第二章長方體（一）知識歸納與題型突破

01思維導圖

02知識速記

一、長方體、正方體的特征及拼組

1.長方體有8個頂點,6個面，每個面都是長方形（特殊情況下有2個相對的面是正方形）；

相對的面面積相等；有12條棱，可以分為3組，分別叫長、寬、高。相對的棱長度相等。

2.正方體有8個頂點，6個面，每個面都相同，都是正方形；有12條棱，每條棱的長度

都相等。

3.正方體可以看成是長、寬、高都相等的特殊長方體。

二、長方體、正方體的展開與折疊

1.正方體的展開圖是由6個完全相同的正方形組成的組合圖形，有11種；相對的面完全

隔開，正方形的邊長是正方體的棱長。

2.長方體的展開圖可按上下、前后、左右對應的面進行組合、折疊成原來的形狀。

三、長方體表面積的意義和計算方法

1.長方體和正方體6個面的面積之和就是他們的表面積。

2.長方體的表面積計算方法=長又寬X2+長義高X2+高X寬X2

=（長X寬+長義高+高X寬）X2

3.正方體的表面積=棱長X棱長義6

四'正方體組合體露在外面的面積計算方法

1.計算堆放在墻角的正方體搭成的組合體露在外面的面積時，要先數出露在外面的面的總

個數，再用一個面的面積乘面的總個數。

2.數堆放在一起的正方體搭成的組合體露在外面的面的個數時，要先觀察正方體的擺放特

點，再從中找露在外面的面的個數與正方體的個數之間存在的規律。

03題型歸納

題型一長方體、正方體的特征及拼組

例1.（2024秋?東海縣期中）媽媽的生日快到了，瑩瑩精心選了一個小禮物表達自己對媽媽

的感激之情，并用一個長20cm、寬18cm、高6cm的長方體禮盒裝起來?，F在她需要一根彩

帶捆扎禮盒（打結處的彩帶長12cm）,一共需要彩帶多少厘米？

【分析】彩帶的總長包括2條長、2條寬、4條高及打結處的長度，據此解答。

【解答】解：20X2+18X2+6X4+12

=40+36+24+12

=112（厘米）

答：一共需要彩帶112厘米。

【點評】本題考查了長方體棱長總和計算方法的應用。

鞏固訓練

1.（2024秋?鹽都區期中）如圖，有一個長6分米、寬4分米、高都是3分米的長方體硬紙

箱，如果用繩子將箱子橫著捆兩道，長著捆一道，打結處共用20厘米。一共要用繩子多長？

【分析】根據長方體的特征，相對的棱的長度相等，由圖形可知：所需繩子的長度等于2條長

+4條寬+6條高+打結用的20厘米，據此解答。

【解答】解：20厘米=2分米

6X2+4X4+3X6+2

=12+16+18+2

=48（分米）

答：一共用繩子48分米。

【點評】此題考查的目的是理解掌握長方體的特征，以及棱長和的計算方法，關鍵是弄清如何

捆扎的。

2.（2024春?博白縣期末）請把“正方體”和“長方體”分別填入如圖韋恩圖中的相應括號

里，以正確表示它們的關系。

【分析】長方體和正方體都有6個面，12條棱，8個頂點，當長方體的12條棱全部相等時，

就是正方體，正方體是特殊的長方體。

【解答】解：如圖:

【點評】本題考查了長方體和正方體的特征。

3.（2023?金安區）有一個立方體，每個面上分別寫著數字1、2、3、4、5、6,有三個人從

不同角度觀察的結果如圖所示，那么這個立方體1的對面是,3的對面是,

圖2：正面為3,上面為2,右面為1；

圖3：正面為4,上面為5,右面為3；

由圖1和圖2可以確定1的對面是5,由圖1和圖3可以確定4的對面是2,由此解答.

【解答】解：根據題意可知：1的對面不能是6、4和2、3,所以1對5；

4的對面不能是1、6和3、5,所以4對2；

剩下的是3對6；

故答案為：5,6,2.

【點評】注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題.

