第03講導數與函數的單調性

01學習目標

課程標準學習目標

1.通過利用導數判斷函數單調性法則的學習，提

1.理解導數與函數的單調性的關系.

升數學抽象素養.

2.掌握利用導數判斷函數單調性的方法.

2.借助判斷函數單調性及求函數的單調區間，提

3.會用導數求函數的單調區間.

升邏輯推理、數學運算素養.

思維導圖

02一一二一

求不含參函數的單調區間

求含參函數的單調區間

已知函數遞增、遞減求參數

已知單調區間求參數

已知函數存在單調區間求參數

導數與函數單調性的關系導致與函數的單調性

知識:―已知函數不單調求參數

函數圖象變化趨勢與導數大小的關系1_______/

原函數與導函數圖象關系

利用導數比較大小

利用導數證明不等式

利用導數解不等式

03知識清單

知識點01導數與函數單調性的關系

i.導數與函數的單調性的關系

(1)如果在區間(a,6)內，f(x)>0,則曲線y=/(x)在區間(a,3對應的那一段上每一點處切線的斜率都

大于0,曲線呈上升狀態，因此次x)在(a,6)上是增函數，如圖(1)所示；

(2)如果在區間(a,6)內，/(x)<0,則曲線y=/(x)在區間(a,6)對應的那一段上每一點處切線的斜率都

小于0,曲線呈下降狀態，因此段)在(a,6)上是減函數，如圖(2)所示.

(1)⑵

【解讀】1.對導數與函數單調性概念理解；

(1)在某區間內/'(x)〉0(/(x)<0)是函數/(x)在此區間上為增(減)函數的充分不必要條件；

(2)可導函數/(x)在上是增(減)函數的充要條件是對VxeQb),都有/'(x)20(r(x)<0)且

/'(x)在(。力)上的任何子區間內都不恒為零.

2.確定函數單調區間的求法

(1)確定函數/(x)的定義域；

(2)求/'(x)；

(3)解不等式/'(x)>0,解集在定義域內的部分為單調遞增區間；

(4)解不等式/'(x)<0,解集在定義域內的部分為單調遞減區間.

【即學即練1](24-25高二上?全國?課后作業)下列函數中，在(2,+對內為增函數的是()

A.3sinxB.(x-3)exC.x3-15xD.Inx-x

知識點02函數圖象變化趨勢與導數大小的關系

觀察函數圖象，分析函數的導數絕對值的大小與函數圖象的變化關系

Tyy

函數圖象4/h

/二

-----50X00*

導數導數為正，且絕對值導數為正，且絕對值導數為負，且絕對值越導數為負，且絕對值

越來越大越來越小來越大越來越小

函數值函數值變化越來越快函數值變化越來越慢函數值變化越來越快函數值變化越來越慢

圖象特點越來越陡峭越來越平緩越來越陡峭越來越平緩

【即學即練2](24-25高二上?陜西西安?期中)若函數的導函數在區間口，燈上是增函數,

則函數y=/(x)在區間[a,切上的圖像可能是()

題型精講

題型01求不含參函數的單調區間

【典例1](24-25高二上?全國?課后作業)函數了=xlnx在(0,5)上的單調性是()

A.單調遞增

B.單調遞減

C.在(0,3上單調遞減，在(±5)上單調遞增

ee

D.在(0一)上單調遞增，在(工5)上單調遞減

ee

【變式1】(23-24高二下?江蘇南通?階段練習)函數了=也擔的單調增區間為()

X

A.(-8,1)B.(0,1)C.(l,e)D.(1,+00)

【變式2】(23-24高二下?新疆克孜勒蘇?期中)函數/(x)=2x-41nx的單調遞減區間是()

A.(-<?,2)B.(0,2)C.(2,+co)D.(e,+co)

【變式3】(23-24高二下?新疆省直轄縣級單位?階段練習)函數y=gx2-inx的單調遞減區間為()

A.(-1,1)B.(0,1)C.[1,+co)D.(0,+。)

【變式4](23-24高二下?吉林,期中)函數〃x)=xer的單調遞增區間是()

A.(1,+<?)B.(-8,1)C.D.(-1,+?)

