第04講導數與函數的極值、最值

學習目標

課程標準學習目標

1.理解函數極值、極值點的有關概念，掌握利1.了解函數的極大(小)值與導數的關系；

用導數求函數極值的方法；2.理解極大值、極小值的概念掌握；

2.注意結合函數的圖象理解用導數求函數極值3.掌握不超過三次的多項式函數的極大(小)值的

的方法，培養用數形結合的思想方法去分析問題求法；

和解決問題的思維習慣；4.了解函數的最值與極值的區別和聯系；

3.了解函數最值的有關概念；5.理解函數最值的概念并掌握指定區間上不超過

4.會用函數的導數求函數的最值。三次的多項式函數的最大(小)值的求法。

思維導圖

(函數極值點的辨析

L導函數圖象與極值的關系

i求不含參函數的極值

;求含參函數的極值

.根據函數的極值求參數

<根據極值點求參數

函數的極值點、極值，?：知識

-函數極值與最值的辨析

函數的最值

<求(不含參)函數的最值

恒成立、有解問題的解法

'求含參函數的最值

卜已知函數最值求參數

\不等式恒成立問題

\不等式有解問題

、函數的零點問題

知識清單

知識點01函數的極值點、極值

1.極值與極值點的定義

(1)函數的極小值

如果對X。附近的所有點都有f(x)>f(x0),而且在點x=X。附近的左側f'(x)<0,右側f'(x)>0,則稱

f(x0)是函數的一個極小值，記作y極小值=/(%0).

(2)函數的極大值

函數/'(x)在點演附近有定義，如果對/附近的所有點都有/(x)</(x0),而且在點x=Xo附近的左側

f'(x)>0,右側r(x)<0,則稱/(x。)是函數的一個極大值，記作V極大值=/(工0).

(3)極小值點、極大值點統稱為極值點，極小值和極大值統稱為極值.

2.函數的導數與極值

一般地，設函數於)在xo處可導，且，(x())=0.

(1)如果對于曲左側附近的任意x,都有/(x)>0,對于右側附近的任意X,都有，(x)<0,那么此時

X。是人x)的極大值點.

(2)如果對于x()左側附近的任意x,都有/(x)O,對于xo右側附近的任意x,都有，(x)>0,那么此時

X。是人x)的極小值點.

(3)如果，(x)在X。的左側附近與右側附近均為正號(或均為負號)，則X。一定不是y=/(x)的極值點.

【解讀】一般地，如果/是y=/(x)的極值點，且/(X)在/處可導，則必有/'(%)=0.

(1)函數的極值是一個局部性的概念，是僅對某一點的左右兩側附近的點而言的；

(2)極值點是函數定義域內的點，而函數定義域的端點絕不是函數的極值點；

(3)極大值與極小值沒有必然的的大小關系，一個函數在其定義域內可以有許多個極小值和極大值,

且在某一點的極小值可能大于某一點的極大值；

(4)/'(x0)=0只是可導函數/(X)在/處取得極值的必要條件，不是充分條件。

3.求函數極值的步驟

①先確定函數/(x)的定義域；

②求導數f'(x);

③求方程/''(x)=0的解；

④檢驗了'(X)在方程/(無)=0的根的左右兩側的符號，如果在根的左側附近為正，在右側附近為負，那

么函數y=/(x)在這個根處取得極大值；如果在根的左側附近為負，在右側附近為正，那么函數y=/(x)在

這個根處取得極小值.

【解讀】7^())=0”是“X。是y=/(x)的極值點”的必要不充分條件.如人勸=/，由/(x)=o得》=0,但。

不是/(X)=x3的極值點.

