專題08解直角三角形的實際應用問題

1.如圖是某區域的平面示意圖，碼頭A在觀測站B的正東方向，碼頭A的北偏西60。方向上有一小島C,

小島C在觀測站B的北偏西15°方向上，碼頭A到小島C的距離AC為10海里.

（2）求觀測站B到AC的距離BP（結果保留根號）.

2.第24屆冬季奧林匹克運動會于今年2月4日至20日在北京舉行，我國冬奧選手取得了9塊金牌、4塊

銀牌、2塊銅牌，為祖國贏得了榮譽，激起了國人對冰雪運動的熱情.某地模仿北京首鋼大跳臺建了一個

滑雪大跳臺（如圖），它由助滑坡道、弧形跳臺、著陸坡、終點區四部分組成.圖是其示意圖，己知：助

滑坡道4歹=50米，弧形跳臺的跨度產G=7米，頂端E到班）的距離為40米，HG//BC,ZAFH=40°,

ZEFG=25°,N￡CB=36°.求此大跳臺最高點A距地面的距離是多少米（結果保留整數）.（參

考數據：sin400~0.64,cos400~0.77,tan400~0.84,sin25°?0.42,cos25°?0.91,

tan25°q0.47,sin36°?0.59,cos36°?0.81,tan36°?0.73）

3.如圖，小華遙控無人機從點A處飛行到對面大廈MN的頂端M,無人機飛行方向與水平方向的夾角為37

。，小華在點A測得大廈底部N的俯角為31。，兩樓之間一棵樹EF的頂點E恰好在視線AN上，已知樹的

FN1一

高度為6米，且——=—,樓AB,MN,樹EF均垂直于地面，問：無人機飛行的距離AM約是多少米？（結

FB2

果保留整數.參考數據：cos31°心0.86,tan31°^0.60,cos37°^0.80,tan37°"0.75)

4.如圖，是某小區的甲、乙兩棟住宅樓，小麗站在甲棟樓房A6的樓頂，測量對面的乙棟樓房CD的高

度，已知甲棟樓房與乙棟樓房CD的水平距離AC=18百米，小麗在甲棟樓房頂部B點，測得乙棟

樓房頂部D點的仰角是30。，底部C點的俯角是45。，求乙棟樓房CD的高度（結果保留根號）.

□

□

□

□□

□□

□□

□□

□□

□□

5.如圖所示，為了測量百貨大樓CD頂部廣告牌瓦＞的高度，在距離百貨大樓30nl的A處用儀器測得

ZZ14C=30°；向百貨大樓的方向走10m,到達B處時，測得N￡BC=48°,儀器高度忽略不計，求廣告

牌瓦＞的高度.（結果保留小數點后一位）

（參考數據：^3?1,732,sin48°?0.743,cos48°?0.669-tan48°?1.Ill）

B

6.某校為檢測師生體溫，在校門安裝了某型號測溫門.如圖為該測溫門截面示意圖，已知測溫門AD的頂

部A處距地面高為2.2m,為了解自己的有效測溫區間.身高1.6m的小聰做了如下實驗：當他在地面N處

時測溫門開始顯示額頭溫度，此時在額頭B處測得A的仰角為18°；在地面M處時，測溫門停止顯示額頭

溫度，此時在額頭C處測得A的仰角為60°.求小聰在地面的有效測溫區間MN的長度.（額頭到地面的

距離以身高計，計算精確到0.1m,sinl8°-0.31,cosl8°^0.95,tanl8°-0.32）

7.小華同學將筆記本電腦水平放置在桌子上，當是示屏的邊緣線08與底板的邊緣線。4所在水平線的夾

角為120°時，感覺最舒適（如圖①）.側面示意圖為圖②；使用時為了散熱，他在底板下面墊入散熱架,

如圖③，點3、。、C在同一直線上，04=（9B=24cm,BC±AC,NQ4c=30°.