題型02求含參函數的單調區間

【典例2](24-25高三上?福建龍巖?期中)已知函數/(幻=5*2-(2“+1女+2111%+44(。>0).

求f(x)的單調區間；

【變式1](24-25高三上?天津西青?期中)已知函數/(x)=lnx+2"(aeR).

⑴當°=e時,求函數在(1,函數處切線方程;

⑵求函數〃x)的單調區間；

【變式2】(24-25高二上?四川眉山?期中)已知函數/(x)=lnx+。(aeR).討論/(x)的單調區間.

【變式3】(24-25高二上?全國?課后作業)已知函數〃x)=asin(l-x)+lnx.

(1)當a=2時，求曲線N=/(x)在點(1J。))處的切線方程；

(2)討論函數在區間(0」)上的單調性.

【變式4】(23-24高二上?河北石家莊?期末)設函數/(耳=/+(a-2)x-alnx(aeR).

(1)若a=l,求的導數；

(2)討論函數〃x)的單調性.

題型03已知函數遞增、遞減求參數

【典例3］（24-25高二上?浙江寧波?期中）若函數/仁）=算在［2,+8）上單調遞增，貝必的取值范圍為

（）

44

A.kN—B.k4—1C.左<1D.k4—

33

【變式1】（23-24高二下?山東煙臺?期末）己知函數〃x）=；x3+"2+無在（o,+司上單調遞增，則實數。的

取值范圍為（）

A.（-<?,-1］B.［-1,1］C.［1,+<?）D.［-1,+<?）

【變式2】（24-25高二上?全國?課后作業）己知函數/'⑺=2/-6/-18x+1在區間（見蘇_2%）上單調遞減，

則實數加的取值范圍是（）

A.（-3,0）B.［-1,0）C.（3,5）D.（5,7）

【變式3】（24-25高二上?全國?課后作業）若函數〃x）=l-1-Inx在區間［1-凡2-司內單調遞增，則。的取

值范圍是.

【變式4】（24-25高二上?全國?課后作業）若函數"X）=§X3_2X2+G+10在區間［-1,4］上具有單調性，則

實數。的取值范圍是.

【變式5】（23-24高二下?四川德陽?期末）Vx?x2e（O,m）,x產乙,都有［?叫〉」,則實數加的取

值范圍為.

題型04已知單調區間求參數

【典例4］（23-24高二下?山東荷澤?期末）已知函數/（耳=方2+：的單調遞增區間為［1,+8）,則Q的值為

（）

33

A.6B.3C.—D.一

24

【變式1】（23-24高二下?湖北孝感?階段練習）函數〃》）=如葉1-2的單調遞減區間為（l,+oo）,則。=

x

（）

1

A.-B.1C.eD.e2

e

【變式2】（23-24高二下?山東臨沂?期中）函數〃力=2/-g?+7的單調遞減區間是（0,2）,貝（）

A.6B.3C.2D.0

【變式3】（24-25高三?全國?專題練習）若函數/。）=辦3+3/_》+1恰好有三個單調區間，則實數。的取值

可以是()

A.-3B.-1C.0D.2

【變式4】(24-25高二上?全國?課后作業)已知函數/(%)=X3+辦2+1,QGR.

⑴討論函數/(x)的單調區間；

(2)若函數/(x)在區間內單調遞減，求實數0的取值范圍；

⑶若函數/(x)的單調遞減區間是,求實數a的值.

