數學試題2025.4一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集為R,A={1,2,3},B={xllog?x∈Z},則圖中陰影部分表示的集合是A.{1}B.{2}C.{1,2}2.若z2=-2i,則Izl=A.1B.√2C.23.已知隨機變量若E(X)=2,則P(X=2)=4.設(1-2x)3=ao+a,x+a?x2+a?x3+a?x?+asx?,則a?+a?+a?+a?+as=A.I//ACB.LLACC.L//BDD.lIBDA.C?PIIC?M三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知,則13.已知橢圓的焦點為F,F?,P為C上的一點，若△PF?F?的周長為18,則C的離心率為_14.6根長度相同的繩子平行放置在桌面上，分別將左、右兩邊的6個繩頭各自隨機均分成3四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算15.(13分)(2)D為邊BC上一點，若∠BAD=90°,且BD=4DC=4,求△ABC的面積.16.(15分)如圖，在長方體ABCD-A?B?C?D?中，AB=AD=2AA?,AC與BD交于點M,N為棱A?B?的中點.(1)證明：MN⊥平面MC?D?;(2)設NQ=λNC,其中0<λ<1,若二面角17.(15分)18.(17分)設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,過F的直線l?交C于A,B兩點(A在第一象限),(2)過F且與L垂直的直線l?交C于D,E兩點(D在第一象限),直線x=1與直線AD和BE分別交于P,Q兩點.(ii)是否存在以PQ為直徑的圓與y軸相切.若存在，求l,l?的方程；若不存在，請說明理由.19.(17分)將區間(0,1)中的全體有理數按一定順序排列得到數列{a},規則如下：,其中正整數p與q.互質，如p?=1,q?=2;(1)寫出{an}的前5項；廈門市2025屆高中畢業班第三次質量檢測題號12345678CBBADDAC1.答案：C解析：易知B={x|x=2*,k∈Z}.所以ANB={1,2},解析：,解得n=4,所以,故選B.解析：易知a?=1,令x=1可得，(-1)?=ao+a?+a?+a?+a?+a?=-1,所以a?+a?+a?+a?+a?=-2,故選A.,所以,故選D.解析：設N為BC的中點，則/即為MN所在直線所以1⊥BD?,故選D.取koa=2,,此時,解得,故選C.試卷第1頁，共12頁題號9因為,解得,故選項B正確； 考察C選項：方法1:取PQ中點S,則TP·TQ=(TS+SP).(TS+SQ)=TS2-SP2=(TC2-Cs2)-(Pc2-CS2)=16-1=15,C選項錯誤.即,解得|,TP·TQ=12PQ2=15.作PH垂直AD于H,連接PH,則PH⊥AD,PH=√5,△PAD的面積為,故選項A正確；三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.解析：若C的長半軸為3,則△PFF?的號與2號在同一組，3號與4號在同一組，5號與6號在同一組.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.(13分)(2)若D在邊BC上，且∠BAD=90°,BD解：(1)方法一：由正弦定理得，sinAcosC-sinCcosA=sinC+sinB……………2分由于0°<C<180°,故sinC>0,……………4分而0°<A<180°,因此A=120°…………5分而0°<A<180°,因此A=120°……………5分步驟一：使用正弦定理或余弦定理轉化條件(2分)故25=b2+c2+bc=7b2…………………11分方法二：過C作CE⊥AB,垂足為E.在Rt△ACE中，∠CAE=180°-∠BAC=60°,所以………7分后同方法一.方法三：由(1)及題設知，∠BAD=90°,∠CAD=30°.試卷第4頁，共12頁步驟四：求△ABC的面積(面積公式1分+結果1分)16.(15分)(2)設NQ=ANC?,其中0<A<1,若二面角解：(1)由NM·MC[=(0,1,1)·(1,1,-1)=0得，N 而MC?C平面MC?D?,MD?c平面MC?D?,MC?NM方法二：(1)取C?D?中點P,設|AA|I=a,連結PM,PN. 由(1),平面MC?D?的一個法向量為NM=(0,1,1)·9分步驟一：求Q的坐標(2分)步驟二：求兩個法向量(1分+4分)步驟一：作二面角的平面角(3分+1分)步驟二：求邊長及平面角的正切(2分+2分)步驟三：求λ(1分),解得或λ=-1(舍去),故λ的值為……15分步驟一：二面角轉化為線面角(2分)步驟二：用兩種方式求體積(1分，3分+2分)步驟三：利用等體積解λ(1分)17.(15分)步驟一：定義域和求導(1分+2分)步驟二：求單調性和極小值(2分+1分)(2)方法一：,x>-1.試卷第7頁，共12頁構造h(x)=x-(x+1)ln(x+1),xe[由于-l<x?<x?<0, 步驟一：確定α和x?的范圍(3分+1分)步驟二：隱零點代換得到關于x?的函數(2分)步驟三：證明該函數小于等于0(3分)18.(17分)(2)過F且與AB垂直的直線l?交C于D,E兩點(D在第一象限),直線x=1與直線AD和BE分別交于P,Q兩點.試卷第8頁，共12頁步驟一：求直線AB的方程(2分)步驟二：求A,B的坐標，進而求C的方程(1分+1分)直線AD的方程,(vayo)2-4(y2+y2)+16=-16y試卷第9頁，共12頁所以(yayo+4)2=4(ya-yo)2,yAyp+4=2(yA-yo)步驟一：求yp,yo(1分+1分)步驟三：利用垂直說明不存在(2分+1分)yA+yp=4k,yAyD=-4m.步驟二：說明yp≥√2,進而|PQ≥2√2,從而不存在(3分+1分)19.(17分),正整數p與q,互質，如p?=1,g=2;(1)寫出{a,}的前5項；(2)若,求n-m;(3)記{a}的前n項和為S,證明：評分細則：只看結果，第2項至第5項，每正確一項得一分.(2)因為,Pm+1=qm,所以9m>9m.由于2025=452=3?×52,故由P與2025互質可得P既不是3的倍數，也不是5的倍數.………………7分而在1到2024之間的正整數中，是3的倍數的整數有個，是5的倍數的步驟一：分析得到am和a,之間所有項分母均為2025(2分)步驟二：求2025的質因數，進而用容斥原理求n-m(1分，1分+2分)或其中q,=N,ky為