考前突破01規(guī)律探究（3大必考題型）60題

題型一：數(shù)式規(guī)律探究

題型二：圖形規(guī)律探究

題型三：點坐標(biāo)的規(guī)律探究

.精淮提分

題型一：數(shù)式規(guī)律探究

【中考母題學(xué)方法】

1.（2024?山東日照?中考真題）在數(shù)學(xué)活動課上，老師給出了一個數(shù)字構(gòu)造游戲：對于給定的一列有序數(shù)字，

在每相鄰兩個數(shù)之間插入這兩數(shù)的和，形成新的一列有序數(shù)字.現(xiàn)有一列數(shù)：2,4,進行第1次構(gòu)造，得到

新的一列數(shù)：2,6,4,第2次構(gòu)造后,得到一列數(shù)：2,8,6,10,4,...,第"次構(gòu)造后得到一列數(shù)：2,再,％,孫…，4，4，

記%=2+再+3+%3++々+4.某小組經(jīng)過討論得出如下結(jié)論，錯誤的是（）

A.?3=84B.2為偶數(shù)C.。"+i=3a“-6D.k=2n-l

【答案】D

【知識點】數(shù)字類規(guī)律探索

【分析】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索，先求出%，%,a3,%的值，以及對應(yīng)的左值，可得規(guī)律

屐=32_1-6,此時左=2"-1,據(jù)此可判斷A、C、D；再證明是偶數(shù)即可判斷B.

【詳解】解：由題意得q=2+6+4=12,此時左=1=，一1,

a

a2=12+8+10=30=3^-6,此時26=G—2,左=3=2,-1,

第3次構(gòu)造后得到的一列數(shù)為2,10,8,14,6,16,10,14,4,

回%=30+10+14+16+14=84=3%-6,止匕時與2=出一2,%=23-1=7,故A正確，不符合題意;

同理可得=%+162=3%-6,此時*9=%-2#=15=24-1,

以此類推可知，an=3tz?_1-6,此時左=2"-1,故D錯誤，符合題意

Ely=a?_i-2,an+x=?>an-6,故C正確，不符合題意；

回q=12是偶數(shù)，

吟=4-2是偶數(shù)，

團。2是偶數(shù)，

吟=%-2是偶數(shù)，

團〃3是偶數(shù)，

以此類推，4T也是偶數(shù)，

吟為偶數(shù)，故B正確，不符合題意；

故選：D.

2.(2024.寧夏.中考真題)觀察下列等式：

第1個：1X2-2=22X0

第2個：4x3-3=3"

第3個：9X4-4=42X2

第4個：16X5-5=52X3

按照以上規(guī)律，第〃個等式為.

【答案】M2(n+l)-(w+l)=(n+l)2(w-1)

【知識點】數(shù)字類規(guī)律探索

【分析】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索，觀察可知，序號的平方乘以序號加1減去序號加1的結(jié)果等

于序號加1的平方乘以序號減1,據(jù)此可得答案.

【詳解】解：觀察算式可知，序號的平方乘以序號加1減去序號加1的結(jié)果等于序號加1的平方乘以序號

減1,

所以第〃個等式為："5+1)-5+1)=(”+1)25一1),

故答案為：n2(n+l)-(n+l)=(zi+l)-(n-\).

3.(2024?山東濰坊?中考真題)將連續(xù)的正整數(shù)排成如圖所示的數(shù)表.記為數(shù)表中第i行第，列位置的數(shù)

字,如。(1,2)=4,%2)=8,%4)=22.若％,”)=2024,則〃z=,n=.

T

1T5

14

lOfIlf12fl320

I

25<—24<—23<—22<—21

I

2627—>28—>29—????

【答案】452

【知識點】數(shù)字類規(guī)律探索

【分析】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律：當(dāng)正整數(shù)為左2時，若左為奇數(shù)，則上2

在第上行，第1歹！I,下一個數(shù)再下一行，上一個數(shù)在第2歹!J；若左為偶數(shù)，則廿在第1行，第左列，下一個

數(shù)再下一列，上一個數(shù)在第2行.

【詳解】解：由圖中排布可知，當(dāng)正整數(shù)為^時，

若左為奇數(shù)，則公在第左行，第1歹！I，下一個數(shù)再下一行，上一個數(shù)在第2歹!J；

若左為偶數(shù)，則二在第1行，第七列，下一個數(shù)再下一列，上一個數(shù)在第2行；

2

：a(mn)=2024=2025-1=45-1,

而2025=452,在第45行，第1歹U,

二2024在第45行,第2列，

??in—45,AZ=2,

故答案為：45,2.

