絕密★啟用前

2025屆安徽省“江南十校”聯(lián)考

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符

合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分.

z------_

L設(shè)復(fù)數(shù)l-i,則z的共相復(fù)數(shù)彳的虛部為（）

A.-iB.--iC.gD.--

2222

2.已知集合4={尤|-X2+尤+2>。},3={尤wN||左一1|<1},則（）

A.{1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

3.已知。是直線2x—y+l=0的一個(gè)方向向量，若2=（狐1）,則實(shí)數(shù)機(jī)的值為（）

11

A.—B.------C.2D.—2

22-

4.已知等差數(shù)列{4}的前n項(xiàng)和為S?,且?guī)?120,等比數(shù)列也}的首項(xiàng)為1,若g=為，則地產(chǎn)

的值為（）

1「1

A.-B.—5C.D.5

55

5.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角。的終邊與圓。交于點(diǎn)

A（l,2&b動(dòng)點(diǎn)尸以A為起點(diǎn)，沿圓周按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的軌跡長為?，當(dāng)角夕的終邊

為射線08時(shí)，tan￡=（）

4拒-77-4729+4A/29+472

7777

6.已知雙曲線白=1（。〉0］〉0）虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為耳，52，左、右焦點(diǎn)分別為耳，歹2,若

cos/耳與鳥=—：,則雙曲線的離心率為（）

A.B.-C.J5D.-

523

7.若函數(shù)〃X）=10g“X+10ga+iX是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

32

8.已知x〉0,y〉0,x+3y=丁,2,則一H—的最小值為（）

xy

A.2A/2B.屈C.276D.2G

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知數(shù)據(jù)看,乙,…的平均數(shù)為10,方差為1，且y=2%+4（i=l,2,…,6）,則下列說法正確的是

（）

A.數(shù)據(jù)%,%，…，”的方差為4

B.數(shù)據(jù)看,…％的平均數(shù)為17

C.數(shù)據(jù)和々，…,/J。平均數(shù)為1。，方差大于1

D.若數(shù)據(jù)看,…，4的中位數(shù)為m,75%分位數(shù)為〃，則相<〃

10.如圖，已知圓臺(tái)的軸截面為ABCD,其中A3=38=12百,A￡>=8,M為圓弧A3的中點(diǎn)，

DE=2EA'貝U（）

A.圓臺(tái)的體積為208兀

IT

B.圓臺(tái)母線所在直線與平面ABC。所成角的最大值為一

3

C.過任意兩條母線作圓臺(tái)的截面，截面面積的最大值為326

D.過C,瓦”三點(diǎn)的平面與圓臺(tái)下底面的交線長為絲叵

5

11.已知定義在R上偶函數(shù)/(%)滿足/(0)=2,/(3—x)+/(x)=l,設(shè)/(%)在R上的導(dǎo)函數(shù)為

g(x)，則()

A-g(2025)=0B.g1|]=：

2025

c.g(x+6)=g(x)D.

n=l

三、填空題；本題共3小題，每題5分，共15分.

12.曲線C：、=加工在點(diǎn)乂(1,e)處的切線方程為.

13.己知耳，工分別是橢圓工+上=1的左、右焦點(diǎn)，P,A3為橢圓上三個(gè)不同的點(diǎn)，直線Q4的方程

84

為x=2,且/APS的平分線經(jīng)過點(diǎn)Q(l,0),設(shè)△AK%,ABK耳內(nèi)切圓的半徑分別為彳,々，則二=

r2

14.程大位(1533-1606)是明代珠算發(fā)明家，微州人.他所編撰的《直指算法統(tǒng)宗》是最早記載珠算開平

方、開立方方法的古算書之一，它完成了計(jì)算由籌算向珠算的轉(zhuǎn)變，使算盤成為主要的計(jì)算工具.算盤其形

長方，周為木框，內(nèi)貫直柱，俗稱“檔”.現(xiàn)有一種算盤(如圖1)共三檔，自右向左分別表示個(gè)位、十位

和百位，檔中橫以梁，梁上一珠，下?lián)芤恢橛涀鲾?shù)字5：梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1.例如：圖2中算

盤表示整數(shù)506.如果撥動(dòng)圖1中算盤的3枚算珠，則可以表示不同的三位整數(shù)的個(gè)數(shù)為.

