專題09特殊三角形（含勾股定理）

目錄

01理?思維導圖：呈現教材知識結構，構建學科知識體系。

02盤.基礎知識：甄選核心知識逐項分解，基礎不丟分。（4大模塊知識梳理）

知識模塊一：等腰三角形

知識模塊二：等邊三角形

知識模塊三：直角三角形

知識模塊四：勾股定理

03究?考點考法：對考點考法進行細致剖析和講解，全面提升。（10大考點）

考點一：分類討論思想在特殊三角形中的應用

考點二：利用特殊三角形的性質求解

考點三：特殊三角形的判定

考點四：特殊三角形性質與判定綜合

考點五：與特殊三角形性質有關的折疊問題

考點六：與特殊三角形性質有關的多結論問題

考點七：與特殊三角形性質有關的規律探究問題

考點八：利用勾股定理及其逆定理求解

考點九：利用勾股定理及其逆定理與網格問題

考點十：用勾股定理逆定理解決實際生活問題

考點十一：特殊三角形與函數綜合

04破■重點難點：突破重難點，沖刺高分。（5大重難點）

重難點一：手拉手模型

重難點二：趙爽弦圖

重難點三：利用等面積法探究線段關系（維維尼亞模型）

重難點四：求最短路徑問題

重難點五：勾股樹模型

05辨?易混易錯：點撥易混易錯知識點，夯實基礎。（5大易錯點）

易錯點一：等腰三角形腰上的高，中線誤用三線合一定理

易錯點二：機械的運用勾股定理逆定理求解

易錯點三：等腰三角形中未利用分類討論思想求解

思維學松

等邊對等角

等腰三角形J

判定等角對等邊

三個角相等都等于60°

等邊三角形三個角相等

一般三角形|----Z----------

-------------Jj三條邊相等

判定

知識梳理

等腰三角形有一個角60°

兩銳角互余

斜邊的中皤于斜邊的一半

30°角所對的邊等于斜邊的一半

兩直角邊的平方和等于斜邊的平方

直角三角形

Y角是直角

兩個內角互余

判定三角形

一邊上的中線等于這條邊的一半

特殊三角形（含勾股定理）a2+b2=c2

未利用分類討論思想解決等腰三角形的相關問題

等腰三角形混淆等腰三角形的性質與判定

等腰三角形的三線合一是有條件的，等邊三角形的三線合件的

正整數a,b,c

勾股數定義

滿足a2+b2=c2

直角三角形

學法誤區a2+b2-c2

逆定理內容三角形是直角三角形

要明確該三角形是直角三角形

運用直角三角形性質【--------------

明確斜邊和直角邊

S^ABC=^ab=^ch

解題技巧

，/a+b-c

內切圓半徑：—

外接圓半徑：4=品斜邊上的中線

.......盒基礎如常

知識模塊一：等腰三角形

知識點一：等腰三角形的定義

定義：有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的

角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.

知識點二：等腰三角形的性質

等腰三角形性質：

1）等腰三角形是軸對稱圖形，它有1條或3條對稱軸，

①當腰和底邊不相等的等腰三角形只有1條對稱軸，

②當腰和底邊不相等的等腰三角形只有3條對稱軸.

2）等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角“）.

3）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.（簡稱“三線合一”）.

【注意】“三線合一”的前提是等腰三角形，且必須是頂角的角平分線，底邊上的高和底邊上的中線.

知識點三：等腰三角形的判定

等腰三角形的判定：

1）定義法：兩邊相等的三角形是等腰三角形；

2）定理法：有兩個角相等的三角形是等腰三角形，即這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊“）.

【總結】證明兩個角相等的方法：

1）如果角在同一個三角形中，先考慮“等邊對等角”來證明.

2）如果角不在同一個三角形中，可證明兩個三角形全等來解決.

【易錯易混】

1）底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個等腰三角形.（即頂

角36°,底角72°）.

2）等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要依據，是把三角形中的角的相等關系轉化為邊的相等

關系的重要依據.

3）等腰三角形的邊有腰、底之分，角有頂角、底角之分，若題目中的邊沒有明確是底還是腰,角沒有明是頂

角還是底角，需要分類討論.

知識模塊二：等邊三角形

知識點一：等邊三角形的定義

定義：三條邊都相等的三角形叫等邊三角形，它是特殊的等腰三角形.

