2024～2025學年高三4月質量檢測卷數學考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：高考范圍.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則（）A. B.2 C. D.42.已知函數是奇函數，且時，，則（）A.10 B.9 C. D.3.已知全集，集合，，則下列關系中正確的是（）A. B.C. D.4.用數字1，2，3，4組成沒有重復數字的三位數，則這些三位數中是3的倍數的有（）A.3個 B.6個 C.9個 D.12個5.已知拋物線的焦點為F，P是拋物線C上一點，若P到x軸的距離為4，且，則（）A.2 B.4 C.6 D.86.設隨機變量，若，則（）A.60 B.56 C.12 D.87已知，，則（）A. B.C. D.8.數學中的玫瑰線是一種具有周期性的曲線，常見的玫瑰線有三葉玫瑰線、四葉玫瑰線和六葉玫瑰線.已知一個四葉玫瑰線的方程為，其圖象如圖所示.若將滿足，的點稱為整點，則滿足的整點有（）A.9個 B.17個 C.25個 D.33個二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.對于函數，則（）A.函數的圖象關于直線對稱B.函數在區間上單調遞減C.函數在區間上值域為D.將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象10.已知定義域為R的函數滿足，且對任意的，，時，恒成立，則“不等式成立”的一個充分不必要條件為（）A. B.C D.11.如圖，在直三棱柱中，，，點M是線段上一點，則下列說法正確是（）A.當M為的中點時，平面B.四面體的體積為定值C.的最小值為D.四面體的外接球半徑的取值范圍是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，，若，則a值為________.13.已知雙曲線（，）的上、下焦點分別為，，過的直線l與雙曲線C的上、下兩支分別交于點P，Q.若，，則雙曲線C的離心率為________.14.在中，若，的面積為6，則邊長度的最小值是________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.2024年12月14日，人民日報健康客戶端從深圳市市場監督管理局獲悉，深圳率先獲批農業農村部農產品質量安全監管司水果質量分級試點，建立優質水果品質評價制度.深圳在全國率先研制集口感、香氣、營養等客觀理化指標的水果質量分級“深圳標準”，將水果分為、A和B三個等級，其中藍莓按照橫徑x（mm）分類標準是：為等級，為A等級，為B等級.某藍莓生產基地收獲藍莓后按照藍莓橫徑x（）（mm）進行分類包裝，包裝標準為，，，，，，，，質檢部從生產線上抽取500盒藍莓作為樣本進行檢測，并按橫徑繪制了頻率分布直方圖如下.（1）用樣本估計這批藍莓橫徑的中位數（精確到0.01mm）；（2）按等級用比例分配的分層隨機抽樣的方式從樣本中抽取25盒藍莓做進一步檢測，從所抽取的25盒藍莓中任選2盒.設事件M：2盒藍莓的等級不相同，事件N：2盒中至少有1盒為B等級，判斷事件M與事件N是否相互獨立，并說明理由.16.如圖，正方體的棱長為3，M為CD的中點，點N在線段上（不含端點）.（1）若平面，求證：N為的中點；（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求線段CN的長度.17.已知數列的前n項和為，，.（1）證明：數列為等比數列；（2）設，求數列的前n項和.18.已知函數，.（1）討論的單調性；（2）若，求曲線與曲線的公切線；（3）已知，若的兩個極值點為，，求的取值范圍.19.某數學興趣研究小組發現雞蛋的形狀類似于橢球體，橢球體的表面為橢球面.在空間直角坐標系下，橢球面的方程為（，，），研究小組通過祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”得到對應的橢球體的體積為.該研究小組通過測量得到某雞蛋對應的橢球面的方程為.（1）求橢球面C對應的橢球體的體積；（2）已知橢球面C與坐標面的截痕是橢圓E，過橢圓E的右焦點F作直線l與橢圓E相交于M，N兩點，過點M，N分別作橢圓E的切線，兩切線交于點A.①證明：點A在定直線上；②求面積的取值范圍.

