PAGEPAGE1專題35排列、組合一、考綱要求：1.理解排列與組合的概念.2.理解排列數公式、組合數公式.3.能利用公式解決一些簡潔的實際問題．二、概念駕馭及解題上的留意點：1.求解排列應用問題的六種常用方法干脆法把符合條件的排列數干脆列式計算優先法優先支配特別元素或特別位置捆綁法相隔問題把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時留意捆綁元素的內部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮依次限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價轉化的方法2.組合問題的常見類型與處理方法1）“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選取.2）“至少”或“至多”含有幾個元素的題型：若干脆法分類困難時，逆向思維，間接求解.3.排列組合綜合題思路，先選后排，先組合后排列.當有多個限制條件時，應以其中一個限制條件為標準分類，限制條件多時，多考慮用間接法，但需確定一個總數.4.安排問題的處理方法：1）不同元素的安排問題，往往是先分組再安排.在分組時，通常有三種類型：①不勻稱分組；②勻稱分組；③部分勻稱分組，留意各種分組類型中，不同分組方法的求法.2）對于相同元素的“安排”問題，常用的方法是采納“隔板法”.三、高考考題題例分析：例1.（2024全國卷I）從2位女生，4位男生中選3人參與科技競賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有種．（用數字填寫答案）【答案】16【解析】：方法一：干脆法，1女2男，有C21C42=12，2女1男，有C22C41=4依據分類計數原理可得，共有12+4=16種，方法二，間接法：C63﹣C43=20﹣4=16種，故答案為：16例2.（2024浙江卷）從1，3，5，7，9中任取2個數字，從0，2，4，6中任取2個數字，一共可以組成個沒有重復數字的四位數．（用數字作答）【答案】1260．例3.(2024天津高考)用數字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復數字，且至多有一個數字是偶數的四位數，這樣的四位數一共有________個．(用數字作答)【答案】1080【解析】：①當組成四位數的數字中有一個偶數時，四位數的個數為Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝960.②當組成四位數的數字中不含偶數時，四位數的個數為Aeq\o\al(4,5)＝120.故符合題意的四位數一共有960＋120＝1080(個)．例4.．(2024四川高考)用數字1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數，其中奇數的個數為()A．24 B．48C．60 D．72【答案】D【解析】：第一步，先排個位，有Ceq\o\al(1,3)種選擇；其次步，排前4位，有Aeq\o\al(4,4)種選擇．由分步乘法計數原理，知有Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(4,4)＝72(個)．13.若從1,2,3，…，9這9個整數中同時取4個不同的數，其和為偶數，則不同的取法共有()A．60種 B．63種C．65種 D．66種【答案】D【解析】：共有4個不同的偶數和5個不同的奇數，要使和為偶數，則4個數全為奇數，或全為偶數，或2個奇數和2個偶數，∴不同的取法共有Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,4)＝66種．14．某班組織文藝晚會，打算從A，B等8個節目中選出4個節目演出，要求A，B兩個節目至少有一個選中，且A，B同時選中時，它們的演出依次不能相鄰，那么不同演出依次的種數為()A．1860 B．1320C．1140 D．1020【答案】C【解析】：當A，B節目中只選一個時，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(4,4)＝960種演出依次；當A，B節目都被選中時，由插空法得共有Ceq\o\al(2,6)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝180種演出依次．所以一共有1140種演出依次．15．設集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中滿意條件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素個數為()A．60 B．90C．120 D．130【答案】D二、填空題1．A，B，C，D，E五人并排站成一排，假如B必需站在A的右邊(A，B可以不相鄰)，那么不同的排法共有________種．【答案】60【解析】：5人的全排列，B站在A的右邊與A站在B的右邊各占一半，∴滿意條件的不同排法共eq\f(1,2)Aeq\o\al(5,5)＝60種．2．如圖，用五種不同顏色給A、B、C、D涂色，每個區域涂一種顏色，相鄰區域涂色不同，共有________種涂法．ABCD【答案】260【解析】：共有5×4×1×4＋5×4×3×3＝260種．3．若Ceq\o\al(m－1,8)>3Ceq\o\al(m,8)，則m＝________.【答案】7或84.把5件不同產品擺成一排，若產品A與產品B相鄰，且產品A與產品C不相鄰，則不同的擺法有________種．【答案】36【解析】：記其余兩種產品為D，E，A，B相鄰視為一個元素，先與D，E排列，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)種方法．再將C插入，僅有3個空位可選，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,3)＝2×6×3＝36種不同的擺法．5．現有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加區分，將這9個球排成一列，有________種不同的方法．(用數字作答)．【答案】1260【解析】：第一步，從9個位置中選出2個位置，分給相同的紅球，有Ceq\o\al(2,9)種選法；其次步，從剩余的7個位置中選出3個位置，分給相同的黃球，有Ceq\o\al(3,7)種選法；第三步，剩下的4個位置全部分給4個白球，有1種選法．依據分步乘法計數原理可得，排列方法共有Ceq\o\al(2,9)Ceq\o\al(3,7)＝1260(種)．6．從6名同學中選派4人分別參與數學、物理、化學、生物四科學問競賽，若其中甲、乙兩名同學不能參與生物競賽，則選派方案共有________種．【答案】240【解析】：特別位置優先考慮，既然甲、乙都不能參與生物競賽，則從另外4個人中選擇一個參與，有Ceq\o\al(1,4)種方案，然后從剩下的5個人中選擇3個人參與剩下3科，有Aeq\o\al(3,5)種方案，故共有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,5)＝4×60＝240(種)方案．7．在高三某班進行的演講競賽中，共有5位選手參與，其中3位女生，2位男生，假如2位男生不能連續出場，且女生甲不能排第一個，那么出場的依次的排法種數為________．【答案】60【解析】：不相鄰問題插空法.2位男生不能連續出場的排法共有N1＝Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,4)＝72(種)，女生甲排第一個且2位男生不連續出場的排法共有N2＝Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,3)＝12(種)，所以出場依次的排法種數為N＝N1－N2＝60.8．把座位編號為1,2,3,4,5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至少一張，至多兩張，且分得的兩張票必需是連號，那么不同的分法種數為________(用數字作答)．【答案】96【解析】：先將票分為符合條件的4份，由題意，4人分5張票，且每人至少一張，至多兩張，則三人每人一張，一人2張，且分得的票必需是連號，相當于將1,2,3,4,5這五個數用3個板子隔開，分為四部分且不存在三連號．在4個空位插3個板子，共有Ceq\o\al(3,4)＝4(種)狀況，再對應到4個人，有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)狀況，則共有4×24＝96(種)狀況．9．某外商支配在4個候選城市中投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個，則該外商不同的投資方案有________種.【答案】6010．攝像師要對已坐定一排照像的