2025年統計學專業期末考試數據分析計算題庫實戰解析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、數據描述與展示要求：運用描述性統計方法，對給定數據進行描述，并繪制相應的圖表。1.某班級30名學生的數學成績如下（單位：分）：78，82，90，75，88，94，76，70，85，92，77，88，89，91，84，76，83，85，86，89，90，82，78，88，84，76，90，92，91，93，85，86。請計算以下指標：（1）計算平均數、中位數、眾數。（2）計算方差、標準差。（3）計算極差。（4）計算四分位數。（5）計算變異系數。2.某城市10個居民小區的綠化覆蓋率如下（單位：%）：30，35，40，45，50，55，60，65，70，75。請計算以下指標：（1）計算平均數、中位數、眾數。（2）計算方差、標準差。（3）計算極差。（4）計算四分位數。（5）計算變異系數。二、概率與分布要求：運用概率論和概率分布知識，解決實際問題。1.拋擲一枚公平的硬幣，求以下概率：（1）連續拋擲兩次，至少出現一次正面的概率。（2）連續拋擲三次，恰好出現兩次正面的概率。（3）連續拋擲四次，至少出現兩次正面的概率。2.某產品合格率為0.9，不合格率為0.1。現從該產品中隨機抽取10個，求以下概率：（1）恰有2個不合格品的概率。（2）至少有3個不合格品的概率。（3）至多有2個不合格品的概率。三、假設檢驗要求：運用假設檢驗方法，判斷總體參數是否滿足假設。1.某廠生產的某種零件的直徑（單位：mm）服從正態分布，已知方差為25。現從該廠生產的零件中隨機抽取10個，測得直徑的樣本均值為24.5，求以下假設檢驗問題：（1）假設總體均值μ=25，顯著性水平為0.05，進行假設檢驗。（2）假設總體均值μ=24，顯著性水平為0.05，進行假設檢驗。2.某品牌手機的使用壽命（單位：小時）服從正態分布，已知方差為100。現從該品牌手機中隨機抽取15部，測得使用壽命的樣本均值為300，求以下假設檢驗問題：（1）假設總體均值μ=320，顯著性水平為0.05，進行假設檢驗。（2）假設總體均值μ=280，顯著性水平為0.05，進行假設檢驗。四、回歸分析要求：運用回歸分析方法，分析兩個變量之間的關系，并進行預測。1.某城市過去五年每年的GDP（單位：億元）與固定資產投資額（單位：億元）數據如下：年份|固定資產投資額|GDP----|---------------|----2015|8000|300002016|8500|320002017|9000|350002018|9500|370002019|10000|39000請進行以下分析：（1）計算GDP與固定資產投資額的樣本協方差和樣本相關系數。（2）建立線性回歸模型，預測2020年的GDP。2.某企業過去三年每月的銷售額（單位：萬元）與廣告投入（單位：萬元）數據如下：月份|廣告投入|銷售額-----|----------|-------1|1000|80002|1500|95003|2000|110004|2500|120005|3000|130006|3500|14000請進行以下分析：（1）計算銷售額與廣告投入的樣本協方差和樣本相關系數。（2）建立線性回歸模型，預測第7個月的銷售額。五、方差分析要求：運用方差分析方法，比較多個樣本均值是否存在顯著差異。1.某實驗研究了一種新型肥料對三種農作物產量的影響。隨機選取三個實驗組，每個實驗組分別種植不同的農作物，每個實驗組種植5株。實驗數據如下：實驗組|農作物A產量（kg）|農作物B產量（kg）|農作物C產量（kg）-------|------------------|------------------|------------------實驗1|100|120|150實驗2|110|130|160實驗3|95|115|145實驗4|105|125|155實驗5|100|120|150請進行方差分析，判斷三種農作物的產量是否存在顯著差異。2.某研究人員調查了不同年齡段的居民對某保健品的滿意度。調查對象分為三個年齡段：青年（18-35歲）、中年（36-55歲）、老年（56歲以上）。調查結果如下：年齡段|滿意度（百分制）--------|----------------青年|70中年|80老年|85請進行方差分析，判斷不同年齡段的居民對保健品的滿意度是否存在顯著差異。六、時間序列分析要求：運用時間序列分析方法，分析時間序列數據的變化規律，并預測未來的趨勢。1.某城市過去五年每年的GDP增長率（單位：%）如下：年份|GDP增長率-----|-----------2015|72016|62017|52018|42019|3請進行以下分析：（1）繪制GDP增長率的時序圖。（2）判斷GDP增長率是否具有季節性，如有，請指出。（3）預測2020年的GDP增長率。2.某企業過去三年每月的銷售額（單位：萬元）如下：月份|銷售額-----|-------1|80002|85003|90004|95005|100006|105007|110008|115009|1200010|1250011|1300012|13500請進行以下分析：（1）繪制銷售額的時序圖。（2）判斷銷售額是否具有季節性，如有，請指出。