黃金沖刺大題03立體幾何

1.(2024?黑龍江?二模)如圖，已知正三棱柱ABC-44。的側棱長和底面邊長均為2,M是的中點，N

是A耳的中點，尸是Bg的中點.

(1)證明：肱V〃平面4CP；

(2)求點P到直線MN的距離.

【答案】(1)證明見解析

⑵6

【分析】(1)建立如圖空間直角坐標系A-孫z,設平面尸的一個法向量為萬=(x,y,z),利用空間向量法

證明加工=0即可；

(2)利用空間向量法即可求解點線距.

【詳解】(1)由題意知，A41_L平面ABC,ZBAC=60°,而ABu平面ABC,

所以在平面ABC內過點A作y軸，使得ABIy軸，

建立如圖空間直角坐標系A-型，

則A(0,0,0),B(2,0,0),C(l,0),4(0,0,2),B,(2,0,2),得“(3,3,0),N(l,0,l),P(3,@,2),

2222

所以水=(l,g,-2),郎=§,乎,0),麗=(-；,-乎,1),

設平面4cp的一個法向量為元=(x,y,z),

n?A^C=x+若y-2z=0

則一，令x=l,得y=-A/§\Z=-1所以3=（1,-瘋-1）,

n^P=，+也y=0

22

所以向S3=-；xl+(-等)x(-』)+lx(-D=0,又跖V不在平面ACP內

即MN〃平面4CP；

(2)如圖，連接PM,由(1)得麗=(0,0,-2),

則麗?麗=-2,西=①網=2,

,(MN-PM26

所以點尸到直線MN的距離為d=盧必一(2)=杷.

2.(2024?安徽合肥?二模)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，/區位)=60。,加是

側棱PC的中點，側面PAD為正三角形，側面上4￡>_1_底面ABCD.

P

(1)求三棱錐M-ABC的體積；

(2)求AM與平面PBC所成角的正弦值.

【答案】(嗚

(2)畫.

11

【分析】(1)作出輔助線，得到線線垂直，進而得到線面垂直，由中位線得到M到平面ABCD的距離為也,

進而由錐體體積公式求出答案；

(2)證明出建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，進而由法向量的夾角余弦值的絕對值求

出線面角的正弦值.

【詳解】(1)如圖所示，取AD的中點。，連接尸0.

因為△R4D是正三角形，所以尸OLAD.

又因為平面底面ABCD,尸Ou平面P4D,平面E4Dc平面ABCD=AD,

所以PO,平面ABCD,且尸0=血.

又因為M是PC的中點，M到平面ABCD的距離為也，

=—x2x2xsin——

所以三棱錐ABC的體積為'/、且=!

322

(2)連接80,80,因為/84￡>=冗:，

所以△ABD為等邊三角形，所以BOJ_AE),

以。為原點，0Ao尻。尸所在直線分別為x軸，>軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則尸(0,0,不),A(1,0,0),2(0,H0),。卜2,君,0),

所以M-1,，麗=(0,百,-6),初=(-2,0,0).

設平面PBC的法向量為n=(x,y,z),

PB?=OfJ3y-x/3z=0

則—，即7>7U,解得x=o,取z=l,則"1,

BC-n=O[-2x=0

所以力=(0,1,1).

設與平面P3C所成角為e,

皿一I1-2堂$(0,1,1)L

則sind=|cosAM,?|=_=LJ-------=叵.

1

口刎?同、產Lg11

V44

即AM與平面PBC所成角的正弦值為叵.

11

3.(2023?福建福州?模擬預測)如圖，在三棱柱ABC-AqG中，平面相GC_L平面

ABC,AB^AC=BC^AAi^2,6B=底.

(1)設。為AC中點，證明：ACm^DB；

(2)求平面AA與與平面ACGA,夾角的余弦值.

【答案】⑴證明見解析；

⑵當

【分析】(1)根據等邊三角形的性質得出BDLAC,根據平面ACGA，平面ABC得出8。/平面ACC0,

BD±ArD,利用勾股定理得出ACJ.AQ,從而證明AC,平面AQB；

(2)建立空間直角坐標系，利用坐標表示向量，求出平面AA用的法向量和平面ACGA的一個法向量，利

用向量求平面AA與與平面ACG4的夾角余弦值.

