專題16奔馳定理與四心問題

【考點預測】

—.四心的概念介紹：

（1）重心：中線的交點，重心將中線長度分成2：1.

（2）內心：角平分線的交點（內切圓的圓心），角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等.

（3）外心：中垂線的交點（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點的距離相等.

（4）垂心：高線的交點，高線與對應邊垂直.

二.奔馳定理,解決面積比例問題

重心定理：三角形三條中線的交點.

已知AABC的頂點A（玉，必），B（X2,%）,C（x3,%），貝U△ABC的重心坐標為

'3'3''

注意：（1）在中，若。為重心，則函+礪+詼=6.

（2）三角形的重心分中線兩段線段長度比為2:1,且分的三個三角形面積相等.

重心的向量表示：AG=-AB+-AC.

33

4

奔馳定理：，4?加+既-0耳+51"=0，則403、△AOC、的面積之比等于4:4:4

奔馳定理證明：如圖，令4函=兩，4礪=西，^OC=OQ,即滿足西i+礪i+南=0

三.三角形四心與推論：

(1)O是AABC的重心：:SACO.:SA,0B=1:1:1<^OA+OB+OC=6.

(2)O是△ABC的內心：^ABOC-^ACOA-^/\AOB—c<=>OA+OB+OC=0.

(3)O是△ABC的外心：

SAB0C:SACOA:S^OB=sin2A:sin2B:sin2C=sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0.

(4)O是AABC的垂心：SARnr::S.AnR=tanA:tanB:tanC<^>tanAOA+tanBOB+tanCOC=0.

【方法技巧與總結】

(1)內心：三角形的內心在向量陷+陷所在的直線上.

網IACI

|AB|-PC+|BC|-PC+|S|-PB=OOP為人短。的內心.

(2)外心：|西卜|麗|=|園=「為"BC的外心.

(3)垂心：麗?麗=麗?元=元?詼oP為△ABC的垂心.

(4)重心：可+麗+元=6oP為AABC的重心.

【題型歸納目錄】

題型一：奔馳定理

題型二：重心定理

題型三：內心定理

題型四：外心定理

題型五：垂心定理

【典例例題】

題型一：奔馳定理

例1.(多選題)(2022?全國?高三專題練習)“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理

對應的圖形與“奔馳”轎車(Mercedesbewz)的/og。很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知。是

△MC內的一點，“B0C、△AOC、的面積分別為梟、SB、”,則邑-函+§B-OS+Sc?詼=。.若

。是銳角”1BC內的一點，ZBAC、ZABC、N4CB是AABC的三個內角，且點。滿足

OAOB^OBOC=OCOA，貝！1（）

A.。為AASC的垂心

B.ZAOB=7T-ZACB

c.|OA|:|OB|:|oc|=sinABAC:sinZABC:sinZACB

D.tanABAC-OA+tanZABC-OB+tanZACB-OC=0

例2.(多選題)(2022?全國?高三專題練習)點。在△A3C所在的平面內，則以下說法正確的有()

UUQuum)

uunuurABAC

A.若動點尸滿足。尸=。4+丸Uttti-------------bTWtti----------a>0）,則動點。的軌跡一定經過△ABC的垂心;

AB|sinB|AC|sinC

UUIUULUuumuu

uur“uun

BCBASn

B.若OA?(jWttp03?(JULEIm）=°,則點。為△ABC的內心;

AC\BC\BA

C.^(OA+OB)AB=(OB+OC)BC=Of則點。為△ABC的外心；

/uniuum、

uunuurAD.「

D.若動點。滿足OP=OA+4a------+TOB------(2>0),則動點P的軌跡一定經過△A3C的重心.

|AB|cosB|AC|cosC?

