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文檔簡介
專題08解直角三角形的實際應用問題
1.如圖是某區域的平面示意圖,碼頭A在觀測站B的正東方向,碼頭A的北偏西60。方向上有一小島C,
小島C在觀測站B的北偏西15°方向上,碼頭A到小島C的距離AC為10海里.
(2)求觀測站B到AC的距離BP(結果保留根號).
2.第24屆冬季奧林匹克運動會于今年2月4日至20日在北京舉行,我國冬奧選手取得了9塊金牌、4塊
銀牌、2塊銅牌,為祖國贏得了榮譽,激起了國人對冰雪運動的熱情.某地模仿北京首鋼大跳臺建了一個
滑雪大跳臺(如圖),它由助滑坡道、弧形跳臺、著陸坡、終點區四部分組成.圖是其示意圖,己知:助
滑坡道4歹=50米,弧形跳臺的跨度產G=7米,頂端E到班)的距離為40米,HG//BC,ZAFH=40°,
ZEFG=25°,N£CB=36°.求此大跳臺最高點A距地面的距離是多少米(結果保留整數).(參
考數據:sin400~0.64,cos400~0.77,tan400~0.84,sin25°?0.42,cos25°?0.91,
tan25°q0.47,sin36°?0.59,cos36°?0.81,tan36°?0.73)
3.如圖,小華遙控無人機從點A處飛行到對面大廈MN的頂端M,無人機飛行方向與水平方向的夾角為37
。,小華在點A測得大廈底部N的俯角為31。,兩樓之間一棵樹EF的頂點E恰好在視線AN上,已知樹的
FN1一
高度為6米,且——=—,樓AB,MN,樹EF均垂直于地面,問:無人機飛行的距離AM約是多少米?(結
FB2
果保留整數.參考數據:cos31°心0.86,tan31°^0.60,cos37°^0.80,tan37°"0.75)
4.如圖,是某小區的甲、乙兩棟住宅樓,小麗站在甲棟樓房A6的樓頂,測量對面的乙棟樓房CD的高
度,已知甲棟樓房與乙棟樓房CD的水平距離AC=18百米,小麗在甲棟樓房頂部B點,測得乙棟
樓房頂部D點的仰角是30。,底部C點的俯角是45。,求乙棟樓房CD的高度(結果保留根號).
□
□
□
□□
□□
□□
□□
□□
□□
5.如圖所示,為了測量百貨大樓CD頂部廣告牌瓦>的高度,在距離百貨大樓30nl的A處用儀器測得
ZZ14C=30°;向百貨大樓的方向走10m,到達B處時,測得N£BC=48°,儀器高度忽略不計,求廣告
牌瓦>的高度.(結果保留小數點后一位)
(參考數據:^3?1,732,sin48°?0.743,cos48°?0.669-tan48°?1.Ill)
B
6.某校為檢測師生體溫,在校門安裝了某型號測溫門.如圖為該測溫門截面示意圖,已知測溫門AD的頂
部A處距地面高為2.2m,為了解自己的有效測溫區間.身高1.6m的小聰做了如下實驗:當他在地面N處
時測溫門開始顯示額頭溫度,此時在額頭B處測得A的仰角為18°;在地面M處時,測溫門停止顯示額頭
溫度,此時在額頭C處測得A的仰角為60°.求小聰在地面的有效測溫區間MN的長度.(額頭到地面的
距離以身高計,計算精確到0.1m,sinl8°-0.31,cosl8°^0.95,tanl8°-0.32)
7.小華同學將筆記本電腦水平放置在桌子上,當是示屏的邊緣線08與底板的邊緣線。4所在水平線的夾
角為120°時,感覺最舒適(如圖①).側面示意圖為圖②;使用時為了散熱,他在底板下面墊入散熱架,
如圖③,點3、。、C在同一直線上,04=(9B=24cm,BC±AC,NQ4c=30°.