【即學即練1](24-25高二下?甘肅定西?階段練習)函數/(x)=lnx-j的極大值為()

1

A.—QB.0C.eD.1

e

知識點02函數的最值

1..函數最值的定義

(1)最大值：如果在函數/(X)的定義域/內存在一點X。使得任意一點%,使得對任意的xe/,總

有/(x)</(/),那么稱/(%)為函數在定義域上的最大值。

(2)最小值：如果在函數/(x)的定義域/內存在一點%使得任意一點%,使得對任意的xe/,總

有那么稱/(%)為函數在定義域上的最小值。

2.對函數最值的定義理解

(1)閉區間上的連續函數一定有最值，開區間內的連續函數不一定有最值。

(2)函數的最大值和最小值是一個整體性概念。

(3)函數>=/(x)在向上連續，是函數y=/(x)在以句上有最大值或最小值的充分而非必要條

件。

3.函數極值與最值的關系

一般地，如果函數y=/(x)在定義域內的第一點都可導，且函數存在最值，則函數的最之巔一定是某

個極值點；如果函數了=/(力的定義域為可且存在最值，函數y=/(x)在伍力)內可導，那么函數的

最值點要么是區間端點a或6,那么是極值點。

【解讀】求函數的最值時，應注意以下幾點：

(1)函數的極值是在局部范圍內討論問題，是一個局部概念，而函數的最值是對整個定義域而言，是在

整體范圍內討論問題，是一個整體性的概念.

(2)閉區間[a,3上的連續函數一定有最值.開區間(a,份內的可導函數不一定有最值，但若有唯一的

極值，則此極值必是函數的最值.

⑶函數在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個，而函數的極值則可能不止一個，也可能沒有極值,

并且極大值(極小值)不一定就是最大值(最小值).

【即學即練2](24-25高二上?全國?課后作業)函數/(x)=2hu+2x的最小值為()

A.0B.1C.2-21n2D.e+2

知識點03恒成立、有解問題的解法

1、若函數/(X)在區間。上存在最小值/口:和最大值/(x)max,則

不等式在區間D上恒成立o>a；

不等式/(x)2。在區間D上恒成立u>/(x)niin>a；

不等式/(x)<6在區間D上恒成立o/(x)_<b；

不等式/(無)口在區間。上恒成立c/(x)max<^;

2、若函數/(x)在區間。上不存在最大(小)值，且值域為(私〃)，則

不等式f(x)>a(或/'(x)2a)在區間D上恒成立=m>a.

不等式〃x)<6(或/(x)W6)在區間。上恒成立=mWb.

3、若函數/(x)在[a,可上存在最值,g(x)在[私,上存在最值:

對于任意的再e[a,6],總存在々e[m,可，使得f(xj4g(x2)o/(xi)1mx4g(乙)詠；

對于任意的年e[a,6],總存在々?[m,n],使得〃%)*^)^//*々^).；

若存在x,e[a,6],對于任意的％e[m,使得/㈤4g仁)0/(%)―4g(&)1n;

若存在芭w[a,b],對于任意的々4m,n],使得1mxNg(%)1M；

對于任意的屬e[a,b],x2e[m,〃]使得“xj4g(x2)o”再、*4g6L；

對于任意的王e[a,6],x2e[m,"]使得/(占)28(9)0/(再)皿/8(%/；

若存在Xie[a,6],總存在&e[m,川,使得4g&)1mx

若存在玉e[a,可，總存在％?m,n],使得Ng(x?)1nto.

【即學即練3】(24-25高二下?全國?課后作業)已知函數/(x)=fcf2_lnx,若〃x)>°在函數定義域內恒成

立，則左的取值范圍是.

題型精講

題型01函數極值點的辨析

【典例1】(24-25?吉林?高二檢測)已知N=7'(x)是y=/(x)的導函數，貝!]"/(％)=0"是"%是函數y=〃x)

的一個極值點”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式1】(23-24高二下?湖北孝感?階段練習)(多選)判斷下列命題正確的是()

A.函數的極大值一定比極小值大

B.對于可導函數/(x),若，'(%)=0,則不為函數的一個極值點

C.若/'(力>。在(。/)內恒成立，則函數〃x)在6)內一定沒有極值

D.一元三次函數在R上可能不存在極值

【變式2】(24-25高二上?全國?課后作業)(多選)下列函數中，存在極值點的是()