例3.（多選題）（2022?全國?高三專題練習）奔馳定理：已知。是△回（?內的一點，ABOC,AAOC,^AOB

的面積分別為力，SB,SC,則&-E+SB?麗+&?無=0.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，

因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的/ogo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若。、

P是銳角內的點，A、B、C是AASC的三個內角，且滿足西+麗+定=3再，

OAOB=OBOC=OCOA，貝I（）

AUQ-C—J.???

APAB,?APBC'u^XPCA一宣?乙??

B.NA+N5OC=TT

C.|OA|:|(?B|:|oc|=cosA:cosB:cosC

D.tanAOA+tanBOB+tanCOC=0

例4.（多選題）（2022?浙江?高三專題練習）如圖，已知點G為△回（7的重心，點。，E分別為AB,AC上

的點，且。，G,E二點共線，AZ）=THABfAE=nAC，機>0,n>0,記△AZ）EI,△ABC,四邊形

的面積分別為s.s2,S3,貝I（）

A

D

S35

例5.（河南省安陽市2021-2022學年高一年級下學期階段性測試（五）數學試卷）已知。是AABC內的一

點，若ABOC,M（9C,MOB的面積分別記為力邑,邑，則E?函+§2?/+S3?肉=6.這個定理對應的圖形與

“奔馳”轎車的log。很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知。是AABC的垂心，n.OA+2OB+3OC=6,

則tan4L4C:tanNABC:tan/ACB=（）

A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6

例6.（2021?四川德陽?高?一期末）已知產是AASC內部一點，且用+3萬+呢=

面積之比為（）

A.1：3：5B.5：3：1C.1：9：25D.25：9：1

例7.（2022?安徽?蕪湖一中三模（理））平面上有AABC及其內一點。，構成如圖所示圖形，若將AOAB,AC?C,

crULIUUULlUIUi

的面積分別記作s0,Sa,Sb,則有關系式SJOA+S/O3+SJOC=0.因圖形和奔馳車的bg。很相似，

常把上述結論稱為“奔馳定理”.己知AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若滿足

a-OA+bOB+cOC=6,則。為AABC^T()

A

C.重心D.垂心

例8.（2022?云南?一模（理））在AABC中，D是直線AB上的點.若2麗=麗+2瓦，記/XACB的面積為S-

S,

△ACD的面積為S2,貝1喘=（）

2

A.—B.-C.-D.-

6233

例9.（2022?全國?高三專題練習）在平面四邊形45co中，已知AASC的面積是△ACD的面積的2倍.若存

在正實數工，'使得衣=1-4）荏+而成立，則2x+y的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

例10.（2022.上海?高三專題練習）如圖，P為AABC內任意一點，角A,B,C的對邊分別為。，b,J

總有優美等式S“Bc麗+S?AC而+S-定成立，因該圖形酷似奔馳汽車車標，故又稱為奔馳定理.現

有以下命題：

①若p是的重心，則有可+而+定=0；

②若°國+方而+cP可=0成立，則P是AABC的內心；

—?2—?1—.

③若=+則△板=2:5；

④若尸是AABC的外心，A=；,而=相而+”元，則7〃+〃e[-也1）.

則正確的命題有.

例11.（2022?江西宜春?高三期末（理））己知名.=3,點M是△ABC內一點且兩+2礪=國，則AMBC

的面積為（）

uuuriuiniuun

例12.（2022?全國?高三專題練習）己知點M是AABC所在平面內一點，^AM=-AB+-AC,貝U人45河與

23

△BOW的面積之比為（）

A.—B.—C.2D.一

323

例13.（2022?全國?高三專題練習）已知點。為正AABC所在平面上一點，且滿足西+彳歷+（1+4）灰^=0,

若ACMC的面積與AOLB的面積比值為1:4,則2的值為（）

A.1B.-

23

C.2D.3

【方法技巧與總結】

奔馳定理：如圖，已知尸為AABC內一點，貝I有S“BC?麗+S△尸AC?而?前=初

由于這個定理對應的圖象和奔馳車的標志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.這個定理對于利用平面向

量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關的問題，有著決定性的基石作用.