(1)求OC的長;
(2)如圖④,墊入散熱架后,要使顯示屏的邊緣線03'與水平線的夾角仍保持120。,求點8'到AC的
距離.(結果保留根號)
8.一數學興趣小組去測量一棵周圍有圍欄保護的古樹的高,在G處放置一個小平面鏡,當一位同學站在F
點時,恰好在小平面鏡內看到這棵古樹的頂端A的像,此時測得FG=3m,這位同學向古樹方向前進了9m
后到達點D,在D處安置一高度為1m的測角儀CD,此時測得樹頂A的仰角為30°,已知這位同學的眼睛
與地面的距離EF=1.5m,點B,D,G,F在同一水平直線上,且AB,CD,EF均垂直于BF,求這棵古樹AB
的高.(小平面鏡的大小和厚度忽略不計,結果保留根號)
30:
BD/"F
9.為了學生的安全,某校決定把一段如圖所示的步梯路段進行改造.已知四邊形A6CD為矩形,
DE=10m,其坡度為i,=1:石,將步梯DE改造為斜坡AF,其坡度為J=1:4,求斜坡AF的長度.(結
果精確到0.01m,參考數據:百?1.732,V17?4.122)
10.如圖1是平涼市地標建筑“大明寶塔”,始建于明嘉靖十四年(1535年),是明代平涼韓王府延恩寺
的主體建筑.寶塔建造工藝精湛,與蟀胴山的凌空塔遙相呼應,被譽為平涼古塔“雙璧”.某數學興趣小
組開展了測量“大明寶塔的高度”的實踐活動,具體過程如下:
方案設計:如圖2,寶塔CD垂直于地面,在地面上選取A,B兩處分別測得NCAD和/CBD的度數(A,D,
B在同一條直線上).
數據收集:通過實地測量:地面上A,B兩點的距離為58m,ZCAD=42°,ZCBD=58°.
問題解決:求寶塔CD的高度(結果保留一位小數).
參考數據:sin42°心0.67,cos42°心0.74,tan42°-0.90,sin58°-0.85,cos58°^0.53,tan58°
^1.60.
根據上述方案及數據,請你完成求解過程.
圖1圖2
11.如圖,建筑物BC上有一旗桿AB,從與BC相距20m的D處觀測旗桿頂部A的仰角為57°,觀測旗桿
底部B的仰角為50°,求旗桿AB的高度(結果取整數).
(參考數據:sin50°仁0.766,cos50°七0.643,tan50°^1.192;sin57°^0.839,cos57°^0.545,
tan57°^1.540)
12.如圖,山坡上有一棵豎直的樹AB,坡面上點D處放置高度為1.6m的測傾器CD,測傾器的頂部C與樹
底部B恰好在同一水平線上(即BC//MN),此時測得樹頂部A的仰角為50°.已知山坡的坡度i=l:3
(即坡面上點B處的鉛直高度BN與水平寬度MN的比),求樹AB的高度(結果精確到0.1m.參考數據:
sin50°^0.77,cos50°^0.64,tan50°^1.19)
13.如圖,在一座山的前方有一棟住宅,已知山高AB=120m,樓高CD=99m,某天上午9時太陽光線從山
頂點A處照射到住宅的點E外.在點A處測得點E的俯角NEAM=45°,上午10時太陽光線從山頂點A處
照射到住宅點F處,在點A處測得點F的俯角/FAM=60°,已知每層樓的高度為3m,EF=40m,問:以當
天測量數據為依據,不考慮季節天氣變化,至少要買該住宅的第幾層樓,才能使上午10時太陽光線照射
到該層樓的外墻?(夷-1.73)
14.在全民健身運動中,騎行運動頗受市民青睞.一市民騎自行車由A地出發,途經B地去往C地,如圖.當
他由A地出發時,發現他的北偏東45。方向有一信號發射塔P.他由A地沿正東方向騎行4圾km到達B
地,此時發現信號塔P在他的北偏東15°方向,然后他由B地沿北偏東75°
方向騎行12km到達C地.
(1)求A地與信號發射塔P之間的距離;
(2)求C地與信號發射塔P之間的距離.(計算結果保留根號)
15.鄉村振興使人民有更舒適的居住條件,更優美的生活環境,如圖是怡佳新村中的兩棟居民樓,小明在
甲居民樓的樓頂D處觀測乙居民樓樓底B處的俯角是30°,觀測乙居民樓樓頂C處的仰角為15°,已知
甲居民樓的高為10m,求乙居民樓的高.(參考數據:72^1-414,?仁1.732,結果精確到0.1m)
B
16.政府將要在某學校大樓前修一座大橋.如圖,宋老師測得大樓的高是20米,大樓的底部D處與將要
修的大橋BC位于同一水平線上,宋老師又上到樓頂A處測得B和C的俯角/EAB,NEAC分別為67°和22
°,宋老師說現在我能算出將要修的大橋BC的長了.同學們:你知道宋老師是怎么算的嗎?請寫出計算
過程(結果精確到0.1米).
