專題07列解方程（組）解決實際（含函數(shù)及不等式）問題

1.某公司需將一批材料運往工廠，計劃租用甲、乙兩種型號的貨車，在每輛貨車都滿載的情況下，若租

用30輛甲型貨車和50輛乙型貨車可裝載1500箱材料;若租用20輛甲型貨車和60輛乙型貨車可裝載1400

箱材料.

（1）甲、乙兩種型號的貨車每輛分別可裝載多少箱材料？

（2）經初步估算，公司要運往工廠的這批材料不超過1245箱.計劃租用甲、乙兩種型號的貨車共70輛,

且乙型貨車的數(shù)量不超過甲型貨車數(shù)量的3倍，該公司一次性將這批材料運往工廠共有哪幾種租車方案？

2.某公司用火車和汽車運輸兩批物資，具體運輸情況如下表所示：

所用火車車皮數(shù)量（節(jié)）所用汽車數(shù)量（輛）運輸物資總量（噸）

第一批25130

第二批43218

試問每節(jié)火車車皮和每輛汽車平均各裝物資多少噸？

3.“六?一”兒童節(jié)前，某玩具商店根據(jù)市場調查，用2500元購進一批兒童玩具，上市后很快脫銷，接

著又用4500元購進第二批這種玩具，所購數(shù)量是第一批數(shù)量的1.5倍，但每套進價多了10元.

（1）求第一批玩具每套的進價是多少元？

（2）如果這兩批玩具每套售價相同，且全部售完后總利潤不低于25%,那么每套售價至少是多少元？

4.某校足球隊需購買4、3兩種品牌的足球.已知A品牌足球的單價比3品牌足球的單價高20元，且用

900元購買A品牌足球的數(shù)量用720元購買B品牌足球的數(shù)量相等.

（1）求4、3兩種品牌足球的單價；

（2）若足球隊計劃購買人、3兩種品牌的足球共90個，且4品牌足球的數(shù)量不小于3品牌足球數(shù)量的2

倍，購買兩種品牌足球的總費用不超過8500元.設購買A品牌足球加個，總費用為W元，則該隊共有幾

種購買方案？采用哪一種購買方案可使總費用最低？最低費用是多少元？

5.為推廣黃岡各縣市名優(yōu)農產品，市政府組織創(chuàng)辦了“黃岡地標館”.一顧客在“黃岡地標館”發(fā)現(xiàn)，

如果購買6盒羊角春牌綠茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元.如果購買1盒羊角春牌綠茶和3盒九孔牌藕

粉共需300元.請問每盒羊角春牌綠茶和每盒九孔牌藕粉分別需要多少元？

6.“節(jié)能環(huán)保，綠色出行”意識的增強，越來越多的人喜歡騎自行車出行，也給自行車商家?guī)砩虣C.某

自行車行經營的A型自行車去年銷售總額為8萬元.今年該型自行車每輛售價預計比去年降低200元.若

該型車的銷售數(shù)量與去年相同，那么今年的銷售總額將比去年減少10%,求：

（1）A型自行車去年每輛售價多少元；

（2）該車行今年計劃新進一批A型車和新款B型車共60輛，且B型車的進貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩

倍.已知，A型車和B型車的進貨價格分別為1500元和1800元，計劃B型車銷售價格為2400元，應如何

組織進貨才能使這批自行車銷售獲利最多.

7.黔東南州某超市購進甲、乙兩種商品，已知購進3件甲商品和2件乙商品，需60元；購進2件甲商品

和3件乙商品，需65元.

（1）甲、乙兩種商品的進貨單價分別是多少？

（2）設甲商品的銷售單價為x（單位：元/件），在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：當11WXW19時，甲商品的日銷售

量y（單位：件）與銷售單價x之間存在一次函數(shù)關系，x、y之間的部分數(shù)值對應關系如表：

銷售單價X（元/件）1119

日銷售量y（件）182

請寫出當11WXW19時，y與x之間的函數(shù)關系式.

（3）在（2）的條件下，設甲商品的日銷售利潤為w元，當甲商品的銷售單價x（元/件）定為多少時，日

銷售利潤最大？最大利潤是多少？

8.為倡導健康環(huán)保，自帶水杯已成為一種好習慣，某超市銷售甲，乙兩種型號水杯，進價和售價均保持不

變，其中甲種型號水杯進價為25元/個，乙種型號水杯進價為45元/個，下表是前兩月兩種型號水杯的銷

售情況：

銷售數(shù)量（個）

時間銷售收入（元）（銷售收入一售價義銷售數(shù)量）

甲種型號乙種型號

第一月2281100

第二月38242460

（1）求甲、乙兩種型號水杯的售價；

（2）第三月超市計劃再購進甲、乙兩種型號水杯共80個，這批水杯進貨的預算成本不超過2600元，且

甲種型號水杯最多購進55個，在80個水杯全部售完的情況下設購進甲種號水杯a個，利潤為w元，寫出

w與a的函數(shù)關系式，并求出第三月的最大利潤.

9.昌云中學計劃為地理興趣小組購買大、小兩種地球儀，若購買1個大地球儀和3個小地球儀需要136元;

若購買2個大地球儀和1個小地球儀需要132元.

