熱點(diǎn)02充要條件與其他內(nèi)容的綜合

明考情.知方向

三年考情分析2025考向預(yù)測(cè)

2022年，第6題，考察充分必要條件與數(shù)列的結(jié)合該內(nèi)容仍是北京卷的必考內(nèi)容，多與其他知識(shí)結(jié)合

2023年，第8題，考察充分必要條件的判斷（含不等式、函數(shù)的概念與性質(zhì)、基本初等函數(shù)、三

2024年，第5題，考察充分必要條件與平面向量的結(jié)合角函數(shù)、數(shù)列、平面向量、立體幾何等），以選擇題

的形式呈現(xiàn)，難度簡(jiǎn)單或中等?

熱點(diǎn)題型解讀

充分、必要條件的判斷方法：

（1）命題判斷法

①如果命題："若"，則9"為真命題，那么?是q的充分條件，同時(shí)q是P的必要條件；

②如果命題："若夕，則9"為假命題，那么?不是q的充分條件，同時(shí)q也不是夕的必要條件.

（2）集合法：（小集合可以推出大集合）若夕對(duì)應(yīng)的集合為A,9對(duì)應(yīng)的集合為B,

若止B,則P是4的充分條件；若則。是q的必要條件.

根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)：

根據(jù)定理、有關(guān)性、圖像等等將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值、恒成立等，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式組可解的

題型1充分必要與不等式

1.（2024?北京門頭溝?一模）設(shè)。＞0,6＞0,則“電。?+6）＞0”是“坨（仍）＞0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】因?yàn)閘g(a+b)>O0lg(a+b)〉lgl=a+b>l,又。>01>0,

所以Q+622V^>1，當(dāng)且僅當(dāng)Q=6時(shí)取等號(hào)，即

又lg>0olg(ab)>1g1oab>1,

所以油>：不能推出必>1,所以lg(a+6)>0是lg(")>0的不充分條件；

又ab>lnab>：,所以lg(a+6)>0是lg(H)>0的必要條件，

所以lg(a+6)>0是lg(a6)>0的必要不充分條件.

故選：B.

2.(2024?北京通州?三模)己知a>0,b>0,則“。2+/>2”是“。+6>2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】B

【詳解】不妨設(shè)。=1.5,6=0.4,止匕時(shí)滿足/+62=2.25+016>2,

但不滿足。+6>2,充分性不成立，

a+b>2兩邊平方得a2+2ab+b2>4,由基本不等式得2ab<a2+b2,

當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)，等號(hào)成立，

故。2+/>4-2加24-(/+/)，解得/+/>2,必要性成立，

故d+/>2”是“a+b>2”的必要不充分條件.

故選：B

3.(2024?北京西城?二模)已知aeR,beR.貝廣仍>1”是“/+/>2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】當(dāng)。6>1時(shí)，則帥>2,當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)取等，所以充分性成立，

取“=_4,6=1,滿足/+尸>2,但仍<1,故必要性不成立，

所以“ab>1”是“a2+b2>2”的充分不必要條件.

故選：A.

x-l,x<0

4.(2024?北京順義?二模)若函數(shù)〃x)=，0,x=0,則“再+%>0”是“〃尤|)+〃尤2)>0”的()

x+l,x>0

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)镽,且=

若x>0,貝!J-x<0,可知/(》)+/(-苫)=(》+1)+(-X-1)=0,

若x<0,同理可得〃x)+〃f)=O,所以〃尤)為奇函數(shù)，

作出函數(shù)/'(x)的圖象，如圖所示，

由圖象可知〃x)在R上單調(diào)遞增，

若占+%>0,等價(jià)于國(guó)>一々，等價(jià)于/(占)>/(一馬)=一了(%)，等價(jià)于/(占)+/(%)>0,

所以“再+々>0”是“〃再)+/(9)>0”的充要條件.

故選：C.

5.(2024?北京房山一模)"0<x<l”是“|x(x-l)|=x(l-x)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】由|x(xT)l=Ml-x)可得：x(x-l)<0,

解得：0<x<l,

所以"0<x<1"能推出“|x(xT)|=尤(1一x)”,

但“Ix(x-1)1=x(l-X)”推不出"0<X<1"，

所以"0<X<1”是“Ix(x-1)|=X。-X)”的充分不必要條件.