【詳解】(1)證明：因為。為AC中點，S.AB=AC=BC=2,

所以在AABC中，有3DLAC,且80=6，

又平面ACQA,1平面ABC,且平面ACGAPI平面ABC=AC,BDu平面ABC,

所以應平面ACGA,

又AOu平面ACGA，則BOJL4。,

由=BD=陋,得^。二石，

因為AO=1,M=2,AD=K,所以由勾股定理，得AC，A。，

又ACLBD,A,D^BD=D,\D,BDcAtDB,所以AC,平面

(2)如圖所示，以。為原點，建立空間直角坐標系。一孫z,

可得4(1,0,0),A(0,0,揚,5(0,73,0),

則麗=卜1,0,若)，麗=卜1,白,0),

設平面AA用的法向量為為=(x,y,Z),

n,AA=—x+=0r-

由＜—.「，令x=6，得y=i,z=i,

n-AB=-x+j3y=0

所以而=(6,1,1),

由(1)知，BD2平面ACGA，

所以平面ACGA的一個法向量為而=(o,-百,0),

記平面4A片與平面ACGA的夾角為。，

\n-BD\&也

貝[]cosa=----=—f=——尸=—,

\n\\BD\x735

所以平面AA片與平面ACGA夾角的余弦值為￡.

4.(2024?山西晉中?三模)如圖，在六面體ABCDE中，BC=BD=瓜,EC±ED,且.EC=ED=&,AB

平行于平面CDE,AE平行于平面BCD,AEYCD.

(1)證明：平面/WE2平面COE；

⑵若點A到直線CO的距離為2a，尸為棱AE的中點，求平面或)尸與平面5CD夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

叵

35

【分析】(1)設平面⑷話與直線CD交于點使用線面平行的性質，然后用面面垂直的判定定理即可；

(2)證明BE,平面CDE,然后構造空間直角坐標系，直接用空間向量方法即可得出結果.

【詳解】(1)設平面ABE與直線CZ>交于點連接ME,MB,則平面ABE與平面CDE的交線為ME,平

面ABE與平面BCD的交線為MB,因為AB平行于平面CDE,ABu平面ABE,平面ABE和平面CDE的交

線為ME,所以的〃ME.同理所以四邊形ASAffi1是平行四邊形，故AB//ME.

因為CDJLAE,AE\\MB,所以COLMB,又BC=BD=?所以M為棱CD的中點

在ACDE中，EC=ED,MC=MD,所以CD_LME,由于AB〃腔，故CE>_LAfi.

而CD_LAE,ABp\AE=A,AB,AEu平面ABE,所以CDJ_平面ABE,

又CDu平面CDE,所以平面平面CDE.

(2)由(1)可知，CD_L平面ABA花，又AMu平面ABME,所以CD_LA〃.

而點A到直線8的距離為2后，故AM=20.

在等腰直角三角形CDE中，由EC=ED=^，得CD=2,MC=MD=ME=L

在等腰三角形BCD中，由MC=ME>=1,BC=BD=屈,得BM=下.

在平行四邊形ABME中，AE=BM=也,AB=EM=1,AM=2也,

由余弦理得cosZMEA=-------------------------=-------,

3EM24E

所以cos/BME、］,所以BE7BM?+EM^—ZBME='

因為81+〃￡2=22+12=（君『=8加2,所以BE_LME.

因為平面ABME_L平面CDE,平面ABME和平面CDE的交線為兒ZE,BE在平面ABME內.

所以平面CDE

如圖，以E為坐標原點，成，而，而分別為％y，z軸正方向，建立空間直角坐標系.

則E（0,0,0）,C（衣0,0）,。（0,也0）,B（0,0,2）,A一冬一冬2,F一字一孝,1

3、

所以加=卜0,0,0）,歷=（o,-后,2）,麗=---,---,1.