題型二長方體、正方體的展開與折疊

例2.（2024春?濱江區校級期中）如圖是一個長方體紙盒的展開圖。（單位：厘米）這個長

【分析】根據圖上的信息可知長方體的長為（21-5）厘米，寬為10厘米，高為5厘米，根據

長方體的表面積=（長X寬+長X高+寬X高）X2,代入數值即可求出這個長方體紙盒的表面

積。

【解答】解：21-5=16（厘米）

（16X10+16X5+10X5）X2

=（160+80+50）X2

=290X2

=580（平方厘米）

答：這個長方體紙盒的表面積是580平方厘米。

【點評】本題考查長方體表面積的計算及應用。理解題意，找出數量關系，列式計算即可。

鞏固訓練

1.（2024春?未央區期中）如圖中每個方格的邊長都是1厘米，請按要求回答下面各題。

(1)如圖中是一個不完整的長方體展開圖，請在合適的位置把缺少的面添上。

(2)觀察并想象，與★相對的面的面積是平方厘米。

【分析】(1)根據長方體的展開圖畫出缺少的一個面即可；

(2)和★相對的面的面積即是含有★這個面的面積，根據“長方形的面積公式=長乂寬”即

可求解。

答：與★相對的面的面積是2平方厘米。

故答案為：2。

【點評】本題考查了長方體的展開圖的應用。

2.(2024?西城區)如圖是一個正方體紙盒，將它的上半部分涂上顏色。

(1)如果正方體紙盒的棱長為4dm,那么涂色部分的面積是多少平方分米?

(2)請在如圖的展開圖中把涂色部分補充完整。

【分析】(1)讀題可知：涂色部分的面積正好占原來正方體表面積的一半，據此作答即可。

(2)看圖發現：展開圖中整個正方形涂滿顏色的面對應的是正方體的上底面，除了與它相對

的下底面(展開圖中最左端的正方形)不用涂色以外，其中“相鄰”的面都要各涂一半。

【解答】解：(1)4X4X64-2

=16X64-2

=964-2

=48（平方分米）

答：涂色部分的面積是48平方分米。

（2）如圖。

【點評】本題考查的知識點主要包括兩個：一是關于正方體的表面積的計算問題，二是關于正

方體表面展開圖的認識與應用問題。

3.（2024?西城區）圖是正方體的展開圖。在圖中標上數，再把它還原成正方體，相交于同一

頂點的三個面上的數的和最大是。

【分析】“1—4—1”型正方體的展開圖，“1”和“4”是相對面，“3”和“2”是相對面，“5”

和“6”是相對面，相交于同一頂點的三個面是相鄰面，并且三個面不在同一行，據此解答。

【解答】解：中間一行相鄰的兩個面最大的兩個數是“3”和“4”，另外一個面最大是“6”。

3+4+6=13

所以，相交于同一頂點的三個面上的數的和最大是13。

故答案為：13。

【點評】本題主要考查正方體的展開圖，理解三個相鄰的面不在同一行是解答題目的關鍵。

題型三長方體表面積的意義和計算方法

例3.（2023秋?南京期末）已知②號正方體的棱長是①號的2倍。王師傅給①號正方體的表

面刷油漆，正好用了1罐。錢師傅準備給②號正方體的表面刷油漆，錢師傅說“那我準備

這樣的2罐油漆就夠了?！卞X師傅說對了嗎？為什么？（可以寫一寫，算一算）

同同

【分析】根據“正方體表面積=六個正方形面積之和”分別求出①號和②號正方體的表面積,

用②號正方體的表面積除以①號正方體的表面積即是②號正方體刷油漆需要的罐數。

【解答】解：錢師傅說得不對。

假設①號正方體的棱長是1,則②號正方體的棱長是2。

①號正方體的表面積是：1X1X6=6

②號正方體的表面積是：2X2X6=24

244-6=4（罐）

即王師傅給①號正方體的表面刷油漆，正好用了1罐。錢師傅準備給②號正方體的表面刷油漆,

錢師傅需要4罐。

答：錢師傅說得不對，因為他需要4罐。

【點評】本題考查了正方體表面積計算的應用。

鞏固訓練

1.（2024秋?洪澤區期中）求如圖的表面積。

【分析】根據正方體的表面積=棱長X棱長X6,把數據代入公式解答。

【解答】解：0.5X0.5X6

=0.25X6

=1.5（平方分米）

答：這個正方體的表面積是1.5平方分米。

【點評】此題主要考查正方體表面積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。

2.（2024春?大冶市期末）如圖，將一個長方體分割成兩個小長方體，分別按A、B、C三種

方式進行分割后，表面積分別增加了12平方厘米、24平方厘米、16平方厘米。原來這個

長方體的表面積是多少平方厘米？

S3S

ABC

【分析】通過觀察圖形可知，用三種不同的方式把這個長方體分割成兩個小長方體，每切割一

次就增加兩個切面的面積；從左往右，圖A是平行于左右面切，增加2個寬X高的面積；圖B

是平行于前后面切，增加2個長X高的面積；圖C是平行于上下面切，增加2個長X寬的面積；

根據長方體的表面積=長X寬X2+長X高X2+寬X高X2,三種方式切割增加的表面積之和就

是原來長方體的表面積。

【解答】解：12+24+16

=36+16

=52(平方厘米)