（1）求OC的長;

（2）如圖④，墊入散熱架后，要使顯示屏的邊緣線03'與水平線的夾角仍保持120。，求點8'到AC的

距離.（結果保留根號）

8.一數學興趣小組去測量一棵周圍有圍欄保護的古樹的高，在G處放置一個小平面鏡，當一位同學站在F

點時，恰好在小平面鏡內看到這棵古樹的頂端A的像，此時測得FG=3m,這位同學向古樹方向前進了9m

后到達點D,在D處安置一高度為1m的測角儀CD,此時測得樹頂A的仰角為30°,已知這位同學的眼睛

與地面的距離EF=1.5m,點B,D,G,F在同一水平直線上，且AB,CD,EF均垂直于BF,求這棵古樹AB

的高.（小平面鏡的大小和厚度忽略不計，結果保留根號）

30：

BD/"F

9.為了學生的安全，某校決定把一段如圖所示的步梯路段進行改造.已知四邊形A6CD為矩形，

DE=10m，其坡度為i,=1：石，將步梯DE改造為斜坡AF，其坡度為J=1：4,求斜坡AF的長度.（結

果精確到0.01m,參考數據：百?1.732，V17?4.122）

10.如圖1是平涼市地標建筑“大明寶塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平涼韓王府延恩寺

的主體建筑.寶塔建造工藝精湛，與蟀胴山的凌空塔遙相呼應，被譽為平涼古塔“雙璧”.某數學興趣小

組開展了測量“大明寶塔的高度”的實踐活動，具體過程如下：

方案設計：如圖2,寶塔CD垂直于地面，在地面上選取A,B兩處分別測得NCAD和/CBD的度數（A,D,

B在同一條直線上）.

數據收集：通過實地測量：地面上A,B兩點的距離為58m,ZCAD=42°,ZCBD=58°.

問題解決：求寶塔CD的高度（結果保留一位小數）.

參考數據：sin42°心0.67,cos42°心0.74,tan42°-0.90,sin58°-0.85,cos58°^0.53,tan58°

^1.60.

根據上述方案及數據，請你完成求解過程.

圖1圖2

11.如圖，建筑物BC上有一旗桿AB,從與BC相距20m的D處觀測旗桿頂部A的仰角為57°,觀測旗桿

底部B的仰角為50°,求旗桿AB的高度（結果取整數）.

（參考數據：sin50°仁0.766,cos50°七0.643,tan50°^1.192；sin57°^0.839,cos57°^0.545,

tan57°^1.540）

12.如圖，山坡上有一棵豎直的樹AB,坡面上點D處放置高度為1.6m的測傾器CD,測傾器的頂部C與樹

底部B恰好在同一水平線上（即BC//MN）,此時測得樹頂部A的仰角為50°.已知山坡的坡度i=l：3

（即坡面上點B處的鉛直高度BN與水平寬度MN的比），求樹AB的高度（結果精確到0.1m.參考數據：

sin50°^0.77,cos50°^0.64,tan50°^1.19）

13.如圖，在一座山的前方有一棟住宅，已知山高AB=120m,樓高CD=99m,某天上午9時太陽光線從山

頂點A處照射到住宅的點E外.在點A處測得點E的俯角NEAM=45°,上午10時太陽光線從山頂點A處

照射到住宅點F處，在點A處測得點F的俯角/FAM=60°,已知每層樓的高度為3m,EF=40m,問：以當

天測量數據為依據，不考慮季節天氣變化，至少要買該住宅的第幾層樓，才能使上午10時太陽光線照射

到該層樓的外墻？（夷-1.73）

14.在全民健身運動中，騎行運動頗受市民青睞.一市民騎自行車由A地出發，途經B地去往C地，如圖.當

他由A地出發時，發現他的北偏東45。方向有一信號發射塔P.他由A地沿正東方向騎行4圾km到達B

地，此時發現信號塔P在他的北偏東15°方向，然后他由B地沿北偏東75°

方向騎行12km到達C地.

（1）求A地與信號發射塔P之間的距離；

（2）求C地與信號發射塔P之間的距離.（計算結果保留根號）

15.鄉村振興使人民有更舒適的居住條件，更優美的生活環境，如圖是怡佳新村中的兩棟居民樓，小明在

甲居民樓的樓頂D處觀測乙居民樓樓底B處的俯角是30°,觀測乙居民樓樓頂C處的仰角為15°,已知

甲居民樓的高為10m,求乙居民樓的高.（參考數據：72^1-414,?仁1.732,結果精確到0.1m）

B

16.政府將要在某學校大樓前修一座大橋.如圖，宋老師測得大樓的高是20米，大樓的底部D處與將要

修的大橋BC位于同一水平線上，宋老師又上到樓頂A處測得B和C的俯角/EAB,NEAC分別為67°和22

°,宋老師說現在我能算出將要修的大橋BC的長了.同學們：你知道宋老師是怎么算的嗎？請寫出計算

過程（結果精確到0.1米）.