44

7

m-CD=0—s/2Xj+=0

設平面3CD的法向量為慶=&,%,4）,則＜—，即

m-DB=0_+2Z]=0

則可取為=2,得用=（2,2,0）.

n-FB=0L+=。

設平面BDF的法向量為為=（X2，%，Z2），貝卜,即2

n-DB=0_^\[^丫2+2z2—0

取Z2=l,則為=卜30,痣,1）

\m'n\-30V105

設平面助m與平面BCD的夾角為6,則cosO=

|m|-|n|-VlOx^35

所以平面3￡加與平面BCD夾角的余弦值為叵.

35

5.（2024?遼寧?二模）棱長均為2的斜三棱柱ABC-44。中，4在平面ABC內的射影。在棱AC的中點處,

產為棱4月（包含端點）上的動點.

B

⑴求點P到平面ABG的距離；

（2）若AP2平面a,求直線8G與平面a所成角的正弦值的取值范圍.

【答案】（1）嚕;

⑵[|嗎.

【分析】（1）以。為原點建立空間直角坐標系，求出平面ABG的法向量，再利用點到平面距離的向量求法

求解即得.

（2）由向量共線求出向量荏的坐標，再利用線面角的向量求法列出函數關系，并求出函數的值域即可.

【詳解】（1）依題意，4。，平面ABC,O3LAC（底面為正三角形），且=也，

以。為原點，5反反，西的方向分別為x，％z軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖，

則0(0,0,0),A(0,-l,0),B(A/3,0,0),C(0,1,0),A(。,。,有),G(0,2,73),

AQ=(0,3,V3),BC；=(-73,2,73),麗=(0,1,?

由A31//AB,4與（Z平面ABC]，ASu平面ABG，則4月〃平面ABC1,

即點P到平面A3G的距離等于點A到平面A5G的距離,

n-AC,=3y+A/3Z=0一廠

設4=(%,y,z)為平面A3cl的一個法向量，由<-.「，取z=3,得〃=(1,一3),

n?BC［=-v3x+2y+<3z=0

?八皿一,IAA-n|2-\/32-$/39

因此點A到平面ABC1的距曷d=—^4----=—j==——

\n\屈13

所以點尸到平面ABG的距離為唯.

(2)設其尸=%44，之￡[04]，

則福=麗+率=行+；1而=(0,1,6)+4(61,0)=(同1+4月),

由APLa,得互為平面a的一個法向量，設直線BG與平面a所成角為°,

\BCAP\_______|5-X|_______5-A

則sin0=|cos(BCj,AP)|=X

IBQIIAPI質、3矛+(1+田2+32下?&抬+九+2

令7=5—幾，則4=5—t,te［4,5］,

.?tt11

sin(J-........................=--------------------.................-______

則2后，2(5-)2+(5—)+22-<2/-2k+5726卜子+廠2聞57(；一力+￡

由法［4,5］,得于是57(二總)2+、￡，11］，2后卜7(1一歹+~［等,生,則

t54t38762516'1387652

sineeg,平］,

所以直線與平面a所成角的正弦值的取值范圍是［|,乎］.

6.(2024?重慶?模擬預測)在如圖所示的四棱錐尸-ABCD中，已知A3〃C。，ZBAD=90°,CD=2AB,JAB

是正三角形，點M在側棱PB上且使得PD〃平面AMC.

⑴證明：PM=2BM；

(2)若側面上鉆，底面ABC。，CM與底面ABC。所成角的正切值為求二面角P-AC-3的余弦值.

【答案】(1)證明見解析;

⑵票

【分析】（1）連接與AC交于點連接由已知得一二",由線面平行的性質得尸。〃石M,

CDED

根據三角形相似可得笆=器=:，即尸M

EDPM2

（2）設A3的中點。,首先由已知得底面A5C0,在中過點M作叱〃尸O交A5于點尸，得叱_L

底面ABCD,則ZMCF為CM與底面ABCD所成角,在底面ABCD上過點。作OGJ_AC于點G,則/PGO

是二面角尸-AC-3的平面角，根據條件求解即可

【詳解】（1）證明：連接8。與AC交于點E,連接EM,

在AEAB與AECD中，AB//CD,=,

D

由CD=2AB,得ED=2EB,又：PD//平面AMC,

而平面PBOpI平面40C=ME,PDu平面PBD,

PD//EM,

..EBBM1.