知識點二：等邊三角形的性質

1）等邊三角形是軸對稱圖形，并且有3條對稱軸；

2）等邊三角形的三條邊相等；

3）二個內角都相等，并且每個內角都是60°.

知識點三：等邊三角形的判定

等邊三角形的判定：

1）定義法：三邊相等的三角形是等邊三角形；

2）三個角都相等的三角形是等邊三角形.

3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

【補充】

1）等邊三角形具有等腰三角形的一切性質.

2）等邊三角形的內心、外心、重心和垂心重合.

3）在等腰三角形中，只要有一個角是60°,無論這個角是頂角還是底角，這個三角形就是等邊三角形.

4）等邊三角形面積的求解方法：S正三角形二，邊長2

4

知識模塊三：直角三角形

知識點一：直角三角形的定義

定義：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形.

知識點二：直角三角形的性質

性質直角三角形兩個銳角互直角三角形斜邊上的中線等于斜邊在直角三角形中，30°角所對的

余.的一半.直角邊等于斜邊的一半.

知識點二：直角三角形的判定

判定：1）兩個內角互余的三角形是直角三角形.

2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

3）有一個角是直角的三角形叫做直角三角形.

4）勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a?+b2=c2,那么這個三角形是直角三角

形.

知識模塊四：勾股定理

知識點一：勾股定理的內容

文字語言：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

符號語言：如果直角三角形的兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么口2+塊=。2.

變式：a2=c2—廣，fo2=c2—a2,

c=Va2+b2,a=Vc2—b2,b=Vc2—b2.

【易錯點】

1）勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數量關系，它只適用于直角三角形，因而在應用勾股定

理時，必須明了所考察的對象是直角三角形；

2)如果已知的兩邊沒有指明邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解

時必須進行分類討論，以免漏解.

3)應用勾股定理時，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶a2+》2=。2時，斜邊只能是c.若b為斜邊，則關

系式是a2+c2=b2；若a為斜邊，則關系式是爐+0?=a?.

知識點二：勾股定理的證明

方法一：如圖一，用4個全等的直角三角形，可以得到一個以Q—a)為邊長的小正方形和一個以c為邊長

的大正方形.即4SA+S正方形EFGH=S正方形ABCD，所以4X之ab+(b-a)?=c?,化簡可證.

方法二(圖二)：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.

四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為S=4x|ab+c2=2ab+c2

大正方形面積為S=(a+b)2=a2+2ab+b2,所以a?+b2=c2

方法三：如圖三，用兩個全等的直角三角形和一個等腰直角三角形，可以得到一個直角梯形.

S梯形=“a+b).(a+b),S梯形=2S&ADE+SAABE=2X}ab+卜2,化簡得證a?+b2=c2

知識點三：勾股數

勾股數：能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即滿足關系a?+爐=c2的3個正整數a,

b,c稱為勾股數.

勾股數需要滿足的兩個條件：1)這三個數均是正整數；

2)兩個較小數的平方和等于最大數的平方.

常見的勾股數：1)3,4,5；2)6,8,10；3)5,12,13等.

知識點四：勾股定理逆定理

內容：如果三角形三邊長a,b,c滿足02+》2=。2,那么這個三角形是直角三角形，其中c為斜邊.

【補充說明】

1）勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法；

2）勾股定理的逆定理通過“數轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平

方和口2+爐與較長邊的平方c2作比較，①若小+62=02時，以a,b,c為三邊的三角形是直角三角形；

②若。2+62<。2時，以a,b,c為三邊的三角形是鈍角三角形；

③若a2+b2>c2時，以a,b,c為三邊的三角形是銳角三角形

君點君法

考點一：分類討論思想在特殊三角形中的應用

1.（2024?江蘇鎮江.中考真題）等腰三角形的兩邊長分別為6和2,則第三邊長為.

2.（2024.四川雅安?中考真題）如圖，在AABC和△2DE中，AB=AC,ABAC=Z.DAE=40°,將AADE繞

點A順時針旋轉一定角度，當4D1BC時，NB4E的度數是.

3.（2011?山東濟南?中考真題）已知一個直角三角形的兩邊長分別為6和8,則第三邊的長是

考點二：利用特殊三角形的性質求解

1.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，等腰A48C中，AB^AC=2,Z.BAC=120°,將AABC沿其底邊中

線力D向下平移，使4的對應點4滿足力A=（4。，則平移前后兩三角形重疊部分的面積是.