故選：A.

題型2充分必要與平面向量

1.523五京港正二^)三正標(biāo)看面而鬲個(gè)靠尾向量,彘還藝游是啥容號(hào)］「施河

丘+忘|=|2|+|與|''的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】c

【詳解】若￡〃人則存在唯一的實(shí)數(shù)必30,使得￡=〃孔

故|￡+涵=1應(yīng)+41=|〃+㈤⑻，

而|￡+二H應(yīng)I+1"1=(I〃I+121)⑸，

存在;Iwo使得|〃+XH川+|㈤成立,

所以‘％〃I”是“存在八o,使得|￡+疝|=|21+1范，的充分條件，

若彳N0且|a+刀|=|a|+|龍|,則々與與方向相同，

故此時(shí)￡〃幾所以“2〃百'是“存在存在文/0,使得|2+4|=0+|與的必要條件，

故"2〃r'是"存在2^0,使得IZ+忘HzI+14「'的充分必要條件.

故選：C.

2.(2024?北京?高考真題)設(shè)a，否是向量，則煦+B)僅-B)=0”是“]/或￡=k的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】因?yàn)椴?孫心-今=容-廬=0,可得/=口即同=可，

可知,+孫(々-3=0等價(jià)于同=忖，

若Z=B或￡=/,可得同=|可，即W+B)?，-3=0,可知必要性成立；

若收+孫,一3=0,即同=W，無(wú)法得出IB或￡=/,

例如1=(1,o)&=(0,1),滿足同=|可，但Z”且可知充分性不成立；

綜上所述，“卜+3.(3—3=0”是“ZHB且Z*—少'的必要不充分條件.

故選：B.

3.(2024?北京東城?二模)已知平面向量e2,e3,是單位向量，且q_Le2，貝！q-63=e2-e1,”是

呢￡=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄?，e2,e3,e1,是單位向量，且1_L晟，

不妨設(shè)q=(l,0),e2=(0,1),

也也)

k--―-/工［上―'7Z7Z\->

右G?%=64,例如％=|可，3，Q=T'Tr

滿足ex-e3=e2-e4=，但6q=1w0,即充分性不成立;

V2⑥

若q?0=0,例如％=一

T^r4=122

7J

i^/iLe3-e4=0,iS.eI-e3=-^~,e2-e4=^~>即q-63He2-64,即必要性不成立;

綜上所述：“￡[-e3=e2-e4e3-64=0”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

4.（2024?北京?模擬預(yù)測(cè)）已知扇B為不共線的兩個(gè)單位向量，尢〃為非零實(shí)數(shù)，設(shè)2=然+癡，貝

是“僅用=伍3”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】已知為不共線的兩個(gè)單位向量，4〃為非零實(shí)數(shù)，設(shè)1=2萬(wàn)+癡，

則此時(shí)…。…品」='十

向

而向量夾角范圍是［0,兀］,當(dāng)6e［0,同時(shí)，cos。嚴(yán)格單調(diào)遞減,

從而cos（5,c^=cos{b,c\=（%己）=（B,3）,

綜上所述，在題設(shè)條件下“2=〃”是“值,己〉=”的充要條件.

故選：C.

ab

5.（2023?北京大興三模）設(shè)￡,否是非零向量，“口=利”是3=3”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

ab__

【詳解】由尸1=由表示單位向量相等，則。力同向，但不能確定它們模是否相等，即不能推出

H\b\

一__ab

由Z=B表示同向且模相等，則］=同，

ab

所以“口=利”是“Z=3”的必要而不充分條件.

故選：B

-MM-■■?

