試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024學年第二學期質(zhì)量監(jiān)控高三數(shù)學試卷（滿分：150分，完卷時間：120分鐘）一?填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1．已知集合，則.2．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則.3．已知向量，若，則實數(shù).4．若為第二象限角，且，則.5．在展開式中的系數(shù)為80，則實數(shù)的值為.6．若直線是曲線在處的切線，則的斜率為.7．已知圓錐底面半徑為1，高為，則過圓錐母線的截面面積的最大值為.8．已知是等差數(shù)列，若分別是函數(shù)的兩個零點，則.9．投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為．10．已知函數(shù)的圖象是折線段，且，則函數(shù)的圖象與軸圍成的圖形面積為.11．如圖，現(xiàn)對某景區(qū)一長，寬的矩形空地進行建設(shè).規(guī)劃在邊上分別取點修建人行步道（不考慮寬度），且滿足點關(guān)于步道的對稱點在邊上.在內(nèi)種植花卉，在內(nèi)搭建娛樂設(shè)施，其余區(qū)域規(guī)劃為露營區(qū)，則人行步道的最短距離為.（結(jié)果精確到）12．設(shè)均是正整數(shù)，且，則的值為.二?選擇題（本題共有4題，滿分18分，13?14每題4分，15?16題每題5分）每題有且只有一個正確選項，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13．已知，則下列結(jié)論不恒成立的是（

）A． B．C． D．14．某人統(tǒng)計了甲、乙兩家零售商店在周一到周五的營業(yè)額（單位：百元）情況，得到了如下的莖葉圖（其中莖表示十位數(shù)，葉表示個位數(shù)），關(guān)于這5天的營業(yè)額情況，下列結(jié)論正確的是（

）A．甲、乙兩家商店營業(yè)額的極差相同B．甲、乙兩家商店營業(yè)額的中位數(shù)相同C．從營業(yè)額超過3000元的天數(shù)所占比例來看，甲商店較高D．甲商店營業(yè)額的方差小于乙商店營業(yè)額的方差15．已知定義在上的函數(shù)，滿足以下兩個條件：（1）對任意恒成立，且；（2）對任意都有，則下列關(guān)于函數(shù)的表述中正確的個數(shù)為（

）①；②；③函數(shù)有最小值.A．0 B．1 C．2 D．316．已知點在圓上，點在圓上，且為坐標原點.對于以下兩個命題，判斷正確的是（

）①在坐標平面內(nèi)存在點，使得恒成立；②三角形面積的最小值為.A．①是真命題，②是真命題 B．①是假命題，②是真命題C．①是真命題，②是假命題 D．①是假命題，②是假命題三?解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，.(1)求的值；(2)若，求函數(shù)的值域.18．如圖，在四棱錐中，平面，.(1)證明：平面平面；(2)若，求點到平面的距離.19．為了研究高三學生每天整理數(shù)學錯題的情況，某校數(shù)學建模興趣小組的同學在本校高三年級學生中采用隨機抽樣的方法抽取了40名學生，調(diào)查他們平時的數(shù)學成績和整理數(shù)學錯題的情況，現(xiàn)統(tǒng)計得部分數(shù)據(jù)如下：數(shù)學成績總評優(yōu)秀人數(shù)數(shù)學成績總評非優(yōu)秀人數(shù)合計每天都整理數(shù)學錯題人數(shù)14不是每天都整理數(shù)學錯題人數(shù)1520合計40(1)完成上述樣本數(shù)據(jù)的列聯(lián)表，并計算：每天都整理數(shù)學錯題且數(shù)學成績總評優(yōu)秀的經(jīng)驗概率；(2)是否有的把握認為“數(shù)學成績總評優(yōu)秀與每天都整理數(shù)學錯題有關(guān)”？附：；0.100.010.0012.7066.63510.828(3)從不是每天都整理數(shù)學錯題的學生中隨機抽取3名學生做進一步訪談，設(shè)恰好抽取到數(shù)學成績總評優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布和期望.20．已知橢圓，左右焦點分別為，上下頂點分別為，左右頂點分別為，是上異于橢圓頂點的兩點.(1)求的周長；(2)若點在第一象限且滿足的面積比的面積大，求點的橫坐標的取值范圍；(3)記點在直線上的投影為，且直線的斜率是直線的斜率的3倍，試判斷：過點為坐標原點三點的圓是否為定圓？