第頁平面解析幾何真題解構與重構解析幾何解析幾何問題是高中數學重中之重的教學內容，是高考試題的重頭戲，在選擇題、填空題與解答題中都經常出現，而且很多高考試卷用之作為壓軸題，認真剖析高考解析幾何試題，領會試題的內涵，分解重組試題的表現形式，對復習解析幾何的有關知識，感悟解析幾何的特性，提升“解析”能力，具有積極的指導作用.下面對2023年新課標Ⅰ卷第22題解析幾何問題進行解構與重構.［真題呈現］[2023·新課標Ⅰ卷]（12分）在直角坐標系xOy中，點P到x軸的距離等于點P到點0,12的距離，記動點P（1）求W的方程；[答案]［規范解答］設Px,y，則①［關鍵步驟］根據題意，列出動點P滿足的關系式是求解本題的基礎兩邊同時平方化簡得y=x2+1（2）已知矩形ABCD有三個頂點在W上，證明：矩形ABCD的周長大于33證明：不妨設矩形ABCD的三個頂點A，B，D在W上，且AB⊥故矩形ABCD的周長為2AB依題意可設Aa,②設點A是求解問題的基礎易知直線AB，AD的斜率均存在且不為0，則設AB，AD的斜率分別為k和?1k，由對稱性，不妨設直線AB的方程為y=k③為求矩形周長?聯想弦長?聯想直線點斜式方程聯立y=x2+1④求弦長，聯立方程組，設而不求或運用弦長公式因為Δ=k2?4ka則AB=1+k2所以AB+AD⑤利用a+b令k2=m,則m則f′m令f′m=0當m∈0,12時，f當m∈(12,1]，所以fmmin=⑥導數是求解函數范圍與最值的得力助手所以AB+又因為1+k2k?2a+1+1k⑦驗證是求解數學問題常用的方法所以矩形ABCD的周長大于33［真題分析］本題考查點的軌跡與相關的距離公式，考查直線的垂直關系與函數的最值，考查數學運算、數字建模、邏輯推理等核心素養，考查轉化與化歸思想，數形結合思想與函數方程思想，考查分析問題和綜合求解問題的能力.試題第一問源于教材人教A版選擇性必修第一冊P130拋物線的定義，第二問是教材P138習題3.3復習鞏固T6［真題解構］解構1真題方程標準化——將x軸改為直線y在平面直角坐標系Oxy中，點M到定點(0，12)的距離等于到直線y=?1A.y2=2x B.y2[解析]選C.設Mx,y，由題意得x2+y?解構2弦長具體化——將動點A置于拋物線頂點，設置垂直關系求弦長已知A是拋物線W：y=x2+14的頂點，過點A且斜率為12的直線交W于點B，點DA.42 B.23 C.2[解析]選C.由題知A(0，14)，直線AD由y=?2x+1或x=?2,y=174.所以AD=?2?（或設Ax1,y1,Dx2,y2,將y=?2x+所以AD=[x1解構3過定點的動弦長——將動點A置于拋物線頂點，探求動矩形ABCD的周長的最小值已知A是拋物線W:y=x2+14的頂點，過點A互相垂直的兩條直線與W分別交于點B，D，以AB[解析]因為平移不改變幾何圖形的特征與特性，將W：y=x2+14向下平移14個單位長度，得到曲線Γ：y=x2設直線AB的方程為y=由y=x2,y=kx得B的坐標為k,所以AB=k2+k用?1k替換得，令t=設ft則f′=t當t=1時，當0<t<1當t>1時,f′t>0,故ft在0,所以ft故矩形ABCD的周長的最小值為42［真題重構］重構1已知曲線C：y=x2+14的頂點為T，直線l與C交于A,A.(0，12) B.(0，34) C.([解析]選C.顯然直線l的斜率存在，設l的方程為y=代入y=x2+1Δ=?設Ax1,y1,Bx頂點T的坐標為(0，14).因為TA⊥即x1,y1由題知x1x2≠故14?b=?1，b=54，此時直線l:重構2（多選）已知A，B的坐標分別為A2,0，B?2,0，直線AM與BM交于點M，且它們的斜率之差為12，記點M的軌跡為W，將A.C的方程為xB.射線y=tx≥0,t≥0與C.過點0,2的直線l與C交于點R，ND.C的內接正三角形OEF的周長為12[解析]選ABC.對于A，設點M的坐標為x,y，由kMA?kMB=將W向上平移12個單位長度得到C：x2=8y對于B，設PxP,則PQ==48t+4+8t對于C，由A知，C的方程為x2=8y，可設直線l的方程為y=kx+2，代入x設Rx1,y1，Nx所以OR?=1+k2x1x2+對于D，已知正三角形OEF的一個頂點為O，則該頂點O的對邊EF平行于x軸，設EF:y=mm>0，ExE,m，FxF,m則EF=422m因為△OEF為正三角形，所以EF=OE=解得m=24.所以正三角形OEF的邊長為163，周長為3×163重構3解構3中條件不變，則矩形ABCD的面積的最小值為（）A.1 B.2 C.2 D.2[解析]選C.由解構3知，AB=k2則矩形ABCD的面積gk2k當且僅當k=1k，即k=±1時，取等號.所以矩形ABCD重構4在平面直角坐標系Oxy中，點P到點M1,0的距離與到直線x=4的距離之比為1（1）求W的方程；解：設P的坐標為x,由題意得x?12+y2（2）若點M關于原點對稱的點為N，過M的直線l1與W交于點A,B,過N的直線l2與W交于點D，C（A,D位于x軸的同側），且l1[答案]由對稱性知，AB//DC，四邊形ABCD設l1：x=my+Δ=144設