其中sin67°-四，cos67°心-L,tan67°-衛，sin22°七旦，cos22°心西，tan22°-2

131358165

17.如圖，在某小區內拐角處的一段道路上，有一兒童在C處玩耍，一輛汽車從被樓房遮擋的拐角另一側

的A處駛來，已知CM=3m,CO=5m,DO=3m,NA0D=70°,汽車從A處前行多少米才能發現C處的兒童

（結果保留整數）？

（參考數據：sin37°心0.60,cos37°^0.80,tan37°^0.75；sin70°仁0.94,cos70°^0.34,tan70

°-2.75）

18.某工程隊準備從A到B修建一條隧道，測量員在直線AB的同一側選定C,D兩個觀測點，如圖.測得

AC長為反返km,CD長為旦（&+遙）km,BD長為3km,NACD=60°,ZCDB=135°（A、B、C、D在同

242

一水平面內）.

（1）求A、D兩點之間的距離；

（2）求隧道AB的長度.

19.無人機在實際生活中應用廣泛.如圖8所示，小明利用無人機測量大樓的高度，無人機在空中P處，

測得樓CD樓頂D處的俯角為45。，測得樓A3樓頂A處的俯角為60°.已知樓A3和樓CD之間的距離

8C為100米，樓AB的高度為10米，從樓AB的A處測得樓CD的D處的仰角為30。（點A、B、C、D、

P在同一平面內）.

MN

60°V^<45o

。

□一

呂

□

呂

□

□

呂

□

呂

□

Z3OO□

-□

-□

目

呂

BC

（1）填空：ZAPD=度，ZADC=度;

（2）求樓CD的高度（結果保留根號）；

（3）求此時無人機距離地面的高度.

專題08解直角三角形的實際應用問題(解析版)

1.如圖是某區域的平面示意圖，碼頭A在觀測站B的正東方向，碼頭A的北偏西60。方向上有一小島C,

小島C在觀測站B的北偏西15°方向上，碼頭A到小島C的距離AC為10海里.

(1)填空：ZBAC=度，ZC=度；

(2)求觀測站B到AC的距離BP(結果保留根號).

【答案】見解析。

【解析】(1)由題意得：NBAC=90°-60°=30°,ZABC=90°+15°=105°,

.".ZC=180°-ZBAC-ZABC=45°；

故答案為：30,45；

(2)VBP±AC,

...NBPA=NBPC=90°,

VZC=45°,

/.△BCP是等腰直角三角形，

ABP=PC,

VZBAC=30°,

--.PA=V3Bp'

VPA+PC=AC,

.".BP+V3BP=10,

解得：BP=5加-5,

答：觀測站B到AC的距離BP為(5V3-5)海里.

【點撥】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，通過解直角三角形得出方程是解題的關鍵.

2.第24屆冬季奧林匹克運動會于今年2月4日至20日在北京舉行，我國冬奧選手取得了9塊金牌、4塊

銀牌、2塊銅牌，為祖國贏得了榮譽，激起了國人對冰雪運動的熱情.某地模仿北京首鋼大跳臺建了一個

滑雪大跳臺(如圖)，它由助滑坡道、弧形跳臺、著陸坡、終點區四部分組成.圖是其示意圖，己知：助

滑坡道A歹=50米,弧形跳臺的跨度產G=7米，頂端E到BD的距離為40米，HG//BC,ZAFH=40°,

ZEFG=25°,NECB=36°.求此大跳臺最高點A距地面6。的距離是多少米(結果保留整數).(參

考數據：sin400~0.64,cos40°~0.77,tan400-0.84,sin25°?0.42,cos25°?0.91,

tan25°a0.47,sin36°?0.59,cos36°?0.81,tan36°?0.73)

【答案】70

【解析】【分析】過點E作EN_LBC,交G/于點則四邊形欣是矩形，可得HB=MN,在

EMEMEM

RtAAJ/F中，求得AH,根據FM=,MG=FG=7,求得FM,

tanZEFGtanZEGFtanNECB

進而求得MN,根據=+=+即可求解.