(1)求每個大地球儀和每個小地球儀各多少元；

(2)昌云中學決定購買以上兩種地球儀共30個，總費用不超過960元，那么昌云中學最多可以購買多少

個大地球儀.

10.習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣”.某校為

提高學生的閱讀品味，現(xiàn)決定購買獲得第十屆矛盾文學獎的《北上》(徐則臣著)和《牽風記》(徐懷中

著)兩種書共50本.已知購買2本《北上》和1本《牽風記》需100元；購買6本《北上》與購買7本

《牽風記》的價格相同.

(1)求這兩種書的單價；

(2)若購買《北上》的數(shù)量不少于所購買《牽風記》數(shù)量的一半，且購買兩種書的總價不超過1600元.請

問有哪幾種購買方案？哪種購買方案的費用最低？最低費用為多少元？

11.某市垃圾處理廠利用焚燒垃圾產生的熱能發(fā)電.有A,B兩個焚燒爐，每個焚燒爐每天焚燒垃圾均為

100噸，每焚燒一噸垃圾，A焚燒爐比B焚燒爐多發(fā)電50度，A,B焚燒爐每天共發(fā)電55000度.

(1)求焚燒一噸垃圾，A焚燒爐和B焚燒爐各發(fā)電多少度？

(2)若經過改進工藝，與改進工藝之前相比每焚燒一噸垃圾，A焚燒爐和B焚燒爐的發(fā)電量分別增加a%

和2a%,則A,B焚燒爐每天共發(fā)電至少增加(5+a)%,求a的最小值.

12.為更好地發(fā)展低碳經濟，建設美麗中國.某公司對其生產設備進行了升級改造，不僅提高了產能，而

且大幅降低了碳排放量.已知該公司去年第三季度產值是2300萬元，今年第一季度產值是3200萬元，假

設公司每個季度產值的平均增長率相同.

科學計算器按鍵順序計算結果(已取近似值)解答過程中可直接

使用表格中的數(shù)據(jù)

喲！

nann^M

(1)求該公司每個季度產值的平均增長率；

(2)問該公司今年總產值能否超過1.6億元？并說明理由.

13.為了進一步豐富校園文體活動，學校準備購進一批籃球和足球，已知每個籃球的進價比每個足球的進

價多25元，用2000元購進籃球的數(shù)量是用750元購進足球數(shù)量的2倍，求：每個籃球和足球的進價各多

少元？

14.小江與小杰兩名同學為學校圖書館清點一批圖書，小江清點完600本圖書比小杰清點完540本圖書少

用了5min.己知小江平均每分鐘清點圖書的數(shù)量是小杰的1.25倍，求兩名同學平均每分鐘清點圖書各多

少本.

15.黔東南州某銷售公司準備購進A、B兩種商品，已知購進3件A商品和2件B商品，需要1100元；購

進5件A商品和3件B商品，需要1750元.

(1)求A、B兩種商品的進貨單價分別是多少元？

(2)若該公司購進A商品200件，B商品300件，準備把這些商品全部運往甲、乙兩地銷售.已知每件A

商品運往甲、乙兩地的運費分別為20元和25元;每件B商品運往甲、乙兩地的運費分別為15元和24元.若

運往甲地的商品共240件，運往乙地的商品共260件.

①設運往甲地的A商品為x(件)，投資總運費為y(元)，請寫出y與x的函數(shù)關系式；

②怎樣調運A、B兩種商品可使投資總費用最少？最少費用是多少元？(投資總費用=購進商品的費用+運

費)

16.某快遞公司為了提高工作效率，計劃購買A、B兩種型號的機器人來搬運貨物，已知每臺A型機器人

比每臺B型機器人每天多搬運20噸，并且3臺A型機器人和2臺B型機器人每天共搬運貨物460噸.

(1)求每臺A型機器人和每臺B型機器人每天分別搬運貨物多少噸？

(2)每臺A型機器人售價3萬元，每臺B型機器人售價2萬元，該公司計劃采購A、B兩種型號的機器人

共20臺，必須滿足每天搬運的貨物不低于1800噸，請根據(jù)以上要求，求出A、B兩種機器人分別采購多

少臺時，所需費用最低？最低費用是多少？

17.君輝中學計劃為書法小組購買某種品牌的A、B兩種型號的毛筆.若購買3支A種型號的毛筆和1支B

種型號的毛筆需用22元；若購買2支A種型號的毛筆和3支B種型號的毛筆需用24元.

(1)求每支A種型號的毛筆和每支B種型號的毛筆各多少元；

（2）君輝中學決定購買以上兩種型號的毛筆共80支，總費用不超過420元，那么該中學最多可以購買多

少支A種型號的毛筆？

18.“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”.為擴大糧食生產規(guī)模，某糧食生產基地計劃投入一

筆資金購進甲、乙兩種農機具.已知購進2件甲種農機具和1件乙種農機具共需3.5萬元，購進1件甲種

農機具和3件乙種農機具共需3萬元.