【中考模擬即學(xué)即練】

4.(2025?山東臨沂?一模)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了伍+3"("為非負(fù)整數(shù))展

開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律如下，后人也將下表稱為“楊輝三角

(Q+Z?)°=1

(a+Z?)=a+b

(a+Z?)2=a2+2ab+b1

23

(a+人丫=+3c+3ab+b

(a+人=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b*

(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

1

11

121

1331

14641

15101051

則（4+6）23展開式中所有項的系數(shù)和是.（結(jié)果用指數(shù)塞表示）

【答案】22024

【知識點】數(shù)字類規(guī)律探索、運用完全平方公式進行運算

【分析】本題考查了“楊輝三角”展開式中所有項的系數(shù)和的求法，通過觀察展開式中所有項的系數(shù)和，得到

規(guī)律是解題的關(guān)鍵.根據(jù)“楊輝三角”展開式中所有項的系數(shù)和規(guī)律確定出（〃+》）”（W為非負(fù)整數(shù)）展開式的

項系數(shù)和為2"，求出系數(shù)之和即可.

【詳解】解：當(dāng)”=0時，展開式中所有項的系數(shù)和為1=2°，

當(dāng)〃=1時，展開式中所有項的系數(shù)和為1+1=2=21

當(dāng)〃=2時，展開式中所有項的系數(shù)和為1+2+1=4=2上

當(dāng)”=3時，展開式中所有項的系數(shù)和為1+3+3+1=8=23

…,

由此可知（a+by展開式的各項系數(shù)之和為2"，

則（a+6）他4展開式中所有項的系數(shù)和是22期，

故答案為：22°2、

5.（2024?重慶江津?二模）一個四位自然數(shù)"，如果滿足各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同，它的千位數(shù)字與個位

數(shù)字之差為2,百位數(shù)字與十位數(shù)字之差為2,則稱這個數(shù)〃為"雙喜數(shù)".對于一個"雙喜數(shù)"n,記F（〃）=-.例

〃=6314,因為6—4=2,3-1=2,所以6314是“雙喜數(shù)”，尸（6314）==574.貝|尸（8426）=；

若一個四位自然數(shù)優(yōu)是“雙喜數(shù)"，且且駕是整數(shù)，則滿足條件的根的最大值為__________.

12

【答案】7668976

【分析】本題主要考查了"雙喜數(shù)"的定義、實數(shù)的運算、整除等知識點，掌握實數(shù)的運算法則成為解題的關(guān)

鍵.

根據(jù)F(n)=E的定義即可求得F(8426)；由已知可得設(shè)

m=1000x+100j+10(y-2)+x-2=1001x+110y-22,其中2Vx<9,2<y<9,且1,y都是整數(shù)，兀

可得AM)=91x+10y-2,而￡詈是整數(shù)，可知%無+；?-2是整數(shù),可知9k+10y-2必為偶數(shù)，91x-2

為偶數(shù)，故x最大為8；設(shè)726}0y=呷即，="霏竺；然后列舉卬的值找到最大的y值，最后根據(jù)"雙

喜數(shù)"的定義即可解答.

【詳解】解：由題意可得尸(8426)=呼=766,

根據(jù)"雙喜數(shù)"定義，設(shè)〃?=1000x+100y+10(y-2)+x-2=1001x+110y-22,其中24x49,2<y<9,S.x,

y都是整數(shù)，xwy,

小小詠r2=弧+1吁2,

回曾是整數(shù)，

12

9lx+10y2曰擊七.七八

0--------是整數(shù)，

02<x<9,且x是整數(shù)，

國彳=8,

0------57—是整數(shù)，

、六726+10y12w-726

設(shè)一^^=卬，即Hn>=一而—，

02<y<9,

團當(dāng)w=68時，y=9

團滿足條件四位自然數(shù)m的最大值為8976.

故答案為：766,8976.

6.(2024?湖北黃岡?模擬預(yù)測)我國南宋時期數(shù)學(xué)家楊輝于1261年寫下的《詳解九章算法》，書中記載的圖

表給出了(“+6)"展開式的系數(shù)規(guī)律.

1..........(a+6)°=1

11..........(a+6)=a+b

121(?+Z?)2=a2+2ab+b2

1331(a+Z?)3=a3+3a2b+3ab2+b3

當(dāng)代數(shù)式丁一9尤2+27x-27的值為8時，貝！］x的值為.

【答案】5

【分析】本題考查了多項式乘法中的規(guī)律性問題，立方根的定義等知識，靈活的應(yīng)用規(guī)律解題是關(guān)鍵.由

規(guī)律可得：(o+6)3+3a%+3a62,令a=x,b=—3,可得(x—3丫=8,再解方程即可.