【詳解】如圖，過點￡作交G/于點聞,則四邊形是矩形,

:.HB=MN,

-：AF=5Q,ZAFH=40°,

在RtzXAHF中，AH=AF-sinZAFH^50x0.64=32^,

.HG//BC,

ZEGF=ZECB

ZEFG=25°,ZECB=36°,FG=7

…EM?EMEM

?：FM=------------,MG=-------------=-------------

tanZEFGtanZEGFtanZECB

EMEM「

-----+------=7,

0.470.73

解得用

,??頂端E到BD的距離為40米，即硒=40米

:.MN=EN—EM=紙）—2=38米.

..AB=AH+HB=AH+W=32+38=70米.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形中的邊角關系是解題的關鍵.

3.如圖，小華遙控無人機從點A處飛行到對面大廈MN的頂端M,無人機飛行方向與水平方向的夾角為37

。，小華在點A測得大廈底部N的俯角為31。，兩樓之間一棵樹EF的頂點E恰好在視線AN上，已知樹的

FN1一

高度為6米，且——=—,樓AB,MN,樹EF均垂直于地面，問：無人機飛行的距離AM約是多少米？（結

FB2

果保留整數.參考數據：cos31°仁0.86,tan31°^0.60,cos37°80,tan37°仁0.75）

【答案】38米

【解析】過A作于C,易誣AEFNs^ABN,得AB=3E尸=18（峭，貝1]5=18利，再由銳角

三角函數求出AC=30（〃。，然后在RtAACM中，由銳角三角函數定義求出AM的長即可.

過A作ACLMN于C,如圖所示：

由題意得：EF=6m,AB工BN,EFLBN,

:.AB//EF,

:.△EFNs/\ABN,

.EFFN

-AB-B2V-3'

AB=3EF=18(m),

:.CN=18m,

CN3

在RtZkAQV中，tanZCAN=—=tan31°?0.60=-,

^^.(35

AC?|oV=|xl8=30(m),

4

在中，cosZMAC=——=cos37°?0.80=-,

一AM5

/AM?-AC=-x30~38(m),

44

即無人機飛行的距離AM約是38m.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，相似三角形的應用等知識，正確作出輔助線構

造直角三角形，證明是解題的關鍵.

4.如圖，是某小區的甲、乙兩棟住宅樓，小麗站在甲棟樓房A6的樓頂，測量對面的乙棟樓房CD的高

度,已知甲棟樓房A3與乙棟樓房CD的水平距離AC=18百米，小麗在甲棟樓房頂部B點，測得乙棟

樓房頂部D點的仰角是30。，底部C點的俯角是45。，求乙棟樓房CD的高度(結果保留根號).

口

口

口

口□

口□

口□

口□

口□

口□

【答案】18(百+l)m

【解析】根據仰角與俯角的定義得到AB=BE=AC,再根據三角函數的定義即可求解.

如圖，依題意可得/BCA=45°,

/.△ABC是等腰直角三角形，

.,.AB=CE=AC=18^/3

ZDBE=30°

.,.DE=BEXtan30°=18

，CD的高度為CE+ED=18（V3+l）m.

口

口

口

口□

口□

口□

口□

口□

口□

【點睛】此題主要考查解直角三角形，解題的關鍵是熟知三角函數的定義.

5.如圖所示，為了測量百貨大樓CD頂部廣告牌助的高度，在距離百貨大樓30nl的A處用儀器測得

ZZMC=3O°；向百貨大樓的方向走10m,到達B處時，測得N￡BC=48°,儀器高度忽略不計，求廣告

牌ED

的高度.（結果保留小數點后一位）

（參考數據：百合1.732,sin48°?0.743,cos48°?0.669,tan48°）

【答案】4.9m

【解析】先求出BC的長度，再分別在RtAADC和RtABEC中用銳角三角函數求出EC、DC,即可求解.

根據題意有AC=30m,AB=10m,ZC=90°,

則BC=AC-AB=30-10=20,

在RtZ\ADC中，OC=ACxtanNA=30xtan300=10百，

在RtaBEC中，EC=BCxtanZEBC=20xtan48°,

DE=EC-DC=20xtan480-1043，

即￡）E=20xtan480—10百a20*1.Ill—10x1.732=4.9

故廣告牌DE的高度為4.9m.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握銳角三角函數的性質是解答本題的關鍵.