其中sin67°-四,cos67°心-L,tan67°-衛,sin22°七旦,cos22°心西,tan22°-2
131358165
17.如圖,在某小區內拐角處的一段道路上,有一兒童在C處玩耍,一輛汽車從被樓房遮擋的拐角另一側
的A處駛來,已知CM=3m,CO=5m,DO=3m,NA0D=70°,汽車從A處前行多少米才能發現C處的兒童
(結果保留整數)?
(參考數據:sin37°心0.60,cos37°^0.80,tan37°^0.75;sin70°仁0.94,cos70°^0.34,tan70
°-2.75)
18.某工程隊準備從A到B修建一條隧道,測量員在直線AB的同一側選定C,D兩個觀測點,如圖.測得
AC長為反返km,CD長為旦(&+遙)km,BD長為3km,NACD=60°,ZCDB=135°(A、B、C、D在同
242
一水平面內).
(1)求A、D兩點之間的距離;
(2)求隧道AB的長度.
19.無人機在實際生活中應用廣泛.如圖8所示,小明利用無人機測量大樓的高度,無人機在空中P處,
測得樓CD樓頂D處的俯角為45。,測得樓A3樓頂A處的俯角為60°.已知樓A3和樓CD之間的距離
8C為100米,樓AB的高度為10米,從樓AB的A處測得樓CD的D處的仰角為30。(點A、B、C、D、
P在同一平面內).
MN
60°V^<45o
。
□一
呂
□
呂
□
□
呂
□
呂
□
Z3OO□
-□
-□
目
呂
BC
(1)填空:ZAPD=度,ZADC=度;
(2)求樓CD的高度(結果保留根號);
(3)求此時無人機距離地面的高度.
專題08解直角三角形的實際應用問題(解析版)
1.如圖是某區域的平面示意圖,碼頭A在觀測站B的正東方向,碼頭A的北偏西60。方向上有一小島C,
小島C在觀測站B的北偏西15°方向上,碼頭A到小島C的距離AC為10海里.
(1)填空:ZBAC=度,ZC=度;
(2)求觀測站B到AC的距離BP(結果保留根號).
【答案】見解析。
【解析】(1)由題意得:NBAC=90°-60°=30°,ZABC=90°+15°=105°,
.".ZC=180°-ZBAC-ZABC=45°;
故答案為:30,45;
(2)VBP±AC,
...NBPA=NBPC=90°,
VZC=45°,
/.△BCP是等腰直角三角形,
ABP=PC,
VZBAC=30°,
--.PA=V3Bp'
VPA+PC=AC,
.".BP+V3BP=10,
解得:BP=5加-5,
答:觀測站B到AC的距離BP為(5V3-5)海里.
【點撥】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題,通過解直角三角形得出方程是解題的關鍵.
2.第24屆冬季奧林匹克運動會于今年2月4日至20日在北京舉行,我國冬奧選手取得了9塊金牌、4塊
銀牌、2塊銅牌,為祖國贏得了榮譽,激起了國人對冰雪運動的熱情.某地模仿北京首鋼大跳臺建了一個
滑雪大跳臺(如圖),它由助滑坡道、弧形跳臺、著陸坡、終點區四部分組成.圖是其示意圖,己知:助
滑坡道A歹=50米,弧形跳臺的跨度產G=7米,頂端E到BD的距離為40米,HG//BC,ZAFH=40°,
ZEFG=25°,NECB=36°.求此大跳臺最高點A距地面6。的距離是多少米(結果保留整數).(參
考數據:sin400~0.64,cos40°~0.77,tan400-0.84,sin25°?0.42,cos25°?0.91,
tan25°a0.47,sin36°?0.59,cos36°?0.81,tan36°?0.73)
【答案】70
【解析】【分析】過點E作EN_LBC,交G/于點則四邊形欣是矩形,可得HB=MN,在
EMEMEM
RtAAJ/F中,求得AH,根據FM=,MG=FG=7,求得FM,
tanZEFGtanZEGFtanNECB
進而求得MN,根據=+=+即可求解.
