專題01代數計算問題（實數、整式、分式、二次根式）

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模型01實數的計算

模型02整式的混合運算與化簡

模型03分式的運算及化簡

模型04二次根式的計算

代數式的計算通常出現在各地市的中考大題第1題,分值在5-10分左右，主要考查實數的計算、整式的運

算與化簡求值、分式的混合運算與化簡求值、二次根式的計算等，題目為基礎題，比較容易得分，學生需

要牢記相關易錯點、公式和口訣，避免出現低級的計算錯誤。

模型01實數的計算

考I向I預I測

1.實數的計算一般為解答題第1題：

2.涉及到的知識點有：零次累、-1的奇偶次累、數的乘方、負整數指數塞、絕對值、開方運算、特殊角的三

角函數值等，一般為3-5個知識點的組合：

3.乘方、負整數指數幕涉及的一般為絕對值小于5的數字，開方運算涉及的一般為100以內的數字.

答|題|技|巧

1.實數的運算和在有理數范圍內一樣，值得一提的是，實數既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，又可以

進行開方運算，其中正實數可以開平方.

2.在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減,

有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行.

另外，有理數的運算律在實數范圍內仍然適用.

3.實數運算的“三個關鍵”

①運算法則：乘方和開方運算、累的運算、指數（特別是負整數指數，0指數）運算、根式運算、特殊三角

函數值的計算以及絕對值的化簡等.

②運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運算,

無論何種運算，都要注意先定符號后運算.

③運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度.

4.常見的公式及易錯點：

(1)負整數指數累：(加為正整數)；

(2)零指數幕：a°=l(awO)

(3)特殊角的三角函數值：

sin30°=-,sin45°=也，sin60°-—,

222

cos30°=^.,cos45°=—,cos60°=-,

222

tan30°=—^―)tan45°=1,tan60°=-J3-

(4)常見的易錯點：—2?=—4,(—2)2=4,—2<=—L,(—2廠2=工

44

-I2025=(—1產=—1,-I2024=-l,(-l)2024=1

|題型學.

(2024?濟南)計算：V9-(TT-3.14)°+(3T+|V3|-2cos30。.

,支式

1.(2024?樂山模擬)計算：(2024-TT)°+|V3-1|-(1)-1+V12.

2.(2024?五華區校級模擬)計算：V9-2cos45°-(1-7r)°+(j)-1+|-V2|.

3.(2024?甘肅二模)計算：V9-(I)-1+cos60°-(TT-2024)°.

4.（2024?荷塘區校級模擬）計算：2tcm60。+|V3-2|+（卷廣】一浮

乙U乙乙乙

5.計算:

(1)727+7=8-712;(2)(V3)0-4^77+(V9)3-

6.計算：

(1)5-(-5)+6x(-2)；(2)(-6)2x-V8.

模型02整式的混合運算與化簡

STSIMTS"...................................

1.常考的形式有直接化簡整式；先對整式化簡，再代人字母的值求整式的值：；給出解題過程，尋找過

程中的錯誤并寫出正確的結果；出現的位置一般為解答題的第1或第2題：

2,題目必考乘法公式，還會涉及單項式乘多項式、多項式乘多項式等，涉及1個字母或2個字母：

3.代值時：除直接給出字母的值，還會結合實數的運算、方程（組）等求出字母的值，還可能會涉及整體代

人法

答I題I技I巧

1.有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數的混合運算順序相似.

2.“整體”思想在整式運算中較為常見，適時采用整體思想可使問題簡單化，并且迅速地解決相關問題，此時

應注意被看做整體的代數式通常要用括號括起來.

3.整式的化簡求值：先按運算順序把整式化簡，再把對應字母的值代入求整式的值.

有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數的混合運算順序相似.

4.常用的乘法公式：

（1）完全平方公式：（a±Z?）2=a2±2ab+b2；

（2）平方差公式：（〃+b）（Q-匕）="一萬2.

題筌市例

＞哀創（2024?甘肅）先化簡,再求值：［（2〃+4）2-（2a+4）(2a-b)]^2Z?,其中〃=2,b=-1.

＞變式

1.(2024?連州市二模)化簡：(a-3)(a+3)-(?-3)2.

2.（2024?鎮海區校級三模）化簡：（/71+3）（機-3）-（7/7+1）2.

小明的解答如下：

解：原式=蘇-9-（nr+m+1）=m2-9-m2-m-1=-m-10.

小明的解答正確嗎？如果不正確，請寫出正確的解答.

3.（2024?北戴河區一模）已知多項式尸=（x+2）2+x（l-x）-9.

Cl）當尤=0時，求尸的值；

（2）若x為整數，試說明多項式產能被5整除.

4.(2024?城中區校級三模)求代數式2(x-j)2+(-4X3J+6X2J2)+2孫的值，其中|x-3|+Jx+y=0.

5.（2024?城中區校級二模）先化簡，再求值：（x-2y）2+2（x-y）（無+y）-3x（尤-2y）,其中尤=2,

尸-1.

6.(2024?北京模擬)已知尤2+2x-1=0,求代數式(x+1)2+x(x+4)+(x-3)(x+3)的值.

模型03分式的運算及化簡

事SOWS"..............................

1.常考的形式有兩種：給出分式，直接化簡求結果；給出分式化簡的過程，根據題意補全過程或尋找

解題過程中的錯誤并寫出正確的化簡結果；先化簡分式再由字母或式子的值進行求解

2.題目一般為2-3項的混合運算，涉及1個字母或2個字母，字母的指數一般不超過2,字母的系數為10

以內的有理數：

3.解題過程中涉及的運算有：分式的加減乘除、通分、約分、去括號法則等，分子或分母為多項式時，還會

涉及因式分解。

答|題|技|巧

1.分式的混合運算，要注意運算順序，式與數有相同的混合運算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號

的先算括號里面的.最后結果分子、分母要進行約分，注意運算的結果要化成最簡分式或整式.