A.y=x--B.y=2%

X

C.y=-2x3-xD.y=x\wc

【變式3】(2024高三?全國?專題練習)已知函數/(x)=x(x-D(e=a),則下列說法正確的是()

A.若°=1,則“X)有2個零點

B.若。=0,則在(0,+司上既有極大值，又有極小值

C.若。<0,則〃x)在(-8,0)上沒有極值

D.若a>0,則在(0,+8)上必有極小值

【變式4】(24-25高三上?江蘇揚州?階段練習)(多選)已知函數〃x)=$3-x,/'(x)為/(x)的導函數,

則下列說法正確的是()

A.r(0)=°B.〃龍)為奇函數

c.“X)的極小值為：D.“X)在(1,+8)上單調遞增

題型02導函數圖象與極值的關系

【典例2](24-25高二下?北京?期末)已知函數/(x)的導函數/'(x)的圖像如圖所示，則/(x)()

A.有極小值，但無極大值B.既有極小值，也有極大值

C.有極大值，但無極小值D.既無極小值，也無極大值

【變式1】(23-24高二上?安徽?期末)已知函數了=/("為連續可導函數，y=(/+4x+3)/'(x)的圖像如圖

A.71-3)是函數的極大值B./(-1)是函數的極小值

C./(x)在區間(-3,1)上單調遞增D.的零點是一3和-1

【變式2】(23-24高二上?湖南長沙?期末)(多選)己知函數了=/("的導函數/'(X)的圖象如圖所示，下列

說法正確的是()

B.函數“X）在。,3）上單調遞減

C.函數/（x）在》=1處取得極大值D.函數/（x）有最大值

【變式3].（24-25高三上?內蒙古赤峰?階段練習）已知函數y=f（x）的導函數丫=（（久）圖像如圖所示，則下

列說法正確的是（）

A./（%1）＞/（%3）

B.*2是極大值點

c./（X）在區間內一定有2個極值點

D./（無）的圖像在點》=再處的切線斜率等于0

【變式4】（24-25高三上?四川達州?階段練習）已知可導函數〃x）的部分圖象如圖所示，〃2）=0/（x）為

函數/（x）的導函數，下列結論不一定成立的是（）

A.r（i）＜/（i）B./'（2）=〃2）

C.r（4）＜/（4）D./'（3）＜/'（4）＜〃5）

題型03求不含參函數的極值

【典例3]（24-25高二上?全國?課后作業）函數Tnx的極小值為（）

A.yB.1C.0D.不存在

【變式1】（24-25高三上?江蘇南通?期中）函數〃無）=尤（尤-3）2的極大值為（）

A.-4B.0C.1D.4

【變式2］（24-25高二上?全國,課后作業）已知函數〃x）=；/---3x+l,則（）

A.有兩個極值點B.〃x）的極大值點為-1

C.〃龍）的極小值為-9D,的極大值為與

【變式3】（23-24高三上?廣東東莞?階段練習）若函數/（尤）=%3-12/+36工+1,則/（幻的極大值點為.

【變式4】（24?25高二上?全國?課后作業）函數/（x）=］-3x+21nx的極大值與極小值之和為（）

1313

A.21n2—6B.In2-----C.In2—6D.21n2------

22

題型04求含參函數的極值

【典例4］（24-25高二上?全國■課后作業）函數/（x）=lnx+ox2-（2a+l）x（a>0）.

⑴當。=1時，求函數/（x）的單調區間；

（2）求函數〃x）的極值.

【變式1】（24-25高三上?河南?期中）已知向量￡=?若存在不同時為零的實數上和1，

122J

使得x=4a+（『-3）刃，y=-ka+16ti,且x_Ly.

（1）求左=/（。的解析式；

（2）求（1）中的無在［0,句上的極值.

【變式2】（24-25高三上?山東濟南?期中）已知函數=

（1）當a=l時，求曲線y=在點（1J。））處的切線方程；

（2）當a>0時，

（i）求〃x）的極值；

<ii）若〃x）的極小值小于0,求。的取值范圍.