【詳解】如圖,過點£作交G/于點聞,則四邊形是矩形,
:.HB=MN,
-:AF=5Q,ZAFH=40°,
在RtzXAHF中,AH=AF-sinZAFH^50x0.64=32^,
.HG//BC,
ZEGF=ZECB
ZEFG=25°,ZECB=36°,FG=7
…EM?EMEM
?:FM=------------,MG=-------------=-------------
tanZEFGtanZEGFtanZECB
EMEM「
-----+------=7,
0.470.73
解得用
,??頂端E到BD的距離為40米,即硒=40米
:.MN=EN—EM=紙)—2=38米.
..AB=AH+HB=AH+W=32+38=70米.
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用,掌握直角三角形中的邊角關系是解題的關鍵.
3.如圖,小華遙控無人機從點A處飛行到對面大廈MN的頂端M,無人機飛行方向與水平方向的夾角為37
。,小華在點A測得大廈底部N的俯角為31。,兩樓之間一棵樹EF的頂點E恰好在視線AN上,已知樹的
FN1一
高度為6米,且——=—,樓AB,MN,樹EF均垂直于地面,問:無人機飛行的距離AM約是多少米?(結
FB2
果保留整數.參考數據:cos31°仁0.86,tan31°^0.60,cos37°80,tan37°仁0.75)
【答案】38米
【解析】過A作于C,易誣AEFNs^ABN,得AB=3E尸=18(峭,貝1]5=18利,再由銳角
三角函數求出AC=30(〃。,然后在RtAACM中,由銳角三角函數定義求出AM的長即可.
過A作ACLMN于C,如圖所示:
由題意得:EF=6m,AB工BN,EFLBN,
:.AB//EF,
:.△EFNs/\ABN,
.EFFN
-AB-B2V-3'
AB=3EF=18(m),
:.CN=18m,
CN3
在RtZkAQV中,tanZCAN=—=tan31°?0.60=-,
^^.(35
AC?|oV=|xl8=30(m),
4
在中,cosZMAC=——=cos37°?0.80=-,
一AM5
/AM?-AC=-x30~38(m),
44
即無人機飛行的距離AM約是38m.
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題,相似三角形的應用等知識,正確作出輔助線構
造直角三角形,證明是解題的關鍵.
4.如圖,是某小區的甲、乙兩棟住宅樓,小麗站在甲棟樓房A6的樓頂,測量對面的乙棟樓房CD的高
度,已知甲棟樓房A3與乙棟樓房CD的水平距離AC=18百米,小麗在甲棟樓房頂部B點,測得乙棟
樓房頂部D點的仰角是30。,底部C點的俯角是45。,求乙棟樓房CD的高度(結果保留根號).
口
口
口
口□
口□
口□
口□
口□
口□
【答案】18(百+l)m
【解析】根據仰角與俯角的定義得到AB=BE=AC,再根據三角函數的定義即可求解.
如圖,依題意可得/BCA=45°,
/.△ABC是等腰直角三角形,
.,.AB=CE=AC=18^/3
ZDBE=30°
.,.DE=BEXtan30°=18
,CD的高度為CE+ED=18(V3+l)m.
口
口
口
口□
口□
口□
口□
口□
口□
【點睛】此題主要考查解直角三角形,解題的關鍵是熟知三角函數的定義.
5.如圖所示,為了測量百貨大樓CD頂部廣告牌助的高度,在距離百貨大樓30nl的A處用儀器測得
ZZMC=3O°;向百貨大樓的方向走10m,到達B處時,測得N£BC=48°,儀器高度忽略不計,求廣告
牌ED
的高度.(結果保留小數點后一位)
(參考數據:百合1.732,sin48°?0.743,cos48°?0.669,tan48°)
【答案】4.9m
【解析】先求出BC的長度,再分別在RtAADC和RtABEC中用銳角三角函數求出EC、DC,即可求解.
根據題意有AC=30m,AB=10m,ZC=90°,
則BC=AC-AB=30-10=20,
在RtZ\ADC中,OC=ACxtanNA=30xtan300=10百,
在RtaBEC中,EC=BCxtanZEBC=20xtan48°,
DE=EC-DC=20xtan480-1043,
即£)E=20xtan480—10百a20*1.Ill—10x1.732=4.9
故廣告牌DE的高度為4.9m.
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用,掌握銳角三角函數的性質是解答本題的關鍵.