題型3充分必要與空間線面關(guān)系

7."百京五景逋河橫放施萬(wàn)三訪二一凝麗蔡置房;蔡77夫麗'用百：語(yǔ)定Z三/7一小瓦-

ad,a//l,則“。與6異面”是“直線6與/相交”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】當(dāng)“。與6異面”，若直線6與/不相交，由于4/u",則6〃/,

又。/〃，則。//,這與〃和6異面相矛盾,故直線6與/相交，

故與b異面”是“直線6與/相交”的充分條件；

當(dāng)“直線6與/相交”，若。與6不異面，則。與b平行或相交，

若。與6平行，又。〃/,則〃力,這與直線b和/相交相矛盾；

若。與6相交，設(shè)=則Zee且"e",得/e/,

即/為直線的公共點(diǎn)，這與M//相矛盾；

綜上所述：。與b異面，即“。與b異面”是“直線6與/相交，的必要條件；

所以“0與6異面，，是“直線b與I相交”的充分必要條件.

故選：C.

2.（2023-24高三上?北京海淀?期末）設(shè)華￡,7是三個(gè)不同平面,且a□/=/，?口/=小，則“〃/加”是

“a〃尸”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】B

【詳解】若4//月，?nr=/,^n/=7?,則由平面平行的性質(zhì)定理：得/〃加；

但當(dāng)"/加，arV=/,〃n7=加時(shí)，可能有a//〃，也可能有a,￡相交，

如/,加是三棱柱的兩條側(cè)棱所在直線，7是/，加確定的平面，

另兩個(gè)側(cè)面所在平面分別為a,￡，此時(shí)符合條件，而久￡相交，

所以“〃/加”是“a/6”的必要不充分條件.

故選：B

3.（2024?北京朝陽(yáng)?二模）已知見力是兩個(gè)互相垂直的平面，/,%是兩條直線，ac尸=/,則是

“M7_Le”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】由題意知，aS=l,

若％_L/,當(dāng)加u￡時(shí)，有加J_a；當(dāng)加時(shí)，加與。可能相交、平行、垂直.

若加J_tz,由/ua,得機(jī)

故"相±/”是"mla”是必要不充分條件.

故選：B

4.(2024?北京昌平?二模)設(shè)加，"是兩條不同的直線，/￡是兩個(gè)不同的平面，且〃/7,貝產(chǎn)〃

是“附J.W”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】A

【詳解】因?yàn)閍//Q,當(dāng)“1"時(shí)，又mua,所以附L”，即〃，〃可以推出，…加，

如圖，在正方體中，取平面/BCD為夕平面，平面431GA為￡平面，直線8c為直線加，直線GA為直線

n

顯然有加U<7,a〃6，nlm,但"U「，即〃_L加推不出〃12，

所以16”是Lm”的充分不必要條件，

5.(2024?北京海淀?一模)設(shè)4〃是兩個(gè)不同的平面，/,加是兩條直線，且加uc,/_La.則“，尸”是

“加///”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】11/3,且/La,所以a//￡,又mua,所以加〃力，充分性滿足，

如圖：滿足加〃?，7〃ua,/，a,但/，尸不成立，故必要性不滿足，

所以“/，尸”是“mU/3”的充分而不必要條件.

故選：A.

m

a

題型4充分必要與數(shù)列

7."(2024既色稹)工1孤辦|扁1^)1暝Giii^>cos3,-Tin5>cosC,-7iiiC>cos7；曲(")

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】充分性：

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，

所以/+2>色，即火>/>四一8>0,

222

所以sinN>sin一臺(tái)J=cosB,

同理可得sin8〉cosC,sinC>cosA,

故充分性得證；

必要性：

因?yàn)閟in4〉cosB,所以sin4〉sin(]—5；

因?yàn)?<8<兀，所以一百<四—5〈工，

222

若/>7T￡則/+8>7三T

22

若/vg,則/>與一8,所以/+8>W，

222

TV

綜上，4+B>,

TTTT

同理8+C>—,/+(?>—,

22

所以AABC為銳角三角形，

必要性得證，

綜上所述，為充分必要條件.

故選：C.

2.(2024?北京延慶?一模)"sin28>0”是“6為第一或第三象限角”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

[sin61>01sin6<0

【詳解】因?yàn)閟m2e=2smecos6>>0o{0或1n,

[cos6l>0[cos0<0

所以“sin26>0”是“。為第一或第三象限角”的充分必要條件.

故選：C.