在△A尸中，-=-=..PM=2BM-,

(2)設4B的中點。，在正AXAB中，POLAB,

而側面底面A3CD,側面RLBc底面ABCD=AB,且POu平面上4B,

尸。人底面ABCO,

在△JyiB中過點M作MF//PO交A3于點E

?*.MF_L底面ABCD,

NMCF為CM與底面ABCD所成角，

:.世=立,設AB=6a,

CF11

MF

則=氐，，CF=lla,BF=-^=a,則在直角梯形ABCD中，AF^5a,

而CD=12a,則CD=J(lla)2-(12a-5ay=6缶,

在底面ABCD上過點。作OG_LAC于點G,

則NPGO是二面角P—AC—3的平面角，易得Q4=3〃，AC=6瓜a,

在梯形4BC力中，由色=生=口巴=坐I,得OG=6。,

OGADOG6屈a

在Rt△尸OG中，PG=^a,cosZPGO=—=.

PG10

7.(2024?安徽?模擬預測)2023年12月19日至20日，中央農村工作會議在北京召開

積極發展特色農業，建設蔬菜大棚.如圖所示的七面體

ABG-CDEHF是一個放置在地面上的蔬菜大棚鋼架，四邊形ABCD是矩形，AB=8m,AD=4m,

ED=CF=lm,且E。，CP都垂直于平面ABCD,GA=GB=5m,HE=HF,平面ABG_L平面ABCD

(1)求點H到平面ABCD的距離;

(2)求平面BFHG與平面AG8E所成銳二面角的余弦值.

【答案】⑴4

喔

【分析】(1)取AB,CD的中點M,N,證得平面ADE//平面肱陽G,得到AE7/GH,再由平面ABG//平

面CDEHG,證得AG//EH,得到平行四邊形AGHE,得到GH=AE,求得HN=4,結合HN工平面ABCD,

即可求解；

(2)以點N為原點，建立空間直角坐標系，分別求得平面3b“G和平面AGHE的法向量

■=(1,3,4)和莉=(1,-3,4),結合向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】(1)如圖所示，取的中點連接GM,MN,HN,

因為G4=G3,可得GM_LAB,

又因為平面ABG_L平面ABCD,且平面ABGc平面ABCD=AB,GMu平面ABG,

所以GM_L平面ABC。，同理可得：HN_L平面ABCD,

因為平面ABCD,所以EDUHN,

又因為ED<Z平面肱忸G,HNu平面MNHG,所以ED//平面MNHG,

因為MN//AD,且相>《平面相VHG,MNu平面MNHG,所以">〃平面初VHG,

又因為AZ)cZ)E=。，且A3OEu平面ADE,所以平面ADE〃平面MNHG,

因為平面AE"G與平面ADE和平面MVHG于,可得AE//GH,

又由GMUHN,AB//CD,且ABAGAf=M和C￡>n〃V=N,

所以平面ABGH平面CDEHG,

因為平面AE77G與平面A3G和平面CDEHF于AG,EH,所以AG//EH,

可得四邊形AG"E為平行四邊形，所以GH=AE,

因為AE=jAZy+DE?='42+儼=后,所以GH二歷,

在直角AAMG,可得GM=也2_《)2=,52—42=3,

在直角梯形GMZVN中，可得削=3+J17-42=4，

因為罰V，平面ABCD,所以點H到平面ABCD的距離為4.

(2)解：以點N為原點，以M7,NC,M/所在的直線分別為羽y,z軸，建立空間直角坐標系,

如圖所示，則E(0,-4,1),F(0,4,1),G(4,0,3),H(0,0,4),

可得麻=(0,-4,-3),HF=(0,4,-3),HG=(4,0,-1),

萬.HG—4x—z—0

設平面屏HG的法向量為方=(x,y,z),則_,

n-HF=4y-3z=0

取z=4,可得尤=l,y=3,所以3=(1,3,4),

一m-HG=4a-c=0

設平面AGHE的法向量為m=(a,4c),貝IJ一，

m?HE=-4b-3c=0

取c=4,可得。=1,。=一3,所以證=(1,一3,4),

f-m-n1-9+164

則儂幾"麗=Ji+9+i6.Ji+9+16=ii'

4

即平面BFHG與平面AGHE所成銳二面角的余弦值7T.

