專題01實數及其運算（含二次根式）（32題）

一、單選題

1．（2024·江蘇常州·中考真題）若二次根式x2有意義，則x可取的值是（）

A．1B．0C．1D．2

【答案】D

【分析】根據二次根式有意義的條件得出x的取值范圍，繼而得出答案．

【詳解】解：若二次根式x2有意義，則x20，

解得x2，

在四個選項中符合x2的是2，

故選：D．

【點睛】本題主要考查二次根式有意義的條件，二次根式中的被開方數是非負數．

2．（2024·四川巴中·中考真題）函數yx2自變量的取值范圍是（）

A．x0B．x2C．x2D．x2

【答案】C

【分析】本題考查了求函數自變量的取值范圍、二次根式的定義，熟練掌握二次根式的有意義的條件是解

題關鍵．根據二次根式的有意義的條件建立不等式求解即可解題．

【詳解】解：由題知，x20，

解得x2，

故答案為：C．

3．（2024·四川巴中·中考真題）在0，1，1，π中最小的實數是（）

A．0B．1C．1D．π

【答案】B

【分析】本題主要考查了實數的大小比較．根據正數0負數，負數絕對值大的反而小，即可比較．

【詳解】解：∵101，

∴最小的實數是1，

故選：B．

4．（2024·福建·中考真題）下列實數中，無理數是（）

2

A．3B．0C．D．5

3

【答案】D

【分析】無理數就是無限不循環小數，理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數是整數

與分數的統稱．即有限小數和無限循環小數是有理數，而無限不循環小數是無理數，由此即可判定選擇項．

本題主要考查了無理數的定義，其中初中范圍內學習的無理數有：,2等；開方開不盡的數；以及像

0.1010010001....，等數．

【詳解】根據無理數的定義可得：無理數是5

故選：D．

5．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，實數a，b，c，d在數軸上表示如下，則最小的實數為（）

A．aB．bC．cD．d

【答案】A

【分析】本題考查了根據數軸比較實數的大小．根據數軸上右邊的數總比左邊的大即可判斷．

【詳解】解：由數軸知，ab0cd，

則最小的實數為a，

故選：A．

6．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）實數a,b在數軸上的對應位置如圖所示，則(ab)2ba2的化