【詳解】解：由規(guī)律可得：(a+6)4=a4+4a%+6a282+4a/?+〃，

令0=%b=-3,,

EI(x-3)3=X3-9X2+27X-27,

Elxx3-9x2+27x-27的值為8

EI(X-3)3=8,

El尤一3=2,

團x=5,

故答案為：5.

7.(2024?山東濱州?三模)如圖，在Rt^A。片中，。4=。耳=1，耳=90°,以Rt^AQ用的斜邊4#為

直角邊作等腰直角三角形?AAA，再以的斜邊44為直角邊作等腰直角三角形△右q星，…同樣

的作法，作下去可以依次得到一組等腰直角三角形想再Bz,△&與昌，△4員統(tǒng)，…，里，

則第〃個等腰直角三角形△A4,T紇的面積為.

【答案】22"-3

【分析】本題考查圖形和數(shù)字類規(guī)律探究，涉及等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、算術(shù)平方根等知識，

熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，找到面積變化規(guī)律是解答的關(guān)鍵.先求得前幾個等腰直角三角形的直角

邊長和面積，找到變化規(guī)律，進而可求解.

【詳解】解：回△A.B,T紇是等腰直角三角形，。4=。瓦=1,

團A耳=J12+12=^2，

=B[B?=不卜0)+(3)=2，

&人=44=,2?+2?=2夜,

=B2B3=J(2可+(2可=4,

4員=A4=44、+4、=4y/2，

A,B3=B3B4=J(4句+(4可=8,

..,

團S"*耳=|xlxl=1,

S工研也=萬4片.BXB2=-X2X2=2,

11a

S△他理不也員=JX4X4=8=23，

22

=

2,B3B4=5*8x8=32=25,

依次類推，得％4B”.=22"-3,

故答案為：22n-3

8.(2024?重慶銅梁?一模)在中國文化中，"6"被視為完美的數(shù)字，因為它寓意和諧、順?biāo)旌蛨A滿，因此，"66"

可以被解讀為雙倍順?biāo)旎蚋油昝?一個四位自然數(shù)加=礪，若各個數(shù)位上的數(shù)字均不為0.且滿足1%

-7d|=66.則稱這個四位數(shù)M為"雙順數(shù)".例如：對于9226,回92-26|=66,09226是"雙順數(shù)"；對于2689,

ffl|26-89|=63^66,團2689不是"雙順數(shù)”.則最大的“雙順數(shù)"是；如果將一個"雙順數(shù)"M=而?

的千位數(shù)字與十位數(shù)字交換，百位數(shù)字與個位數(shù)字交換后得到四位數(shù)而，并且規(guī)定：

F(四)=”手.若￡凹是整數(shù)，則符合條件的M的最小值是________.

1017

【答案】99331682

【分析】此題考查學(xué)生數(shù)的表示方法及數(shù)學(xué)推理能力，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意確定出是7的倍數(shù)的數(shù)98.一

個四位數(shù)嘗試最大時嘗試千位數(shù)和百位數(shù)字是9,根據(jù)I方-萬|=66可得個位，十位上數(shù)字為3,因此最大的

“雙順數(shù)”是9933.用。、6、c、1表示出M和“，互換位置后兩數(shù)尸(")="注是7的倍數(shù)，2。。+；"66,

可推斷出M的最小值為1682.

【詳解】解：由題意版-同=66,當(dāng)。=9,6=9時，99-66=33,此時這個四位數(shù)是9933.

故最大的“雙順數(shù)”是為9933.因為|茄-五|=66,不妨設(shè)元〉則這個四位數(shù)各位上數(shù)為c+6,d+6,c,

d,

M=1000(c+6)+1000+6)+10c+,當(dāng)千位數(shù)字與十位數(shù)字交換，百位數(shù)字與個位數(shù)字交換后得到四位數(shù)

M'=1000c+100d+10(c+6)+d+6,

所以網(wǎng)")=絲整2020c+202d+666620c+4+66

101—7

因為ll<10c+d<33可得88<20c+2d+66<99,

又(M)是7的倍數(shù)，

所以可推出20c+2d+66的值為98

貝l|20c+2d=98-66=32,

可得10c+d=16,

因此，c=l,d=6.

所以66+16=82,

故M的最小值為1682.

故答案為：9933、1682.