題型05已知函數存在單調區間求參數

【典例5](24-25高二上?全國?課后作業)若函數/(x)=山+a--2在區間(1,4)內存在單調遞增區間,則

實數。的取值范圍是()

A?卜B.+"

1

——,+00

2

【變式1】(23-24高二上?浙江寧波?期中)若函數"》)=('-〃?)2+向在區間(1,2)上有單調遞增區間，則實

數%的取值范圍是.

【變式2】(23-24高二下?四川瀘州?期中)若函數/z(x)=lnx蘇-2x在[1,4]上存在單調遞增區間，則實

數a的取值范圍是

【變式3](24-25高三上?河北張家口?階段練習)已知函數/(力=/+(%-2)/-2苫+5在區間(2"?-1,3"?+2)

上不單調，則加的取值范圍是.

題型06已知函數不單調求參數

2

【典例6】(22-23高二下?北京海淀?期中)若函數“x)=、-lnx在((U)上不單調，則實數左的取值范圍是

()

A.[1,+℃)B.(l,+oo)C.(0,1)D.(0,1]

【變式1】(24-25高三上?黑龍江牡丹江?階段練習)已知函數/(尤)=/_21nx在區間(嚴-1,k+1)上不單調,

則上的取值范圍是()

A.(1,2)B.(^2,2)C.[1,也)D.——?A/2

I2)

【變式2](23-24高二下?山東荷澤?期中)若函數〃x)=e=alnx+1在區間(1,2)上不單調，則實數。的取

值范圍為（）

A.（e,e2）B.（e,2e2）C.（-<?,e）U（e2,+oo）D.（1,e2）

【變式3】（23-24高二上,江蘇南通,階段練習）函數/（x）=x3-質在區間（-3,-1）上不單調，則實數人的取值

范圍是.

題型07原函數與導函數圖象關系

【典例7］（24-25高二上?全國?課后作業）己知函數y=/（x）,y=g（x）的導函數圖象如圖，那么丫=/（久）,

y=g（%）的圖象可能是（)

母尸g（x）

X

【變式1】（23-24高二下?福建龍巖?階段練習）已知函數/（x）與其導函數r（x）的圖象的一部分如圖所示，則

關于函數8（》）=焉的單調性說法錯誤的有（）

A.在（-1,1）單調遞減B.在（0,2-6）單調遞減

C.在［2-后1］單調遞減D.在［1,2］單調遞減

【變式2】（24-25高二上?全國?課后作業）函數/（x）在定義域內可導且導函數為r。），且r（x）的圖象如圖

所示，則/（無）的圖象可能是（）

yt

【變式3】(24-25高二下?全國,課前預習)已知/(x)的導函數((久)的圖象如圖所示，那么/(x)的圖象最有

內可導，記y=/(x)的導函數為

y=r。)，y=f'QQ的圖象如圖所示，則y=/(x)的單調增區間為()

A.1|，T，(1,2)

題型08利用導數比較大小

【典例8】（23-24高二下?湖北?期末）已知5$>e8,a=3：b=5；c=1，則。、女。的大小關系是（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<a<cD.c<a<b

己知4=生也,6=螞,CM-1-,則。,6,C的大小為（）

【變式11（24-25高二下?浙江杭州?期中）

262e

A.b>c>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

三個數Tln3,一,z

【變式2］（23-24高二上?江蘇南京?期末）c=的大小順序為（

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.a<b<c

皿，6=電\貝"

【變式3］（23-24高二下?河北唐山?期中）若函數/（力=蓼，且設"

再

見人的大小關系是（）

A.a>bB.a<bC.a=bD.。力的大小不能確定

題型09利用導數證明不等式

【典例9］（24-25高二下?全國?課堂例題）當X>1時，求證:—x2+lnx<—x3.

23

【變式11（24-25高二下?全國?課后作業）以下不等式不成立的是（）

A.x>sinx,xGI0,-^-

B.x-l>lnx,XG(0,+OO)

x

C.Inx<—(x>0)D.Inx+1->0,x￡(0,+8)

e

【變式2］（23-24高二上?江蘇南京?期末）下列不等式恒成立的有（）.