百位十位個(gè)位百位十位個(gè)位

圖1圖2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.

15.一個(gè)不透明的盒子中裝有規(guī)格完全相同的3個(gè)小球，標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,現(xiàn)采用有放回的方式摸球兩

次，每次摸出1個(gè)小球，記第一次摸到的小球號(hào)碼為，，第二次摸到的小球號(hào)碼為八

(1)記“，+/＞，?/”為事件A,求P(A)；

(2)完成兩次摸球后，再將與前面3個(gè)球規(guī)格相同的4號(hào)球和5號(hào)球放入盒中，并進(jìn)行第三次摸球，且將

第三次摸到的小球號(hào)碼記為左，號(hào)碼次中出現(xiàn)偶數(shù)的個(gè)數(shù)記為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

16.已知函數(shù)/(x)=l—asinx—cos2x,aeR.

⑴若a=2,求/(%)在(0,兀)上的極大值；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)—/1+x］，討論函數(shù)g(E)在［0,可上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

17.如圖，在四棱錐E—ASCD中，底面A3CD為直角梯形，AB〃且=1,

2

AB±BC,ZADC=60°,cosNCDE=-,^ADE為等邊三角形.

(1)若分別是棱AREC中點(diǎn)，證明：〃平面ABE；

(2)求平面BCE與平面ADE夾角的余弦值.

18.已知?jiǎng)狱c(diǎn)G(x,y)滿足關(guān)系式舊+—叵)2_次+―招2=2.

(1)求動(dòng)點(diǎn)G軌跡方程；

(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)G的軌跡為曲線G，拋物線。2：爐=4〉的焦點(diǎn)為E，過G上一點(diǎn)尸作C?的兩條切線，切

點(diǎn)分別為A3,弦A3的中點(diǎn)為M，平行于的直線/與C?相切于點(diǎn)Q.

①證明：三點(diǎn)共線；

②當(dāng)直線/與。有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求司的取值范圍.

19.設(shè)｛4｝是各項(xiàng)均為正數(shù)無窮數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為5“.

⑴若也“+2=4+1對(duì)任意neN*都成立，且2S?+1=S“+2.

①求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

②已知首項(xiàng)為占，公比4滿足|同<1的無窮等比數(shù)列｛%〃｝,當(dāng)〃無限增大時(shí)，其前〃項(xiàng)和無限趨近于常數(shù)

產(chǎn)，則稱該常數(shù)為無窮等比數(shù)列｛五｝的各項(xiàng)和.現(xiàn)從數(shù)列｛a,,｝中抽取部分項(xiàng)構(gòu)成無窮等比數(shù)列也｝,

1一4

且｛2｝的各項(xiàng)和不大于，，求々的最大值.

（2）若口用對(duì)任意〃eN*都成立，試證明：（卬見^^之.2見…4+1）上

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符

合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分.

z---_

1.設(shè)復(fù)數(shù)l-i,貝廠的共軌復(fù)數(shù)5的虛部為（）

A.—iB.—iC.—?

222

【答案】D

【解析】

【分析】先對(duì)復(fù)數(shù)化簡，然后求出其共輾復(fù)數(shù)，從而可求出N的虛部.

.12

i(l+i)1+111.

【詳解】因?yàn)?-----1--1

(l-i)(l+i)22

-11

所以z=V-：i,

22

所以z的共輾復(fù)數(shù)彳的虛部為-.

2

故選：D

2.已知集合4=｛削一/+尤+2>0｝,3=卜€(wěn)可上一1區(qū)1｝,則4門5=（）

A.{1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

【答案】B

【解析】

【分析】通過解不等式化簡集合，根據(jù)集合的基本運(yùn)算可得結(jié)果.

【詳解】由題意得，A={x|X2-X-2<0}={X|-1<X<2},B={xeN|0<x<2}={0,l,2},

.-.APB={0,1}.

故選：B.