簡結果是（）

A．2B．2a2C．22bD．-2

【答案】A

【分析】本題考查了實數與數軸的關系，二次根式的性質和絕對值的化簡法則，根據數軸可得3a2，

0b1，，再利用二次根式的性質和絕對值的化簡法則，化簡計算即可．

【詳解】解∶由數軸知∶3a2，0b1，

∴ab0，

∴(ab)2ba2

abba2

abba2

abba2

2，

故選：A．

7．（2024·內蒙古通遼·中考真題）下列運算結果正確的是（）

3

A．4xy3xy1B．a2a6

C．(5)25D．31215

【答案】B

【分析】本題考查的是合并同類項，積的乘方運算，算術平方根的含義，二次根式的加減運算，根據以上

運算的運算法則逐一計算即可

【詳解】解：4xy3xyxy，故A不符合題意；

3

a2a6，故B符合題意；

(5)25，故C不符合題意；

31232333，故D不符合題意；

故選B

8．（2024·山東濟寧·中考真題）下列運算正確的是（）

A．235B．2510

C．221D．(5)25

【答案】B

【分析】此題考查二次根式的運算法則，根據二次根式的加法法則對A進行判斷；根據二次根式的乘法法

則對B進行判斷；根據二次根式的除法法則對C進行判斷；根據二次根式的性質對D進行判斷．

【詳解】A.2與3不能合并，所以A選項錯誤；

B.2510，所以B選項正確；

C.2242=2，所以C選項錯誤；

D.(5)255，所以D選項錯誤．

故選：B．

9．（2024·云南·中考真題）式子x在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（）

A．x0B．x0C．x0D．x0

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件．根據二次根式有意義的條件，即可求解．

【詳解】解：∵式子x在實數范圍內有意義，

∴x的取值范圍是x0．

故選：B．

10．（2024·山東威海·中考真題）定義新運算：

①在平面直角坐標系中，a,b表示動點從原點出發，沿著x軸正方向（a0）或負方向（a0）．平移a

個單位長度，再沿著y軸正方向（b0）或負方向（b0）平移b個單位長度．例如，動點從原點出發，

沿著x軸負方向平移2個單位長度，再沿著y軸正方向平移1個單位長度，記作2,1．

②加法運算法則：a,bc,dac,bd，其中a，b，c，d為實數．

若3,5m,n1,2，則下列結論正確的是（）

A．m2，n7B．m4，n3

C．m4，n3D．m4，n3

【答案】B

【分析】本題考查了新定義運算，平面直角坐標系，根據新定義得出3m1,5n2，即可求解．

【詳解】解：∵a,bc,dac,bd，3,5m,n1,2

∴3m1,5n2

解得：m4，n3

故選：B．

11．（2024·北京·中考真題）實數a，b在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是（）

A．b1B．b2C．ab0D．ab0

【答案】C

【分析】本題考查了是實數與數軸，絕對值的意義，實數的運算，熟練掌握知識點是解題的關鍵．

由數軸可得2b1，2a3，根據絕對值的意義，實數的加法和乘法法則分別對選項進行判斷即可．

【詳解】解：A、由數軸可知2b1，故本選項不符合題意；

B、由數軸可知2b1，由絕對值的意義知1b2，故本選項不符合題意；

C、由數軸可知2a3，而2b1，則ab，故ab0，故本選項符合題意；

D、由數軸可知2a3，而2b1，因此ab0，故本選項不符合題意．

故選：C．

12．（2024·山東威海·中考真題）下列各數中，最小的數是（）

1

A．2B．-(-2)C．D．2

2

【答案】A

【分析】本題考查了實數的大小比較，根據實數的大小比較即可求解．

【詳解】解：22，

1

∵222

2

∴最小的數是2

故選：A．

13．（2024·天津·中考真題）估算10的值在（）

A．1和2之間B．2和3之間C．3和4之間D．4和5之間

【答案】C

【分析】本題考查無理數的估算，根據題意得91016，即可求解．

【詳解】解：∵91016

∴3104，

∴10的值在3和4之間，

故選：C．

14．（2024·四川資陽·中考真題）若5m10，則整數m的值為（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】B

【分析】此題考查了無理數的估算，解題的關鍵是熟練掌握無理數的估算方法．首先確定5和10的范

圍，然后求出整數m的值的值即可．

【詳解】解：∵4<5<9，即2<5<3，9<10<16，即3<10<4，

又∵5m10，

∴整數m的值為：3，

故選：B．

二、填空題

15．（2024·山東濱州·中考真題）寫出一個比3大且比10小的整數是．

【答案】2或3

【分析】先估算出3、10的大小，然后確定范圍在其中的整數即可．

【詳解】∵32，310

∴32310

即比3大且比10小的整數為2或3，

故答案為：2或3

【點睛】本題考查了無理數的估算和大小比較，掌握無理數估算的方法是正確解答的關鍵．

16．（2024·江蘇常州·中考真題）16的算術平方根是．

【答案】4

【詳解】解：∵(4)216

∴16的平方根為4和-4，

∴16的算術平方根為4，

故答案為：4

17．（2024·黑龍江大慶·中考真題）計算：38=．

【答案】﹣2

【分析】根據立方根的定義，求數a的立方根，也就是求一個數x，使得x3=a，則x就是a的立方根．

【詳解】∵（－2）3=－8，

∴38=2，

故答案為：-2

18．（2024·廣西·中考真題）寫一個比3大的整數是．

【答案】2(答案不唯一)

【分析】本題考查實數大小比較，估算無理數的大小是解題的關鍵．

先估算出3的大小，再找出符合條件的整數即可．

【詳解】解：134，

132，

符合條件的數可以是：2(答案不唯一)．

故答案為：2．

19．（2024·吉林長春·中考真題）計算：123．

【答案】3

【分析】利用二次根式的性質化簡，再相減．

【詳解】解：123

233

3

故答案是：3．

【點睛】本題考查了二次根式的減法，解題的關鍵是掌握二次根式的化簡及性質．

20．（2024·內蒙古赤峰·中考真題）寫出一個比5小的整數：．

【答案】-5

【分析】先找到所求的無理數在哪兩個和它接近的整數之間，然后即可判斷出所求的整數的范圍．

【詳解】先找到所求的無理數在哪兩個和它接近的整數之間，然后即可判斷出所求的整數的范圍．

解：∵2＜5＜3，

∴﹣3＜5＜2，

∴所有小于或等于﹣3的整數都可以．

故答案為：﹣5．

【點睛】此題主要考查了實數的大小的比較，其中“夾逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

2

21．（2024·四川德陽·中考真題）化簡二次根式3的結果等于．

【答案】3

【分析】本題主要考查了化簡二次根式，根據a2a進行求解即可．

2

【詳解】解：333，

故答案為：3．

22．（2024·青海·中考真題）8的立方根是．

【答案】-2

【分析】根據立方根的定義進行求解即可得．

【詳解】解：∵（﹣2）3=﹣8，

∴﹣8的立方根是﹣2，

故答案為﹣2．

【點睛】本題考查了立方根的定義，熟練掌握立方根的定義是解題的關鍵．

23．（2024·四川雅安·中考真題）使代數式x1有意義的x的取值范圍是．

【答案】x1

【分析】根據二次根式被開方數必須是非負數的條件，要使x1在實數范圍內有意義，必須x10，從

而可得答案．

【詳解】解：代數式x1有意義，

\x-130,

x1,

故答案為：x1

24．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖所示，四邊形ABCD，DEFG，GHIJ均為正方形，且S正方形ABCD10，