6.某校為檢測師生體溫，在校門安裝了某型號測溫門.如圖為該測溫門截面示意圖，已知測溫門AD的頂

部A處距地面高為2.2m,為了解自己的有效測溫區間.身高1.6m的小聰做了如下實驗：當他在地面N處

時測溫門開始顯示額頭溫度，此時在額頭B處測得A的仰角為18°；在地面M處時，測溫門停止顯示額頭

溫度，此時在額頭C處測得A的仰角為60°.求小聰在地面的有效測溫區間MN的長度.（額頭到地面的

距離以身高計，計算精確到0.1m,sinl8°-0.31,cosl8°心0.95,tanl8°?=0.32）

【解析】延長BC交AD于E,利用銳角三角函數求解即可得到答案.

如圖，延長BC交AD于E,

結合題意得：四邊形DEBN,四邊形MCBN都為矩形，

BE=DN,DE=NB=MC=1.6,BC=MN,ZAEB=9Q°,

AD=2.2,ZABE=18°,

AE=AD-DE=2.2-1.6=0.6,

由tan/ABE=—,

BE

..BE=2"88,

0.32

\-ZACE=6Q°,

AE

由tanNACE=——得:

CE

0.6

CEa”0.35,

1.732

..80=1.88—0.35=1.53“1.5.

...腦V65米.

【點睛】本題考查的是利用銳角三角函數的意義解直角三角形，掌握三角函數的含義是解題的關鍵.

8.小華同學將筆記本電腦水平放置在桌子上，當是示屏的邊緣線03與底板的邊緣線。4所在水平線的夾

角為120°時，感覺最舒適(如圖①).側面示意圖為圖②；使用時為了散熱，他在底板下面墊入散熱架,

如圖③，點3、。、C在同一直線上，Q4=(9B=24cm,BC±AC,NQ4c=30°.

(1)求OC的長;

(2)如圖④，墊入散熱架后，要使顯示屏的邊緣線與水平線的夾角仍保持120。，求點笈到AC的

距離.(結果保留根號)

【答案】(1)12cm；(2)點&到AC的距離為(12+1273)cm.

【解析】(1)在Rt^AOC中，由30度角所對的直角邊長度是斜邊的一半求解即可；

(2)過點0作OM〃AC,過點B'作B'ELAC交AC的延長線于點E,交0M于點D,B'E即為點？到AC

的距離，根據題意求出/OB'D=30°,四邊形OCED為矩形，根據B,E=B'D+DE求解即可.

【詳解】解：(1)V04=24cm,BC1AC,ZOAC=30°

/.OC=-OA=12cm.

2

即0C的長度為12cm.

(2)如圖，過點。作OM〃AC,過點B'作B'ELAC交AC的延長線于點E,交0M于點D,B'E即為點9

到AC的距離，

VOM//AC,B'E±AC,

.\B,E±OD,

VMN//AC,

???NN0A=N0AC=30°，

VZA0B=120°,

AZN0B=90°,

VZNOB^=120°,

.??/BOB'=1200-90°=30°,

VBC±AC,B,E±AE,MN/7AE,

???BC〃B'E,四邊形OCED矩形，

.".Z0B,D=/BOB'=30°,DE=0C=12cm,

在RtZXB，OD中，VZ0BzD=30°，B'0=BO=24cm,

—需邛

B'D=12#>cm，

B'E=B'D+DE=(12^+12)cm,

答：點B'到AC的距離為(12A/3+12)cw.

【點睛】本題考查解直角三角形的應用、矩形的判定和性質和直角三角形中30度角所對的直角邊長度是

斜邊的一半，解題的關鍵是靈活應用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

8.一數學興趣小組去測量一棵周圍有圍欄保護的古樹的高，在G處放置一個小平面鏡，當一位同學站在F

點時，恰好在小平面鏡內看到這棵古樹的頂端A的像，此時測得FG=3m,這位同學向古樹方向前進了9m

后到達點D,在D處安置一高度為1m的測角儀CD,此時測得樹頂A的仰角為30°,己知這位同學的眼睛

與地面的距離EF=L5m,點B,D,G,F在同一水平直線上，且AB,CD,EF均垂直于BF,求這棵古樹AB

的高.（小平面鏡的大小和厚度忽略不計，結果保留根號）

【答案】（9+4石）m

【解析】過點C作CHLAB于點H,則CH=BD,BH=CD=lm,由銳角三角函數定義求出BD=CH=百AH,

EFFGL

再證△EFGS/\ABG,得——=——，求出AH=(8+4J3)m,即可求解.