2.（2024甘肅蘭州?中考真題）如圖，四邊形48（7￡）為正方形,44￡^為等邊三角形,￡1尸148于點R若2D=4,

則EF=

3.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，A/IBC內接于。。，力。是直徑，若NB=25。，貝此C4D

考點三：特殊三角形的判定

1.（2024?四川自貢?中考真題）如圖，在△ABC中，DEWBC,乙EDF=KC.

⑴求證：Z.BDF=ZX；

（2）若乙4=45。，平分N8DE,請直接寫出△4BC的形狀.

2.（2023?廣東廣州?中考真題）如圖，在正方形力BCD中，E是邊4。上一動點（不與點A,。重合）.邊BC關

于BE對稱的線段為BF,連接力F.

（1）若乙4BE=15。，求證：AABF是等邊三角形;

（2）延長凡4,交射線BE于點G；

①ABGF能否為等腰三角形？如果能，求此時N4BE的度數；如果不能，請說明理由；

②若AB=V3+V6,求4BGF面積的最大值，并求此時2E的長.

3.（2024?廣東潮州.一模）如圖所示，△48c和AOEF都是等腰直角三角形，^ACB=4DFE=90。，。是4B的

中點，CF1FG,EG=V2.

（1）求證:/-CDF=45°；

（2）求AB的長.

考點四：特殊三角形性質與判定綜合

1.（2024?山東東營?中考真題）在Rt△力BC中，ZXCB=90°,AC=1,BC=3.

⑴問題發現

如圖1,將4C4B繞點C按逆時針方向旋轉90。得到△CDE,連接ZD,BE,線段力。與BE的數量關系是

AD與BE的位置關系是；

⑵類比探究

將AOIB繞點C按逆時針方向旋轉任意角度得到ACDE,連接2D,BE,線段力。與BE的數量關系、位置關系

與（1）中結論是否一致？若AD交CE于點、N,請結合圖2說明理由;

（3）遷移應用

如圖3,將△C4B繞點C旋轉一定角度得到△CDE,當點。落到邊上時，連接8E,求線段BE的長.

2.（2024?江蘇常州?中考真題）將邊長均為6cm的等邊三角形紙片4BC、DEF疊放在一起，使點E、B分別

在邊力C、DF上（端點除外），邊AB、EF相交于點G,邊BC、DE相交于點"

(2)如圖2,若EFIIBC,求兩張紙片重疊部分的面積的最大值；

(3)如圖3,當FB>BD時，4E與FB有怎樣的數量關系？試說明理由.

3.(2024.山東泰安.中考真題)如圖1,在等腰RtAABC中，Z71BC=90。，AB=CB,點、D,E分別在

CB上，DB=EB,連接力E,CD,取4E中點尸，連接BF.

(1)求證：CD=2BF,CD1BF；

(2)將4OBE繞點B順時針旋轉到圖2的位置.

①請直接寫出與CD的位置關系：

②求證：CD=2BF.

考點五：與特殊三角形性質有關的折疊問題

1.(2024?湖北?中考真題)在矩形力BCD中，點E,尸分別在邊AD,BC上，將矩形4BCD沿EF折疊，使點A

的對應點尸落在邊CD上，點2的對應點為點G,PG交BC于點、H.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,求證：4DEP“4CPH；

(2)如圖2,當尸為CD的中點，AB=2,力。=3時，求GH的長；

(3)如圖3,連接BG,當尸，X分別為CD,BC的中點時，探究8G與4B的數量關系，并說明理由.

2.(2021?吉林?中考真題)如圖①，在RtAABC中，^ACB=90°,乙4=60。，CD是斜邊48上的中線，點E為

射線BC上一點，將ABDE沿OE折疊，點B的對應點為點F.

圖①圖②

(1)若AB=a.直接寫出CD的長(用含a的代數式表示)；

(2)若DF1BC,垂足為G,點尸與點。在直線CE的異側，連接CF,如圖②，判斷四邊形ADFC的形狀，并

說明理由；

(3)若DF14B,直接寫出NBDE的度數.