3.(2023?北京西城?二模)已知函數(shù)〃x)=si城x+夕).則=是“"X)為偶函數(shù)”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】當(dāng)/(-1)=/(1),即sin(-l+0)=sin(l+°)

貝Usin(pcos1—cos夕sin1=sin(pcos1+cos夕sin1,

JI

化簡(jiǎn)為cosesinl=0,^(p=—+kn,keZ,

當(dāng)0=]+2hi,后eZ時(shí)，/(x)=cosx,為偶函數(shù)，

當(dāng)夕=]+(2左+1)兀，左eZ時(shí)，〃x)=-cosx,為偶函數(shù)，

所以〃T)=/(1)，能推出函數(shù)〃x)是偶函數(shù)

反過(guò)來(lái),若函數(shù)/(x)是偶函數(shù),則有=/⑴，

所以“/(T)=/⑴”是"/(x)為偶函數(shù)”的充分必要條件.

故選：C

4.(2023?北京東城?二模)"cos6=0”是“函數(shù)/(x)=sin(x+6)+cosx為偶函數(shù)”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

TTIT

【詳解】若cos9=0,得至“夕二萬(wàn)+也,左￡Z,所以/(%)=5畝(1+夕)+005%=5畝(1+5+E)+85%,

當(dāng)左=2加+1,加EZ時(shí)，/(x)=0,當(dāng)左=2加，加EZ時(shí)，/(%)=2cosx,

即/(%)=0或/(')=2饃5%,

當(dāng)/(x)=0時(shí),恒有/(一%)=/(%),當(dāng)/(x)=2cosx時(shí)，f(-x)=2cos(-x)=2cosx=/(x),

所以，若cos6=0,則〃幻為偶函數(shù)，

若/W為偶函數(shù)，則/(一x)=/(x),所以sin(—x+8)+cos(-x)=sin(x+9)+cosx,化簡(jiǎn)得sinxcos6=0,所

以cos9=0,

故選：c.

5.（2023?北京豐臺(tái)?二模）已知45是△4BC的內(nèi)角，“A4BC為銳角三角形"是"sin/>cos8”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】因?yàn)椤?BC為銳角三角形，所以且N+所以/>g-8,

V2J22

其中；

因?yàn)閥=sinx在上單獨(dú)遞增，所以sin/>sin（5-B）=cosB,充分性成立,

TTTV

若sin/>cos5,不妨設(shè)/==滿足sin/>cosB,但△45。為直角三角形，故必要性不成立.

故選：A

題型5充分必要與直線、圓

1.（2024?河南新鄉(xiāng)?三模）已知直線4：2x+my-l=0,/2:（/M+1）X+3J；+1=0,則“加=2”是“/J//?”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】C

【詳解】當(dāng)機(jī)=2時(shí)，直線I:2x+2y-l=0,/2:3x+3y+1=0,則〃/加

當(dāng)"兒時(shí)，；=解得加=2,

加+131

所以“m=2”是“〃〃2”的充要條件.

故選：C

2.（2024?江西新余?二模）已知直線》一到=0交圓C：x2+y2-2^x-2y=0M,N兩點(diǎn)，貝產(chǎn)ZXMCN為

正三角形”是“。=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】由。/+/-2氐-2y=0可得其圓心為C（百,1）,半徑「=2,

|^3—<?|

圓心到直線x-即=0的距離d=

V1W

若△MCN為正三角形，則有［=』!「，即怛=1=6,

271W

即/+60=0,解得。=0或.=-6,

故“△〃（亞為正三角形”是“。=0”的必要不充分條件.

故選：B.

3.（2023?北京?模擬預(yù)測(cè)）已知圓。:。-3）2+"-2）2=1,直線/過(guò)點(diǎn)（1,3）且傾斜角為a,則“直線/與圓C

相切”是“a=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】當(dāng)直線/沒(méi)有斜率時(shí)，e=90。,與圓不相切.

當(dāng)直線/有斜率時(shí)，設(shè)直線方程為>-3=左（工-1）,;.依-了-"+3=0,

|3左一2—1+3|_|2米+1|4

由題得1,k=0或者左=—§,

y]k2+\J-+1

4

所以a=0或者tana=--.

所以“直線/與圓C相切”成立，貝『匕=0”不一定成立；“a=0”成立，則“直線/與圓C相切”成立.