【變式3】（24-25高三上?黑龍江牡丹江?階段練習）設函數”》）=（/+如+〃卜，討論〃x）的單調性并判

斷/（x）有無極值，若有極值，求出/（x）的極值.

【變式4】（24-25高三上?山東聊城?階段練習）已知函數/（x）=e2'-（2a+3）e"+3ax.

（1）當a=3時，求曲線>=〃x）在（OJ（O））處的切線方程；

（2）求函數>=/（x）的極大值.

題型05根據函數的極值求參數

【典例5】（24-25高二下?全國?隨堂練習）函數/（無）=4尤3-a/-26x+2在x=l處有極小值-3,貝普-6的

值等于（）

A.0B.6C.3D.2

【變式1】（23-24高二上?天津濱海新?期中）函數/（x）=4d-辦2一2法+2在x=l處有極小值-3,貝防一。的

值等于（）

A.0B.-2C.-4D.6

【變式2】（23-24高三下?內蒙古赤峰?開學考試）已知函數/（x）=xlnx-辦有極值-e,貝巾=（）

A.1B.2C.eD.3

【變式3】（23-24高三上?廣東潮州?期末）若函數〃x）=；/-ax+lnx在（0,2）上有極值，則實數。的取值

范圍是（）

A.2,1B.^2,|C.［2,+功D.（2,+8）

【變式4】（2024?全國?高考真題）已知函數/（幻=3-辦-。3.

（1）當。=1時，求曲線P=/（x）在點。，/⑴）處的切線方程；

（2）若“X）有極小值，且極小值小于0,求。的取值范圍.

題型06根據極值點求參數

【典例4］（24-25高二?全國?專題練習）已知函數/'（x）=x（lnx-“x）有兩個極值點，則實數。的取值范圍是

（）

A.18,；］B./gjC.（0,1）D.（0,+co）

【變式1】（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測）若函數在區間（0,2）上有極值點，則實數0的取值

范圍是（）

【變式2】（24-25高二下?全國?課后作業）若無=1是函數/1）=辦3+工的一個極值點，則。的值為（）

X

11

A.-B.1C.0D.-

32

【變式3］（23-24高二下?江西?階段練習）已知函數〃x）=gx3+，+ax+2,則"〃龍）有極直，是"a<1”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式4】（24-25高二下?全國?課后作業）寫出"使得函數8口）=/+26+21!?在區間1,3上有唯一極值點”

的整數。的一個值____.

題型07函數極值與最值的辨析

【典例7］（24-25高二下?全國?課后作業）下列結論正確的是（）

A.若〃x）在N力］上有極大值，則極大值一定是［。,用上的最大值

B.若"X）在卜回上有極小值，則極小值一定是［凡用上的最小值

C.若“X）在［a,6］上有極大值，則極小值一定是在x=a和x=b處取得

D.若/'（x）在例上連續，則/'（x）在［a,可上存在最大值和最小值

【變式1】（24-25高三?全國?專題練習）己知定義在R上的函數/（x）,其導函數/'（x）的大致圖象如圖所示,

B.函數/（X）在x=c處取得最大值，在x=e處取得最小值

c.函數/（X）在x=c處取得極大值，在X=e處取得極小值

D.函數/（X）的最小值為了⑷

【變式2］（24-25高三?上海?隨堂練習）（多選）下列說法中正確的是（）.

A.函數y=/（x）的最大值不一定是它的極大值

B.函數y=/（x）的極大值可能小于它的極小值

c.函數y=/（x）在某一閉區間上的極小值就是函數在這一區間的最小值

D.函數y=/（x）在開區間不存在最大值和最小值

【變式3】（23-24高二下?吉林長春?期中）已知定義在R上的可導函數/（x）和g（x）的導函數（㈤、g'（x）圖

象如圖所示，則關于函數”x）=g（x）-“X）的判斷正確的是（）

A.有1個極大值點和2個極小值點B.有2個極大值點和1個極小值點

C.有最大值D.有最小值

題型08求（不含參）函數的最值

【典例8】（2025高三?全國?專題練習）設加為實數，函數〃x）=lnx+ex,直線>="+。是曲線y=〃尤）

的切線，貝U。+6的最小值為.