3.已知,是直線2x—y+l=0的一個(gè)方向向量，若。則實(shí)數(shù)加的值為（）

11

A.JB.——C.2D.-2

22

【答案】A

【解析】

【分析】先由直線方向向量定義結(jié)合直線方程求出直線的一個(gè)方向向量，再利用向量平行的坐標(biāo)表示即可

求解.

【詳解】因?yàn)橹本€2x-y+l=0的斜率為左=2,所以直線的一個(gè)方向向量為（1,2）,

所以若商=（頊1）,則2加一1=0,解得機(jī)=g.

故選：A.

4.已知等差數(shù)列{4}的前n項(xiàng)和為S?,且=120,等比數(shù)列{b“}的首項(xiàng)為1,若g=勿，則l°g<％

的值為（）

1「1

A.—B.—5C.—D.5

55

【答案】B

【解析】

【分析】先由等差數(shù)列前w項(xiàng)和公式結(jié)合下標(biāo)性質(zhì)求出W，進(jìn)而求出等比數(shù)列也,}的公比即可計(jì)算求解.

【詳解】由題得S15=—3^——=15。8=120=>/=8，

所以“=%=8,設(shè)等比數(shù)列{2}的公比為4,所以/=,=8nq=2,

則log*6=log25=-5.

22

故選：B

5.已知角名尸的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角戊的終邊與圓。交于點(diǎn)

A(l,2直}動(dòng)點(diǎn)尸以A為起點(diǎn)，沿圓周按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)3,點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的軌跡長為手，當(dāng)角夕的終邊

為射線08時(shí)，tan￡=()

4A/2-77-4V29+4V2D9+4收

AA-------Rrc.-----------

7777

【答案】C

【解析】

【分析】先由題意結(jié)合三角函數(shù)、弧長公式等依次求出tana、圓。的半徑和NAQB,再由

tan，=tan[a+：]結(jié)合兩角和正切公式即可求解.

【詳解】由題得1血&=述=2拒，且圓0的半徑為r=(2后丫=3，

1

3兀

所以NA0B=4=4，

34

llyc(兀、tana+120+1(2行+1)_9+4虛

所以tanB—tan|a+|——.——

14)1-tana1-2。2(272-1)(272+1)7

故選：C

22

6.已知雙曲線土■-2=l(a〉0,0〉0)虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為用,生，左、右焦點(diǎn)分別為耳，耳，若

cos/44笈=—三，則雙曲線的離心率為(

)

A3石3L5

RC.y/5D--

523

【答案】A

【解析】

b

【分析】由題意結(jié)合倍角公式以及cos/耳40=K即可求解

"bT.i-5

【詳解】由題cosN耳用工=2cos2/耳—1=2

{4b2+c2)13'

所以9)2=402,即9a2=5。2,所以e2=：=2,即e=^5.

a255

7.若函數(shù)/(x)=log/+loga+/是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

【答案】B

【解析】

/、In(6/2+In(+a)20

【分析】根據(jù)r(x)vo可得」______2?o,利用,7求出〃的取值范圍驗(yàn)證取舍可得結(jié)果.

Ina[ina<0

【詳解】由題意得，函數(shù)/(%)定義域?yàn)?0,+a).

]n(a+l)+lnaIn.+q)

/(X)=logy+loga+F，二r(X)=-^―+1=

xma%ln(a+l)xlna-ln(a+l)xlntz-ln(a+l)

且awl,ln(a+l)>0,則山(°+°)《0,

Ina

2

[ln(a+<2)>0-i+J?

9?*a2+a>a)，解得-------<a<1，

Ina<02

-1+、/?,、ln(a2

當(dāng)a=_L±wi時(shí)，儲(chǔ)+a=1,/，力=_\/=(),不合題意，

2'，xlna-ln(a+l)

(后-1)

的取值范圍是-y-―,1.

12)

故選：B

32

8.已知%>0,y>0,%+3y=%3,2,則—+一的最小值為()

xy

A.2A/2B.屈C.2nD.2G

【答案】D

【解析】

312(32丫

【分析】先化簡得出一+—=xy,再應(yīng)用基本不等式計(jì)算-+-的最小值即可求解.