（1）求購進1件甲種農機具和1件乙種農機具各需多少萬元？

（2）若該糧食生產基地計劃購進甲、乙兩農機具共10件，且投入資金不少于9.8萬元又不超過12萬元,

設購進甲種農機具m件，則有哪幾種購買方案？哪種購買方案需要的資金最少，最少資金是多少？

（3）在（2）的方案下，由于國家對農業(yè)生產扶持力度加大，每件甲種農機具降價0.7萬元，每件乙種農

機具降價0.2萬元，該糧食生產基地計劃將節(jié)省的資金全部用于再次購買甲、乙兩種農機具（可以只購買

一種）請直接寫出再次購買農機具的方案有哪幾種？

19.為了實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，幫助農民增加收入，市政府大力扶持農戶發(fā)展種植業(yè)，每畝土地每年發(fā)放種

植補貼120元.張遠村老張計劃明年承租部分土地種植某種經濟作物.考慮各種因素，預計明年每畝土地

種植該作物的成本y（元）與種植面積x（畝）之間滿足一次函數(shù)關系，且當x=160時，y=840；當x=

190時,y=960.

（1）求y與x之間的函數(shù)關系式（不求自變量的取值范圍）；

（2）受區(qū)域位置的限制，老張承租土地的面積不得超過240畝.若老張明年銷售該作物每畝的銷售額能

達到2160元，當種植面積為多少時，老張明年種植該作物的總利潤最大？最大利潤是多少？

（每畝種植利潤=每畝銷售額-每畝種植成本+每畝種植補貼）

20.為了改善湘西北地區(qū)的交通，我省正在修建長（沙）-益（陽）-常（德）高鐵，其中長益段將于2021

年底建成.開通后的長益高鐵比現(xiàn)在運行的長益城際鐵路全長縮短了40千米，運行時間為16分鐘；現(xiàn)乘

坐某次長益城際列車全程需要60分鐘，平均速度是開通后的高鐵的基.

30

（1）求長益段高鐵與長益城際鐵路全長各為多少千米？

（2）甲、乙兩個工程隊同時對長益段高鐵全線某個配套項目進行施工，每天對其施工的長度比為7：9,

計劃40天完成；施工5天后，工程指揮部要求甲工程隊提高工效，以確保整個工程提早3天以上（含3

天）完成，那么甲工程隊后期每天至少施工多少千米？

21.“雜交水稻之父”--袁隆平先生所率領的科研團隊在增產攻堅第一階段實現(xiàn)水稻畝產量700公斤的

目標，第三階段實現(xiàn)水稻畝產量1008公斤的目標.

(1)如果第二階段、第三階段畝產量的增長率相同，求畝產量的平均增長率；

(2)按照(1)中畝產量增長率，科研團隊期望第四階段水稻畝產量達到1200公斤，請通過計算說明他

們的目標能否實現(xiàn).

22.列方程(組)解應用題

端午節(jié)期間，某水果超市調查某種水果的銷售情況，下面是調查員的對話：

小王：該水果的進價是每千克22元；

小李：當銷售價為每千克38元時，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的銷售量將增加120

千克.

根據(jù)他們的對話，解決下面所給問題：超市每天要獲得銷售利潤3640元，又要盡可能讓顧客得到實惠，

求這種水果的銷售價為每千克多少元？

專題07列解方程（組）解決實際（含函數(shù)及不等式）問題（解析版）

1.某公司需將一批材料運往工廠，計劃租用甲、乙兩種型號的貨車，在每輛貨車都滿載的情

況下，若租用30輛甲型貨車和50輛乙型貨車可裝載1500箱材料；若租用20輛甲型貨車和60輛乙型貨

車可裝載1400箱材料.

（1）甲、乙兩種型號的貨車每輛分別可裝載多少箱材料？

（2）經初步估算，公司要運往工廠的這批材料不超過1245箱.計劃租用甲、乙兩種型號的貨車共70輛,

且乙型貨車的數(shù)量不超過甲型貨車數(shù)量的3倍，該公司一次性將這批材料運往工廠共有哪幾種租車方案？

【答案】見解析。

【解析】（D設甲型貨車每輛可裝載x箱材料，乙型貨車每輛可裝載y箱材料，根據(jù)“若租用30輛甲型

貨車和50輛乙型貨車可裝載1500箱材料；若租用20輛甲型貨車和60輛乙型貨車可裝載1400箱材料”，

即可得出關于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結論；

（2）設租用m輛甲型貨車，則租用（70-m）輛乙型貨車，根據(jù)“租用的乙型貨車的數(shù)量不超過甲型貨車

數(shù)量的3倍，且要運往工廠的這批材料不超過1245箱”，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即

可得出m的取值范圍，結合m為整數(shù)，即可得出各租車方案.

解：（1）設甲型貨車每輛可裝載x箱材料，乙型貨車每輛可裝載y箱材料，

依題意得：（30x+50y=1500,

|20x+60y=1400

解得：卜=25.

ly=15

答：甲型貨車每輛可裝載25箱材料，乙型貨車每輛可裝載15箱材料.

（2）設租用m輛甲型貨車，則租用（70-m）輛乙型貨車，

依題意得：［25m+15（70-m）4124E,

I70-m43m

解得：

22

又為整數(shù)，

...m可以取18,19,

該公司共有2種租車方案，

方案1：租用18輛甲型貨車，52輛乙型貨車；

方案2：租用19輛甲型貨車，51輛乙型貨車.