【變式1］（24-25高二下?全國?課后作業）函數/（'）=等2X的最小值為，最大值為.

【變式2】（25-26高三上?上海?單元測試）若x=2是/（x）=21nx+ax2-3x的極值點，則/（x）在1,3上的

最大值是.

TTTT

【變式3】（24-25高三?上海?隨堂練習）函數y=sin2x-x,xe的最大值為.

【變式4】（2024?全國?二模）己知圓錐的軸截面是底角為。的等腰三角形，圓錐的底面半徑為。，圓錐內有

一個內接圓柱，則圓柱體積的最大值為（）

A.a2tan0B.tan20C.2MtangD.tan0

3927

題型09求含參函數的最值

【典例9】（2025高三,全國?專題練習）已知函數/（x）=ax2_（a+2）x+hw,其中“>0,求函數y=〃x）在

區間［Le］上的最小值/a）.

【變式1］（24-25?青島?高二?期中）已知函數〃x）=xe\

⑴求函數的最小值；

⑵求函數〃x）在也7+1］上的最小值.

【變式2】（24-25高二下■全國■課前預習）當。>0時，求函數/（x）=Y-辦2-/尤在［_4,2可上的最值.

【變式3】（23-24高二下?湖南益陽?期中）已知/"（x）=2xJ6x2+a（a為常數）在［-2,2］上有最大值3,則

此函數/（X）在-2,2］上的最小值是（）

A.—37B.—29C.—5D.—8

題型10已知函數最值求參數

【典例10］（24-25高二下?全國?課后作業）已知函數/（幻=$3+：/-2》+1,若函數“X）在（2凡2。+3）上

存在最小值，則a的可能取值為（）

11

A.——B.-C.-1D.0

22

【變式1】（2024?上海靜安?二模）已知實數ae（0,6）,記〃幻=4（尤-°）.若函數了=/（x）在區間［0,2］上

的最小值為-2,則a的值為.

【變式2】(23-24高二下?江蘇淮安?階段練習)已知函數/(x)=x2-x-l+“lnx,在(。,2)上的最小值為一1,

則實數。的值為.

.、fax—l,x<—1,

【變式3】(23-24高二下?河南?階段練習)已知a*0,若函數/(%)=/0。?有最小值，則實數

。的最大值為.

【變式4](24-25高二?全國?課后作業)已知函數/(工)="3-6辦2+6,xE[—1,2]的最大值為3,最小值為

—29,求a,b的值.

題型11不等式恒成立問題

2

【典例11](24-25河北?衡水?高二期末)已知〃x)=xe*,g(x)=-(x+1)+a,若%，%2eR,使得

/(X2)4g(xj成立，則實數。的取值范圍是()

A.[e,+oo)B.(-00,e]

一1)(r

C.--,+00ID.l-oo,--

【變式1](25-26高三上?上海?期末)若對任意、式1,+。)，不等式Qlnx+/-exNO恒成立，則a的取值范

圍為?

x

【變式2】(23-24高二下?山東?期中)^e-ax>-x+\n(ax)f則實數Q的取值范圍為

【變式3](24-25高二下?浙江?期中)已知。>1,對任意xe(l,+s)都有與一e』ru40,則實數。的

7Xs

取值范圍是.

【變式4】(2025高三?全國?專題練習)已知函數/(x)=2"-21nx,函數g(x)=x-2,若恒有g(x)4/(x),

求。的取值范圍.

題型12不等式有解問題

【典例12](2025高三?全國?專題練習)函數/(x)=hu-M+l,若存在xe(0,+oo),使/(x)20有解，貝I」加

的取值范圍為()

A.0°,1]B.(—co,2]C.[1,+°0)D.[2,+oo)

【變式1】(24-25高三?全國?專題練習)已知函數/(x)=xlnx-ax+l,若存在%e(0,+8),使得/'(/卜。成

立，則實數。的取值范圍_____.