S正方形GHIJ1，則正方形DEFG的邊長可以是．（寫出一個答案即可）

【答案】2（答案不唯一）

【分析】本題考查了算術平方根的應用，無理數的估算．利用算術平方根的性質求得ABCD10，

GHGJ1，再根據無理數的估算結合GHDECD，即可求解．

【詳解】解：∵S正方形ABCD10，

∴ABCD10，

∵S正方形GHIJ1，

∴GHGJ1，

∵3104，即3CD4，

∴正方形DEFG的邊長GHDECD，即1DE3，

∴正方形DEFG的邊長可以是2，

故答案為：2（答案不唯一）．

25．（2024·四川巴中·中考真題）27的立方根為．

【答案】3

【分析】找到立方等于27的數即可．

【詳解】解：∵33=27，

∴27的立方根是3，

故答案為：3．

26．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，已知A11,3，A23,3，A34,0，A46,0，A57,3，

A69,3，A710,0，A811,3…，依此規律，則點A2024的坐標為．

【答案】2891,3

【分析】本題考查了點坐標的規律探究．解題的關鍵在于根據題意推導出一般性規律．根據題意可知7個

點坐標的縱坐標為一個循環，A7n的坐標為10n,0，據此可求得A2024的坐標．

【詳解】解：∵A11,3，A23,3，A34,0，A46,0，A57,3，A69,3，A710,0，A811,3…，，

∴可知7個點坐標的縱坐標為一個循環，A7n的坐標為10n,0，A7n110n1,3

∵202472891，

∴A2023的坐標為2890,0．

∴A2024的坐標為2891,3

故答案為：2891,3．

三、解答題

3

27．（2024·甘肅蘭州·中考真題）計算：278．

2

【答案】3

【分析】本題考查二次根式的運算，先根據二次根式的性質化簡，進行乘法運算，再合并同類二次根式即

可．

3

【詳解】解：原式338

2

3323

3．

28．（2024·遼寧·中考真題）（1）計算：4210(1)832；

aa211

（2）計算：．

a1a2a

【答案】（1）92；（2）1

【分析】本題考查了實數的運算，分式的化簡，熟練掌握知識點是解題的關鍵．

（1）先化簡二次根式，去絕對值，再進行加減運算；

（2）先計算乘法，再計算加法即可．

【詳解】解：（1）原式16102232

92；

aa1a11

（2）原式

a1a2a

a11

aa

a11

a

1．

29．（2024·福建·中考真題）計算：(1)054．

【答案】4

【分析】本題考查零指數冪、絕對值、算術平方根等基礎知識，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．

根據零指數冪、絕對值、算術平方根分別計算即可；

【詳解】解：原式1524．

30．（2024·湖北·中考真題）計算：1392220240

【答案】3

【分析】本題主要考查了實數混合運算，根據零指數冪運算法則，算術平方根定義，進行計算即可．

【詳解】解：1392220240

3341

3．

0

31．（2024·四川樂山·中考真題）計算：3π20249．

【答案】1

【分析】本題考查了絕對值，零指數冪，算術平方根．熟練掌握絕對值，零指數冪，算術平方根是解題的

關鍵．

先分別計算絕對值，零指數冪，算術平方根，然后進行加減運算即可．

0

【詳解】解：3π20249

313

1．

32．（2024·江蘇鹽城·中考真題）發現問題

小明買菠蘿時發現，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽．

提出問題

銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數學道理呢？

分析問題

某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側面展開圖上可以看成

點，每個點表示不同的籽．該菠蘿的籽在側面展開圖上呈交錯規律排列，每行有n個籽，每列有k個籽，

行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（n，k均為正整數，nk3，d0），如圖1所示．

小明設計了如下三種鏟籽方案．

方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為________，共鏟________行，則鏟除全部籽的路徑總

長為________；

方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為________；

方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長．

解決問題

在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進行評價．

2

【答案】分析問題：方案1：n1d；2k；2n1dk；方案2：2k1dn；方案3：2k1nd；

2

解決問題：方案3路徑最短，理由見解析

【分析】分析問題：方案1：根據題意列出代數式即可求解；方案2：根據題意列出代數式即可求解；方

d2d22d

案3：根據圖得出斜著鏟每兩個點之間的距離為，根據題意得一共有2n列，2k行，斜著

22

鏟相當于有n條線段長，同時有2