2.某公司用火車和汽車運輸兩批物資，具體運輸情況如下表所示：

所用火車車皮數(shù)量（節(jié)）所用汽車數(shù)量（輛）運輸物資總量（噸）

第一批25130

第二批43218

試問每節(jié)火車車皮和每輛汽車平均各裝物資多少噸？

【答案】每節(jié)火車車皮裝物資50噸，每輛汽車裝物資6噸；

【解析】設每節(jié)火車車皮裝物資x噸，每輛汽車裝物資y噸，

根據(jù)題意，得儼+5月30,

|4x+3y=218

..Jx=50,

1尸6

每節(jié)火車車皮裝物資50噸，每輛汽車裝物資6噸；

【點評】考查二元一次方程組的應用；能夠根據(jù)題意列出準確的方程組，并用加減消元法解方程組是關鍵.

3.“六?一”兒童節(jié)前，某玩具商店根據(jù)市場調查，用2500元購進一批兒童玩具，上市后很快脫銷，接

著又用4500元購進第二批這種玩具，所購數(shù)量是第一批數(shù)量的L5倍，但每套進價多了10元.

(1)求第一批玩具每套的進價是多少元？

(2)如果這兩批玩具每套售價相同，且全部售完后總利潤不低于25%,那么每套售價至少是多少元？

【答案】見解析

【解析】(1)設第一批玩具每套的進價是x元，則第一批進的件數(shù)是：2500；第二批進的

X

件數(shù)是：4500；再根據(jù)等量關系：第二批進的件數(shù)=第一批進的件數(shù)XI.5可得方程；

x+10

(2)設每套售價是y元，利潤=售價-進價，根據(jù)這兩批玩具每套售價相同，且全部售完后總利潤不低

于25%,可列不等式求解.

解：(1)設第一批玩具每套的進價是x元，

2500乂15=4500

xx+10'

x=50,

經檢驗x=50是分式方程的解，符合題意.

答：第一批玩具每套的進價是50元；

(2)設每套售價是y元，

250°xi.5=75(套).

50

50y+75y-2500-4500>(2500+4500)X25%,

y》70,

答：如果這兩批玩具每套售價相同，且全部售完后總利潤不低于25%,那么每套售價至少是70元.

4.某校足球隊需購買4、3兩種品牌的足球.已知4品牌足球的單價比3品牌足球的單價高20元，且用

900元購買A品牌足球的數(shù)量用720元購買B品牌足球的數(shù)量相等.

（1）求A、3兩種品牌足球的單價；

（2）若足球隊計劃購買4、3兩種品牌的足球共90個，且A品牌足球的數(shù)量不小于3品牌足球數(shù)量的2

倍，購買兩種品牌足球的總費用不超過8500元.設購買A品牌足球機個，總費用為W元，則該隊共有幾

種購買方案？采用哪一種購買方案可使總費用最低？最低費用是多少元？

【答案】（1）購買A品牌足球的單價為100元，則購買B品牌足球的單價為80元；

（2）該隊共有6種購買方案，購買60個A品牌30個B品牌的總費用最低，最低費用是8400元.

【解析】（1）設購買A品牌足球的單價為x元，則購買B品牌足球的單價為（x-20）元，根據(jù)題意，得

900_720

xx-20

解得：跖100

經檢驗x=100是原方程的解

x-20=80

答：購買A品牌足球的單價為100元，則購買B品牌足球的單價為80元.

（2）設購買m個A品牌足球，則購買（90m）個B品牌足球，則

W=100m+80（90-m）=20m+7200

品牌足球數(shù)量不小于3品牌足球數(shù)量的2倍，購買兩種品牌足球的總費用不超過8500元.

"20m+7200<8500

,?m>2（90-m）

解不等式組得：60WmW65

所以,m的值為：60,61,62,63,64,65

即該隊共有6種購買方案，

當m=60時,W最小

m=60時，W=20X60+7200=8400（元）

答：該隊共有6種購買方案，購買60個A品牌30個B品牌的總費用最低，最低費用是8400元.

【點睛】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，

正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式組.

5.為推廣黃岡各縣市名優(yōu)農產品，市政府組織創(chuàng)辦了“黃岡地標館”.一顧客在“黃岡地標館”發(fā)現(xiàn)，

如果購買6盒羊角春牌綠茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元.如果購買1盒羊角春牌綠茶和3盒九孔牌藕

粉共需300元.請問每盒羊角春牌綠茶和每盒九孔牌藕粉分別需要多少元？

【答案】每盒羊角春牌綠茶120元，每盒九孔牌藕粉60元

【解析】根據(jù)題意列出二元一次方程組解出即可.

設每盒羊角春牌綠茶x元，每盒九孔牌藕粉y元，依題意可列方程組：

6x+4y=960

x+3y=300

答：每盒羊角春牌綠茶120元，每盒九孔牌藕粉60元.

【點睛】本題考查二元一次方程組的應用，關鍵在于理解題意找出等量關系.