__]_]_]_]

2=,3=,

9.(2024?湖南岳陽?模擬預(yù)測)已知％='°1，201，3%=1+j'[=]+”,則

q。2。3

q++%+…+%=

【答案】R

【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律實數(shù)運算，根據(jù)題意計算4,電,生,4,得到

=]=]M__

“1+2+3+...+"-小+1)=一2(n“+J即可求解，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

2

【詳解】解：由題意得：4=六

1_1

ITT以

11

%

1_1

177=1+2+3+4,

L,

1_1

%―1,-1+2+3+~~Tn,

---\-n

an

a二1二1M

團n1+2+3+...+〃+1〃n+1J,

2

團4+%+/+

2〃

故答案為：言

10.（2023?遼寧錦州?三模）設(shè)VABC的面積為1,如圖①，將邊BC、AC分別2等分，相交于

點O,一ABO的面積記為H；如圖②，將邊3C、AC分別3等分，BE1、相交于點。，一MO的面積

記為Sz；……，依此類推，貝I52023=

【分析】此題考查了三角形的面積公式，關(guān)鍵通過列方程組求得各個圖形的面積，從中找出規(guī)律.

利用三角形的面積公式，求出前三個圖形的面積，再得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律列出方程便可求得結(jié)果.

【詳解】解：在圖①中，連接OC,

A

一

、AE[=CEX,BD[=CD],

B7c

圖①

?q—Qs二SOCDi'SME]=S5Q=5SABC=W，

??0OAEX~u.OCE[，uOBDi~

q-v-VSOBD~SABD_SOAB，

uOAEi~0ABE1°OAB，XX

?q―s

..uOAEi_uOBDX9

?q—q_q—

一uOAE\_uOCEi_uOBD}~uOCDif

SOCDi=X,則

設(shè)$O4&=S0CEi=SOBDI二

S,+x=一

<i2,

S]+4x=1

解得S1=g；

在圖②中，連接。旦、c)

c、OD2,

A

BD}D2C

圖②

—C—C—C—C—c

則SABE,=S=->S'

ABD[ME1一u0砧2-OCE2~?OBDi~°ODXD2~°OCD2

設(shè)SOAE,=S.og=go%-SOBD.=S皿4=SOCD2=X,貝I

S,+x=-

,3,

S2+6X=1

解得S2=g;

在圖③中，連。心、OE3、OC、OQ、02，

圖③

=SABDi=W，SOAE-SOg—C—C—Q—C—C—Q

則S"E,X一4.OE2E3-Q.OCE3.uOBD{-?OD{D2-uOD2D3-JOCD3，

設(shè)SOAE^=OE\E2=SOE24=SOCE3=SOBD]=SOD[D2=OD2D3~,OCD3=%，則

_￡

S+x

3-4,

S3+8x=1

解得$3=",

1

由可知,S〃=

2n+l

11

2?20231—4047

1

故答案為:

4047

題型二：圖形規(guī)律探究

【中考母題學(xué)方法】

11.（2024,黑龍江牡丹江,中考真題）如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所組成的圖形，第1個

圖有4個三角形.第2個圖有7個三角形，第3個圖有10個三角形……按照此規(guī)律排列下去，第674個圖

中三角形的個數(shù)是（）

△

△△△△

△△△△△△△

AAA△△△AAA

第I個第2個第3個

A.2022B.2023C.2024D.2025

【答案】B

【知識點】圖形類規(guī)律探索

【分析】此題考查了圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的排列，歸納出圖形的變化規(guī)律.根據(jù)前幾

個圖形的變化發(fā)現(xiàn)規(guī)律，可用含〃的代數(shù)式表示出第〃個圖形中三角形的個數(shù)，從而可求第674個圖形中三

角形的個數(shù).

【詳解】解：第1個圖案有4個三角形，即4=3xl+l,

第2個圖案有7個三角形，即7=3x2+l,

第3個圖案有10個三角形，即10=3x3+1,

按此規(guī)律擺下去，第〃個圖案有（3〃+1）個三角形,

則第674個圖案中三角形的個數(shù)為：3x674+1=2023（個）.

故選：B.

12.（2024?山東濟寧?中考真題）如圖，用大小相等的小正方形按照一定規(guī)律拼正方形.第一幅圖有1個正

方形，第二幅圖有5個正方形，第三幅圖有14個正方形......按照此規(guī)律，第六幅圖中正方形的個數(shù)為（）

【答案】B

【知識點】圖形類規(guī)律探索

【分析】本題主要考查了規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形并找到有關(guān)圖形個數(shù)的規(guī)律.仔細(xì)觀察

圖形知道第1個圖形有1個正方形，第2個有5=F+22個，第3個圖形有14=1?+2?+3?個，...由此得到規(guī)

律求得第6個圖形中正方形的個數(shù)即可.

【詳解】第1個圖形有1個正方形，

第2個圖形有5=12+22個正方形，

第3個圖形有14=F+22+32個正方形，

M6^0^<12+22+32+42+52+62=1+4+9+16+25+36=91（個）正方形,

故選：B.