分式的混合運算，一般按常規運算順序，但有時應先根據題目的特點，運用乘法的運算律進行靈活運算.

2.分式的化簡求值：先把分式化簡后，再把分式中未知數對應的值代入求出分式的值.

在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡.化簡的最后結果分子、分母要進行約分，注意運算的結果

要化成最簡分式或整式.

|題型不例

（2024?哈爾濱）先化簡，再求代數式（2-尤2+,+1）+曷的值，其中X=2COS30°-tan45°.

,支式

1.（2025?泗洪縣一模）先簡化，再求值：（含-嘉）+君，其中x=W+L

2.⑵24?西城區校級模擬）先化簡,再求值：（1一三）一學詈,其中x=5.

3.（2024?深圳模擬）先化簡，再求值：（第一i）士史二鏟，其中。=1.

、。+2）a+2

4.（2024?平江縣二模）已知/-尤-i=o,求（芻一工）+J2f的值.

%+1xJ%2+2%+1

5.（2024?朝陽區一模）已知x+2y+2=0,求代數式（彳-"的值.

xx-2y

6.（2024?大余縣二模）如圖是學習了分式混合運算后，甲，乙兩名同學解答一道題目中第一步的做法，選

擇其中一名同學的做法，完成解答過程.

計巢碧-冬）?蒙

甲同學乙同學

解：原式=［痣一螳止Q+1)Q—1)

解：原式=4緯君1）*屋粽磊］?騾.2x

我選擇：同學

7.（2024?開封二模）化簡：（/+三）.七二1,下面是甲、乙兩同學的部分運算過程:

vx+lx—Yx

解：原式=［就蒿+

x(x+l)X2-1

甲同學(%+1)(%-1)%

x2-lXx2-l

解：原式=5r：+——?------

Xx-1X里

乙同學

（1）甲同學解法的依據是,乙同學解法的依據是;（填序號）

①等式的基本性質;

②分式的基本性質;

③乘法分配律；

④乘法交換律.

（2）請選擇一種解法，寫出完整的解答過程.

模型04二次根式的計算

WfSlWfii...................................

二次根式的計算主要考查二次根式的混合運算，常結合乘法公式、零指數幕、整數指數塞、特殊角的三角

函數進行綜合考查。

答I題I技I巧

二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用.學習二次根式的混合運算應注

意以下幾點：

①與有理數的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的.

②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式”.

③二次根式的運算結果要化為最簡二次根式.

④在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往

能事半功倍.

（2024?甘肅）計算：V18-V12X

,支式

1.（2024?甘州區二模）計算：4V2xV3—（V3+V2）2+

2.（2024?臨渭區三模）計算：V27-J1XV6+V454-V5.

3.（2024?浙江模擬）先化簡，再求值：2缶+通）（￡1一曲）—a（a—4）+14，其中。=痣一2.

（2024?青神縣模擬）計算：感—2|+（-1）-2-（2022-字）。

4.+而?

5.計算：（遮一I/一（百+企）（遮一/）.

6.計算：

（1）（3V3-1）（373+1）-（2V3-I）2;

⑵（2g—J）x遙-馬里.

砂真嶺煉

1.（2024?北京）計算：（兀-5）°+迎一25出30°+|一/「

2.（2024?青海）計算：V18-tan45o+7T°-|-V2|.

3.（2024?吉林）先化簡，再求值：（a+1）（a-1）+a2+l,其中a=g.

4.（2024?重慶）計算:

（1）CI（3-61）+（Q-1）（〃+2）;

⑵。+"白磊

5.（2024?濰坊）（1）計算：g+（3-2—|—3k

（2）先化簡,再求值：（a+i一言）+若,其中a二百+2.

6.（2024?西寧）先化簡，再求值：（3〃-1）2-2〃（4〃-1）,其中〃滿足層-4〃+3=0.

11

7.（2024?山西）（1）計算：（-6）x：—（一）2+[(-3)+(-1)]；

32

11x+2

(2)化簡(——+——)+

x-1x+1x2—l'

8.（2。24?廣安）先化簡但1一言）一沖,再從-2,。，1,2中選取一個適合的數代入求值.

（2024?甘南州）先化簡，再求值：上+軟+丫2—AA

9.4+(―+1),且X滿足-2SXW2,取一個值即

X2+2XX2-4X+4x-2

可.

io.（2024?煙臺）利用課本上的計算器進行計算，按鍵順序如下：BE3DOQ若加是其顯示結

(*+Z^)

果的平方根，先化簡:再求值.

m-39-m2血+3

11.（2024?綿陽）（1）計算：兀。+4迎+2|1-cos45°|-（一次產；

（2）先化簡，再求值：（1+工）+之二1,其中刀=魚+1.

vX7X

12.（2024?北京）已知a-b-1=0,求代數式迎:當必的值.

a12-32ab+b2

13.（2024?淄博）化簡分式：序一點+上一并求值（請從小宇和小麗的對話中確定a,b的值）

a2-2ab+b2a-b

小宇小麗

14.（2024?泰安）⑴計算：2±加60。+8廠2一?一“+J（_3）2；

（2）化簡：（萬一空匚）+%2—1

'XJX

?模核套用

1.（2024?茂南區校級一模）計算：（—2）2-我+（&-1）。+（3-1.

2.（2024?羅湖區校級模擬）計算：2cos30。一（兀―2024）。+|百—21

3.（2024?湘陰縣二模）計算：|—百|一2s出60。+弓）T+（2023