%'Uy)

312

【詳解】已知x〉0,y〉0,x+3y=/丁2,所以一+—=xy,

%y

（32丫

94129“13、=衛(wèi)+—%2y=M+4x2>2y/36=12,

則

I》y）了+于+丁7+工匚小

當(dāng)且僅當(dāng)＞=4必，即％=，5/=近欄叵時(shí)等號(hào)成立，所以2的最小值為2若.

x23%y

故選：D.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知數(shù)據(jù)再,々,…，玉,的平均數(shù)為1。，方差為1，且M=2%+4(，=1,2,…,6),則下列說法正確的是

()

A.數(shù)據(jù)%,＞6的方差為4

B.數(shù)據(jù)占,々,…,毛，%,%，…，%的平均數(shù)為B

C.數(shù)據(jù)看,馬，…，/，io的平均數(shù)為10,方差大于1

D.若數(shù)據(jù)再,％2,…，％6中位數(shù)為加,75%分位數(shù)為〃，則能＜”

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)方差性質(zhì)計(jì)算判斷A,根據(jù)平均數(shù)及方差計(jì)算求解判斷B,C,特例法，先從小到大排列，

計(jì)算中位數(shù)及分位數(shù)判斷D.

【詳解】對(duì)于A：數(shù)據(jù)…，”的方差為22x1=4,A選項(xiàng)正確;

對(duì)于B:數(shù)據(jù)為,％2,…,4,%,上，…，的平均數(shù)為

石+三+…+%+%+立+…+%=6義10+6*24=]7,B選項(xiàng)正確；

1212一

[丁U//rr-,口業(yè)X]+X,+,??+%+IO6X10+10

對(duì)于C:數(shù)據(jù)花,%，…，％6，1°的平均數(shù)為———------------=---------=10,

方差(%-10)2+-10)2+…+(%6-10)2+(10-10)2=6x1+0=g<],C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

17—7—7一.....

對(duì)于D：若取數(shù)據(jù)9,9,10,10,10,12,平均數(shù)為10,方差為1,

則中位數(shù)為根=空馬=10,因?yàn)?x0.75=4.5,所以第5個(gè)數(shù)為75%分位數(shù)〃=10,

2

所以加=〃，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AB.

10.如圖，已知圓臺(tái)的軸截面為ABCZ),其中A3=38=12百,8,舷為圓弧A3的中點(diǎn),

DE=2EA>貝I()

A.圓臺(tái)的體積為208兀

7T

B.圓臺(tái)母線所在直線與平面ABCD所成角的最大值為一

3

C.過任意兩條母線作圓臺(tái)的截面，截面面積的最大值為32有

D.過C,￡,M三點(diǎn)的平面與圓臺(tái)下底面的交線長為當(dāng)叵

5

【答案】ABD

【解析】

【分析】求出圓臺(tái)的高，根據(jù)體積公式可得選項(xiàng)A正確；把圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，根據(jù)母線力欣與平面ABCD

7T

所成的角最大可得選項(xiàng)B正確；利用兩條母線所在直線夾角為一時(shí)截面面積最大可得選項(xiàng)C錯(cuò)誤；找出過

2

C,E,M三點(diǎn)的平面與圓臺(tái)下底面的交線，結(jié)合垂徑定理可得選項(xiàng)D正確.

【詳解】A.：AB=3C￡>=12百,A￡>=8,...圓臺(tái)上底面圓半徑為26，下底面圓半徑為6豆，

...圓臺(tái)的高人=,82—(6君—=4,

1(\2/―

...圓臺(tái)的體積V=3兀x4x(26)+2君X6G+(6G)=208兀，A正確.

4由方得,71

B.由/z=4,BC=8,得sinN03C=—g,NOBCe0,NOBC=—.

86

如圖，將圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，頂點(diǎn)記為T,底面圓的圓心記為。，連接TO,A/O,MT,

為圓弧A3的中點(diǎn)，???MOLAB.