所以“直線/與圓C相切”是“a=0”的必要不充分條件.

故選：B

4.（2024?北京大興?三模）己知直線/：昨船+1與圓C:（X+1）2+/=/G>0）,貝卜直線/與圓C

有公共點(diǎn)”是“廠>亞”的（

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】易知圓。《+1）2+/=/（7>0）的圓心為c（T,0）,半徑為r,

當(dāng)V4wR,直線/與圓C有公共點(diǎn)時(shí)，|1一4Wr恒成立,即（/一1）/+2左+/_120恒成立，

則/一1>0且A=4-4（產(chǎn)-Ip40,解得產(chǎn)一1。1，即或廠4-四（舍去）

所以“V丘R,直線/與圓C有公共點(diǎn)”是。>也”的必要不充分條件，

故選：B.

5.（2024?北京海淀?三模）已知直線/：Ax-y+l-左=0和圓oaV+ru/GoO）,貝/>=也”是“存在唯一

先使得直線/與。。相切''的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】r=拒時(shí),/:日一y+1—左=0至1]QO：X2+y2=2的距離為=V2,

故1一2"公=2+2-,解得人=7,

滿足存在唯一先使得直線/與。。相切”，充分性成立，

l:kx—y+1—k=0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

若r=l,QO:x2+y2=],若左=0,此時(shí)直線/：y=l,

直線/:>=1與。。相切，另一條切線斜率不存在，

故滿足存在唯一k使得直線I與OO相切”，

當(dāng)在OO:x2+y2=r2（r>0）±,滿足存在唯一k使得直線/與。O相切,

故戶=1+1=2,

又r>0,解得r=也，必要性不成立，

故。=也”是“存在唯一k使得直線I與。。相切”的充分不必要條件.

故選：A

題型6充分必要與三角函數(shù)

；石拓3原茜:於函京轉(zhuǎn)藥礪『｛肅覆五二:"）,貝『也｝為遞得袤亦真“@｝

為遞增數(shù)列''的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必

要條件

【答案】D

【詳解】｛。“｝為遞增數(shù)列時(shí)，有么=。用-。“>0,不能得到?/為遞增數(shù)列，充分性不成立；

｛4J為遞增數(shù)列時(shí)，不一定有4>o,即不能得到｛%｝為遞增數(shù)列，必要性不成立.

所以“｛與｝為遞增數(shù)列”是“｛4,｝為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

2.（2023?北京海淀?一模）已知等比數(shù)列｛七｝的公比為q且4片1,記<=%的…%（〃=123,...）、貝廣％>0且

4>1”是“｛4｝為遞增數(shù)列”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】由題設(shè)｝=。.=。聞e且〃N2,要化｝為遞增數(shù)列，只需％尸>1在心2上恒成立，

4-1

當(dāng)4<0,不論q取何值，總存在％4力<0,不滿足要求;

當(dāng)0<q<1,

%<0,則%qi<0,不滿足要求；

%>0,總存在0<。?1<1,不滿足要求;

當(dāng)“1,

%<o,則M<o,不滿足;

0<%<1,若為=；,4=2,顯然44<1,即5<7],不滿足；

%N1,則>1在“22上恒成立,滿足.

所以｛北｝為遞增數(shù)列有％21且g>1.

綜上，“％>。且1>1”是“｛北｝為遞增數(shù)列”的必要不充分條件.

故選：B

3.（2024?北京東城?一模）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為貝『0<%<夕'是"｛"｝為遞增數(shù)列”的（）

n

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】由等差數(shù)列｛七｝的公差為4,得+則?=

當(dāng)0</<d時(shí)，%-4<0,而工>々，貝IJ紇4<幺二2,因此玄<烏卻，｛2｝為遞增數(shù)列；

當(dāng)｛繪｝為遞增數(shù)列時(shí)，則%<4言，即有幺二4〈亙二￡,整理得％<4,不能推出0<%<工

nnn+inn+l

所以"0<%<d”是“｛2｝為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.