（3）預測第13個月的銷售額。本次試卷答案如下：一、數據描述與展示1.某班級30名學生的數學成績如下（單位：分）：78，82，90，75，88，94，76，70，85，92，77，88，89，91，84，76，83，85，86，89，90，82，78，88，84，76，90，92，91，93，85，86。（1）計算平均數、中位數、眾數。平均數=(78+82+90+75+88+94+76+70+85+92+77+88+89+91+84+76+83+85+86+89+90+82+78+88+84+76+90+92+91+93+85+86)/30=86.6中位數=排序后第15和第16個數的平均值=(84+85)/2=84.5眾數=出現次數最多的數=88,90,91,85各出現2次，因此眾數為88,90,91,85。（2）計算方差、標準差。方差=[(78-86.6)^2+(82-86.6)^2+...+(86-86.6)^2]/30=27.56標準差=√方差=√27.56≈5.26（3）計算極差。極差=最大值-最小值=94-70=24（4）計算四分位數。第一四分位數Q1=排序后第8個數=82第二四分位數Q2（中位數）=排序后第15和第16個數的平均值=84.5第三四分位數Q3=排序后第23個數=89（5）計算變異系數。變異系數=(標準差/平均數)*100%=(5.26/86.6)*100%≈6.06%2.某城市10個居民小區的綠化覆蓋率如下（單位：%）：30，35，40，45，50，55，60，65，70，75。（1）計算平均數、中位數、眾數。平均數=(30+35+40+45+50+55+60+65+70+75)/10=55中位數=排序后第5和第6個數的平均值=(50+55)/2=52.5眾數=出現次數最多的數=55。（2）計算方差、標準差。方差=[(30-55)^2+(35-55)^2+...+(75-55)^2]/10=425標準差=√方差=√425≈20.62（3）計算極差。極差=最大值-最小值=75-30=45（4）計算四分位數。第一四分位數Q1=排序后第3個數=40第二四分位數Q2（中位數）=排序后第5和第6個數的平均值=52.5第三四分位數Q3=排序后第7個數=60（5）計算變異系數。變異系數=(標準差/平均數)*100%=(20.62/55)*100%≈37.45%二、概率與分布1.拋擲一枚公平的硬幣，求以下概率：（1）連續拋擲兩次，至少出現一次正面的概率。至少出現一次正面=1-兩次都是反面的概率=1-(1/2)*(1/2)=1-1/4=3/4=0.75（2）連續拋擲三次，恰好出現兩次正面的概率。恰好出現兩次正面=C(3,2)*(1/2)^2*(1/2)^1=3*1/4*1/2=3/8=0.375（3）連續拋擲四次，至少出現兩次正面的概率。至少出現兩次正面=1-(兩次都是反面的概率+三次都是反面的概率)=1-[(1/2)^4+(1/2)^3]=1-(1/16+1/8)=1-3/16=13/16=0.81252.某產品合格率為0.9，不合格率為0.1。現從該產品中隨機抽取10個，求以下概率：（1）恰有2個不合格品的概率。恰有2個不合格品=C(10,2)*(0.1)^2*(0.9)^8=45*0.01*0.43046721≈0.1935（2）至少有3個不合格品的概率。至少有3個不合格品=1-(沒有不合格品的概率+恰有1個不合格品的概率)=1-[(0.9)^10+C(10,1)*(0.1)*(0.9)^9]≈0.0275（3）至多有2個不合格品的概率。至多有2個不合格品=(沒有不合格品的概率+恰有1個不合格品的概率+恰有2個不合格品的概率)=(0.9)^10+C(10,1)*(0.1)*(0.9)^9+C(10,2)*(0.1)^2*(0.9)^8≈0.2215三、假設檢驗1.某廠生產的某種零件的直徑（單位：mm）服從正態分布，已知方差為25。現從該廠生產的零件中隨機抽取10個，測得直徑的樣本均值為24.5，求以下假設檢驗問題：（1）假設總體均值μ=25，顯著性水平為0.05，進行假設檢驗。t=(樣本均值-假設的總體均值)/(樣本標準差/√樣本量)=(24.5-25)/(√25/√10)≈-0.794自由度=樣本量-1=10-1=9查t分布表，顯著性水平為0.05，自由度為9時，臨界值為1.833。因為|t|<1.833，所以接受原假設，即總體均值μ=25。（2）假設總體均值μ=24，顯著性水平為0.05，進行假設檢驗。t=(樣本均值-假設的總體均值)/(樣本標準差/√樣本量)=(24.5-24)/(√25/√10)≈0.794自由度=樣本量-1=10-1=9查t分布表，顯著性水平為0.05，自由度為9時，臨界值為1.833。因為|t|<1.833，所以接受原假設，即總體均值μ=24。2.某品牌手機的使用壽命（單位：小時）服從正態分布，已知方差為100。現從該品牌手機中隨機抽取15部，測得使用壽命的樣本均值為300，求以下假設檢驗問題：（1）假設總體均值μ=320，顯著性水平為0.05，進行假設檢驗。t=(樣本均值-假設的總體均值)/(樣本標準差/√樣本量)=(300-320)/(√100/√15)≈-3.16自由度=樣本量-1=15-1=14查t分布表，顯著性水平為0.05，自由度為14時，臨界值為1.761。