人平面AMB,MOu平面AMB,，T0AMO,

TOC\AB=O,TO,AB?平面ABCD，二MO±平面ABCD,

：MOu平面7MO,.?.平面7Mo人平面ABCD,

ITTTIT

此時(shí)母線所在直線7M與平面ABCD所成的角最大，最大為SMTO,?MTO------=-,B正確.

263

C.由？ZBO2,08=66得，TO=6,BT=12,；.TC=12-8=4,

6

7T17T17T

當(dāng)兩條母線所在直線夾角為士時(shí)，截面面積最大，最大值為一創(chuàng)122sin-——倉Msin-=64C錯(cuò)誤.

22222

D.如圖，在梯形A3CD中，連接CE并延長交5A的延長線于點(diǎn)E,連接板交底面圓于點(diǎn)N,則腦V

為截面與底面圓的交線.

由0=三=2得,OF8A/34。3

AF=2A/3-OF=86，■■tan?OMF-----=-==-,cos?OMF-,

AFEAOM6^35

取肱V中點(diǎn)G,則OGAMN,MN=2MG,

:?MN=2義6/義cosNOMFD正確.

故選：ABD.

11.已知定義在R上的偶函數(shù)/(%)滿足/(0)=2,/(3—x)+/(x)=l,設(shè)/(%)在R上的導(dǎo)函數(shù)為

g(x)，則()

A.g(2025)=0B.g1|］=；

2025

c.g(x+6)=g(x)D.2/5)=1011

n-\

【答案】ACD

【解析】

【分析】先由題設(shè)結(jié)合奇偶性和對(duì)稱性性質(zhì)、求導(dǎo)運(yùn)算依次求出g(x)是奇函數(shù)、g(0)=0、函數(shù)/(九)

和g(x)是周期為6的函數(shù)和8⑶二8⑼二。即可依次分析判斷ABC,由題設(shè)

〃0)=2,〃3-x)+/(x)=l依次求出/(1)+〃2)=〃4)+/(5)=1,〃3)=-1,〃6)=2即可判斷

D.

【詳解】由題得/(-x)=〃x),所以_/'(_%)=/'⑺即_g(f)=g(x),

所以g(x)是奇函數(shù),故g(o)=o,

又由“3-力+/(%)=1得函數(shù)/(%)關(guān)于點(diǎn)［|■,；］對(duì)稱，/(-%)+/(%+3)=1,

所以/(x)+/(x+3)=l,故/(x+3)=/(3—x)=/(x—3),

所以/(x+6)=/(x),即函數(shù)是周期為6的函數(shù)，

所以g(x)也是周期為6的函數(shù)，即g(x+6)=g(x),

由“3—x)+/(x)=l求導(dǎo)得一/'(3—x)+/'(x)=。即g(x)=g(3—x),

所以g(3)=g(0)=0,

對(duì)于A,g(2025)=g(6x337+3)=g(3)=0,故A正確；

對(duì)于B,由函數(shù)"力關(guān)于點(diǎn)［I，；］對(duì)稱得g1|J=O,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由上g(x)也是周期為6的函數(shù)，即g(x+6)=g(x),C正確；

對(duì)于D,由/(—x)+/(x+3)=l得/。)+/(2)=1,

且〃0)+〃3)=1即〃3)=—1,且〃—1)+〃4)=1即"4)=1—〃1),

且/(—2)+〃5)=1即〃5)=1—〃2),/(6)=/(0)=2

所以〃5)+/(4)=l—/(2)+l—/(1)=2—1=1,

所以/(1)+〃2)+/(3)+〃4)+〃5)+〃6)=1—1+1+2=3,

2025337x6+3

所以￡/■(〃)=X/(")=337X3+〃1)+〃2)+〃3)=1011,故D正確.

n=ln=l

故選：ACD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是求出函數(shù)〃力和g(x)是周期為6的函數(shù).

三、填空題；本題共3小題，每題5分，共15分.

12.曲線C：丁=》靖在點(diǎn)乂(1,e)處的切線方程為.