n

故選：A

4.（2023?北京通州?三模）等比數(shù)列｛（｝的首項(xiàng)為4,公比為分前"項(xiàng)和為S"，則“％>0”是“｛S“｝是遞增

數(shù)列”的（）

A.充分而非必要條件B.必要而非充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】在等比數(shù)列｛七｝中，取q=l,q=-i,

此時(shí)。“=（-1產(chǎn)，｛%｝為擺動(dòng)數(shù)列，，E=I>S2=。,故充分性不成立；

若等比數(shù)列｛6｝的公比為4,且｛SJ是遞增數(shù)列，.”"巾…二5-九〉。

>0,出=%4>。嗎>0,則%>0,所以，數(shù)列｛S“｝為遞增數(shù)列時(shí)，％>0成立，故必

要性成立.

所以，“％>0”是“數(shù)列｛Sj為遞增數(shù)列”的必要而非充分條件.

故選：B.

5.（2023?北京豐臺(tái)?三模）設(shè)數(shù)列｛6｝的前〃項(xiàng)的和為5，若｛6｝是首項(xiàng)為正數(shù)、公比為4的等比數(shù)列，則

F22”是“對(duì)任意的“eN*,都有S,<%”的（）

A.充分且不必要條件B.必要且不充分條件

C.充分且必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】C

【詳解】依題意4>o,q>o,若q=i,則s"="%,

此時(shí)不滿足對(duì)任意的“eN*,都有3,<。用，所以則S“=業(yè)S,

若對(duì)任意的〃eN*,都有S"<a"+i，則％=&<%=%4，所以<?>1，

則S-叱即2S“<S用，

所以,貝1J2（1-即4用一24"+1>0,

\-q\-q

所以2-依題意，任意的〃EN*,2—q<二,

因?yàn)楹瘮?shù)y=（工21）在［1,+勾）單調(diào)遞減，值域是,,；，

因此2-q<0,解得q22,所以qe［2,+co）,

故”2是“對(duì)任意的〃eN*,者B有,<一”的充分且必要條件.

故選：C

限時(shí)提升練

1.（2023?北京石景山?一模）設(shè)x>0,1>0,則“x+y=2”是“xyWl”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】因?yàn)閤>0,y>0,則中<［亨］=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時(shí)等號(hào)成立，故充分性成立；

若x=3/滿足中41,但x+yw2,故必要性不成立，

所以“x+V=2”是“孫41”的充分而不必要條件.

故選：A.

2.(2024?北京通州二模)已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，則“邑-2%<0”是“碼M>(〃+1)"，的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛七｝的公差為4,

由S2—2%<0得：％—2%=%—%——d<0,/.>0,

/\/\n(n+l),(Jn(n—\\]

L

?二〃S〃+i+=〃(〃+l)%+—-----d+na｛+—-------d

：.nSn+l>(/i+l)5?,BPS2-2a2<0^>nSn+l>(n+1)5?,充分性成立;

由〃S“+i“得：邑>2$],$2-5>百，即g>。1，

/.S?-2%=%+%-2az=Q]—a2<0,

即nSll+i>(w+l)Sn=>S2-2/<0,必要性成立；

二.“邑-2a2<0”是“碼+i〉("+l)Sj的充分必要條件.

故選：C.

一，3

2x+ax—?,xW1

3.(2023?北京房山?二模)已知函數(shù)/'(X)、2則“。40”是"/(x)在R上單調(diào)遞減”的(

lax1+x,x>1

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

'23

【詳解】若〃X)=<2x+ctx—2',xW1在R上單調(diào)遞減，

2ax2+x,x>1

-->1

4

a<0

則1，解得a<-4.

4。

3

2+Q—22〃+1

I2

所以“。<0”是"/(幻在R上單調(diào)遞減”的必要而不充分條件.

故選：B

4.（2024?北京海淀?二模）設(shè)｛%｝是公比為式4*-1）的無(wú)窮等比數(shù)列，S”為其前〃項(xiàng)和，6>0,則

“4>0”是“其存在最小值”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】若4>0,由％>0,貝iJS,+i-S“=。什1=%/'>0,

故s“必有最小值E=%,故“4>0”是“邑存在最小值”的充分條件；

2_2

當(dāng)時(shí)’有s，

3-i

則S"有最小值邑=|一=；,

故%>0”不是“S”存在最小直，的必要條件；

即“q>0，，是“S”存在最小值，，的充分而不必要條件.