8.(2024?重慶?模擬預測)如圖，ACL也為菱形，AC=BC=2,NAC3=120。，平面ACDEL平面ABC,點

N分別在直線CD,AB上.

(2)把與兩條異面直線都垂直且相交的直線叫做這兩條異面直線的公垂線，若NE4c=60。，MN為直線CD,

AN

AB的公垂線，求方的值;

(3)記直線8E與平面ABC所成角為a,若tana＞應，求平面BC。與平面CFD所成角余弦值的范圍.

7

【答案】(1)證明見解析

⑵1

⑶18，5J

【分析】(1)先通過余弦定理及勾股定理得到CF，AC,再根據面面垂直的性質證明；

(2)以C為原點，C4的方向為x軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標系C-孫z,利用向量的坐標運算

MNCD=0

根據,列方程求解即可;

MN-AF=0

⑶利用向量法求面面角，然后根據tan”修列不等式求解.

【詳解】(1)AB2=AC2+BC2-2AC-BC-cosZACB=12,42=2后，AF=2FB,

J.A/Q—?1—?2—?—.21—>24—*24—?—.4

所以4尸二3，CF=-CA+-CB,CF=-CA+-CB+-CACB=-f

3339993

416i

AC02+CFo2=4+-=—=AF2,貝l]CF_LAC,

又因為平面ACDE_L平面ABC,-T?ACDECl5p?ABC=AC,CFu面ABC,

故C5_L平面ACDE；

(2)以C為原點，C4的方向為x軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標系C-孫z,

由/E4c=60。，可得NZ)CA=120。，DC=2,

所以C(0,0,0),代),4(2,0,0)1。，三,0

I3J

所以赤=-2,*-,0,CD=(-1,0,A/3),

I§J

___(2n、(2n、

^AN=AAF=-2A,^—A,0,貝IJN2-22,1^2,0,

、3JI3,

CM=/uCD,則M卜〃,0,也〃)，MN=f2-22+//,~~~—,

22-2—//—3/z=0

MN-a)^0

由題知，*______=>4

MN-AF=Q42-4-2//+-2=0

(3)網-1,"。)，設/￡4c=d,

貝UE(2-2cosa0,2sin。)，8E=(3-2cos0,-迅,2sin。)，

可取平面ABC的法向量行=（0,0,1）,

n-BE\12sin0\

Ijlllsina=cosn,BE=-J~~；——L

同?阿J(3-2cos6?y+3+4sin2eJ"3cos0

Jd-Scosd-sin?0

COS。=

,4一3cos6

sin?A/21

貝|tana=>---，

^4-3cos^-sin207

整理得lOcos?9—9cos8+2<0,故cos6G14)1

,0,CD=(-2cos6>,0,2sin6>),屈=卜1,6,0),

-2xcos0+2zsin6=0

n^CD=0

記平面CO尸的法向量為4=(x,y,z),則有＜n<

n[-CF=0

可得勺=(sina0,cos6),

n?CD=0-2acos0+2csin0=0

記平面C2￡)的法向量為%=(a,6,c),則有，2=><

n2cB=0—a+y[3b=0

可得〃2=(gsin6,sin0,用cos8),

記平面BCD與平面CED所成角為九

I―?—Ayfi

貝Ucosy-cos,n=.=,cos0G

121V3+sin200

321(7154#]

所以sit?。￡,,3+sin」9G

452525J

7

9.(2024?安徽?二模)將正方形ABCD繞直線AB逆時針旋轉90°,使得8到石尸的位置，得到如圖所示的

幾何體.

(1)求證：平面ACFJ_平面BDE；

(2)點M為0歹上一點，若二面角C-AM-E的余弦值為：，求NM4D.