題型二：重心定理

例14.（2022?浙江紹興?模擬預測）已知AABC是圓心為0,半徑為R的圓的內接三角形，M是圓。上一點，

G是AABC的重心.若兩貝1J田12+兩°+兩。=.

例15.（2022.江蘇南京.模擬預測）在AASC中，超近=0，網=3,困=4,0為AABC的重心，O在

邊BC上，且AT>_LBC,則而.

例16.（2022?全國?高三專題練習）在△ABC中，屈=￡,CA=B,且。?=。。+加pi-------+臼-----,meR,

|6z|sinB|&|sinA

則點P的軌跡一定通過△ABC的（）

A.重心B.內心

C.外心D.垂心

例17.（2022?全國?高三專題練習）已知A,B,C是平面上不共線的三點，。為坐標原點，動點P滿足麗=

OA+（1-^）辦+（1+2%>n],則點尸的軌跡一定經過（）

A.ZVIBC的內心B.△ABC的垂心

C.ZXABC的重心D.A8邊的中點

例18.（2022.河北?石家莊二中模擬預測）在AA6C中，G為重心，AC=2^3,BG=2,則荏.比=.

例19.（2022?四川達州?一模（文））在AABC中，G為重心，AC=2石，BG=2,則版.潴=.

例20.（2022?全國?高三專題練習（理））在AABC中，點G是"15c的重心，過點G作直線分別交線段48,

AB于點、N,M（M,N不與AASC的頂點重合），則沁的最小值為.

）△CMG

例21.（2022.全國?高三專題練習）在△ABC中，AB=1,ZABC=60°,尼?福=一1,若。是△ABC的重

心，K!lBO-AC=.

例22.（2022?全國?高三專題練習）如圖，。是AABC的重心，AB=a，AC=b，。是邊BC上一■點，且BD=3DC<

OD=44+〃B,則4+〃=.

例23.(2022?重慶?三模)已知。為AABC的重心，記麗=￡,OB=b，則就=()