若是，求出該圓的方程；若不是，請說明理由.21．若函數(shù)和同時滿足下列條件：①對任意，都有成立；②存在，使得，則稱函數(shù)為的“函數(shù)”，其中稱為“點”.(1)已知圖像為一條直線的函數(shù)是的“函數(shù)”，請求出所有的“點”；(2)設(shè)函數(shù)為的“函數(shù)”，其“點”組成集合；函數(shù)為的“函數(shù)”，其“點”組成集合.試證明：“函數(shù)為的‘函數(shù)’”的一個充分必要條件是“”；(3)記（為自然對數(shù)的底數(shù)），，若為的“函數(shù)”，且“點”，求實數(shù)的最大值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．【分析】根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】因為，所以.故答案為：.2．【分析】利用復(fù)數(shù)的除法計算即可.【詳解】依題意，.故答案為：3．【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標公式計算即可.【詳解】因為，，所以，解得.故答案為：.4．【分析】結(jié)合角所在象限，借助同角三角函數(shù)基本關(guān)系計算即可得.【詳解】由為第二象限角，則，故.故答案為：.5．2【分析】利用二項式定理求出展開式中的項，再由給定的系數(shù)求出值.【詳解】展開式中的項為，依題意，，所以.故答案為：26．##【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，則，所以的斜率為.故答案為：7．【分析】依題意求得圓錐的母線長，確定軸截面的頂角，從而求出截面面積的取值的最大值，由此得解．【詳解】依題意，設(shè)圓錐的母線長為，圓錐的底面半徑為，高為，，設(shè)圓錐的軸截面的兩母線夾角為，顯然，則過該圓錐的母線作截面，截面上的兩母線夾角設(shè)為，故截面的面積為，當且僅當時，等號成立，故截面的面積的最大值為．故答案為：.8．2【分析】轉(zhuǎn)化為是的兩個根，由韋達定理和等差數(shù)列性質(zhì)得到.【詳解】由題意得是的兩個根，由韋達定理得，因為是等差數(shù)列，所以.故答案為：29．【詳解】該同學通過測試的概率為，故答案為.10．【分析】根據(jù)題意，求出的表達式，進而得到的表達式，利用圖象分割求解面積.【詳解】由題可得，，，設(shè)函數(shù)的圖象與軸圍成的圖形面積為，如圖，由二次函數(shù)和可知，曲邊三角形的面積等于曲邊三角形的面積，所以.故答案為：.11．【分析】由題設(shè)有，設(shè)，根據(jù)圖形中邊角關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)可得，注意的范圍，進而應(yīng)用換元法并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】由題意，，設(shè)，則，在中，得，則，由于，解得，則，解得，令，，則.令，則，令，則，函數(shù)單調(diào)遞增；令，則，函數(shù)單調(diào)遞減；所以，所以，即人行步道的最短距離為.故答案為：.12．【分析】先將四個數(shù)都寫成的指數(shù)冪和的指數(shù)冪的積的形式，再根據(jù)，分和兩種情況討論，即可得解.【詳解】，，當時，不妨取，則，此時，而，所以滿足題目條件；當時，不妨取，則，此時，而從中任取個數(shù)相乘不能得出，所以不滿足條件，綜上所述，，所以.故答案為：.13．B【分析】利用不等式性質(zhì)判斷AD；舉例說明判斷B；利用絕對值的三角形不等式判斷C.【詳解】對于A，，A正確；對于B，取，，B錯誤；對于C，，當且僅當時取等號，C正確；對于D，，D正確.故選：B14．C【分析】對于A，由極差的定義，即最大值減最小值即可判斷；對于B，由中位數(shù)的定義判斷即可（從小到大排列數(shù)據(jù)）；對于C，直接由莖葉圖即可判斷；對于D，由方差公式運算即可判斷.【詳解】A選項：甲商店營業(yè)額的極差為10，乙商店營業(yè)額的極差為8，故A錯誤；B選項：甲商店營業(yè)額的中位數(shù)為32，乙商店營業(yè)額的中位數(shù)為30，故B錯誤；C選項：甲商店營業(yè)額超過3000元的天數(shù)為3，乙商店營業(yè)額超過3000元的天數(shù)為2，故從營業(yè)額超過3000元的天數(shù)所占比例來看，甲商店較高，故C正確；D選項：甲商店營業(yè)額的平均值為，乙商店營業(yè)額的平均值為，故甲商店營業(yè)額的方差，乙商店營業(yè)額的方差，則，故甲商店營業(yè)額的方差大于乙商店營業(yè)額的方差，故D錯誤.