因為|t|>1.761，所以拒絕原假設，即總體均值μ≠320。（2）假設總體均值μ=280，顯著性水平為0.05，進行假設檢驗。t=(樣本均值-假設的總體均值)/(樣本標準差/√樣本量)=(300-280)/(√100/√15)≈2.16自由度=樣本量-1=15-1=14查t分布表，顯著性水平為0.05，自由度為14時，臨界值為1.761。因為|t|>1.761，所以拒絕原假設，即總體均值μ≠280。四、回歸分析1.某城市過去五年每年的GDP（單位：億元）與固定資產投資額（單位：億元）數據如下：年份|固定資產投資額|GDP----|---------------|----2015|8000|300002016|8500|320002017|9000|350002018|9500|370002019|10000|39000（1）計算GDP與固定資產投資額的樣本協方差和樣本相關系數。樣本協方差=[(8000-8500)*(30000-32000)+(8500-9000)*(32000-35000)+...+(10000-10000)*(39000-39000)]/(5-1)=625000樣本相關系數=樣本協方差/(樣本標準差GDP*樣本標準差固定資產投資額)≈0.998（2）建立線性回歸模型，預測2020年的GDP。根據樣本數據，可以建立線性回歸模型：GDP=a+b*固定資產投資額其中，a為截距，b為斜率。因此，預測2020年的GDP=5000+0.5*10000=10000億元。2.某企業過去三年每月的銷售額（單位：萬元）與廣告投入（單位：萬元）數據如下：月份|廣告投入|銷售額-----|----------|-------1|1000|80002|1500|95003|2000|110004|2500|120005|3000|130006|3500|14000（1）計算銷售額與廣告投入的樣本協方差和樣本相關系數。樣本協方差=[(1000-1500)*(8000-9500)+(1500-2000)*(9500-11000)+...+(3500-3000)*(14000-13000)]/(6-1)=250000樣本相關系數=樣本協方差/(樣本標準差銷售額*樣本標準差廣告投入)≈0.998（2）建立線性回歸模型，預測第7個月的銷售額。根據樣本數據，可以建立線性回歸模型：銷售額=a+b*廣告投入其中，a為截距，b為斜率。因此，預測第7個月的銷售額=5000+0.5*3500=13750萬元。五、方差分析1.某實驗研究了一種新型肥料對三種農作物產量的影響。隨機選取三個實驗組，每個實驗組分別種植不同的農作物，每個實驗組種植5株。實驗數據如下：實驗組|農作物A產量（kg）|農作物B產量（kg）|農作物C產量（kg）-------|------------------|------------------|------------------實驗1|100|120|150實驗2|110|130|160實驗3|95|115|145實驗4|105|125|155實驗5|100|120|150（1）進行方差分析，判斷三種農作物的產量是否存在顯著差異。首先，計算每個實驗組的平均產量：農作物A平均產量=(100+110+95+105+100)/5=100農作物B平均產量=(120+130+115+125+120)/5=122農作物C平均產量=(150+160+145+155+150)/5=150然后，計算總平方和（SST）：SST=Σ(觀測值-總平均數)^2=(100-122)^2+(110-122)^2+...+(150-150)^2=4400接著，計算組內平方和（SSW）：SSW=Σ(組內平均數-總平均數)^2*組內樣本量=(100-100)^2*5+(122-100)^2*5+...+(150-100)^2*5=4400最后，計算組間平方和（SSB）：SSB=SST-SSW=4400-4400=0由于SSB為0，說明三種農作物的產量沒有顯著差異。2.某研究人員調查了不同年齡段的居民對某保健品的滿意度。調查對象分為三個年齡段：青年（18-35歲）、中年（36-55歲）、老年（56歲以上）。調查結果如下：年齡段|滿意度（百分制）--------|----------------青年|70中年|80老年|85（1）進行方差分析，判斷不同年齡段的居民對保健品的滿意度是否存在顯著差異。首先，計算每個年齡段的平均滿意度：青年平均滿意度=(70+70+70+70+70)/5=70中年平均滿意度=(80+80+80+80+80)/5=80老年平均滿意度=(85+85+85+85+85)/5=85然后，計算總平方和（SST）：SST=Σ(觀測值-總平均數)^2=(70-80)^2+(80-80)^2+...+(85-80)^2=50接著，計算組內平方和（SSW）：SSW=Σ(組內平均數-總平均數)^2*組內樣本量=(70-70)^2*5+(80-80)^2*5+...+(85-80)^2*5=50最后，計算組間平方和（SSB）：SSB=SST-SSW=50-50=0由于SSB為0，說明不同年齡段的居民對保健品的滿意度沒有顯著差異。六、時間序列分析1.某城市過去五年每年的GDP