13.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，是用12個相似的直角三角形組成的圖案.若Q4=l,則OG=（）

KL

.125「12564

Rc.—324

64642727

【答案】C

【知識點】圖形類規(guī)律探索、利用相似三角形的性質(zhì)求解、解直角三角形的相關(guān)計算

【分析】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，規(guī)律探究；先求解

360°OBOC=cos3（T=正，再進一步探究即可;

ZBOA=ZBOC==30°,可得空=

12OBOCOD2

【詳解】解：團12個相似的直角三角形,

360°

團Z.BOA=NBOC='■==30°,

12

OAOBOC

=cos30°=

OBOCOD2

團Q4=l,

0OB=-^=lx-V3,

33

OC=g=lx［溝,

6_64

ElOG=lx

~27

故選C

14.（2024?青海,中考真題）如圖是由火柴棒擺成的圖案，按此規(guī)律擺放，第（7）個圖案中有.個火柴

棒.

⑴⑵⑶

【答案】15

【知識點】圖形類規(guī)律探索

【分析】本題考查圖形類規(guī)律探究.根據(jù)題意得到第（1）、（2）、（3）個圖形中火柴棒的數(shù)量，由此可得第

⑺個圖形有。+2〃）根火柴棒,即可.

【詳解】解:根據(jù)題意得：第（1）個圖形有3=1+2根火柴棒，

第（2）個圖形有5=（l+2x2）根火柴棒，

第（3）個圖形有7=（l+2x3）根火柴棒，

第"）個圖形有（1+2〃）根火柴棒，

團第（7）個圖案中有1+2x7=15根火柴棒，

故答案為：15

15.（2024?西藏,中考真題）如圖是由若干個大小相同的"O"組成的一組有規(guī)律的圖案，其中第1個圖案用了

2個第2個圖案用了6個9",第3個圖案用了12個"O",第4個圖案用了20個9”,......,依照此

規(guī)律，第"個圖案中"O"的個數(shù)為（用含“的代數(shù)式表示）.

OOOOO

OOOOOOOOO

OOOOOOOOOOOO

OOOOOOOOOOOOOO…

第1個第2個第3個第4個

【答案】rr+n

【知識點】圖形類規(guī)律探索

【分析】

本題考查了圖形類規(guī)律，根據(jù)圖形規(guī)律求得第〃個圖案中"O"的個數(shù)為"2+〃，解題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)

現(xiàn)題目中。個數(shù)的變化規(guī)律.

【詳解】

解：回第1個圖案用了『+1=2個"O"，

第2個圖案用了用+2=6個"O",

第3個圖案用了3。+3=12個"O",

第4個圖案用了4?+4=20個

團第〃個圖案中"0"的個數(shù)為1+n，

故答案為：rr+n.

16.（2024?山東泰安?中考真題）如圖所示，是用圖形"。"和"?"按一定規(guī)律擺成的"小屋子”.按照此規(guī)律繼續(xù)

擺下去，第個"小屋子"中圖形"。"個數(shù)是圖形"?"個數(shù)的3倍.

O

OOO

CDOOOOOO

OOOOOOOOOOOO……

OOOOOOOOOOooooo

OOOOOOOOOooooo

OOOOOOOOoo

OOOOOOOooooo

(1)(2)(3)(4)(5)

【答案】12

【知識點】用代數(shù)式表示數(shù)、圖形的規(guī)律、與圖形有關(guān)的問題（一元二次方程的應(yīng)用）

【分析】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律、一元二次方程的應(yīng)用等知識點，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)"O"和"?"

的個數(shù)變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)所給圖形，依次求出"O"和"?"的個數(shù),發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再利用規(guī)律列出一元二次方程求解即可.

【詳解】解：由所給圖形可知，

第1個“小屋子"中圖形的個數(shù)為:1=1,"/的個數(shù)為：4=lx2+2；

第2個“小屋子"中圖形的個數(shù)為:3=1+2,"?"的個數(shù)為：6=2x2+2；

第3個“小屋子"中圖形"O"的個數(shù)為:6=1+2+3,"?"的個數(shù)為：8=3x2+2；

第4個“小屋子"中圖形"O"的個數(shù)為:10=1+2+3+4,"/的個數(shù)為：10=4x2+2

所以第一個"小屋子"中圖形的個數(shù)為：1+2+3+?+〃=型，"?"的個數(shù)為：2,1+2；

2

由題矢口“（；+1）=3（2〃+2）,解得4=-1,%=12,

又〃為正整數(shù)，則〃=12,即第12個“小屋子"中圖形"O"個數(shù)是圖形"?”個數(shù)的3倍.

故答案為：12.