故選：C.15．C【分析】通過賦值法判斷①②，舉反例判斷③.【詳解】由任意，都有，令，可得，因為，解得，故①正確；令，，可得，整理得，又，得，故②正確；對于③舉反例，如，滿足條件（1），又，，則，滿足條件（2），而沒有最小值，故③錯誤.所以正確的有2個.故選：C.16．A【分析】對于①，注意到，則可想到當時滿足題意；對于②，設(shè)，則，后由可得，利用三角函數(shù)知識可得，據(jù)此可判斷命題正誤.【詳解】，則當時，，，，即當時，恒成立，則①是真命題；設(shè)，則，又，則.因，則，則，令，則，即，則，其中，，則，因，則，則，則，故②是真命題.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：對于命題①，關(guān)鍵為注意到；對于命題②，難點在于確定的范圍，為此首先將看作整體，隨后將從相關(guān)等式中分離出來，最后利用三角函數(shù)的值域確定范圍.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求解即可；（2）計算表達式，利用換元法把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間上的值域問題即可.【詳解】（1）因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以；（2），令，問題等價于求的值域，函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為直線，，函數(shù)的值域為．18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；（2）以點為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）因為平面，平面，所以，在中，，則，如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，所以，所以點到平面的距離為.19．(1)列聯(lián)表見解析，0.35；(2)有；(3)分布列見解析，期望為.【分析】（1）完善列聯(lián)表，求出經(jīng)驗概率.（2）求出的觀測值，與臨界值比對得解.（3）求出的可能值及對應(yīng)概率，列出分布列并求出期望.【詳解】（1）完善列聯(lián)表，如下：數(shù)學成績總評優(yōu)秀人數(shù)數(shù)學成績總評非優(yōu)秀人數(shù)合計每天都整理數(shù)學錯題人數(shù)14620不是每天都整理數(shù)學錯題人數(shù)51520合計192140每天都整理數(shù)學錯題且數(shù)學成績總評優(yōu)秀的經(jīng)驗概率為.（2）由（1）得，所以有的把握認為“數(shù)學成績總評優(yōu)秀與每天都整理數(shù)學錯題有關(guān)”.（3）不是每天都整理數(shù)學錯題的學生有20人，其中數(shù)學成績總評優(yōu)秀人數(shù)為5，的所有可能值為0，1，2，3，，，所以的分布列為：0123期望.20．(1)(2)(3)是定圓【分析】（1）求出，結(jié)合橢圓的定義即可得解；（2）設(shè)，由，可得，再根據(jù)點在橢圓上即可得解；（3）設(shè)直線的方程為，直線的方程為，分布于橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理求出兩點的坐標，進而可求出的方程，進而可得出答案.【詳解】（1）由橢圓，得，所以，所以的周長為；（2）設(shè)，由，得，所以，即，又因為，所以，解得，即點的橫坐標的取值范圍為；（3），設(shè)直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立，消得，則，所以，所以，故，聯(lián)立，消得，則，所以，所以，故，當，即時，，則直線的方程為，即，過定點，當，即時，此時，直線過定點，設(shè)，因為，所以過點為坐標原點三點的圓即為過點為坐標原點三點的圓，因為過原點，點，點，所以過點為坐標原點三點的圓是定圓.21．(1)；(2)證明過程見解析(3)【分析】（1）取，，滿足要求；（2）先得到任意，成立，①成立，再證明出充分性和必要性，得到結(jié)論；（3）求導(dǎo)得到的單調(diào)性和最值，分，和三種情況，得到實數(shù)的最大值.【詳解】（1）取，，此時，，故函數(shù)是的“函數(shù)”，“點”為；（2）為的“函數(shù)”，其“點”組成集合，故，設(shè)，函數(shù)為的“函數(shù)”，其“點”組成集合，故，設(shè)，顯然對任意，成立，①成立，充分性，若，不妨設(shè)，此