ABBG

【詳解】如圖，過點C作CHLAB于點H,

則CH=BD,BH=CD=lm,

由題意得：DF=9m,

；.DG=DF-FG=6(m),

在RtZ\ACH中，ZACH=30°,

AHJ3

\"tanZACH=----=tan30o=---,

CH3

二BD=CH=百AH,

VEF±FB,AB±FB,

.".ZEFG=ZABG=90°.

由反射角等于入射角得NEGF=NAGB,

.,.△EFG^AABG,

.EFFG

"AB-BG'

1.53

即------=7-------，

AH+1y/3AH+6

解得：AH=(8+473)m,

.*.AB=AH+BH=（9+473）m,

即這棵古樹高AB為（9+4若）m.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用T卬角俯角問題，相似三角形的應用等知識，正確作出輔助線構

造直角三角形，證明△EFGs/iABG是解題的關鍵.

9.為了學生的安全，某校決定把一段如圖所示的步梯路段進行改造.已知四邊形ABCD為矩形，

DE=10m，其坡度為%=1：5將步梯DE改造為斜坡AF，其坡度為，2=1：4,求斜坡AF的長度.（結

果精確到0.01m,參考數據：百合1.732，^7?4.122）

【答案】斜坡AF的長度為20.61米.

【解析】先由DE的坡度計算DC的長度，根據矩形性質得AB長度，再由AF的坡度得出BF的長度，根據

勾股定理計算出AF的長度.

,??DE=10m,其坡度為力=1:百，

:.在RSDCE中,DE=A/DC2+CE2=2DC

.?.解得DC=5

???四邊形ABCD為矩形

AB=CD=5

:斜坡AF的坡度為，2=1：4

?-1

BF=4AB=20

在Rt^ABF中，AF=-JAB2+BF2=5JI7~20.61（m）

???斜坡AF的長度為20.61米.

【點睛】本題考查了坡度的概念，及用勾股定理解直角三角形的用法，熟知以上知識點是解題的關鍵.

10.如圖1是平涼市地標建筑“大明寶塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平涼韓王府延恩寺

的主體建筑.寶塔建造工藝精湛，與嵯胴山的凌空塔遙相呼應，被譽為平涼古塔“雙璧”.某數學興趣小

組開展了測量“大明寶塔的高度”的實踐活動，具體過程如下：

方案設計：如圖2,寶塔CD垂直于地面，在地面上選取A,B兩處分別測得NCAD和NCBD的度數（A,D,

B在同一條直線上）.

數據收集：通過實地測量：地面上A,B兩點的距離為58m,/CAD=42°,ZCBD=58°.

問題解決：求寶塔CD的高度（結果保留一位小數）.

參考數據：sin42°心0.67,cos42°^0.74,tan42°?0.90,sin58°七0.85,cos58°心0.53,tan58°

^1.60.

根據上述方案及數據，請你完成求解過程.

圖1圖2

【答案】見解析。

【解析】設設CD=xcm,在RtAACD中，可得出AD=——包----在RtAACD中，BD=——迎------再由

tanZCADtanZCBD

AD+BD=AB,列式計算即可得出答案.

解：設CD=xcm,

在RtAACD中，AD=——耳——=————―

tan/CADtan4200.9

在RtAACD中,BD=——迎——=——2——―

tan/CBDtan5801.6

???AD+BD=AB,

?XXLC

,,詞4T?=58

解得，X處33.4.

答：寶塔的高度約為33.4m.

11.如圖，建筑物BC上有一旗桿AB,從與BC相距20m的D處觀測旗桿頂部A的仰角為57°,觀測旗桿

底部B的仰角為50°,求旗桿AB的高度(結果取整數).

(參考數據：sin50°-0.766,cos50°20.643,tan50°-1.192；sin57°^0.839,cos57°^0.545,

tan57°仁1.540)

D20mC

【解析】在RtABCD中，由銳角三角函數定義求得BC的長，再在RtAACD中，由銳角三角函數定義求得

AC的長，即可解決問題.