2024～2025學年高三4月質量檢測卷數學考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：高考范圍.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則（）A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】【分析】根據復數代數形式的乘法運算化簡，再根據復數相等的充要條件得到方程組，求出的值，再計算其模.【詳解】因為，又，所以，解得，所以.故選：C2.已知函數是奇函數，且時，，則（）A.10 B.9 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據奇函數的定義列式求解即可.【詳解】由奇函數的定義得，故選：D.3.已知全集，集合，，則下列關系中正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先解出兩集合，再由集合的運算逐項判斷即可.【詳解】由題意可得，由可得或，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，不包含，故C錯誤；對于D，，，故D錯誤.故選：B4.用數字1，2，3，4組成沒有重復數字的三位數，則這些三位數中是3的倍數的有（）A.3個 B.6個 C.9個 D.12個【答案】D【解析】【分析】依題意可知由，，和，，組成的三位數是的倍數，再由排列數公式計算可得.【詳解】從數字，，，中選擇個數，有，，；，，；，，；，，共四種情況，其中由，，和，，組成的三位數是的倍數，所以這些三位數中是3的倍數的有個.故選：D5.已知拋物線的焦點為F，P是拋物線C上一點，若P到x軸的距離為4，且，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】A【解析】【分析】根據題意求出，然后根據拋物線的焦半徑公式即可得出答案.【詳解】由題得，代入得，，即，解得，故選：A.6.設隨機變量，若，則（）A.60 B.56 C.12 D.8【答案】A【解析】【分析】根據二項分布的性質和方差的運算公式求解即可.【詳解】由二項分布性質得，，故選：A.7.已知，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據二倍角正弦公式化簡求值，再應用同角三角函數關系及兩角和余弦公式計算即可.【詳解】已知，，所以，所以，所以，，則.故選：C.8.數學中的玫瑰線是一種具有周期性的曲線，常見的玫瑰線有三葉玫瑰線、四葉玫瑰線和六葉玫瑰線.已知一個四葉玫瑰線的方程為，其圖象如圖所示.若將滿足，的點稱為整點，則滿足的整點有（）A.9個 B.17個 C.25個 D.33個【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式可得，找到在第一象限滿足的整點，再找到的整點，則可得四個象限內的整點，再加這一點可得答案.【詳解】由，得，則滿足，因為，所以，即，則第一象限內滿足的整點有，其中滿足的有，共6個，所以滿足的整點有個.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.對于函數，則（）A.函數的圖象關于直線對稱B.函數在區間上單調遞減C.函數在區間上的值域為D.將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象【答案】AC【解析】【分析】先利用降冪公式和輔助角公式將函數化簡，然后利用正弦函數的性質依次判斷即可．【詳解】，對于A：，故A正確；對于B：，此時有增有減，故B錯誤；對于C：，此時，故C正確；對于D：函數的圖象向右平移個單位得，故D錯誤，故選：AC．10.已知定義域為R的函數滿足，且對任意的，，時，恒成立，則“不等式成立”的一個充分不必要條件為（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】先構造函數，由題意判斷其單調性，然后將不等式轉化為，再利用函數的單調性和對稱性解抽象不等式，最后得到子集即可.【詳解】因為對任意的，，時，恒成立，設，則，所以函數在上單調遞減，又，所以不等式成立等價于，又定義域為R的函數滿足，即函數關于直線對稱，當時，，解得；當時，因為關于直線對稱，即，所以，解得，綜上不等式成立的條件為，所以“不等式成立”的一個充分不必要條件為其子集，即或.故選：BC11.如圖，在直三棱柱中，，，點M是線段上一點，則下列說法正確的是（）A.當M為的中點時，平面B.四面體的體積為定值C.的最小值為D.四面體的外接球半徑的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】由線面垂直的判定定理可得A正確；由線面平行的判定定理證明平面得到三棱錐的高，再由棱錐的體積公式可得B正確；將翻折到與矩形共面再結合余弦定理可得C錯誤；建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量共線得到點的坐標，再由幾何關系把外接球半徑用球心坐標表示，結合二次函數的性質求出最值即可.