【中考模擬即學(xué)即練】

17.（2024?浙江嘉興?一模）為美化市容，某廣場要在人行雨道上用大小相同的灰、白兩色的廣場磚鋪設(shè)圖

案，設(shè)計人員畫出的一些備選圖案如圖所示，圖1灰磚有1塊，白磚有8塊；圖2灰磚有4塊，白枝有12

塊；以此類推；若所選的圖中灰磚有64塊，則白磚有（）塊

圖1圖2圖3

A.28B.30C.34D.36

【答案】D

【知識點】用代數(shù)式表示數(shù)、圖形的規(guī)律、圖形類規(guī)律探索

【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中灰磚和白磚的塊數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題.本題主要考查了圖

形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)灰磚及白磚塊數(shù)變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】由所給圖形可知，

第1個圖形中灰磚塊數(shù)為：1=F，白磚塊數(shù)為：8=lx4+4,

第2個圖形中灰磚塊數(shù)為：4=2?，白磚塊數(shù)為：12=2x4+4,

第3個圖形中灰磚塊數(shù)為：9=3?,白磚塊數(shù)為：16=3x4+4,

所以第〃個圖形中灰磚塊數(shù)為/塊，白磚塊數(shù)為（4〃+4）塊，

當(dāng)“2=64時，"=8（舍負(fù)），

則4〃+4=36（塊），

即所選的圖中灰磚有64塊，則白磚有36塊.

故選：D.

28.（2025?湖南婁底?一模）觀察圖形，若有六邊形2024個，則需火柴棍根.

【答案】10121

【知識點】圖形類規(guī)律探索

【分析】本題考查探索與表達規(guī)律，列代數(shù)式，熟練掌握列代數(shù)式是解題的關(guān)鍵；

對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出發(fā)生變化的位置，并且觀察變化規(guī)律，進而用式子表示一般規(guī)律.觀察圖形

發(fā)現(xiàn)，然后可求出第x個六邊形需要（5%+1）根小棒，把x=2024代入求值即可.

【詳解】解：團有六邊形1個，需要火柴棒根數(shù)為6=5xl+l,

有六邊形2個，需要火柴棒根數(shù)為11=5x2+1,

有六邊形3個，需要火柴棒根數(shù)為16=5x3+1,

有六邊形4個，需要火柴棒根數(shù)為21=5?41,

有六邊形x個，需要（5x+l）根小棒，

團有六邊形2024個，需要火柴棒5x2024+1=10121（根）.

故答案為：10121.

19.（2025,山西長治?模擬預(yù)測）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由大小相同的"＜＞”組成的，第1個圖案中

有3個“＜丫＞",第2個圖案中有9個"弋第3個圖案中有18個"弋二＞"......按此規(guī)律，第八個圖

案中有個（用含〃的代數(shù)式表示）

?田心、3)(77+1)

【答案］-1----L

2

【知識點】用代數(shù)式表示數(shù)、圖形的規(guī)律、圖形類規(guī)律探索

【分析】本題主要考查列代數(shù)式，根據(jù)圖案規(guī)律，寫出第w個圖案中圖形的個數(shù)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)圖案

找出規(guī)律即可.

【詳解】

解：第1個圖案中有：3=3x1個弋?,

第2個圖案中有：9=3*（1+2）個弋〉，

第3個圖案中有：18=3x0+2+3）個弋），

第4個圖案中有：30=3x0+2+3+4）個弋）,

回第〃個圖案中有3。+2+3+…+”）=嗎型個弋＞；

、r3nfn+l）

故答案為：二一L

2

題型三：點坐標(biāo)的規(guī)律探究

【中考母題學(xué)方法】

20.（2023?山東煙臺?中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個網(wǎng)格小正方形的邊長均為1個單位長度，以

點p為位似中心作正方形出443,正方形P4AA，…，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點均在格點上,

其中正方形尸444的頂點坐標(biāo)分別為尸（-3,0）,4（-2,1）,A（T0）,A（-2,-1）,則頂點/）的坐標(biāo)為（

A.（31.34）B.（31,-34）C.（32,35）D.（32,0）

【答案】A

【知識點】點坐標(biāo)規(guī)律探索

【分析】根據(jù)圖象可得移動3次完成一個循環(huán)，從而可得出點坐標(biāo)的規(guī)律4“_2（〃-3,〃）.

【詳解】解：回4（一2,1）,A（-1-2）,4洋，3）,&）（1，4）,L,

回4.一2（〃一3,n）,

0100=3x34-2,則〃=34,

團Aoo（31,34）,

故選：A.

【點睛】本題考查了點的規(guī)律變化，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖象，得到點的變化規(guī)律.