BC

解：在RtaBCD中，tan/BDC—CD,

.,.BC=CD*tanZBDC=20Xtan50°?2OX1.192=23.84(m),

_AC

在RtAACD中，tanZADC"

.".AC=CD?tanZADC=20Xtan57°^20X1.540=30.8(m),

.".AB=AC-BC=30.8-23.84^7(m).

答：旗桿AB的高度約為7m.

12.如圖，山坡上有一棵豎直的樹AB,坡面上點D處放置高度為1.6m的測傾器CD,測傾器的頂部C與樹

底部B恰好在同一水平線上(即BC〃MN),此時測得樹頂部A的仰角為50°.已知山坡的坡度i=l：3

(即坡面上點B處的鉛直高度BN與水平寬度MN的比)，求樹AB的高度(結果精確到0.1m.參考數據：

sin50°-0.77,cos50°?0.64,tan50°心1.19)

【答案】約為5.7m

【解析】先求出BC=4.8m,再由銳角三角函數定義即可求解.

?.?山坡BM的坡度i=l：3,

I.i=1:3=tanM,

VBC//MN,

AZCBD=ZM,

CD

tanZCBD=---=tanM=l：3,

BC

；?BC=3CD=4.8(m),

‘人qAB

在RtZ\ABC中，tanNACB=——=tan50°o^1.19,

BC

19BC=1.19X4.8^5.7(m),

即樹AB的高度約為5.7m.

【點睛】此題考查解直角三角形及其應用；運算能力；推理能力；應用意識.正確掌握解直角三角形的應

用-坡度坡角問題、仰角俯角問題是解題的關鍵.

13.如圖，在一座山的前方有一棟住宅，已知山高AB=120m,樓高CD=99m,某天上午9時太陽光線從山

頂點A處照射到住宅的點E外.在點A處測得點E的俯角NEAM=45°,上午10時太陽光線從山頂點A處

照射到住宅點F處，在點A處測得點F的俯角NFAM=60°,已知每層樓的高度為3m,EF=40m,問：以當

天測量數據為依據，不考慮季節天氣變化，至少要買該住宅的第幾層樓，才能使上午10時太陽光線照射

到該層樓的外墻？(JE-L73)

【答案】見解析

【解析】利用銳角三角函數關系表示出ME、MF,根據EF=MF-ME=40m可得AM=54.6m,求出DF,根據每

層樓的高度為3m即可得出答案.

解：根據題意可知：

四邊形ABDM是矩形，

AB=MD=120m,

在RtZ\AME中，ME=AMtan450=AM,

在Rtz\AMF中，MF=AMtan60°=?AM,

VEF=MF-ME=40m,

...夷AM-AM=40,

AAM?54.6(m),

.".MF?=54.6X1.73^94.46(m),

.\DF=120-94.46=25.54(m),

25.54+3^8.5,

至少要買該住宅的第9層樓，才能使上午10時太陽光線照射到該層樓的外墻.

答：至少要買該住宅的第9層樓，才能使上午10時太陽光線照射到該層樓的外墻.

14.在全民健身運動中，騎行運動頗受市民青睞.一市民騎自行車由A地出發，途經B地去往C地，如圖.當

他由A地出發時，發現他的北偏東45°方向有一信號發射塔P.他由A地沿正東方向騎行4akm到達B

地，此時發現信號塔P在他的北偏東15°方向，然后他由B地沿北偏東750方向騎行12km到達C地.

(1)求A地與信號發射塔P之間的距離；

(2)求C地與信號發射塔P之間的距離.(計算結果保留根號)

【答案】見解析。

【解析】(1)根據題意得到NPAB=45°,ZPBG=15°,ZGBC=75°,過點B作BDLAP于D點，求得

AD=BD=4,得到/PBD=60°,由BD=4,求得PD=4j§,于得到結論；

(2)過點P作PE_LBC于E,根據/PBG=15°,ZGBC=75°,求得NPBE=60°,得到BE=4,PE=4加,

根據BC=12,于是得到結論.

解：(1)依題意知：ZPAB=45",ZPBG=15°,ZGBC=75°,

過點B作BDLAP于D點，

VZDAB=45°,AB=4&,

；.AD=BD=4,

VZABD=ZGBD=45°,ZGBP=15°,

.\ZPBD=60°,

VBD=4,

.*.PD=4V3>

；.PA=(4+4A/3)(km)；

(2)VZPBD=60°,BD=4,

.\PB=8,

過點P作PE±BC于E,

,.-ZPBG=15°,ZGBC=75°

.\ZPBE=60°,

VPB=8,

；.BE=4,PE=4次，

VBC=12,

；.CE=8,

；.PC=4由(km).

