-2,即%=3,所以出。=3-；；；=-.

n1010

故選：D.

【變式3】（24-25高二上?全國?課后作業）已知數列｛風｝中，與/0,。1=g,2a,?%+］-a“+%+i=0,則=

（）

1111

A.----B.----C.-—D.

103105107109

【答案】A

【分析】根據已知化簡得出一匚-'=2,再應用等差數列的通項公式計算得出通項即可.

a

%+1n

1…11八

【詳解】由題得一=5,2——+—=0,

a

%。〃+1n

即一二-'=2,則數列［,］是以5為首項，2為公差的等差數列，

所以;=5+（〃-1）X2=2〃+3,即氏=丁二，貝上.

an2〃+3103

故選：A.

【變式4］（2024?浙江?模擬預測）已知數列｛%｝滿足

（2〃一3）%-（2〃一1）%T=4n2-8〃+3（〃22,〃￡N*）,q=1,則。〃=（）

A.2〃-2B.2n2—幾C.2〃—1D.（2〃—1）2

【答案】B

【分析】根據遞推關系可證明為等差數列，即可求解.

【詳解】（2〃-3）4-（2〃-1"1=4〃2-8"+3=（2〃-1）（2〃-3）,

所以m7-魯、=1,?=1,所以［盧為等差數列，且公差為1,首項為1,

2/2-12/7-31

2

故一^—=1+〃_］=〃，gpan=77（2n-l）=2n-n,

2M-1

故選：B

題型07實際問題中的等差數列

【典例7】（24-25高二上?福建龍巖?期中）羅星塔是航海燈塔，是福州港口的標志，是國際上公認的海上重

要航標之一，世界許多航海圖上都標有羅星塔.如圖，該塔為七層仿樓閣式石塔，假設該塔底層（第一層）

的底面直徑為8米，且每往上一層，底面直徑減少0.6米，則該塔頂層（第七層）的底面直徑為（）

A.3.1米B.3.8米C.4.4米D.5米

【答案】C

【分析】利用等差數列的性質求第七層的底面直徑即可.

【詳解】由題意，從第一層到頂層的底面直徑構成首項為8,公差為-0.6的等差數列,

所以%=8+6x（-0.6）=4.4米.

故選：C

【變式1］（2024高二?全國?專題練習）現有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他們手里的錢不一樣多,

依次成等差數列，已知甲、乙兩人共237錢，戊、己、庚三人共261錢，則丁有（）

A.107錢B.102錢C.101錢D.94錢

【答案】C

【分析】根據等差數列的知識列方程，求得首項和公差，從而求得正確答案.

【詳解】設甲、乙、丙、丁、戈、己、庚七人的錢數為數列｛%｝,等差數列｛%｝的公差為力

q+出=237,2a1+d=237,刀,曰］。］=122,

依題意得即3q+l5d=261,解得jd=-7,

+。6+。7=261,

所以%=%+34=122-21=101,故丁有101錢.

故選：C.

【變式2］（24-25高三上?湖北?階段練習）長江被稱為黃金水道，而三峽大壩則是長江上防洪發電的國之重

器.三峽大壩壩前正常蓄水位為海拔175米，而壩下通航最低水位為海拔62米.為了改善船舶的通航條件，

常常會通過修建階梯船閘來實現，船只只需要像爬樓梯一樣，以實現上升或者下降.假設每個閘室之間的水

位差均可控制在15至25米之間，則要保證全年通航，那么三峽大壩船閘至少需要修建閘室的個數為

()

【答案】B

【分析】由已知，水位差為175-62=113米，每個閘室之間的水位差均可控制在15至25米之間，由

113+25=4.52,可知船閘至少需要修建閘室5個.

【詳解】因為三峽大壩壩前正常蓄水位為海拔"5米，而壩下通航最低水位為海拔62米，

所以水位差為175-62=113米，

又每個閘室之間的水位差均可控制在15至25米之間，

則113+25=4.52,

所以船閘至少需要修建閘室5個.

故選：B.

【變式3】（22-23高三上?遼寧?期末）我國古代數學家提出的“中國剩余定理"又稱"孫子定理"，它在世界數

學史上具有光輝的一頁，堪稱數學史上名垂百世的成就，而且一直啟發和指引著歷代數學家們.定理涉及的

是數的整除問題，其數學思想在近代數學，當代密碼學研究及日常生活都有著廣泛的應用，為世界數學的

發展做出了巨大貢獻，現有這樣一個整除問題：將1到2022這2022個數中能被3除余2,且被5除余3,

且被7除余1的數按從小到大的順序排成一列，構成數列那么此數列的項數為（）

A.17B.18C.19D.20

【答案】D

【分析】由冊=3機-1,%=5k-2,為=7/6變形得到｛%｝的通項公式，從而得到不等式組，求出此數列

的項數.