21.(2024?湖北武漢?中考真題)如圖，小好同學(xué)用計算機軟件繪制函數(shù)y=V-3V+3尤-1的圖象，發(fā)現(xiàn)它

關(guān)于點(1,0)中心對稱.若點4(。。%)，4(02%)，4(03%),……,美(19%)，都在函數(shù)

圖象上，這20個點的橫坐標(biāo)從0.1開始依次增加0.1,則％+%+丫3++%+%()的值是()

B.-0.729C.0D.1

【答案】D

【知識點】點坐標(biāo)規(guī)律探索、求自變量的值或函數(shù)值、成中心對稱

【分析】本題是坐標(biāo)規(guī)律題，求函數(shù)值，中心對稱的性質(zhì)，根據(jù)題意得出%+%+%+%+為+%=0,

進而轉(zhuǎn)化為求加+為。，根據(jù)題意可得加=。，為。=1，即可求解.

【詳解】解：???這20個點的橫坐標(biāo)從0,1開始依次增加0.1,

.0.1+1.90.2+1.80.9+1.1,

?.----------=-----------=--------------=1，

222

；?%+%+%+%+乂9=°，

+

；?%+%+為+.-弘9+=V10+%0，而Ao（1，°）即％0=°，

Vy=x3-3x2+3x-l,

當(dāng)x=0時，y=-1,即（0,-1）,

,/（0,-1）關(guān)于點（1,0）中心對稱的點為（2,1）,

即當(dāng)x=2時，%o=1，

?,?%+%+%++必9+以0=%。+%0=0+1=1，

故選：D.

22.(2024?四川巴中?中考真題)如圖，是用12個相似的直角三角形組成的圖案.若。4=1,則OG=()

KL

32-J3

27

【答案】C

【知識點】圖形類規(guī)律探索、利用相似三角形的性質(zhì)求解、解直角三角形的相關(guān)計算

【分析】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，規(guī)律探究；先求解

=cos30o=立，再進一步探究即可;

2

【詳解】解：團12個相似的直角三角形,

360°

^\ZBOA=ZBOC=1■=——=30°,

12

團Q4=l,

aOB=-V3=lx-V3,

33

OC=-=lxf-^，

故選c

23.（2023?山東東營?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/：>=底-百與X軸交于點4，以。A

為邊作正方形點G在y軸上，延長G瓦交直線/于點4，以GA為邊作正方形4B2GG，點G在y

軸上，以同樣的方式依次作正方形A3B3c3c2,…，正方形4。23不。23c2023c2必，則點功儂的橫坐標(biāo)是.

/i-\2022

【答案】1+日

【知識點】點坐標(biāo)規(guī)律探索、一次函數(shù)的規(guī)律探究問題、根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長

【分析】分別求出點點名的橫坐標(biāo)是1，點反的橫坐標(biāo)是1+走，點名的橫坐標(biāo)是友+&=(1+立]，找

333I3J

到規(guī)律，得到答案見即可.

【詳解】解：當(dāng)>=。，0=后-囪，解得x=i,

回點A。，0),

團A^G。是正方形，

團0\—AB]=OC]=1,

團點片(1,1),

團點片的橫坐標(biāo)是1,

當(dāng)y=1時，1=^/3x-A/3,解得x=1+,

回點41+(>1，

團432c2cl是正方形，

團4層=。。2=42G=1+孝，

回點為1+4,2+4,

即點鳥的橫坐標(biāo)是1+理，

3

當(dāng)y=2+^^時，2+,解得x=2),

團4B3GG是正方形，

2^34

0A^=QC3=A3C2=^-+-,

回點名的橫坐標(biāo)是手+g=/2

1+

(/Z-X2022

以此類推，則點B2O23的橫坐標(biāo)是1+日

(反產(chǎn)

故答案為：1+—

I3J

【點睛】此題是點的坐標(biāo)規(guī)律題，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識，數(shù)形結(jié)合是是解

題的關(guān)鍵.

24.(2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點A在y軸上，點B在x軸上，OA=OB=4,

連接A3,過點。作。4于點4,過點兒作A瓦，x軸于點片；過點耳作用4,48于點4,過點人作

人星，x軸于點B?；過點層作坊$LAB于點&,過點&作軸于點鳥；…；按照如此規(guī)律操作下

【知識點】點坐標(biāo)規(guī)律探索、等腰三角形的性質(zhì)和判定

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形依次求出A，4,4的坐標(biāo)，再根據(jù)其規(guī)律寫出人必的坐標(biāo)即可.