【答案】(1)證明見解析

⑵NMAE）=45°

【分析】(1)根據面面與線面垂直的性質可得3D，AF,結合線面、面面垂直的判定定理即可證明;

(2)建立如圖空間直角坐標系，設/MW=a,AB=1,利用空間向量法求出二面角C-AM-E的余弦值，

]_smcccosCJCI

建立方程J?=a,結合三角恒等變換求出a即可.

A/1+sin-aA/1+cos-a-)

【詳解】(1)由已知得平面平面MET,AF_LAB,平面ABCDc平面AB￡F=AB,AFu平面ABEF,

所以AF_L平面ABCD,又3Z)u平面ABC。，故3￡>_LAF,

因為ABCD是正方形，所以3D，AC,

AC,AFu平面ACT,ACcAF=A,所以皮)工平面ACF,

又5Du平面3DE,所以平面ACF_L平面

(2)由(1)知AD,AF,AB兩兩垂直，

以AD,AF,AB所在直線分別為無，,，z軸，建立空間直角坐標系，如圖.

設Z.MAD=a，AB=1,

則A（0,0,0）,M（cosa,sina,0）,C（l,0,l）,E（0,1,1）,

故AM=(cosa,sin/0),AC=(1,0,1),AE=(0,1,1)

設平面AMC的法向量為慶=(%，X，zJ,則玩.恁=0，m-AM=0

(x,+z,=0

故＜,，取玉=sina,貝I%=.cosa,4=-sina

[x1cosa+yxsina=0

所以桃=(sina,-cosa,-sina)

設平面4WE的法向量為為=(*2，%，22)，加費=0，n-AM=0

[y2+z2=0

故〈.，取兄2=sma,貝1]%=-cosa,z2=cosa

[x2cosa+y2sina=0

所以為=(sin%-cosa,cosa),

1一sinacosa

所以cosm,n=

Vl+sin2cifVl+cos2a

1-sincrcosa1

由已知得Jl+sin%Jl+c°s%=§'

,7

化簡得：Zsin?2a—9sin2a+7=0，解得sin2tz=1或sin2c=不(舍去)

故a=45°,BPZMAD=45°.

10.（2024?安徽黃山?二模）如圖，已知AB為圓臺下底面圓。?的直徑，C是圓。?上異于的點，。是圓

臺上底面圓。2上的點，且平面D4CL平面ABC,DA=DC=AC^2,BC=4,E是8的中點，BF=2FD-

⑴證明：DO2HBC.

（2）求直線與平面A斯所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

6\/85

【分析】（1）取AC的中點O,根據面面垂直的性質定理，可得平面ABC,即可求證。O?//。。一進

而可證矩形，即可根據線線平行以及平行的傳遞性求解.

（2）建系，利用向量法，求解法向量方=（1,-3,6）與方向向量而=（-1,4,-豆）的夾角，即可求解.

【詳解】（1）證明：取AC的中點為。，連接。0,OOitOtO2,

QDA^DC,。為AC中點，:.DOLAC,

又平面ZMC_L平面A3C,且平面ZMCc平面ABC=AC,DOu平面ZMC,

:.￡>0_L平面ABC,:.DO//OtO2,DO=Ofl2,故四邊形為矩形，

DO2//OOt,又O,。1分別是AC,A2的中點，

OO,/IBC,

DO2/IBC；

(2)是圓&上異于A,8的點，且AB為圓。I的直徑，

：.BC±AC,.'.00,1AC,

???如圖以。為原點建立空間直角坐標系，由條件知DO=Q,

/.A(1,0,0),B(-l,4,0),C(-l,0,0),1)(0,0,E(--,0,

2

設尸(x,y,z),~BF=(x+l,y-4,z),TD=(-x,-y,-j3-z),

由麗=2而，得尸（T。竽），，弁=（T*竿），

：.DB=(-1.4-73),AE=(--,O,

2

設平面AER法向量為為=Oi，X，Zi）,

ri-AE=--X.Z[=0

921l

則「,取為=(L-個百)，

-4J2^32

n-AF=--xl+—yi+—^-zx=0

設直線BD與平面AEF所成角為0,

sin6=|cos<n,DS>|=-----.——=-

則26年85

二直線8。與平面他所成角的正弦值為近.