【詳解】由題意得：能被3除余2的數為2,5,8,11......,

故。皿=2+3（加—1）=3機—1,m6N,,

被5除余3的數為3,8,13......,故4=3+5（"1）=5"2,左eN*,

被7除余1的數為1,8,15......,故％=1+7?-1）=7/-6,teN*,

由a加=3/一1=3(加一3)+8,Q左=5左一2二5(左一2)+8,%=7/—6=7(/—2)+8,

故〃“=105(〃—1)+8=105〃—97,幾GN*,

98211919

令l?105〃一97K2022,解得：一<n<——=20一,

105105105

因為〃eN*,所以"=1,2,3,…，20,故此數列的項數為20.

故選：D

05

一、單選題

1.（23-24高二下?四川瀘州,期中）等差數列5,8,11,14,...的第H項為（）

A.29B.32C.35D.37

【答案】C

【分析】求出等差數列通項，再代入計算即可.

【詳解】設該等差數列為｛%｝,則由題意得q=5,d=8-5=3,

則=5+3（〃-1）=3"+2,貝lja”=3x11+2=35.

故選：C.

2.（23-24高二下?云南迪慶,期中）在等差數列｛%｝中，%+6=20,則&=（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

【分析】利用等差數列的性質：等差中項，建立等式求解即可.

【詳解】由等差數列的性質可知。4+歿=2。6=20,

故=1。，

故選：C.

3.（24-25高二上?全國,課后作業）已知數列｛%｝滿足=2,且%=#，則d=（）

A.12B.16C.18D.20

【答案】B

【分析】直接根據等差數列的性質即可求解.

【詳解】由-d=2可得｛4｝是公差為2的等差數列，

故a；+5x2=16.

故選：B.

4.(22-23高二下?山東日照?期中)已知。一行+［，b-e］，則Q，b的等差中項為()

1

A.20B.V2C-1口.正

【答案】B

【分析】先求解可得〃+6=2/，然后根據等差中項的性質，即可得出答案.

]]0-1+&+1

a+b==2V2

【詳解】由已知可得,72+1V2-1(V2+1)(V2-1)

設a,6的等差中項為加，

根據等差中項的定義，有m=*=也.

故選：B.

5.(24-25高二上?江蘇蘇州?階段練習)如果〃"+1)=也”("=1,2,3,..),且/⑴=2,則"101)=()

A.49B.50C.51D.52

【答案】D

【分析】利用等差數列的通項公式求解可得.

【詳解】因為/(〃+1)=2/(7+1,所以+一

記4,=/("),則％+i-%/⑴=2,

所以｛%｝是首項為2,公差為:的等差數列，

所以/(101)=*=2+(101-l)x；=52.

故選：D

6.(22-23高三下?江蘇連云港?階段練習)已知數列｛%,｝滿足—+==2,且％=1,a2=1,貝壯2023=

anan+23

().

1111

A.----B.----C.----D.----

2021202240454044

【答案】C

【分析】直接利用數列的遞推關系式得出是等差數列，確定其首項和公差，進而利用通項公式求解即

可.

a,a,112

【詳解】由-^+1=2,則可得一+---=---,

anan+2an%+2〃〃+1

1111

故可得---------二--------，

an+2an+\an+l

1

。〃+1anan%。3。2。2%

11,11cle7

又％=1,a,=-,貝1］一=1,------=3-1=2=4,

3%a2ax

所以是以1為首項，2為公差的等差數列,

所以，=1+2（"1）=2"-1,

'02023-2x2023-1-4045,

故選：C.

7.（23-24高二下?湖南湘西?期末）《九章算術》是我國古代數學名著，其中記載了關于家畜偷吃禾苗的問題.

假設有羊、騾子、馬、牛吃了別人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、騾子的主人、馬的主人、牛的主人

共賠償12斗粟.羊的主人說："羊吃得最少，羊和騾子吃的禾苗總數只有馬和牛吃的禾苗總數的一半.”騾子的

主人說："騾子吃的禾苗只有羊和馬吃的禾苗總數的一半.”馬的主人說："馬吃的禾苗只有騾子和牛吃的禾苗

總數的一半.”若按照此比率償還，則羊的主人應賠償的粟的斗數為（）

5

A.1B.一C.2D.

2

【答案】B

2（%+%）=〃3+%，

+。3+。4=12,

【分析】根據題意設羊、騾子、馬、牛吃的禾苗數依次為2M3，%，由題意得外=幺土幺，通過等

22

2+%

-2~

差中項可判斷羊、騾子、馬、牛吃的禾苗數依次成等差數列，，列出相關等式解求首項即可;

2（q+2）=%+%，

+電+%+%=12,

【詳解】設羊、騾子、馬、牛吃的禾苗數依次為6,2，%，的，由題意得

22

出+〃4

-2-

通過等差中項可判斷羊、騾子、馬、牛吃的禾苗數依次成等差數列,

2（%+。2）=+〃4，

設該數列為｛%｝,公差為d,貝1J.由題意得

+出+%+。4=12,

2（2%+d）=2%+