A.—2a—5B.—a+2bC.a—2bD.2a+b

例24.（2022.安徽蚌埠?模擬預測（理））已知點尸是AABC的重心，則下列結論正確的是（

A.（sin2A）PA+（sin2B）PB+（sin2C）PC=0

B.（sin+（sinB）PB+（sinC）PC=0

C.（tanA）PA+（tanPB+（tanC）PC=0

D.PA+PB+PC=O

27r

例25.（2022.遼寧?二模）已知點尸為△ABC的重心，AB=3,AC=6,A=q-,點Q是線段8尸的中點，

則I而I為（）

5廠3

A.2B.—C.yj3D.一

22

例26.（2022.全國?高三專題練習）設。是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點尸滿足

OP=OA+^（AB+AC）,2e[0,+oo）,則P的軌跡一定通過々IBC的（）

A.外心B.內心C.重心D.垂心

例27.（2022?寧夏石嘴山?一模（理））已知G是△ABC重心，若網=2,甌卜而，則而.芯的值為（）

A.4B.1C.-2D.2

例28.（2022?黑龍江?哈九中高三開學考試（理））數學家歐拉于1765年在其著作《三角形中的幾何學》首

次指出：△ABC的外心。，重心G,垂心H,依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心

距離的一半，該直線被稱為歐拉線.若AB=4,AC=2,則下列各式不正確的是（）

A.AGBC-4=0.B.2GO=-GH

C.AOBC+6=0D.OH=OA+OB+OC

例29.（2022?湖北省鄂州高中高三期末）在AABC中，A.,G為AASC的重心，若而?覆=而.蔗=6,

則AABC外接圓的半徑為（）

A.GB.理C.2D.273

JT

例30.（2022?全國?高三專題練習（理））在△A3C中，A=—,。為△ABC的重心，若=,

則△ABC外接圓的半徑為（）

A.BB.氈C.73D.逑

333

例31.（2022?全國?高三專題練習）已知△ABC的三個內角分別為ABC。為平面內任意一點，動點P滿足

___、___、sr

OP=OA+A『——+『——"e（O,+⑹則動點P的軌跡一定經過AASC的（）

|AqsinB|AC|sinC

A.重心B.垂心C.內心D.外心

【方法技巧與總結】

三角形的重心一定在三角形的中線上，所以，在等式中顯示出的現象是兩個相加的向量，前面的系數

相同，還需注意兩個系數相同的向量相加的同時還會產生中點.

題型三：內心定理

例32.（2022.全國?高三專題練習）若。在AABC所在的平面內，且滿足以下條件

畫］篇一部,加玄［篇一戰則。是八板的（）

A.垂心B.重心C.內心D.外心

例33.（2022?全國?高三專題練習）已知點。是平面上一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點尸

滿足由=礪+%(4e(0,+<?)),則點P的軌跡一定通過△ABC的（)

A.夕卜心B.內心C.重心D.垂心

例34.（2022?全國?高三專題練習）己知及AABC中，AB=3,AC=4,BC=5,/是AASC的內心，P是“BC

內部（不含邊界）的動點.若/=；1疝+〃42（4，〃?尺），則彳+〃的取值范圍是.

例35.（2022.廣西柳州.高一期中）設。為AABC的內心，AB=AC=5,BC=8,AO=mAB+nBC（m,neR）,

則/+〃=_______________

例36.（2022?全國?高三專題練習）AABC中，a、b、c分別是8C、AC、AB的長度，若。.函+6?麗+c?宓=3，

則。是）

A.外心B.內心C.重心D,垂心

例37.（2022.全國?高三專題練習）在AASC中，AB=2AC,動點M滿足赤.（反'+m）=0,則直線AM—

定經過AASC的（）

A.垂心B.內心C.外心D.重心

例38.（2022?全國?高三專題練習）已知△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.ZXABC內一點M

滿足：a-MA+b-MB+c-MC^O^則M一定為△ABC的（）

A.外心B.重心C,垂心D.內心

例39.（2022.全國?高三專題練習）己知。是AABC所在平面上的一點，角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,

若所=四土2空土空（其中尸是AABC所在平面內任意一點），則。點是AABC的（）

a+b+c

A.外心B.內心C.重心D.垂心

【方法技巧與總結】

角平分線定理：若麗=￡,OB=b,則ZAOB平分線上的向量。礪為為由而決定.

l?l\b\

角平分線定理證明：令卷和分別為西和麗方向上的單位向量，蘭+是以含和；f；為一組

⑷⑸\a\\b\\a\\b\

鄰邊的平行四邊形過O點的的一條對角線，而此平行四邊形為菱形，故互+R在NAO3平分線上，但

lai⑸

/AOB平分線上的向量兩■終點的位置由的決定.當4=1時，四邊形。4MB構成以NAOB=120。的菱形.

題型四：外心定理

TT

例40.（2022?全國?高三專題練習）在AABC中，AB=4,AC=3,A=§,點。為AASC的外心，若

AO=AAB+juAC,X、則九=.

例41.（2022?全國?高三專題練習）已知。是平面上的一定點，AB,C是平面上不共線的三個點，動點尸滿

_________________________\

足赤=。8：*力§+一＞，Xe（0,+s）,則動點尸的軌跡一定通過AA?C的（）

2|^|AB|cosB|AC|COSC^

A.重心B.外心C.內心D.垂心

例42.（2022?全國?模擬預測）在AABC中，AB=2,AC=2^/3,3c=4,點。為AABC的外心，則祈.肥=

,P是三角形ABC外接圓圓心。上一動點，則麗?（而+正）的最小值為.

例43.（2022?全國?高三專題練習）設。為AABC的外心，若彩=通+2AC，則sinABAC的值為.