3.(2024?河北張家口?模擬預測)如圖，將等腰直角三角形紙片4BC對折，折痕為CD.展平后，再將點B折

疊在邊2C上(不與4C重合)，折痕為EF,點B在2C上的對應點為M,設CD與EM交于點P,連接PF.已

知BC=4.

(1)若“為AC的中點，求CF的長;

（2）隨著點M在邊ac上取不同的位置，

①APFM的形狀是否發生變化？請說明理由;

②求△PFM的周長的取值范圍.

考點六：與特殊三角形性質有關的多結論問題

1.（2023?湖北?中考真題）如圖，△BZCGDEB和△?!￡1/都是等腰直角三角形，NB4C=乙DEB=^AEF=90°,

點E在AABC內，BE>AE,連接DF交4E于點G,DE交2B于點H,連接CF.給出下面四個結論：?^DBA=

乙EBC；②乙BHE=LEGF；@AB=DF；@AD=CF.其中所有正確結論的序號是.

BC

2.（2024?山東濟南.中考真題）如圖1,ATIBC是等邊三角形，點。在邊4B上，BD=2,動點P以每秒1個

單位長度的速度從點B出發，沿折線BC-C4勻速運動，到達點力后停止，連接DP.設點P的運動時間為t（s）,

DP?為y.當動點P沿BC勻速運動到點C時，y與t的函數圖象如圖2所示.有以下四個結論：

①4B=3；②當t=5時，y=l；③當4WtW6時，lWyW3；④動點P沿BC-C4勻速運動時，兩個時

刻匕，t2（G<功）分別對應力和、2,若匕+￡2=6,則%>%?其中正確結論的序號是（）

A.①②③B.①②C.③④D.①②④

3.（2024?山東泰安?中考真題）如圖，中，ZXBC=90°,分別以頂點A,C為圓心，大于12C的長

為半徑畫弧，兩弧分別相交于點M和點N,作直線MN分別與BC,2C交于點E和點F；以點A為圓心，任意

長為半徑畫弧，分別交力B,4C于點H和點G,再分別以點H,點G為圓心，大于|HG的長為半徑畫弧，兩弧

交于點P,作射線2P,若射線力P恰好經過點E,則下列四個結論：@ZC=30°；②4P垂直平分線段BF；

③CE=2BE；?SLBEF=\SLABC.其中，正確結論的個數有（）

6

C.3個D.4個

考點七：與特殊三角形性質有關的規律探究問題

1.（2024.山東東營?中考真題）如圖,在平面直角坐標系中，已知直線I的表達式為y=x，點4的坐標為（VXO）,

以。為圓心，。&為半徑畫弧，交直線1于點2,過點當作直線1的垂線交x軸于點出；以。為圓心，。4為半

徑畫弧，交直線/于點過點當作直線/的垂線交x軸于點①；以。為圓心，。&為半徑畫弧，交直線/于點4,

過點當作直線I的垂線交X軸于點力爐……按照這樣的規律進行下去，點4024的橫坐標是.

2.（2024.山東濟南.二模）如圖，在平面直角坐標系中，將等邊A04B繞點4旋轉180。得到△。〃當，再將

△34B1繞點01旋轉180。得到△。1人殳，再將△。14殳繞點4旋轉180。得到△da%,按此規律進行下去，

若點8的坐標為（-2,0）,則點殳024的坐標為.

3.（2024?河南商丘.三模）如圖，在平面直角坐標系中，點。，01，A,A，B,B?C,Q,……都是平行

四邊形的頂點，點力，B,C,在x軸的正半軸上，乙4。。1=30。，OA=V3,AB=2V3,BC=3<3,。。］=

2,a4=4,8當=6,…，平行四邊形按此規律依次排列，則第8個平行四邊形對稱中心的坐標是（）

A.(36百,4)B.(36,4V3)C.(36,4)D.(4,36)

考點八：利用勾股定理及其逆定理求解

1.（2024.西藏?中考真題）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,以點8為圓心，適當長為半徑作弧，分別交BC,

B力于點。，E,再分別以點。，E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在N4BC的內部相交于點P,作

射線BP交AC于點F.已知CF=3,AF=5,貝的長為.

2.（2024?山東淄博.中考真題）如圖，在邊長為10的菱形48CD中，對角線2C,B。相交與點0,點E在BC延

長線上，OE與CD相交與點F.若〃CD=2NOEC,則菱形4BCD的面積為________.