6.“節(jié)能環(huán)保，綠色出行”意識的增強，越來越多的人喜歡騎自行車出行，也給自行車商家?guī)砩虣C.某

自行車行經營的A型自行車去年銷售總額為8萬元.今年該型自行車每輛售價預計比去年降低200元.若

該型車的銷售數(shù)量與去年相同，那么今年的銷售總額將比去年減少10%,求：

(1)A型自行車去年每輛售價多少元；

(2)該車行今年計劃新進一批A型車和新款B型車共60輛，且B型車的進貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩

倍.已知，A型車和B型車的進貨價格分別為1500元和1800元，計劃B型車銷售價格為2400元，應如何

組織進貨才能使這批自行車銷售獲利最多.

【答案】(1)2000元；(2)A型車20輛，B型車40輛.

【解析】(1)設去年A型車每輛售價x元，則今年售價每輛為(x-200)元，由賣出的數(shù)量相同列出方

程求解即可；

(2)設今年新進A型車a輛，貝UB型車(60-a)輛，獲利y元，由條件表示出y與a之間的關系式，由

a的取值范圍就可以求出y的最大值.

【詳解】解：(1)設去年A型車每輛售價x元，則今年售價每輛為(x-200)元，由題意，得

80000_80000(1-10%)

xx-200

解得：x=2000.

經檢驗，x=2000是原方程的根.

答：去年A型車每輛售價為2000元；

(2)設今年新進A型車a輛，則B型車(60-a)輛，獲利y元，由題意，得

y=a+(60-a),

y=-300a+36000.

?；B型車進貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩倍，

.*.60-aW2a,

；.aN20.

Vy=-300a+36000.

；.k=-300<0,

???y隨a的增大而減小.

/.a=20時，y最大=30000元.

；.B型車的數(shù)量為：60-20=40輛.

當新進A型車20輛，B型車40輛時，這批車獲利最大.

【點撥】本題考查分式方程的應用；一元一次不等式的應用.

7.黔東南州某超市購進甲、乙兩種商品，已知購進3件甲商品和2件乙商品，需60元；購進2件甲商品

和3件乙商品，需65元.

(1)甲、乙兩種商品的進貨單價分別是多少？

(2)設甲商品的銷售單價為x(單位：元/件)，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：當11WXW19時，甲商品的日銷售

量y(單位：件)與銷售單價x之間存在一次函數(shù)關系，x、y之間的部分數(shù)值對應關系如表：

銷售單價X(元/件)1119

日銷售量y(件)182

請寫出當11WXW19時，y與x之間的函數(shù)關系式.

(3)在(2)的條件下，設甲商品的日銷售利潤為w元，當甲商品的銷售單價x(元/件)定為多少時，日

銷售利潤最大？最大利潤是多少？

【答案】(1)甲、乙兩種商品的進貨單價分別是10、15元/件；(2)y=-2x+40(HWxW19).(3)

當甲商品的銷售單價定為15元/件時，日銷售利潤最大，最大利潤是50元.

【解析】(1)設甲、乙兩種商品的進貨單價分別是a、b元/件，然后列出二元一次方程組并求解即可；

(2)設y與x之間的函數(shù)關系式為y=kix+b”用待定系數(shù)法求解即可；

(3)先列出利潤和銷售量的函數(shù)關系式，然后運用二次函數(shù)的性質求最值即可.

【詳解】解:(1)設甲、乙兩種商品的進貨單價分別是a、b元/件，由題意得：

3a+2i>=60

2。+3b=65'

tz=10

解得：\

b=15

...甲、乙兩種商品的進貨單價分別是10、15元/件.

(2)設y與x之間的函數(shù)關系式為y=kix+g,將(11,18),(19,2)代入得：

fllk.+b.=18%=一2

19k]+b[=2出=40

???y與X之間的函數(shù)關系式為y=-2x+40(UWxW19).

（3）由題意得：

w=（-2x+40）（x-10）

=-2X2+60X-400

=-2（x-15）2+50（HWxW19）.

.?.當x=15時，w取得最大值50.

當甲商品的銷售單價定為15元/件時，日銷售利潤最大，最大利潤是50元.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用、運用待定系數(shù)法則求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質求最值

等知識點，弄懂題意、列出方程組或函數(shù)解析式是解答本題的關鍵.

9.為倡導健康環(huán)保，自帶水杯已成為一種好習慣，某超市銷售甲，乙兩種型號水杯，進價和售價均保持不

變，其中甲種型號水杯進價為25元/個，乙種型號水杯進價為45元/個，下表是前兩月兩種型號水杯的銷

售情況：

銷售數(shù)量（個）

時間銷售收入（元）（銷售收入一售價義銷售數(shù)量）

甲種型號乙種型號

第一月2281100

第二月38242460

（1）求甲、乙兩種型號水杯的售價；

（2）第三月超市計劃再購進甲、乙兩種型號水杯共80個，這批水杯進貨的預算成本不超過2600元，且

甲種型號水杯最多購進55個，在80個水杯全部售完的情況下設購進甲種號水杯a個，利潤為w元，寫出

w與a的函數(shù)關系式，并求出第三月的最大利潤.

【答案】（1）甲、乙兩種型號水杯的銷售單價分別為30元、55元；（2）w=-5a+800,第三月的最大利

潤為550元.