15.鄉村振興使人民有更舒適的居住條件，更優美的生活環境，如圖是怡佳新村中的兩棟居民樓，小明在

甲居民樓的樓頂D處觀測乙居民樓樓底B處的俯角是30。，觀測乙居民樓樓頂C處的仰角為15。，已知

甲居民樓的高為10m,求乙居民樓的高.(參考數據：-x/2^1.414,A/3^1.732,結果精確到0.1m)

【答案】見解析。

【解析】根據矩形的性質得到BE=AD=10m,根據三角函數的定義得到BD,解直角三角形求得BF=」BC,

_2

CF=1BC,DF=CF,于是得到」BC+返BC=20,解得BC七14.6m.

222

解:作DEJ_BC于E,CF_LBD于F,

在RSBED中，BE=AD=10m,ZEDB=30°,

.\ZEBD=60o,BD=2BE=20m,

在RtZXCBF中，ZCBF=60°,

；.BF=%C,CF=2^BC,

22

在RtZkCDF中，ZCDF=45°,

.*.DF=CF=2Z1BC,

2

VBD=BF+DF,

.?.J1BC+返BC=20,

22

；.BC=40-/a.6(m),

1W3

答：乙居民樓的高約為14.6m.

16.政府將要在某學校大樓前修一座大橋.如圖，宋老師測得大樓的高是20米，大樓的底部D處與將要

修的大橋BC位于同一水平線上，宋老師又上到樓頂A處測得B和C的俯角NEAB,NEAC分別為67°和22

°,宋老師說現在我能算出將要修的大橋BC的長了.同學們：你知道宋老師是怎么算的嗎？請寫出計算

過程（結果精確到0.1米）.

其中sin67°2衛，cos67°tan67°"止，sin22°仁旦，cos22°g型，tan22°"2

131358165

【解析】過C作CFLAE于F,貝UFC=AD=20米，AF=DC,由銳角三角函數定義分別求出AF、BD的長，即

可解決問題.

解：過C作CF_LAE于F,如圖所示:

在Rt/XACF中，NEAC=22°,

?二tanNEAC=^^=tan22。,

AF5

.?.DC=AF*FC=50（米），

2

在Rt^ABD中，ZABD=ZEAB=67°,

,.,tanZABD=-^-=tan22°"衛，

BD5

.?.BD^_LAD=.25（米），

123

；.BC=DC-BD=50-至心41.7（米），

3

即大橋BC的長約為41.7米.

17.如圖，在某小區內拐角處的一段道路上，有一兒童在C處玩耍，一輛汽車從被樓房遮擋的拐角另一側

的A處駛來，已知CM=3m,C0=5m,D0=3m,ZA0D=70°,汽車從A處前行多少米才能發現C處的兒童

（結果保留整數）？

（參考數據：sin37°20.60,cos37°^0.80,tan37°^0.75；sin70°^0.94,cos70°^0.34,tan70

°七2.75）

【解析】利用勾股定理求出0M,證明△COMsaBOD,求出BD,在AAOD中，利用三角函數的定義求出AB

即可.

VCM=3m,0C=5m,

??OM—q°c2H24(m),

VZCM0=ZBD0=90°,ZCOM=ZBOD,

.,.△COM^ABOD,

?.CM?=0M，,用--3--二4一,

BD0DBD3

，BD=a=2.25(m)，

4

tanZA0D=tan70°=-^5L,

DO

即AB+BD=AB+2.25弋2.75(m),

DO3

解得：AB=6m,

汽車從A處前行約6米才能發現C處的兒童.

18.某工程隊準備從A到B修建一條隧道，測量員在直線AB的同一側選定C,D兩個觀測點，如圖.測得

AC長為三返km,CD長為3后）km,BD長為gkm,ZACD=60°,ZCDB=135°（A、B、C、D在同

242

一水平面內）.

（1）求A、D兩點之間的距離；

（2）求隧道AB的長度.

【答案】見解析。

【解析】（1）過A作AELCD于E,由含30°角的直角三角形的性質得CE=JLAC=WV，（km）,AE=?CE

24

=乏顯（km）,再證AE=DE,即可求解；