6.某校為檢測師生體溫,在校門安裝了某型號測溫門.如圖為該測溫門截面示意圖,已知測溫門AD的頂
部A處距地面高為2.2m,為了解自己的有效測溫區間.身高1.6m的小聰做了如下實驗:當他在地面N處
時測溫門開始顯示額頭溫度,此時在額頭B處測得A的仰角為18°;在地面M處時,測溫門停止顯示額頭
溫度,此時在額頭C處測得A的仰角為60°.求小聰在地面的有效測溫區間MN的長度.(額頭到地面的
距離以身高計,計算精確到0.1m,sinl8°-0.31,cosl8°心0.95,tanl8°?=0.32)
【解析】延長BC交AD于E,利用銳角三角函數求解即可得到答案.
如圖,延長BC交AD于E,
結合題意得:四邊形DEBN,四邊形MCBN都為矩形,
BE=DN,DE=NB=MC=1.6,BC=MN,ZAEB=9Q°,
AD=2.2,ZABE=18°,
AE=AD-DE=2.2-1.6=0.6,
由tan/ABE=—,
BE
..BE=2"88,
0.32
\-ZACE=6Q°,
AE
由tanNACE=——得:
CE
0.6
CEa”0.35,
1.732
..80=1.88—0.35=1.53“1.5.
...腦V65米.
【點睛】本題考查的是利用銳角三角函數的意義解直角三角形,掌握三角函數的含義是解題的關鍵.
8.小華同學將筆記本電腦水平放置在桌子上,當是示屏的邊緣線03與底板的邊緣線。4所在水平線的夾
角為120°時,感覺最舒適(如圖①).側面示意圖為圖②;使用時為了散熱,他在底板下面墊入散熱架,
如圖③,點3、。、C在同一直線上,Q4=(9B=24cm,BC±AC,NQ4c=30°.
(1)求OC的長;
(2)如圖④,墊入散熱架后,要使顯示屏的邊緣線與水平線的夾角仍保持120。,求點笈到AC的
距離.(結果保留根號)
【答案】(1)12cm;(2)點&到AC的距離為(12+1273)cm.
【解析】(1)在Rt^AOC中,由30度角所對的直角邊長度是斜邊的一半求解即可;
(2)過點0作OM〃AC,過點B'作B'ELAC交AC的延長線于點E,交0M于點D,B'E即為點?到AC
的距離,根據題意求出/OB'D=30°,四邊形OCED為矩形,根據B,E=B'D+DE求解即可.
【詳解】解:(1)V04=24cm,BC1AC,ZOAC=30°
/.OC=-OA=12cm.
2
即0C的長度為12cm.
(2)如圖,過點。作OM〃AC,過點B'作B'ELAC交AC的延長線于點E,交0M于點D,B'E即為點9
到AC的距離,
VOM//AC,B'E±AC,
.\B,E±OD,
VMN//AC,
???NN0A=N0AC=30°,
VZA0B=120°,
AZN0B=90°,
VZNOB^=120°,
.??/BOB'=1200-90°=30°,
VBC±AC,B,E±AE,MN/7AE,
???BC〃B'E,四邊形OCED矩形,
.".Z0B,D=/BOB'=30°,DE=0C=12cm,
在RtZXB,OD中,VZ0BzD=30°,B'0=BO=24cm,
—需邛
B'D=12#>cm,
B'E=B'D+DE=(12^+12)cm,
答:點B'到AC的距離為(12A/3+12)cw.
【點睛】本題考查解直角三角形的應用、矩形的判定和性質和直角三角形中30度角所對的直角邊長度是
斜邊的一半,解題的關鍵是靈活應用所學知識解決問題,屬于中考常考題型.
8.一數學興趣小組去測量一棵周圍有圍欄保護的古樹的高,在G處放置一個小平面鏡,當一位同學站在F
點時,恰好在小平面鏡內看到這棵古樹的頂端A的像,此時測得FG=3m,這位同學向古樹方向前進了9m
后到達點D,在D處安置一高度為1m的測角儀CD,此時測得樹頂A的仰角為30°,己知這位同學的眼睛
與地面的距離EF=L5m,點B,D,G,F在同一水平直線上,且AB,CD,EF均垂直于BF,求這棵古樹AB
的高.(小平面鏡的大小和厚度忽略不計,結果保留根號)
【答案】(9+4石)m
【解析】過點C作CHLAB于點H,則CH=BD,BH=CD=lm,由銳角三角函數定義求出BD=CH=百AH,
EFFGL
再證△EFGS/\ABG,得——=——,求出AH=(8+4J3)m,即可求解.