答：原來這個長方形的表面積是52平方厘米。

【點評】明確立體圖形切割時，增加的表面積是哪些面的面積。

3.(2024秋?淮安月考)一種長方體的廣告燈箱，框架由鋁合金條制成，各個面由燈箱布圍

成。制作一個這樣的廣告燈箱：

(1)至少需要鋁合金條多少米？

(2)需要燈箱布多少平方米？

f米

0.8米\界

【分析】(1)根據長方體的棱長總和=(長+寬+高)X4,把數據代入公式解答。

(2)根據長方體的表面積=(長X寬+長X高+寬X高)X2,把數據代入公式解答。

【解答】解:(1)(0.8+1.5+1.2)X4

=3,5X4

=14(米)

答：至少需要鋁合金條14米。

(2)(0.8X1.5+0.8X1.2+1,5X1.2)X2

=(1.2+0.96+1.8)X2

=3.96X2

=7.92(平方米)

答：需要燈箱布7.92平方米。

【點評】此題主要考查長方體的棱長總和公式、長方體的表面積公式的靈活運用，關鍵是熟記

公式。

題型四正方體組合體露在外面的面積計算方法

例4.(2023春?湖濱區期中)如圖，王樂在墻角處用棱長為1cm厘米的小正方體搭建了一個

長方體進行研究，發現了很多奧秘，你也是火眼金睛，試試吧：

(1)有三個面露在外面的小正方體有個；

(2)有兩個面露在外面的小正方體有個；

(3)只有一個面露在外面的小正方體有個，露在外面的面積是cm2,這

個長方體的體積是cm'

///

【分析】(1)有三個面露在外面的小正方體在長方體不靠墻面和地面的頂點處，如圖

(2)兩個面露在外面的小正方體，如圖

(3)只有一個面露在外面的小正方體，如圖;邊長1cm的小正方形，面積是

1cm2,據此從前面、右面和上面數出露在外面的小正方形個數就是露在外面的面積；分別數出

長'寬、高，根據長方體體積=長*寬X高，計算出體積即可。

【解答】解：(1)有三個面露在外面的小正方體有1個；

(2)有兩個面露在外面的小正方體有4個；

(3)1X1=1(平方厘米)

4+6+6

=10+6

=16（個）

16X1=16（平方厘米）

3X2X2

=6X2

=12（立方厘米）

答：只有一個面露在外面的小正方體有5個，露在外面的面積是16平方厘米，這個長方體的

體積是12立方厘米。

故答案為：1;4；5,16,12o

【點評】本題考查了立體圖形的拼組知識，關鍵是認真觀察，掌握并靈活運用長方體表面積和

體積公式。

鞏固訓練

1.（2023春?惠來縣期末）如圖所示，某藝術館要給墻角處的三個正方體木箱（大小一樣）

露在外面的面刷油漆，每平方米需要250克油漆，已知一個木箱的棱長是20厘米，則一共

需要多少克油漆？

【分析】先數出露在的面的個數，從正面看有3個面露在外面，從上面看有2個面積露在外面，

從右邊看有2個面露在外面，一共有3+2+2個面露在外面；再根據正方形面積公式：面積=邊

長X邊長，代入數據，求出正方體一個面的面積，再乘露在外面面的個數，求出需要刷油漆的

面積，再乘250,即可求出需要油漆的數量。

【解答】解：3+2+2=7（個）

20厘米=0.2米

0.2X0,2X7X250

=0.28X250

=70（克）

答：一共需要70克油漆。

【點評】本題主要考查正方體表面積公式的應用。

2.（2023春?河源期中）將6個棱長都是3厘米的正方體如下圖擺放，露在外面的面有幾個？

露在外面的面積是多少？

【分析】觀察圖形知道，從上面看到4個正方形面，從前面看到3個正方形面，從右面看到4

個正方形的面，所以露在外面的面一共是4+3+4=11（個），由此根據正方形的面積公式S=a

Xa,求出一個正方形的面積，再乘11即可。

【解答】解:4+3+4=11（個）

3X3X11

=9X11

=99（平方厘米）

答：露在外面的面有11個，露在外面的面積是99平方厘米。

【點評】本題考查了運用正方體的表