【解析】（1）設甲種型號的水杯的售價為每個工元，乙種型號的水杯每個y元，根據(jù)題意列出方程組求

解即可，

（2）根據(jù)題意寫出利潤W關于。的一次函數(shù)關系式，列不等式組求解。的范圍，從而利用一次函數(shù)的性

質求利潤的最大值.

【詳解】（1）設甲種型號的水杯的售價為每個X元，乙種型號的水杯每個y元，則

22x+8y=U00①

,38%+24v=2460②

①x3—②得：28x=84O,

/.x-30,

把％=30代入①得：y—55,

x=30

?<

"b=55，

答：甲、乙兩種型號水杯銷售單價分別為30元、55元；

（2）由題意得：甲種水杯進了。個，則乙種水杯進了（80-a）個,

所以：W=（30—25）a+（55—45）（80—a）=—5a+8OO,

f25a+45（80-tz）<2600@

又［aK55②

由①得：a>50,

所以不等式組的解集為：50<?<55,

其中a為正整數(shù),所以a=50,51,52,53,54,55.

.?.W隨。的增大而減小，

當a=50時，第三月利潤達到最大，最大利潤為：W=—5x50+800=550元.

【點睛】本題考查的是二元一次方程組的應用，一次函數(shù)的應用，不等式組的應用，掌握以上知識是解題

的關鍵.

9.昌云中學計劃為地理興趣小組購買大、小兩種地球儀，若購買1個大地球儀和3個小地球儀需要136元;

若購買2個大地球儀和1個小地球儀需要132元.

（1）求每個大地球儀和每個小地球儀各多少元；

（2）昌云中學決定購買以上兩種地球儀共30個，總費用不超過960元，那么昌云中學最多可以購買多少

個大地球儀.

【答案】（1）每個大地球儀52元，每個小地球儀28元；（2）昌云中學最多可以購買5個大地球儀.

【解析】（1）設每個大地球儀x元，每個小地球儀y元，根據(jù)題意列出方程組求解即可；

（2）設昌云中學可以購買m個大地球儀，則購買小地球儀（30-m）個，根據(jù)題意列出不等式求解即可.

【詳解】解：（1）設每個大地球儀x元，每個小地球儀y元，

x+3y=136

由題意可得<

2x+y=132

答：每個大地球儀52元，每個小地球儀28元；

(2)設昌云中學可以購買m個大地球儀，則購買小地球儀(30-m)個，

根據(jù)題意得52m+28(30-m)W960

解得mW5

...昌云中學最多可以購買5個大地球儀.

【點睛】考查二元一次方程組的實際應用和一元一次不等式的實際應用，根據(jù)題意列出式子是解題關鍵.

10.習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣”.某校為

提高學生的閱讀品味，現(xiàn)決定購買獲得第十屆矛盾文學獎的《北上》(徐則臣著)和《牽風記》(徐懷中

著)兩種書共50本.已知購買2本《北上》和1本《牽風記》需100元；購買6本《北上》與購買7本

《牽風記》的價格相同.

(1)求這兩種書的單價；

(2)若購買《北上》的數(shù)量不少于所購買《牽風記》數(shù)量的一半，且購買兩種書的總價不超過1600元.請

問有哪幾種購買方案？哪種購買方案的費用最低？最低費用為多少元？

【答案】(1)兩種書的單價分別為35元和30元；(2)共有4種購買方案分別為：購買《北上》和《牽

風記》的數(shù)量分別為17本和33本，購買《北上》和《牽風記》的數(shù)量分別為18本和32本，購買《北上》

和《牽風記》的數(shù)量分別為19本和31本，購買《北上》和《牽風記》的數(shù)量分別為20本和30本；其中

購買《北上》和《牽風記》的數(shù)量分別為17本和33本費用最低，最低費用為1585元.

【解析】(1)設購買《北上》和《牽風記》的單價分別為x、y

2x+y=100x=35

由題意得:解得

6x=lyy=3O

答：兩種書的單價分別為35元和30元；

(2)設購買《北上》的數(shù)量n本，則購買《牽風記》的數(shù)量為50-n

根據(jù)題意得解得:16—<n<20

35?+30（50-n）<16003

則n可以取17、18、19、20,

當n=17時，50-n=33,共花費17X35+33X30=1585元;

當n=18時,50-n=32,共花費17X35+33X30=1590元;

當n=19時，50-n=31,共花費17X35+33X30=1595元；

當n=20時，50-n=30,共花費17X35+33X30=1600元；

所以，共有4種購買方案分別為：購買《北上》和《牽風記》的數(shù)量分別為17本和33本，購買《北上》

和《牽風記》的數(shù)量分別為18本和32本，購買《北上》和《牽風記》的數(shù)量分別為19本和31本，購買

《北上》和《牽風記》的數(shù)量分別為20本和30本；其中購買《北上》和《牽風記》的數(shù)量分別為17本

和33本費用最低，最低費用為1585元.

【點睛】本題考查了二元一次方程組和不等式組的應用，弄清題意、確定等量關系和不等關系是解答本題

的關鍵.