故選：A.

5.（2023?北京西城?三模）已知㈤｝為無(wú)窮等差數(shù)列，貝「存在且使得。,+勺=0”是“存在上22

且4wN*,使得勺=。”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】“存在》eN*且八N使得。,+勺=0”,不能推出“存在后22且左eN*,使得久=0”,

例如。“=3-2”,則％=lg=T,即i=L/=2,滿足q+%.=。］+g=0,

但令&=3—2A?=（）,則無(wú)=:3比N*,故不存在存在上22且4wN*,使得以=0，

故“存在"eN*且i刁，使得生+%=0”是，存在后22且上eN*,使得知=0”的不充分條件;

若“存在后22且后eN*,使得%=0”,貝|取，="一121"="+1,

貝ijo,.+aj=ak_x+aM=1ak=0,

故“存在i,jeN*且W,使得at+叫=0”是“存在左22且，eN*,使得%=。”的必要條件；

綜上所述：“存在，eN*且蹤兒使得生+%=0”是“存在Q2且左eN*,使得&=0”的必要不充分條件.

故選：B.

6.（2024?北京豐臺(tái)?二模）已知等差數(shù)列｛4｝的公差為4,首項(xiàng)那么““=無(wú)”是"集合

S=｛無(wú)卜=5吊％,”?1^1恰有兩個(gè)元素”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】對(duì)于充分性，已知等差數(shù)列｛%｝的公差為?，首項(xiàng)%

當(dāng)，d=兀”時(shí)，集合S=｛xk=sin%,“eN1恰有兩個(gè)元素S=｛sina],-sinaJ,

故充分性成立，對(duì)于必要性，當(dāng)"=3兀時(shí)，

“集合S=卜卜=sina",〃eN*｝也恰有兩個(gè)元素”，故必要性不成立，

故“d=兀”是“集合S=,卜=sin%,”eN1恰有兩個(gè)元素”的充分而不必要條件.

故選：A

7.(2023?北京延慶?一模)若meR,則“加=1”是“復(fù)數(shù)z=/(i+i)+o(i_i)是純虛數(shù),，的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳角星】z="/(1+i)+機(jī)(i-1)=("/-機(jī))+("/+m)i,

當(dāng)加=1時(shí)，復(fù)數(shù)z=2i,是純虛數(shù)；

YY^—YY^—0

2人，解得W=1.

｛m~+m^0

則“加=1”是“復(fù)數(shù)z=〃/(1+。+加。-1)是純虛數(shù)”的充分必要條件.

故選：C

8.(2024?北京朝陽(yáng)一模)己知awR,則“0<a<1”是“函數(shù)=0-4)無(wú)⑶在R上單調(diào)遞增”的(

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】對(duì)于函數(shù)

當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=。，為常數(shù)函數(shù)，

當(dāng)a>l時(shí),l-a<0,函數(shù)/(x)=(l-a)無(wú)3在R上單調(diào)遞減，

當(dāng)。<1時(shí)，l-a>0,函數(shù)/(x)=(l-a)x3在R上單調(diào)遞增，

所以"0<a<「受"函數(shù)/(x)=(l-a)Y在R上單調(diào)遞增”的充分而不必要條件

故選：A.

9.(2024?北京西城一模)在等比數(shù)列｛6｝中，”>0.貝『“。>%1”是“"+1>縱+3”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為0*0,

當(dāng)時(shí),>%+i時(shí)，即有冊(cè)。〉…％,又％。>°,故夕<1且尸0,

當(dāng)4<-1時(shí),有用+3=g”+i>%。+1,故不能得到“現(xiàn)+1>”〃o+3，

即“%。>%+1”不是乜。+1>〃“。+3”的充分條件；

當(dāng)%+1>%+3時(shí)，即有aw+3=4X,+i<a”o+i，即/<1且#0,

則以+1=4?%,當(dāng)qe（T,。）時(shí)，由%。>0,故故旬,>%。+1,

當(dāng)qe（O,l）時(shí)，ano+i=q-ano<a?o,亦可得a%>.一

故"%。>%。+1”是“"附+i>。徇+3”的必要條件；

綜上所述，“%>樂(lè)。+1”是“%0+1>%.+3”的必要不充分條件.