ABBG
【詳解】如圖,過點C作CHLAB于點H,
則CH=BD,BH=CD=lm,
由題意得:DF=9m,
;.DG=DF-FG=6(m),
在RtZ\ACH中,ZACH=30°,
AHJ3
\"tanZACH=----=tan30o=---,
CH3
二BD=CH=百AH,
VEF±FB,AB±FB,
.".ZEFG=ZABG=90°.
由反射角等于入射角得NEGF=NAGB,
.,.△EFG^AABG,
.EFFG
"AB-BG'
1.53
即------=7-------,
AH+1y/3AH+6
解得:AH=(8+473)m,
.*.AB=AH+BH=(9+473)m,
即這棵古樹高AB為(9+4若)m.
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用T卬角俯角問題,相似三角形的應用等知識,正確作出輔助線構
造直角三角形,證明△EFGs/iABG是解題的關鍵.
9.為了學生的安全,某校決定把一段如圖所示的步梯路段進行改造.已知四邊形ABCD為矩形,
DE=10m,其坡度為%=1:5將步梯DE改造為斜坡AF,其坡度為,2=1:4,求斜坡AF的長度.(結
果精確到0.01m,參考數據:百合1.732,^7?4.122)
【答案】斜坡AF的長度為20.61米.
【解析】先由DE的坡度計算DC的長度,根據矩形性質得AB長度,再由AF的坡度得出BF的長度,根據
勾股定理計算出AF的長度.
,??DE=10m,其坡度為力=1:百,
:.在RSDCE中,DE=A/DC2+CE2=2DC
.?.解得DC=5
???四邊形ABCD為矩形
AB=CD=5
:斜坡AF的坡度為,2=1:4
?-1
BF=4AB=20
在Rt^ABF中,AF=-JAB2+BF2=5JI7~20.61(m)
???斜坡AF的長度為20.61米.
【點睛】本題考查了坡度的概念,及用勾股定理解直角三角形的用法,熟知以上知識點是解題的關鍵.
10.如圖1是平涼市地標建筑“大明寶塔”,始建于明嘉靖十四年(1535年),是明代平涼韓王府延恩寺
的主體建筑.寶塔建造工藝精湛,與嵯胴山的凌空塔遙相呼應,被譽為平涼古塔“雙璧”.某數學興趣小
組開展了測量“大明寶塔的高度”的實踐活動,具體過程如下:
方案設計:如圖2,寶塔CD垂直于地面,在地面上選取A,B兩處分別測得NCAD和NCBD的度數(A,D,
B在同一條直線上).
數據收集:通過實地測量:地面上A,B兩點的距離為58m,/CAD=42°,ZCBD=58°.
問題解決:求寶塔CD的高度(結果保留一位小數).
參考數據:sin42°心0.67,cos42°^0.74,tan42°?0.90,sin58°七0.85,cos58°心0.53,tan58°
^1.60.
根據上述方案及數據,請你完成求解過程.
圖1圖2
【答案】見解析。
【解析】設設CD=xcm,在RtAACD中,可得出AD=——包----在RtAACD中,BD=——迎------再由
tanZCADtanZCBD
AD+BD=AB,列式計算即可得出答案.
解:設CD=xcm,
在RtAACD中,AD=——耳——=————―
tan/CADtan4200.9
在RtAACD中,BD=——迎——=——2——―
tan/CBDtan5801.6
???AD+BD=AB,
?XXLC
,,詞4T?=58
解得,X處33.4.
答:寶塔的高度約為33.4m.
11.如圖,建筑物BC上有一旗桿AB,從與BC相距20m的D處觀測旗桿頂部A的仰角為57°,觀測旗桿
底部B的仰角為50°,求旗桿AB的高度(結果取整數).
(參考數據:sin50°-0.766,cos50°20.643,tan50°-1.192;sin57°^0.839,cos57°^0.545,
tan57°仁1.540)
D20mC
【解析】在RtABCD中,由銳角三角函數定義求得BC的長,再在RtAACD中,由銳角三角函數定義求得
AC的長,即可解決問題.