【詳解】對于A，在直三棱柱中，平面，平面，所以，因為，為中點，所以，又平面，所以，即平面，故A正確；對于B，在直三棱柱中，，又平面，平面，所以平面，即到平面的距離等于到平面的距離，所以，即四面體的體積為定值，故B正確；對于C，將翻折到與矩形共面，如圖所示，連接與相交于點，此時取得最小值，在中，，，由余弦定理可得，故C錯誤；對于D，在直三棱柱中，以為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系，所以，設，，，因為點M是線段上任意一點，由，所以，所以可取，，設四面體的外接球球心為，半徑為，則，即，由對稱關系可得，又，所以，解得，因為，所以，，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，，若，則a的值為________.【答案】或【解析】【分析】根據向量垂直的坐標運算求解即可.【詳解】，，即，所以或，故答案為：或.13.已知雙曲線（，）的上、下焦點分別為，，過的直線l與雙曲線C的上、下兩支分別交于點P，Q.若，，則雙曲線C的離心率為________.【答案】【解析】【分析】根據已知條件及雙曲線定義得出，再應用離心率公式計算.【詳解】因為，，所以設所以，則，所以，所以，又因為，所以，則雙曲線C的離心率為.故答案為：.14.在中，若，的面積為6，則邊長度的最小值是________.【答案】【解析】【分析】設，則，根據三角形的面積公式可得，利用余弦定理計算可得，由輔助角公式和正弦函數的圖象與性質可得，解不等式即可.【詳解】設，則，由，得，由余弦定理得，令，則，即（其中），所以，即，得，解得或，即或（舍去），解得或（舍去），所以的最小值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.2024年12月14日，人民日報健康客戶端從深圳市市場監督管理局獲悉，深圳率先獲批農業農村部農產品質量安全監管司水果質量分級試點，建立優質水果品質評價制度.深圳在全國率先研制集口感、香氣、營養等客觀理化指標的水果質量分級“深圳標準”，將水果分為、A和B三個等級，其中藍莓按照橫徑x（mm）分類標準是：為等級，為A等級，為B等級.某藍莓生產基地收獲藍莓后按照藍莓橫徑x（）（mm）進行分類包裝，包裝標準為，，，，，，，，質檢部從生產線上抽取500盒藍莓作為樣本進行檢測，并按橫徑繪制了頻率分布直方圖如下.（1）用樣本估計這批藍莓橫徑的中位數（精確到0.01mm）；（2）按等級用比例分配分層隨機抽樣的方式從樣本中抽取25盒藍莓做進一步檢測，從所抽取的25盒藍莓中任選2盒.設事件M：2盒藍莓的等級不相同，事件N：2盒中至少有1盒為B等級，判斷事件M與事件N是否相互獨立，并說明理由.【答案】（1）（2）事件M與事件N不相互獨立，理由見詳解【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖小矩形面積和為1，求出，由中位數平分所有小矩形面積，計算可得；（2）由分層隨機抽樣的方式可得25盒藍莓中B等級，A等級和等級的盒數為13盒，8盒，4盒，分別求出，和，由與是否相等即可判斷事件M與事件N是否相互獨立.【小問1詳解】由頻率分布直方圖得，解得.又，，設這批藍莓橫徑的中位數為，則，，解得，所以這批藍莓橫徑的中位數為.【小問2詳解】因為為等級，為A等級，為B等級，則由頻率分布直方圖得水果的B等級，A等級和等級的盒數之比為，所以25盒藍莓中B等級，A等級和等級的盒數為13盒，8盒，4盒，所以，，，因為，則，所以事件M與事件N不相互獨立.16.如圖，正方體的棱長為3，M為CD的中點，點N在線段上（不含端點）.（1）若平面，求證：N為的中點；（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求線段CN的長度.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據線面平行的性質定理即可證明；（2）建立空間直角坐標系坐標系，求出兩個平面的法向量，結合公式求解即可.【小問1詳解】連接，經過的平面平面，又平面，所以，因為M為CD的中點，所以為的中位線，所以N為的中點【小問2詳解】以為原點，，，分別為，，軸建立如圖空間直角坐標系坐標系，則，，，，，，，設，，則，設平面法向量為，則，則，取，得，所以，設平面的法向量為，則，則，取，得，所以，由題可得，解得，所以.17.已知數列的前n項和為，，.（1）證明：數列為等比數列；（2）設，求數列的前n項和.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題中和的關系仿寫后作差再變形，再由等比數列的基本量法可得；（2）由（1）得到等比數列的通項，再兩邊同除后運用累加法求出數列的通項，再采用列項相消法求和即可.【小問1詳解】由題意，，又，解得，，①，②②減①得，所以，即，所以數列為以為首項，以3為公比的等比數列.【小問2詳解】由（1）知，，所以，當時，，所以，即，經檢驗，當時，滿足上式，所以，因為，所以.18.已知函數，.（1）討論的單調性；（2）若，求曲線與曲線的公切線；（3）已知，若的兩個極值點為，，求的取值范圍.【答案】（1）當時，在單調遞增；當時，在單調遞增，在單調遞減（2）（3）【解析】【分析】（1）求出導函數，根據的取值情況，討論導函數的正負，即可得出答案；（2）根據兩個函數的解析式設出切點坐標，根據導數寫出切線斜率，然后寫出切線方程，列式求解即可；（3）根據條件求出，，然后構造函數求出函數值域即可.【小問1詳解】，當時，在時恒成立，此時在單調遞增；當時，令，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，綜上當時，在單調遞增；當時，在單調遞增，在單調遞減；【小問2詳解】，，，設公切線在上的切點坐標為，則切線的斜率為，，此時切線方程為，設公切線在上的切