85

11.（2024嘿龍江哈爾濱?一模）正四棱臺ABCD-ABGR的下底面邊長為2a,A片M為BC中

點，已知點P滿足衣=（1-2）通+g心正+彳跖，其中4e（0,l）.

32

（2）已知平面AMC,與平面ABCD所成角的余弦值為1?，當人=§時,求直線。尸與平面AMQ所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

e24對

---

91

【分析】（1）方法一運用空間向量的線性運算，進行空間位置關系的向量證明即可.

方法二：建立空間直角坐標系，進行空間位置關系的向量證明即可.

（2）建立空間直角坐標系，利用線面角的向量求法求解即可.

【詳解】（D方法一：

VA5i=2AB,???福?麗=麗?礪=2虛X芋=2.

"：D^A=-^AD-AA^

：.D^=D^A+AP=（1-A）AB+^A-^AD+（A-1）A^

：.D^PAC=（1叫通而+（2-1）招通+珂

22

=（1-2）AB+I^A-|jAD+（A-l）AB-A4i'+（2-l）AD-X41-

=8(l-2)+8^2-1j+4(2-l)=0.

D^PLAC,即。尸_LAC.

方法二：以底面ABC。的中心。為原點，以方向為y軸，過。點平行于A。向前方向為無軸,

以過點。垂直平面ABCO向上方向為z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設正四棱臺的高度為九則有

(V2,-72,0),B(衣應,0),C(-V2,A/2,0),

一g,“，C,

27i22j

Di-,~,h\,M(0,V2,0),AC=(-25/2,272,0)

I22J

AP=(l-2)(0,2V2,0)+-2(-2^,0,0)+2—,0=--2,272--2,2/z

\7

麻=型+而，還人述，-述人述，M

[2222J

故衣?印=0,所以。尸，AC.

(2)設平面ABC。的法向量為萬=(0,0,1),

3A/23A/2八

設平面AMG的法向量為訪=(x,y,z),W=(-72,272,0),AC,

-y/2x+2近y=0

AM-m=0

則有＜，即J3A/2372

AG?沅=0-------X+2y+hz=0

2

令x=2亞h，貝I］沅=倒&41h,3).

33

又題意可得|cos沆，司=',可得力=2.

J8/+2/+9

VfV22

因為

x=2'2，-

將〃=2代入，可得平面AMQ的法向量沅=(4A/2,2A/2,3).

設直線DP與平面所成角的為e

12.(2024?遼寧?三模)如圖，在三棱柱ABC-A耳G中，ACQA,ABC,AC=AAl=2,

AB=LBC=g,點E為線段AC的中點.

“k-----

⑴求證：AB1〃平面BEG;

TT

(2)若/AAC=求二面角A-2石-Q的余弦值.

【答案】(1)證明見詳解

⑵一日

【分析】(1)連接8G，交瓦C于點N,連接AE,利用線面平行的判定定理證明；

(2)由已知可知，AA41c為等邊三角形，故AELAC,利用面面垂直的性質定理可證得底面A3C,

進而建立空間直角坐標系，利用向量法即可求二面角余弦值.

【詳解】(1)連接交于點N,連接AE,

因為側面BCC1耳是平行四邊形,

所以N為與C的中點，又因為點E為線段AC的中點,

所以NE//AB],

因為A8iU面BEC、,TVEu面BEC、,

所以A耳〃面BEC一

冗

(2)連接AC,\E,因為/A|AC=w，AC=AA,=2,

所以41c為等邊三角形，AC=2,

因為點E為線段AC的中點,

所以AELAC,

因為側面ACG4J■底面ABC,平面ACC】Afi平面ABC=AC，平面ACC；A，

所以AE_L底面ABC,

過點E在底面ABC內作班1AC,如圖以E為坐標原點，分布以麗，EC，甌的方向為軸正方向

建立空間直角坐標系,

G(0,2,⑹,

所以麗=￥，-；，。［，星=(。,2，⑹,

設平面BEC1的法向量為m={x,y,z),

令x=1,貝!Jy=-73,z=-2,

所以平面BEQ的法向量為成=(1,73,-2),

又因為平面ABE的法向量為為=(0,0,1),

貝Ucosm,n=,2,=-YE,

Jl+3+42

經觀察，二面角A-BE-G的平面角為鈍角，

所以二面角A-BE-C,的余弦值為一變.