【答案】y=2ex-e

【解析】

【詳解】試題分析：因?yàn)閥'=e、+xe1所以切線斜率為2e,切線方程為y—e=2e(x—1),y=2ex—e

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)幾何意義

22

13.已知耳，工分別是橢圓土+2L=i的左、右焦點(diǎn)，P,A3為橢圓上三個(gè)不同的點(diǎn)，直線Q4的方程

一84

為x=2,且ZAPS的平分線經(jīng)過點(diǎn)。(LO),設(shè)內(nèi)切圓的半徑分別為不々，則,=

r2

【答案】5

【解析】

+M閭+閨用

【分析】先由題意依次求出|A閭尸閭,|A司，忻用即可由S“"26求出ri，接著由

2

正切函數(shù)定義和兩角和的正切公式結(jié)合點(diǎn)尸求出直線總的方程，進(jìn)而求出直線過點(diǎn)耳，再聯(lián)立橢圓方

程求出力即可同理4求出r2得解.

【詳解】由題意可知|A閭=|尸用=Q=T==0,|A耳|=2"恒閭=30,閨閭=2c=4,

ci2y/2

所以由^=1R||^|=2A/2

s△ArFjrF

22

_____2_S__________2.2皿閨用=40=2-J2>

*=AFF

|A片+|A閭+閨用一/用+H用+寓用―4+4虛——

._2tanZFPQ_72_/r

所以tanNF2PDBR-2一口一20

2

所以*=tanX屋系所以幾：丁=

x—2y[^y+2=0,

令y=0得x=—2,故直線尸3經(jīng)過點(diǎn)片,

x—2^2y+2=0

聯(lián)立《%22=>10_y2+—4=0,

——+—=1

I84

所以行為=_[=_[=>yB=一乎，

所以同理可得廠=2S.BFE=2%。%|可囚=.=2—6,

“一忸國+忸閶+。閭—忸制+忸一|+|耳閶—4+472-5

4_2-V2

—―------------』=3

所以馬2—亞?

5

故答案為：5.

14.程大位(1533-1606)是明代珠算發(fā)明家，微州人.他所編撰的《直指算法統(tǒng)宗》是最早記載珠算開平

方、開立方方法的古算書之一，它完成了計(jì)算由籌算向珠算的轉(zhuǎn)變，使算盤成為主要的計(jì)算工具.算盤其形

長方，周為木框，內(nèi)貫直柱，俗稱“檔”.現(xiàn)有一種算盤(如圖1)共三檔，自右向左分別表示個(gè)位、十位

和百位，檔中橫以梁，梁上一珠，下?lián)芤恢橛涀鲾?shù)字5：梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1.例如：圖2中算

盤表示整數(shù)506.如果撥動(dòng)圖1中算盤的3枚算珠，則可以表示不同的三位整數(shù)的個(gè)數(shù)為.

聲

百位十位個(gè)位百位十位個(gè)位

圖1圖2

【答案】26

【解析】

【分析】分“百位”撥動(dòng)3枚算珠、“百位”撥動(dòng)2枚算珠、“百位”撥動(dòng)1枚算珠三種情況羅列出可表示

的數(shù)據(jù)即可得解.

【詳解】由題“百位”撥動(dòng)3枚算珠可以表示的不同的三位整數(shù)有：300、700；

“百位”撥動(dòng)2枚算珠可以表示的不同的三位整數(shù)有：210、250、201、205,610、650、601、605；

“百位”撥動(dòng)1枚算珠可以表示的不同的三位整數(shù)有：120、102、160、106、111、151、115、155；

520、502、560、511、551、515、555.

則符合條件的三位整數(shù)的個(gè)數(shù)為26.

故答案為：26.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是理解題意，將問題拆分“百位”撥動(dòng)3枚算珠、“百位”撥動(dòng)2枚

算珠、“百位”撥動(dòng)1枚算珠三種簡單情況進(jìn)行分析再整合即可得解.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.

15.一個(gè)不透明的盒子中裝有規(guī)格完全相同的3個(gè)小球，標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,現(xiàn)采用有放回的方式摸球兩

次，每次摸出1個(gè)小球，記第一次摸到的小球號(hào)碼為i,第二次摸到的小球號(hào)碼為九

(1)記“，+/>>/”為事件A,求尸(A)；

(2)完成兩次摸球后，再將與前面3個(gè)球規(guī)格相同的4號(hào)球和5號(hào)球放入盒中，并進(jìn)行第三次摸球，且將

第三次摸到的小球號(hào)碼記為左，號(hào)碼，，，女中出現(xiàn)偶數(shù)的個(gè)數(shù)記為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)-

9

(2)分布列見解析；居.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)古典概型的計(jì)算公式即可求得答案.