FE6

3.（2024.江蘇南通?中考真題）如圖，△力8c中，AB=3,AC=4,BC=5,。2與8c相切于點Z）.

（1）求圖中陰影部分的面積；

（2）設。4上有一動點P,連接CP,BP.當CP的長最大時，求BP的長.

考點九：利用勾股定理及其逆定理與網格問題

1.(2024?安徽?中考真題)如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中建立平面直角坐標系％Oy,

格點(網格線的交點)A、B,C、D的坐標分別為(7,8),(2,8),(10,4),(5,4).

(1)以點。為旋轉中心，將AZBC旋轉180。得到AAiBiCi，畫出△兒當心；

(2)直接寫出以3,G，C為頂點的四邊形的面積；

(3)在所給的網格圖中確定一個格點E,使得射線4E平分NB4C,寫出點E的坐標.

2.(2024.天津?中考真題)如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，點4F,G均在格點上.

(2)點E在水平網格線上，過點力，E,F作圓，經過圓與水平網格線的交點作切線，分別與力E,4F的延長

線相交于點B,C,△力BC中，點M在邊BC上，點N在邊力B上，點P在邊AC上.請用無刻度的直尺，在如圖

所示的網格中，畫出點M,N,P,使△MNP的周長最短，并簡要說明點M,N,P的位置是如何找到的(不

要求證明).

3.(2024?廣東.模擬預測)如圖，在6x7的正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1,四邊形2BCD的頂

點均在網格的格點上.

⑴求sin。的值.

（2）操作與計算：用尺規作圖法過點C作CE14D,垂足為E,并直接寫出CE的長.（保留作圖痕跡，不要

求寫出作法）

考點十：用勾股定理逆定理解決實際生活問題

1.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知2（3,0）,8（0,2）,過點B作y軸的垂線

I,P為直線I上一動點，連接PO,PA,則P0+P4的最小值為.

2.（2023?江蘇宿遷?模擬預測）如圖，A,B兩地被大山阻隔，C地在A地的北偏東60。的方向上，在2地西

北方向上，且A,C兩地間距離為20km,若要從A地到B地，現只能沿著的公路先從A地到的C地，再由

C地到2地.計劃開鑿隧道，使A,B兩地直線貫通，求隧道開通后與隧道開通前相比，從A地到B地的路

程將縮短多少？（結果精確到0.1km,參考數據a=1.414,V3?1,732）

3.（2023?海南海口?模擬預測）深秋已至，稻客張師傅在一塊四邊形（如圖）的田地里收割稻谷.已知四

邊形4BCD中，NC=90°,BC=15m,CD=20m,48=24m,AD=7m,若張師傅的收割價格為0.65元/m2,

請你計算這塊田地張師傅應該收費多少元？

B\

考點十一：特殊三角形與函數綜合

1.(2023?四川成都?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=a/+c經過點尸(4,-3),

與y軸交于點4(0,1),直線y=kx(k大0)與拋物線交于2,C兩點.

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)若△力BP是以48為腰的等腰三角形，求點B的坐標；

(3)過點M(0,m)作y軸的垂線，交直線于點D,交直線AC于點E.試探究：是否存在常數m,使得OD1OE

始終成立？若存在，求出機的值；若不存在，請說明理由.

2.(2024?黑龍江牡丹江.中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，直線y=%+b與無軸的正半軸交于點A,

與y軸的負半軸交于點。，點2在x軸的正半軸匕四邊形4BCD是平行四邊形，線段。4的長是一元二次方

程/一4%-12=0的一個根.請解答下列問題：

(1)求點D的坐標；

(2)若線段BC的垂直平分線交直線4。于點E,交x軸于點尸，交BC于點G,點E在第一象限，AE=3V2,

連接BE,求tan/ABE的值；

(3)在(2)的條件下，點M在直線DE上，在x軸上是否存在點N,使以E、M、N為頂點的三角形是直角邊

比為1：2的直角三角形？若存在，請直接寫出AEMN的個數和其中兩個點N的坐標；若不存在，請說明理

由.

3.(2023?四川綿陽?中考真題)如圖，過原點。的直線與反比例函數為=5(kKO)的圖象交于2(1,2),B

兩點，一次函數%=6久+。(機40)的圖象過點人與反比例函數交于另一點C(2,n).