A.當%￡（0微）時，x>sinx

B.當x￡（0,+oo）時，x>lnx

C.e、>x+l（其中，e為自然對數的底數）

D.當%￡（1,+8）時，%-->21nx

x

【變式3］（24-25高二下?全國?課堂例題）證明不等式e'Nx+1.

題型10利用導數解不等式

【典例10](24-25高三上,湖北武漢?期中)設函數/(x)=e，T-ei+sin(x-l),則關于x的不等式

/(X2-X-2)+/(_2X)N0的解集為()

A.[-1,4]B.(-oo,-l]u[4,+co)

C.[-2,1]D.(-<?,-2]o[l,+oo)

【變式1】(23-24高二下?江蘇南通?階段練習)已知函數/(x)=x+hu+cosx,若/任-4)W〃3x),則實

數x的取值范圍是()

A.[-1,4]B.(-8,2)口[4,+8)

C.(0,4]D.(2,4]

【變式2】(24-25高二上?全國?課后作業)已知定義在(T3)上的函數〃無)的導函數/且

〃2加)<〃加+1),則實數用的取值范圍為()

A.B.(l,+=o)C.D.

【變式3】(23-24高二下?廣東深圳?期末)已知函數/(x)=2x-sin2x,則不等式/'(/)+/(3苫-4)<0的解

集為.

【變式4】(2024高三?全國?專題練習)設a,6都為正數，e為自然對數的底數，若ae"<61nb,則()

A.ab>eB.b>eaC.ab<eD.b<ea

強化訓練

一、單選題

1.(23-24高二下?重慶?期末)已知函數y=/(x)在區間。上連續可導,貝I]"-(x)20在區間。上恒成立”是

"/(x)在區間。上單調遞增"的()條件.

A.必要不充分B.充分不必要

C.充要D.既不充分也不必要

2.(2024?四川成都?模擬預測)函數y=g-7nx的單調遞減區間為()

A.(-1,1]B.[-1,1]C.[1,+⑹D.(0,1]

3.(23-24高二下?山東臨沂?期中)已知函數y=/(x)(xGT?)的圖象如圖，則不等式獷"(x)<0的解集為

()

c.（-?,0）uQ,2jD.（-l,0）u（l,3）

4.（23-24高二下?山東東營?期末）已知函數/（x）=lnx-機x,若函數〃x）在口,2］上單調遞減，則實數機的

最小值為（）

A.1B.yC.2D.2V2

5.（2024高三?全國?專題練習）已知函數〃》）=（2/+如+1k"7（p>0）在—存在單調遞減區間，則

。的取值范圍是（）

A.（0,l）u（4,+a>）B.（1,4）C.（0,2）U（3,+?））D.（2,3）

6.（23-24高二下?廣東東莞?階段練習）設〃x）是定義在R上的可導函數，"2）=3,對任意實數x有

貝"（x）>x+l的解集為（）

A.(-8,2)B.(2,+oo)C.(-2,2)D.R

7.（24-25高二上?全國?單元測試）若石<。<。都有句叫一再血2<匹-彳2成立,則“的最大值為（）

A.B.1C.eD.2e

2

8.（23-24高二下?天津,期中）已知函數/'（x）=cosx+e、，且。=〃2）、Lc=〃ln2）,則°、b、

。的大小關系（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

二、多選題

9.（24-25高三上?福建,階段練習）已知函數/（X）=（X2-6）（2X-3）,則（）

A./（X）在（0,1）上單調遞減

B.7（x）在（1,2）上單調遞增

C.有3個零點

D.直線尸-3與“X）的圖象僅有1個公共點

10.（24-25高三上?福建寧德,期中）已知三次函數/（X）的圖象如圖，則下列說法正確的是（）

B.r（2）＜r（3）

D.#'3＞0的解集為（一8,-1