BC
解:在RtaBCD中,tan/BDC—CD,
.,.BC=CD*tanZBDC=20Xtan50°?2OX1.192=23.84(m),
_AC
在RtAACD中,tanZADC"
.".AC=CD?tanZADC=20Xtan57°^20X1.540=30.8(m),
.".AB=AC-BC=30.8-23.84^7(m).
答:旗桿AB的高度約為7m.
12.如圖,山坡上有一棵豎直的樹AB,坡面上點D處放置高度為1.6m的測傾器CD,測傾器的頂部C與樹
底部B恰好在同一水平線上(即BC〃MN),此時測得樹頂部A的仰角為50°.已知山坡的坡度i=l:3
(即坡面上點B處的鉛直高度BN與水平寬度MN的比),求樹AB的高度(結果精確到0.1m.參考數據:
sin50°-0.77,cos50°?0.64,tan50°心1.19)
【答案】約為5.7m
【解析】先求出BC=4.8m,再由銳角三角函數定義即可求解.
?.?山坡BM的坡度i=l:3,
I.i=1:3=tanM,
VBC//MN,
AZCBD=ZM,
CD
tanZCBD=---=tanM=l:3,
BC
;?BC=3CD=4.8(m),
‘人qAB
在RtZ\ABC中,tanNACB=——=tan50°o^1.19,
BC
19BC=1.19X4.8^5.7(m),
即樹AB的高度約為5.7m.
【點睛】此題考查解直角三角形及其應用;運算能力;推理能力;應用意識.正確掌握解直角三角形的應
用-坡度坡角問題、仰角俯角問題是解題的關鍵.
13.如圖,在一座山的前方有一棟住宅,已知山高AB=120m,樓高CD=99m,某天上午9時太陽光線從山
頂點A處照射到住宅的點E外.在點A處測得點E的俯角NEAM=45°,上午10時太陽光線從山頂點A處
照射到住宅點F處,在點A處測得點F的俯角NFAM=60°,已知每層樓的高度為3m,EF=40m,問:以當
天測量數據為依據,不考慮季節天氣變化,至少要買該住宅的第幾層樓,才能使上午10時太陽光線照射
到該層樓的外墻?(JE-L73)
【答案】見解析
【解析】利用銳角三角函數關系表示出ME、MF,根據EF=MF-ME=40m可得AM=54.6m,求出DF,根據每
層樓的高度為3m即可得出答案.
解:根據題意可知:
四邊形ABDM是矩形,
AB=MD=120m,
在RtZ\AME中,ME=AMtan450=AM,
在Rtz\AMF中,MF=AMtan60°=?AM,
VEF=MF-ME=40m,
...夷AM-AM=40,
AAM?54.6(m),
.".MF?=54.6X1.73^94.46(m),
.\DF=120-94.46=25.54(m),
25.54+3^8.5,
至少要買該住宅的第9層樓,才能使上午10時太陽光線照射到該層樓的外墻.
答:至少要買該住宅的第9層樓,才能使上午10時太陽光線照射到該層樓的外墻.
14.在全民健身運動中,騎行運動頗受市民青睞.一市民騎自行車由A地出發,途經B地去往C地,如圖.當
他由A地出發時,發現他的北偏東45°方向有一信號發射塔P.他由A地沿正東方向騎行4akm到達B
地,此時發現信號塔P在他的北偏東15°方向,然后他由B地沿北偏東750方向騎行12km到達C地.
(1)求A地與信號發射塔P之間的距離;
(2)求C地與信號發射塔P之間的距離.(計算結果保留根號)
【答案】見解析。
【解析】(1)根據題意得到NPAB=45°,ZPBG=15°,ZGBC=75°,過點B作BDLAP于D點,求得
AD=BD=4,得到/PBD=60°,由BD=4,求得PD=4j§,于得到結論;
(2)過點P作PE_LBC于E,根據/PBG=15°,ZGBC=75°,求得NPBE=60°,得到BE=4,PE=4加,
根據BC=12,于是得到結論.
解:(1)依題意知:ZPAB=45",ZPBG=15°,ZGBC=75°,
過點B作BDLAP于D點,
VZDAB=45°,AB=4&,
;.AD=BD=4,
VZABD=ZGBD=45°,ZGBP=15°,
.\ZPBD=60°,
VBD=4,
.*.PD=4V3>
;.PA=(4+4A/3)(km);
(2)VZPBD=60°,BD=4,
.\PB=8,
過點P作PE±BC于E,
,.-ZPBG=15°,ZGBC=75°
.\ZPBE=60°,
VPB=8,
;.BE=4,PE=4次,
VBC=12,
;.CE=8,
;.PC=4由(km).