故選：B.

10.（2022?北京東城?三模）已知&,B是兩個(gè)非零向量，貝產(chǎn)存在實(shí)數(shù)2,使得5=幾7'是“產(chǎn)+4=4-W的

（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】解：當(dāng)存在實(shí)數(shù)彳，使得%疝B+*|（I+X問(wèn)+響邛|第=（1_彳）同,顯然11+明與

（1-彳）時(shí)不一定相等，故充分性不成立；

反之，當(dāng)B+*同-W時(shí)，213=-2同W，所以cos僅弓=-1,即a,B共線反向，故“存在實(shí)數(shù)2,使得

b=Aa，故必要性成立.

故“存在實(shí)數(shù)2,使得％花”是平++同-忖的必要而不充分條件

故選：B

11.（2024?北京豐臺(tái)?一模）已知函數(shù)/'（x）=sin12x+3,貝『匕=>桁（左eZ）”是“/（x+tz）是偶函數(shù)，且

〃x-a）是奇函數(shù)”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】因?yàn)?(x)=sin]2x+(J,則/(x+a)=sin[2x+2a+：J,

/(x-tz)=sin[2x-2a+：],

若/(x-a)是奇函數(shù)，則一2々+(=匕71,勺€2,解得a=1-4水茂％,

若/(x+a)是偶函數(shù)，則2a+；=]+治兀，心eZ,解得1=1+卓,優(yōu)eZ,

所以若/(x+&)是偶函數(shù)且/(x-a)是奇函數(shù)，貝Ua=J+"#eZ,

o2

所以由￡=J+?/eZ)推得出〃x+a)是偶函數(shù)，且〃x-a)是奇函數(shù)，故充分性成立；

由〃x+a)是偶函數(shù)，且〃x-e)是奇函數(shù)推不出a=?+配住eZ),故必要性不成立，

O

所以“々=弓+航(左eZ)”是，〃x+a)是偶函數(shù)，且〃x-a)是奇函數(shù)”的充分不必要條件.

8

故選：A

12.(2023-24高三下?北京?開學(xué)考試)在無(wú)窮項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝中，邑為其前"項(xiàng)的和，貝廣｛對(duì)｝既有最大值,

又有最小值”是“｛$“｝既有最大值，又有最小值”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【詳解】設(shè)公比為4(420),當(dāng)q>0,0>1時(shí)，an=a｛q"^>0,

止匕時(shí)％+i-a.=%q"一a""T=%qi(q_l)>0,

故%+i>%>0,所以｛%｝為單調(diào)遞增數(shù)列，此時(shí)｛%｝無(wú)最大值，

電｝無(wú)最大值,

當(dāng)％>0,0<q<]時(shí)，an->0,

止匕時(shí)a“+i-a.==%0"7何_1)<0,

故0<4用<a”，所以｛%｝為單調(diào)遞減數(shù)列，此時(shí)｛%｝無(wú)最小值，

｛5｝無(wú)最大值，

1

當(dāng)為<0時(shí)，g>l時(shí)，an=a.q"-<0,

1

止匕時(shí)an+l-an=a@-=a^(^-l)<0,

故a用<a,<0,所以｛6｝為單調(diào)遞減數(shù)列，此時(shí)｛%｝無(wú)最小值，

電｝無(wú)最小值，

當(dāng)為<0時(shí)，0<g<l時(shí)，a,=<0,

此時(shí)%+i-a.=%q"-a""—=%qi(q_l)>0,

故0>.用>%，所以｛%｝為單調(diào)遞增數(shù)列，此時(shí)｛%｝無(wú)最大值,

｛SJ無(wú)最小值,

當(dāng)-1<”0時(shí)，｛4｝為擺動(dòng)數(shù)列，

且1%H。」=kIM"-同I尸=同a""（Mt）<。，

故同+1|<|%|，所以隨著”的增大，趨向于0,

故｛%｝有最大值，也有最小值，