例44.（2022?全國?高三專題練習）在AABC中，點。為AABC的外心，|而|=6,則荏.同=,

例45.（2022?寧夏六盤山高級中學二模（理））已知AABC中，AB=AC=1,BC=&，點。是△ABC的外

心，貝1］仍不豆=.

例46.（2022?全國?高三專題練習）已知在△A8C中，AB=1,BC=R,AC=2,點。為△ABC的外心，若

AO=sAB+tAC＞則有序實數對（s1）為.

例47.（2022?浙江?寧波諾丁漢附中模擬預測）在AABC中，點。、點”分別為AABC的外心和垂心，

IAB|=5,|AC|=3,則由.而=.

例48.（2022?河南.襄城縣教育體育局教學研究室二模（文））已知A4BC的外心為。,若荏+Z?=2Q

且。4=AB,則B=.

例49.（2022?全國?高三專題練習）在平面直角坐標系WV中，04=（1,3）,詼=（3,1）,OC=xOA+yOB（其

中xcR,ywR）.

⑴若點C在直線AB上，且反，通，求的值.

⑵若點。為公。鉆的外心，求點C的坐標.

例50.（2022.全國?高三專題練習）設。為AABC的外心，a,。分別為角A,B,C的對邊，若6=3,

c=5,則方?瓦（）

A.8B.-8C.6D.-6

例51.（2022?全國?高三專題練習）已知AABC的外心為0,2AC=53C=10,貝九2反.通=（）

A.11B.10C.20D.21

JT

例52.（2022.全國?模擬預測（理））在AABC中，ZABC=-,。為AABC的外心，麗.詼=2,BCBO=4,

I,UUUL1U

則R4?5C=（）

A.2B.2A/2C.4D.472

例53.（2022.江蘇.華羅庚中學高三階段練習）在△回（?中，CA=2CB=4,/為△ABC的外心，則方.麗=

（）

A.-4B.4C.-6D.6

例54.（2022?江西上饒?二模（理））已知AABC的外心為點。，M為邊3C上的一點，且

BM=iMC,ZBAC=^,AOAM=l,貝UAABC的面積的最大值等于（）

A."B.6

r3底C3瓜

284

例55.（2022?全國?高三專題練習）在AABC中，角B,C的邊長分別為b,c,點。為AABC的外心，若〃+。?=26,

uumUUILI_

則2。A。的取值范圍是（）

C.一*力D.卜；，2）

A.——B.(0,2)

例56.（2022?全國?高三專題練習）已知平面向量次，而滿足磯痂=0,囪=2,D為線段04上一點,

E為△AOB的外心，則麗.麗的值為（）

44

A.—2B.—C.-D.2

33

例57.（2022?全國?高三專題練習）在AABC中，設衣?一而兩.冊，那么動點河的軌跡必通過

的（）

A.垂心B.內心C.外心D.重心

【方法技巧與總結】

外心定理：垂直平分線的交點，到三個頂點的距離相等.

（1）AO.AB=-\AB^,AO.AC=-|AC|2；BO.BC=-|BC|2；

222

.—.1—.c1—.c

(2)AO.AF=-\AB\1+-|AC|2,BO?BE=-\AB^+-|BC|2,CO.CD=-|BC|2+-|AC|2；

444444

(3)AO.BC=-|AC|2--|AB|2,W.AC=-|BC|2--|BA|2,CO.AB=-|BC|2--|AC|2.

222222

題型五：垂心定理

例58.（2022?全國?高三專題練習）已知。為AABC的垂心，且函+2礪+3歷=6，則角A的值為（）

A3兀

A.——B.-

44

2兀c兀

C.—D.-

33

例59.（2022.全國?高三專題練習）設。是平面上一定點，A,B,C是平面上不共線的三點，動點尸滿足

ABAC

OP=OA+A(）,4目0,收），則