(2)先確定X的取值，結(jié)合獨(dú)立事件概率乘積公式及組合數(shù)求得每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，即可得分布列，繼

而求得數(shù)學(xué)期望.

【小問1詳解】

兩次摸球，摸出的小球號(hào)碼，"的所有情況共C；xC；=9種，

其中，滿足+的情形有：

7=1時(shí)，/=1,2,3；，=2時(shí)，j=l；1=3時(shí)，J=l：共5種情況，

故P(A)W

【小問2詳解】

X的可能取值為0,1,2,3,

_C；C；C；_12_4/v-C：C；C；+C；C：C；+C；C；C；_20_4

C3C3C54515'()C3C3C5459

c；c：c；+c；cC+c；c；c；Hwx_3「C；C；CL2

p(X=2)=

45'C3C3C545

故X的分布列為:

X0123

44112

p

1594545

4411216

故石(X)=Ox——+lx—+2x—+3x—

V7159454515

16.已知函數(shù)〃x)=l—asiiix—cos2x,a￡R.

⑴若a=2,求〃力在(。,兀)上的極大值;

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)—/[]+xJ,討論函數(shù)g(x)在[0,可上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】(1)極大值為0,(2)答案見詳解

【解析】

【分析】(1)求出導(dǎo)數(shù)，列表分析/'(%)隨x變化情況，根據(jù)單調(diào)性和極值定義求解；

(2)化簡得g(x)=(cosx-sinx)[a—2(sinx+cosx)],令g(x)=0,得％=:或sinx+cosx=T,

分a<—2或a>2后，a=2叵,2<a<242>一24。<2討論判斷方程sinx+cosx=|■解得個(gè)數(shù)得

解.

【小問1詳解】

當(dāng)〃=2時(shí)，/(x)=1-2sinx-cos2x=2sin2x-2sinx,

貝U/'(x)=4sinxcosx—2cosx=4cosx[sinx-g],

令/'(x)=0,得x=：或￡或?qū)W，

62o

因此，當(dāng)X變化時(shí)，/(X),/'(力的變化情況如下表所示:

兀兀5兀

4~62~6

/‘(X)-0+0—0+

/(X)單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增

所以當(dāng)x時(shí)，”力有極大值，極大值為/3=0.

【小問2詳解】

g(x)=f(x)-f\^+x=1一〃sinx—cos2x-l-asin—+x-cos2—+x

1212

=-asinx-cos2x+acosx—cos2x

=Q(cosx-sinx)-2cos2x

=(cosx-sinx)[a—2(sin尤+cosx)],

兀_p..Cl

當(dāng)尤e[0,兀|時(shí),由g(尤)=0得x=—或sinx+cosx=一

42

?后.71兀兀D7l

其中sm%+cosx=，2sm%+—，x+—G—,一貝Usinx+cosxe

I4J444

當(dāng)a<—2或a>26'時(shí)，方程sinx+cosx=|■無解，此時(shí)函數(shù)g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)x=：,

當(dāng)a=20時(shí)，方程g(X)=0只有一解為x=:,此時(shí)函數(shù)g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)2<a<2后時(shí)，方程sinx+cosx=T有兩個(gè)不同的解且均不等于2,此時(shí)函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn),

當(dāng)—2Wa<2時(shí)，方程sinx+cosx=T有一解且不等于：，此時(shí)函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng)。<一2或。》2夜時(shí)，函數(shù)g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)2<a<2加時(shí)，函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn),

當(dāng)—2Wa<2時(shí)，函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

17.如圖，在四棱錐E—ASCD中，底面ABCD為直角梯形，AB〃且=1,

2

AB±BC,NADC=60°,cosNCDE=-,^ADE為等邊三角形.