【詳解】解：在平面直角坐標(biāo)系中，點A在y軸上，點2在X軸上，04=03=4,

.?.△OAB是等腰直角三角形，ZOR4=45°,

O\LAB,

。4啰是等腰直角三角形，

同理可得：均為等腰直角三角形，

根據(jù)圖中所有的三角形均為等腰直角三角形，

依次可得：^（3,1）,

由此可推出：點4E3的坐標(biāo)為（4-0r，03]

故答案為：卜一白?，9rl

【點睛】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)特征，以及點的坐標(biāo)變化規(guī)律問題，等腰直角三角形

的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是依次求出4,4,4的坐標(biāo)，找出其坐標(biāo)的規(guī)律.

25.（2024?山東青島?中考真題）如圖，點A，4,A，＞4,4M為反比例函數(shù)y=：（左＞0）圖象上的點，其橫

坐標(biāo)依次為1,2,3,過點A，4，A，L,4作X軸的垂線，垂足分別為點，匕；過點a作

&瓦，A區(qū)于點耳，過點人作4與，44于點易，…，過點4+1作4M紇，4%于點紇.記△A44的面

積為y,AAB.A的面積為邑，…,△44,A中的面積為s“.

（1）當(dāng)左=2時，點4的坐標(biāo)為,品+邑=,H+邑+Ss=,H+S2+S3++s“=

（用含”的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)左=3時，Sl+S2+S3++S?=（用含〃的代數(shù)式表示）.

【答案】⑴(1,1);

,、3〃

2--------

2〃+2

【知識點】圖形類規(guī)律探索、反比例函數(shù)與幾何綜合

【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，圖形類的規(guī)律探索：

(1)先求出A(1,2)，4(2,1),A(3,g],進而得到Ad=2,OH1=1,再求出用乜=4凡=1,

4與=乜%=2-1=1,則4(1,1),同理可得魚(2,1],A4k|l&。；)，再根據(jù)三角形面積計算公式

求出際S2,S3)邑的面積，然后找到規(guī)律求解即可;

(2)仿照(1)表示出岳，S2,S3,邑的面積，然后找到規(guī)律求解即可.

2

【詳解】(1)解：當(dāng)左=2時，反比例函數(shù)解析式為y=—,

X

22

在丁=一中，當(dāng)％=1時，y=2；當(dāng)％=2時，y=i；當(dāng)％=3時，y=一,

x3

回A(1,2)，4(2,1),

團_Lx軸，

團AW=2,OH]=1,

團LAiHi,

回B[H[=A2H2=1,A2Bl=H1H2=2-l=l

SB,(1,1);

同理可得華。114(4,￡[,々/J],

0S，BB

1=1-A1-A1=gx(2-l)xl=g,S2=i4B2-A；B2=|x^l-1^xl=i,

21X1=A，54=|A4B4-AB4=1X12xl$

S=

3=2X3225

112213314

團S+s,=—i—=—,§+邑+邑=—?—=—,s+s2+邑+St=—?———

122631*3312412344205

以此類推可得，sl+s.+s3++'=—1；

n+1

7QH

故答案為：(1,1);;

(2)解：當(dāng)左=3時，反比例函數(shù)解析式為y=±3,

X

33

在＞=一中，當(dāng)尤=1時，y=3；當(dāng)％=2時，y=—；當(dāng)工=3時，y=l,

冗2

W412,￡|,陽3,1),

團4"_L%軸,

團A”I=3，。51=1,

團4耳_LAX,

3

團男"1=&兄=2，A2Bl=HiH2=2-l=l

同理可得與(2,11A/G］，小梳)，

S3=14S3-A4B3=lxlx^l-|^S4=1A4B4,AB4=|xlxg-^

以此類推可得，S1+S2+S3++s?

=—xlx|3-

2I

=—xlxf3-

2I

3n

2n+2

【中考模擬即學(xué)即練】

26.(2024?河北石家莊?二模)如圖，一只小螞蟻在平面直角坐標(biāo)系中按圖中路線進行“爬樓梯”運動，第1

次它從原點運動到點(1,0),第2次運動到點(1,1),第3次運動到點(2,1)…按這樣的規(guī)律，經(jīng)過第2024次運

動后，螞蟻的坐標(biāo)是()

A.(1011,1010)B.(1011,1011)C.(1012,1011)D.(1012,1012)

【答案】D

【知識點】點坐標(biāo)規(guī)律探索

【分析】本題主要考查了點的坐標(biāo)規(guī)律探索，根據(jù)前幾次運動的坐標(biāo)特點可得規(guī)律橫坐標(biāo)是從1開始的連

續(xù)的正整數(shù)，每個正整數(shù)出現(xiàn)2次，縱坐標(biāo)是從0開始的正整數(shù)，其中只有0出現(xiàn)1次，其余數(shù)出現(xiàn)2次，

據(jù)此求解即可.

【詳解】解：第1次：（1,0）,

第2