【變式2】(23-24高二下?天津東麗?階段練習)已知/@)=(》+1)/應,g(x)=(x+l)F,若叫eR,

\/%W0,2],使/(X2)2g(%)成立，則實數。的取值范圍是.

【變式3】(2024■福建泉州?模擬預測)已知函數/■(無h/lnx.

⑴求“X)的單調區間；

⑵若存在x>0,使得/(無)(亦成立，求實數。的取值范圍.

【變式4］(23-24高三上?河南?階段練習)己知函數/(x)=lnx+2ax(aeR).

⑴當。=-1時，求函數/(x)的單調區間；

(2)若g(x)=〃x)-2尤2,不等式g(x)?T在［1,+co)上存在實數解，求實數。的取值范圍.

題型13函數的零點問題

【典例13］(24-25高二上?全國?課后作業)已知函數〃x)

⑴求/(x)的單調區間；

(2)當時，求函數〃x)在區間(0,e］上零點的個數.

【變式1】(2024高二上?全國?專題練習)函數/")=底，-工-111工-1的零點個數為()

A.0B.1C.2D.3

【變式2】(24-25高三上?江蘇無錫?階段練習)(多選)關于函數/(X)=X3-3X+1,下列說法正確的是(

A.〃x)有兩個極值點B.〃x)的圖象關于(0,-1)對稱

C./(x)有三個零點D.2sinl0。是/(x)的一個零點

【變式3】(2024高二上?全國?專題練習)已知曲線〃無)=［依+1)在無=1處的切線方程為y=6x-e.

⑴求q,b；

⑵若函數g(x)=/(x)-3e工-機有兩個零點，求實數〃7的取值范圍.

【變式4】(24-25高三上?北京?開學考試)已知函數/(x)=(x-l)e、'-x2.

⑴求函數的單調區間；

(2)求/(x)的零點個數.

⑶g(x)=/(x)-加在區間上有兩個零點，求加的范圍？

05強化訓練

一、單選題

InY

1.(24-25高二上?陜西西安?期末)已知函數〃X)=T，則()

A.函數/(x)的極大值為L無極小值B.函數/(x)的極小值為L無極大值

ee

C.函數/'(X)的極大值為0,無極小值D.函數/(X)的極小值為0,無極大值

2.(23-24高二下?四川遂寧?期中)函數/(無)的導函數尸(久)的圖象如圖所示，貝IJ()

A.-1是函數/(x)的極小值點B.3是函數人月的一個極值點

C./(x)在x=0處的切線的斜率大于0D.的單減區間為(-1,+巧

3.(23-24高二下?湖北?期中)若函數〃x)=2尤3-3g+l)/+6“x的極小值點為1,則()

A.a>\B.a<\C.a>\D.a<\

4.(24-25高三?上海?隨堂練習)函數歹=/—31—。在區間[0,3]上的最大值、最小值分別為則

M-N=().

A.14B.16C.18D.20

5.(24-25高三?上海?隨堂練習)函數y=5x2+(a+4)x-2hix在區間(1,2)上存在最值，則實數a的取值范圍

為().

A.(5,9)B.(—5,9)C.(—9,5)D.(-9,-5)

6.(2024?廣東廣州?模擬預測)已知函數/(x)=e"+x,g(x)=lnx+x,若/(X[)=g(%),則七%的最小值

為()

A.-eB.--C.-1D.--

e2

7.(23-24高二下?河南開封,期末)已知函數/(司=/+。111(工+1)有兩個不同的極值點為，/，則實數。的

取值范圍為()

A。DB.[KjC.10,[o,l

8.(24-25高二上?全國?課后作業)若關于x的不等式e，_x_a>0恒成立，則實數。的取值范圍為()

A.(e,+oo)B.(-?,1)C.[1,+℃)D.(-a>,0]

二、多選題

9.(24-25高三上?湖南長沙?階段練習)已知函數/(x)=xJax,貝|]()

A.VaeR,/(x)為奇函數B.當a<0時，單調遞增

C.*eR,使得“X)恰有一個極值點