11.某市垃圾處理廠利用焚燒垃圾產生的熱能發(fā)電.有A,B兩個焚燒爐，每個焚燒爐每天焚燒垃圾均為

100噸，每焚燒一噸垃圾，A焚燒爐比B焚燒爐多發(fā)電50度，A,B焚燒爐每天共發(fā)電55000度.

(1)求焚燒一噸垃圾，A焚燒爐和B焚燒爐各發(fā)電多少度？

(2)若經過改進工藝，與改進工藝之前相比每焚燒一噸垃圾，A焚燒爐和B焚燒爐的發(fā)電量分別增加a%

和2a%,則A,B焚燒爐每天共發(fā)電至少增加(5+a)%,求a的最小值.

【答案】見解析。

【解析】(1)設焚燒1噸垃圾，A焚燒爐發(fā)電m度，B焚燒爐發(fā)電n度，根據(jù)“每焚燒一噸垃圾，A焚燒

爐比B焚燒爐多發(fā)電50度，A,B焚燒爐每天共發(fā)電55000度”列方程組解答即可；

(2)根據(jù)題意可得改進工藝后每焚燒一噸垃圾A焚燒爐發(fā)電300(1+a%)度，則B焚燒爐發(fā)電250(l+2a%)

度，根據(jù)A,B焚燒爐每天共發(fā)電至少增加(5+a)%一元一次不等式即可求解.

解：(1)設焚燒1噸垃圾，A焚燒爐發(fā)電m度，B焚燒爐發(fā)電n度，

根據(jù)題意得：,

I100(m+n)=55000

解得h=300,

ln=250

答：焚燒1噸垃圾，A焚燒爐發(fā)電300度，B發(fā)焚燒爐發(fā)電250度；

(2)改進工藝后每焚燒一噸垃圾A焚燒爐發(fā)電300(1+a%)度，則B焚燒爐發(fā)電250(l+2a%)度，依題

意有

100X300(1+a%)+100X250(l+2a%)>55000[1+(5+a)%],

整理得5a255,

解得a2ll,

Aa的最小值為11.

12.為更好地發(fā)展低碳經濟，建設美麗中國.某公司對其生產設備進行了升級改造，不僅提高了產能，而

且大幅降低了碳排放量.已知該公司去年第三季度產值是2300萬元，今年第一季度產值是3200萬元，假

設公司每個季度產值的平均增長率相同.

科學計算器按鍵順序計算結果（已取近似值）解答過程中可直接

[zon@oan1.18使用表格中的數(shù)據(jù)

喲!

1.39

nanoEDM1.64

（1）求該公司每個季度產值的平均增長率；

（2）問該公司今年總產值能否超過1.6億元？并說明理由.

【答案】見解析。

【解析】（1）設該公司每個季度產值的平均增長率為x,利用今年第一季度產值=去年第三季度產值X（1+

增長率）2,即可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結論；（2）將今年四個季

度的產值相加，即可求出該公司今年總產值，再將其與1.6億元比較后即可得出結論.

解：（1）設該公司每個季度產值的平均增長率為X,

依題意得：2300（1+x）2=3200,

解得：xi=0.18=18%,x2=-2.18（不合題意，舍去）.

則該公司每個季度產值的平均增長率為18%；

（2）該公司今年總產值能超過1.6億元，理由如下：

3200+3200X（1+18%）+3200X（1+18%）2+3200X（1+18%）3

=3200+3200X1.18+3200X1.39+3200X1.64

=3200+3776+4448+5248

=16672（萬元），

1.6億元=16000萬元,

V16672>16000,

二該公司今年總產值能超過1.6億元.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用、近似數(shù)和有效數(shù)字以及計算器-基礎知識，解題的關鍵是：（1）

找準等量關系，正確列出一元二次方程；（2）將今年四個季度的產值相加，求出該公司今年總產值.

13.為了進一步豐富校園文體活動，學校準備購進一批籃球和足球，已知每個籃球的進價比每個足球的進

價多25元，用2000元購進籃球的數(shù)量是用750元購進足球數(shù)量的2倍，求：每個籃球和足球的進價各多

少元？

【答案】每個足球的進價是75元，每個籃球的進價是100元

【解析】設每個足球的進價是X元，則每個籃球的進價是(x+25)元，利用數(shù)量=總價+單價，結合用

2000元購進籃球的數(shù)量是用750元購進足球數(shù)量的2倍，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可

得出足球的單價，再將其代入(x+25)中即可求出籃球的單價.

【詳解】解：設每個足球的進價是x元,

則每個籃球的進價是(x+25)元,

2000750

依題意得:=2X——

x+25x

解得：x=75,

經檢驗，x=75是原方程的解，且符合題意,

；.x+25=75+25=100.

答：每個足球的進價是75元，每個籃球的進價是100元.

【點睛】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵.

14.小江與小杰兩名同學為學校圖書館清點一批圖書，小江清點完600本圖書比小杰清點完540本圖書少

用了5min.已知小江平均每分鐘清點圖書的數(shù)量是小杰的1.25倍，求兩名同學平均每分鐘清點圖書各多

少本.

