專題15等腰三角形與直角三角形（含勾股定理）（24題）一、單選題1．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，在中，是的中點，，與交于點，且．下列說法錯誤的是（

）

A．的垂直平分線一定與相交于點B．C．當為中點時，是等邊三角形D．當為中點時，2．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，圖1是北京國際數學家大會的會標，它取材于我國古代數學家趙爽的“弦圖”，是由四個全等的直角三角形拼成．若圖1中大正方形的面積為24，小正方形的面積為4，現將這四個直角三角形拼成圖2，則圖2中大正方形的面積為（

）A．24 B．36 C．40 D．443．（2024·四川巴中·中考真題）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問：水深幾何？”這是我國數學史上的“葭生池中”問題．即，，，則（

）A．8 B．10 C．12 D．134．（2024·四川廣元·中考真題）如圖①，在中，，點P從點A出發沿A→C→B以1的速度勻速運動至點B，圖②是點P運動時，的面積隨時間x（s）變化的函數圖象，則該三角形的斜邊的長為（

）A．5 B．7 C． D．5．（2024·四川南充·中考真題）如圖，已知線段，按以下步驟作圖：①過點B作，使，連接；②以點C為圓心，以長為半徑畫弧，交于點D；③以點A為圓心，以長為半徑畫弧，交于點E．若，則m的值為（

）

A． B． C． D．6．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，中，，分別以頂點A，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點和點，作直線分別與，交于點和點；以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點和點，再分別以點，點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線，若射線恰好經過點，則下列四個結論：①；②垂直平分線段；③；④．其中，正確結論的個數有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．（2024·山東煙臺·中考真題）某班開展“用直尺和圓規作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如下，其中射線為的平分線的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題8．（2024·遼寧·中考真題）如圖，四邊形中，，，，．以點為圓心，以長為半徑作圖，與相交于點，連接．以點為圓心，適當長為半徑作弧，分別與，相交于點，，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在的內部相交于點，作射線，與相交于點，則的長為（用含的代數式表示）．9．（2024·吉林·中考真題）圖①中有一首古算詩，根據詩中的描述可以計算出紅蓮所在位置的湖水深度，其示意圖如圖②，其中，于點C，尺，尺．設的長度為x尺，可列方程為．10．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖①，直角三角形的兩個銳角分別是40°和50°，其三邊上分別有一個正方形．執行下面的操作：由兩個小正方形向外分別作銳角為40°和50°的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長作正方形．圖②是1次操作后的圖形．圖③是重復上述步驟若干次后得到的圖形，人們把它稱為“畢達哥拉斯樹”．若圖①中的直角三角形斜邊長為2，則10次操作后圖形中所有正方形的面積和為．11．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，四邊形為正方形，為等邊三角形，于點F，若，則．12．（2024·四川資陽·中考真題）如圖，在矩形中，，．以點為圓心，長為半徑作弧交于點，再以為直徑作半圓，與交于點，則圖中陰影部分的面積為．13．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，在和中，，，將繞點A順時針旋轉一定角度，當時，的度數是．14．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在中，，，，D是邊的中點，E是邊上一點，連接．將沿翻折，點C落在上的點F處，則．15．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，在直角坐標系中，等邊三角形ABC的頂點的坐標為，點均在軸上．將繞頂點逆時針旋轉得到，則點的坐標為．16．（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，在正方形紙片中，是邊的中點，將正方形紙片沿折疊，點落在點處，延長交于點，連結并延長交于點．給出以下結論：①為等腰三角形；②為的中點；③；④．其中正確結論是．（填序號）三、解答題17．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，B、E、C、F是直線l上的四點，相交于點G，，，．(1)求證：是等腰三角形；(2)連接，則與l的位置關系是________．18．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在中，，，，分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點M和N，作直線分別交于點D，E，連接(1)求的長；(2)求的周長．19．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，點C在線段上，，，．(1)求證：；(2)若，求的度數．20．（2024·青海·中考真題）（1）解一元二次方程：；（2）若直角三角形的兩邊長分別是（1）中方程的根，求第三邊的長．21．（2024·甘肅蘭州·中考真題）觀察發現：勞動人民在生產生活中創造了很多取材簡單又便于操作的方法，正如木匠劉師傅的“木條畫直角法”，如圖1，他用木條能快速畫出一個以點A為頂點的直角，具體作法如下：①本條的兩端分別記為點M，N，先將木條的端點M與點A重合，任意擺放木條后，另一個端點N的位置記為點B，連接；②木條的端點N固定在點B處，將木條繞點B順時針旋轉一定的角度，端點M的落點記為點C（點A，B，C不在同一條直線上）；③連接并延長，將木條沿點C到點B的方向平移，使得端點M與點B重合，端點N在延長線上的落點記為點D；④用另一根足夠長的木條畫線，連接，，則畫出的是直角．操作體驗：（1）根據“觀察發現”中的信息重現劉師傅的畫法，如圖2，，請畫出以點A為頂點的直角，記作；推理論證：（2）如圖1，小亮嘗試揭示此操作的數學原理，請你補全括號里的證明依據：證明：，與是等腰三角形．．（依據1______）．，（依據2______），．依據1：______；依據2：______；拓展探究：（3）小亮進一步研究發現，用這種方法作直角存在一定的誤差，用平時學習的尺規作圖的方法可以減少誤差．如圖3，點O在直線l上，請用無刻度的直尺和圓規在圖3中作出一個以O為頂點的直角，記作，使得直角邊（或）在直線l上．（保留作圖痕跡，不寫作法）22．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，點D、E分別是等邊三角形邊、上的點，且，與交于點F．求證：．23．（2024·山東泰安·中考真題）如圖1，在等腰中，，，點，分別在，上，，連接，，取中點，連接．(1)求證：，；(2)將繞點順時針旋轉到圖2的位置．①請直接寫出與的位置關系：___________________；②求證：．24．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在中，，．將線段繞點順時針旋轉得到線段，過點作，垂足為．

圖1