15.鄉村振興使人民有更舒適的居住條件,更優美的生活環境,如圖是怡佳新村中的兩棟居民樓,小明在
甲居民樓的樓頂D處觀測乙居民樓樓底B處的俯角是30。,觀測乙居民樓樓頂C處的仰角為15。,已知
甲居民樓的高為10m,求乙居民樓的高.(參考數據:-x/2^1.414,A/3^1.732,結果精確到0.1m)
【答案】見解析。
【解析】根據矩形的性質得到BE=AD=10m,根據三角函數的定義得到BD,解直角三角形求得BF=」BC,
_2
CF=1BC,DF=CF,于是得到」BC+返BC=20,解得BC七14.6m.
222
解:作DEJ_BC于E,CF_LBD于F,
在RSBED中,BE=AD=10m,ZEDB=30°,
.\ZEBD=60o,BD=2BE=20m,
在RtZXCBF中,ZCBF=60°,
;.BF=%C,CF=2^BC,
22
在RtZkCDF中,ZCDF=45°,
.*.DF=CF=2Z1BC,
2
VBD=BF+DF,
.?.J1BC+返BC=20,
22
;.BC=40-/a.6(m),
1W3
答:乙居民樓的高約為14.6m.
16.政府將要在某學校大樓前修一座大橋.如圖,宋老師測得大樓的高是20米,大樓的底部D處與將要
修的大橋BC位于同一水平線上,宋老師又上到樓頂A處測得B和C的俯角NEAB,NEAC分別為67°和22
°,宋老師說現在我能算出將要修的大橋BC的長了.同學們:你知道宋老師是怎么算的嗎?請寫出計算
過程(結果精確到0.1米).
其中sin67°2衛,cos67°tan67°"止,sin22°仁旦,cos22°g型,tan22°"2
131358165
【解析】過C作CFLAE于F,貝UFC=AD=20米,AF=DC,由銳角三角函數定義分別求出AF、BD的長,即
可解決問題.
解:過C作CF_LAE于F,如圖所示:
在Rt/XACF中,NEAC=22°,
?二tanNEAC=^^=tan22。,
AF5
.?.DC=AF*FC=50(米),
2
在Rt^ABD中,ZABD=ZEAB=67°,
,.,tanZABD=-^-=tan22°"衛,
BD5
.?.BD^_LAD=.25(米),
123
;.BC=DC-BD=50-至心41.7(米),
3
即大橋BC的長約為41.7米.
17.如圖,在某小區內拐角處的一段道路上,有一兒童在C處玩耍,一輛汽車從被樓房遮擋的拐角另一側
的A處駛來,已知CM=3m,C0=5m,D0=3m,ZA0D=70°,汽車從A處前行多少米才能發現C處的兒童
(結果保留整數)?
(參考數據:sin37°20.60,cos37°^0.80,tan37°^0.75;sin70°^0.94,cos70°^0.34,tan70
°七2.75)
【解析】利用勾股定理求出0M,證明△COMsaBOD,求出BD,在AAOD中,利用三角函數的定義求出AB
即可.
VCM=3m,0C=5m,
??OM—q°c2H24(m),
VZCM0=ZBD0=90°,ZCOM=ZBOD,
.,.△COM^ABOD,
?.CM?=0M,,用--3--二4一,
BD0DBD3
,BD=a=2.25(m),
4
tanZA0D=tan70°=-^5L,
DO
即AB+BD=AB+2.25弋2.75(m),
DO3
解得:AB=6m,
汽車從A處前行約6米才能發現C處的兒童.
18.某工程隊準備從A到B修建一條隧道,測量員在直線AB的同一側選定C,D兩個觀測點,如圖.測得
AC長為三返km,CD長為3后)km,BD長為gkm,ZACD=60°,ZCDB=135°(A、B、C、D在同
242
一水平面內).
(1)求A、D兩點之間的距離;
(2)求隧道AB的長度.
【答案】見解析。
【解析】(1)過A作AELCD于E,由含30°角的直角三角形的性質得CE=JLAC=WV,(km),AE=?CE
24
=乏顯(km),再證AE=DE,即可求解;
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