2

13.(2024?廣東廣州?一模)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，△DCP是等邊三

7E

角形，/DCB=/PCB=1點、M,N分別為。尸和AB的中點.

(1)求證：〃平面P3C；

(2)求證：平面尸BC/平面ABCD；

(3)求CM與平面所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

⑵證明見解析；

【分析】(1)取PC中點E,由已知條件，結合線面平行的判斷推理即得.

(2)過尸作PQL8C于點。，借助三角形全等，及線面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得.

(3)建立空間直角坐標系，利用線面角的向量求法求解即得.

【詳解】(1)取PC中點E,連接ME,BE,由M為。尸中點，N為A3中點，得ME//DC,ME=)C,

又BNUCD,BN=LCD,則ME"BN,ME=BN,因此四邊形成MN為平行四邊形，

2

于是MNUBE,而MNu平面平面P3C,

所以MN〃平面P3C.

(2)過P作于點Q,連接。。，由NDCB=NPCB=巴,CD=PC,QC=QC,得AQCD絲AQCP,

4

則NOQC=NPQC=',ipDQ±BC,\^PQ=DQ=41,PQ2+DQ2=4=PD2,

因此PQ_LOQ,又。。08。=。,。。,以^<=平面43。，則尸。工平面ABC。，PQu平面PBC,

所以平面P3C1平面ABCD.

(3)由(2)知，直線。CQZQP兩兩垂直，

以點。為原點，直線QCQD,QP分別為x,%z軸建立空間直角坐標系，

則C(在0,0),尸(0,0,V2),0(0,y/2,0),M(0,孝,誓,A(-2,60),

CM=(-V2,曰”[),通=(2,0,0),DP=(0,四)，

n-AD=2x=0

設平面PAD的一個法向量為=(x,y,z),貝"—令'=1,得〃=(。』,1),

n.DP=-J2y+J2z=0

設CM與平面PAD所成角為e,sin。=|cos(CM,力|=里,磯==也

\CM\\fi\V3-V23

所以CM與平面板所成角的正弦值是且.

3

14.(2024?廣東梅州?二模)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，平面平面ABCD,底面ABCD為直角梯形,

△E4D為等邊三角形，AD//BC,ADJ.AB,AD=AB=2BC=2.

(1)求證：ADLPC；

(2)點N在棱PC上運動，求△ADN面積的最小值；

⑶點M為必的中點，在棱PC上找一點Q,使得AM〃平面2。。，求黑的值.

【答案】(1)證明見解析

⑵酒

7

⑶4

【分析】(1)取AD的中點H,連接PH,CH,依題意可得四邊形ABCfZ為矩形，即可證明

再由PH_LAD,即可證明AD_L平面尸”C,從而得證；

(2)連接AC交3。于點G,連接MC交BQ于點尸，連接FG,即可得到*=[,再根據線面平行的性質

AG2

CF1MK

得到三=:，在APBC中，過點M作MK〃尸C，即可得到7^7=2,最后由尸Q=2MK即可得解?

FM2CQ

【詳解】(1)取AD的中點7/,連接P〃，CH,貝ijAH〃臺C且A71=8C,又AD_LAB,

所以四邊形ABCH為矩形，

所以Cf/LAD,又為等邊三角形，

所以P//LAD,PHCCH=H,PH,CHu平面尸HC,

所以平面PHC,

又PCu平面P”C,

所以ADJ_PC.

(2)連接HN,由AD，平面尸

又HNu平面PHC,

所以ADLMV,所以S?ADH=；AD^HN=HN，

要使△ADN的面積最小，即要使HN最小，

當且僅當HN_LPC時HN取最小值，

因為平面R4Z)_L平