【答案】小杰平均每分鐘清點圖書12本，小江平均每分鐘清點圖書15本

【解析】設小杰平均每分鐘清點圖書x本，則小江平均每分鐘清點圖書L25x本，利用時間=清點圖書的

總數(shù)+平均每分鐘清點圖書的數(shù)量，結合小江清點完600本圖書比小杰清點完540本圖書少用了5min,即

可得出關于x的分式方程，解之經檢驗即可得出小杰平均每分鐘清點圖書數(shù)量，再將其代入1.25x中可求

出小江平均每分鐘清點圖書數(shù)量.

解：設小杰平均每分鐘清點圖書x本，則小江平均每分鐘清點圖書L25x本，

口540600

依題顯得：----------=5,

x1.25%

解得：x=12,

經檢驗，x=12是原方程的解，且符合題意，

.,.I,25x=l.25X12=15.

答：小杰平均每分鐘清點圖書12本，小江平均每分鐘清點圖書15本.

【點睛】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵.

15.黔東南州某銷售公司準備購進A、B兩種商品，已知購進3件A商品和2件B商品，需要H00元；購

進5件A商品和3件B商品，需要1750元.

(1)求A、B兩種商品的進貨單價分別是多少元？

(2)若該公司購進A商品200件，B商品300件，準備把這些商品全部運往甲、乙兩地銷售.已知每件A

商品運往甲、乙兩地的運費分別為20元和25元;每件B商品運往甲、乙兩地的運費分別為15元和24元.若

運往甲地的商品共240件，運往乙地的商品共260件.

①設運往甲地的A商品為x(件)，投資總運費為y(元)，請寫出y與x的函數(shù)關系式；

②怎樣調運A、B兩種商品可使投資總費用最少？最少費用是多少元？(投資總費用=購進商品的費用+運

費)

【答案】(1)A商品的進貨單價為200元，B商品的進貨單價為250元；(2)①y與x的函數(shù)關系式為y

=4x+125040；②調運240件B商品到甲地，調運200件A商品、60件B商品到乙地總費用最小，最小費

用為125040元.

【分析】(1)設A商品的進貨單價為x元，B商品的進貨單價為y元，根據(jù)購進3件A商品和2件B商品，

需要1100元；購進5件A商品和3件B商品，需要1750元列出方程組求解即可；

(2)①設運往甲地的A商品為x件，則設運往乙地的A商品為(200-x)件，運往甲地的B商品為(240

-x)件，運往乙地的B商品為(60+x)件，根據(jù)投資總費用=購進商品的費用+運費列出函數(shù)關系式即可;

②由自變量的取值范圍是：0/xW200,根據(jù)函數(shù)的性質判斷最佳運輸方案并求出最低費用.

【解答】(1)設A商品的進貨單價為x元，B商品的進貨單價為y元，

根據(jù)題意，得伊+2y="oo,

5x+3y=1750

解得：卜=200,

]y=250

答：A商品的進貨單價為200元，B商品的進貨單價為250元；

(2)①設運往甲地的A商品為x件，則設運往乙地的A商品為(200-x)件，

運往甲地的B商品為(240-x)件，運往乙地的B商品為(60+x)件，

My=200X200+250X300+20x4-25(200-x)+15(240-x)+24(60+x)=4x+125040,

，y與x的函數(shù)關系式為y=4x+125040；

②在y=4x+125040中，

自變量的取值范圍是：0WxW200,

Vk=4>0,

；.y隨x增大而增大.

當x=0時，y取得最小值，y最小=125040(元),

,最佳調運方案為：調運240件B商品到甲地，調運200件A商品、60件B商品到乙地，最小費用為125040

元.

答：調運240件B商品到甲地，調運200件A商品、60件B商品到乙地總費用最小，最小費用為125040

元.

16.某快遞公司為了提高工作效率，計劃購買A、B兩種型號的機器人來搬運貨物，已知每臺A型機器人

比每臺B型機器人每天多搬運20噸，并且3臺A型機器人和2臺B型機器人每天共搬運貨物460噸.

(1)求每臺A型機器人和每臺B型機器人每天分別搬運貨物多少噸？

(2)每臺A型機器人售價3萬元，每臺B型機器人售價2萬元，該公司計劃采購A、B兩種型號的機器人

共20臺，必須滿足每天搬運的貨物不低于1800噸，請根據(jù)以上要求，求出A、B兩種機器人分別采購多

少臺時，所需費用最低？最低費用是多少？

【答案】見解析

【解析】(1)題目中的等量關系是：①每臺A型機器人比每臺B型機器人每天多搬運20噸，②3臺A型

機器人和2臺B型機器人每天共搬運貨物460噸.

(2)題目中的不等關系是：每天搬運的不低于1800噸，等量關系是：總費用=A型機器費用+B型機器

費用，極值問題來利用函數(shù)的遞增情況解決.

【解答】(1)解：設每臺A型機器人每天分別搬運貨物x噸，每臺B型機器人每天分別搬運貨物y噸.

(x-y=20

(3x+2y=460

解得卜=100

ly=80

(2)設：A種機器人采購m臺，B種機器人采購(20-m)臺，總費用為w.

100m+80(20-m)>1800.

解得:m210.

w=3m+2(20-m)