(1)若M,N分別是棱AD,EC的中點(diǎn)，證明：肱V〃平面ABE；

(2)求平面BCE與平面ADE夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵叵

7

【解析】

【分析】（1）通過線線平行得到平面ACVF//平面氏4E，進(jìn)而證明〃平面ABE.

（2）通過分析可得MD,ME,MC兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求兩平面夾角的余

弦值.

【小問1詳解】

如圖，取的中點(diǎn)連接MF,NF.

VM,N分別是棱AD,EC的中點(diǎn)，MF||AE,NF\\CD.

'：AB//CD,：.NF//AB.

,/MF//AE,MFcZ平面54E,AEu平面54E，

...A/F//平面B4E,同理可得即//平面5AE,

MFcNF=F,MF,NFu平面MNF,：.平面MNFII平面BAE，

Wu平面ACVF,.,.腦V〃平面ABE.

【小問2詳解】

Xy

如圖，連接CM,ME,AC,取。c的中點(diǎn)G,連接AG,

：AB〃CD且AB=^CD=1,，AB〃CG且AB=CG,

2

...四邊形ABCG為平行四邊形，故3C||AG,

■：AB±BC,：.AGVCD,且GZ）=1,

：NAZ>C=60°，，AD=2，故八4。。為等邊三角形，

：.CM±AD,CM=6

?；VADE為等邊三角形，/.DE=2,EM=區(qū)MELAD.

△CDE中，由余弦定理得，GE?=。。2+￡>￡2—2DC?￡>E.COSNOE=4+4—2X2X2XL=6,

-4

?1.CM2+ME2=CE2>即CM，ME,故兩兩互相垂直.

以〃為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則。僅0,@,￡（0,A/3,0）,D（l,0,0）,A（-l,0,0）,

由麗=3比得日，，

/

：.EC=（0Q,-6,6）,EB=——,—y/3,

n?EC=—y/3y+yf3z=0

設(shè)平面BCE的一個(gè)法向量為為=（羽y,z）,貝卜

n-EB=--x-y[3y+z-0

I22

令z=3,則y=3,x=—百，故為=（—若,3,3）.

而3J?]

取平面ADE的一個(gè)法向量沅=（0,0,1）,則cos慶，為==方]彳=下一

所

...平面與平面ADE夾角的余弦值為上

7

18.已知?jiǎng)狱c(diǎn)G（x,y）滿足關(guān)系式舊+（y-6了一J/+（4+也產(chǎn)=2.

（1）求動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程;

（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)G的軌跡為曲線G，拋物線。2：*=4〉的焦點(diǎn)為E，過G上一點(diǎn)尸作G的兩條切線，切

點(diǎn)分別為A3,弦A3的中點(diǎn)為河，平行于A3的直線/與G相切于點(diǎn)Q.

①證明：三點(diǎn)共線;

②當(dāng)直線/與G有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求|0尸|的取值范圍.

【答案】（1）y2-x2=l（y<-l）

（2）①證明見解析；②耳的取值范圍為,2.

I2J

【解析】

【分析】（1）由雙曲線定義即可求解；

（2）①由切線方程和導(dǎo)數(shù)幾何意義依次求出馬=/，和=今即可得證;

②求出直線/的方程，與曲線q聯(lián)立，利用判別式結(jié)合焦半徑公式血刊=￥^即可求解.

【小問1詳解】

則+(y—0)2一+(y+0)2=2即|GK|—|G閶=2<2后=|大司,

所以由雙曲線定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)G的軌跡是以片（0,0）,乙（0,-0）為焦點(diǎn)的雙曲線的下支，且

a=l,c=^2=>Z?=1

所以動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程為y2-x2=l（y<-l）.

【小問2詳解】

(2A2、

anJb

①證明：由（1）曲線。1：9一12=l(y<-l),F(O,l),設(shè)P(工,%),Aa,—,Bb,—,

4JI4'

v2r

對(duì)函數(shù)p二、求導(dǎo)得y二萬，

2廿h(2A<>2

所以兩切線方程為：y———----=—(%—/?),即QX=2y+—,bx=2y+—

42V742V7I4J14