(1)求反比例函數的解析式；當月＞%時，根據圖象直接寫出尤的取值范圍；

(2)在y軸上是否存在點M,使得△COM為等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

4.(2024?四川成都.二模)如圖1,在平面直角坐標系“Oy中，直線y=—￡與反比例函數y=§的圖象

交于2,8兩點，其中點4的坐標為(a,6).

(1)求反比例函數的解析式;

(2)如圖2,連接4。，BO,求AAOB的面積;

(3)作直線AM,BN分別垂直于x軸和y軸，垂足為M,N,4M與BN交于點C,在第一象限內存在一點D使得

乙BDC=90。,連接4),若點P是力。的中點，連接CP,當CP最大時，求出此時點。的坐標及CP的值.

€點嫩點

重難點一：手拉手模型

1.(2022?青海?中考真題)兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂

點連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規律的圖形稱為“手拉手”圖形.

(1)問題發現：

如圖1,若△ABC和AADE是頂角相等的等腰三角形，BC,DE分別是底邊.求證：BD=CE；

(2)解決問題：如圖2,若AACB和ADCE均為等腰直角三角形，NACB=ADCE=90。，點A,D,E在同一

條直線上，CM為ADCE中DE邊上的高，連接BE,請判斷乙4即的度數及線段CM,AE,BE之間的數量

關系并說明理由.

圖2

2.(2024?遼寧大連?一模)【模型定義】

它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構成.在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形.他

們得知這種模型稱為“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰長看作是小手，大等腰三角形的腰長看作大手,

兩個等腰三角形有公共頂點，類似大手拉著小手.

【模型探究】

(1)如圖1,若AACB和ADCE均為等邊三角形，點力、D、E在同一條直線上，連接BE,則N&E8的度數為」

線段BE與a。之間的數量關系是一

【模型應用】

(2)如圖2,AB=BC,N4BC=N8DC=60。，求證：AD+CD=BD；

(3)如圖3,P為等邊A4BC內一點，且P4：PB：PC=3：4：5,以BP為邊構造等邊ABPM,這樣就有兩

個等邊三角形共頂點B,然后連接CM,求N4PB的度數是一.

【拓展提高】

(4)如圖4,在△ABC中，AB=AC,^BAC=m°,點E為△ABC外一點，點。為BC中點，乙EBC=LACF,

ED求NR4F的度數.(用含有機的式子表示)

(5)如圖5,兩個等腰直角三角形△ABC和AADE中，AB=AC,AE=AD,^.BAC=/.DAE=90°,連接8。，

CE,兩線交于點P,請證明BD和CE的數量關系和位置關系.

重難點二：趙爽弦圖

1.(2024?湖北武漢?中考真題)如圖是我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”，它是

由四個全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ拼成的一個大正方形4BCD.直線MP交正方形4BC。的兩

邊于點E,F,記正方形ABCD的面積為S],正方形MNPQ的面積為52.若BE=kAE(k>1),則用含k的式

子表示獸的值是.

A

E

R

2.(2020?湖北孝感?中考真題)如圖1,四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這

個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”.在此圖形中連接四條線段得

到如圖2的圖案，記陰影部分的面積為S1，空白部分的面積為S2,大正方形的邊長為小，小正方形的邊長為

若S】=S2,則爭勺值為.

圖1圖2

3.（2024?河北?模擬預測）如圖1,嘉嘉用四個全等的直角三角形拼接了一個“趙爽弦圖”，其中大正方形4BCD

的面積為25,小正方形EFGH的面積為1.

圖I

（1）如圖2,連接。G,CF,BE,2"得到一個風車圖案（陰影部分），則風車圖案的周長為

（2）如圖3,連接4C,交BG于點P,交。E于點M,則SAAFP-SACGP=.

重難點三：利用等面積法探究線段關系（維維尼亞模型）

1.（2023?湖南永州?二模）如圖，在等腰三角形力BC中，AB=AC,點P是底邊BC上任意一點（不與B、C重

合），過C作CD14B于。，為AB邊上的高過點「作「用_L4B,PN1AC,垂足為M、N,由等面積法可知

S^ABC^S^APB+S^APC,即=1A8-PM+/C-PN,從而可得：CD=PM+PN.即：等腰三角

形底邊上任意一點到兩腰的距離和，等于腰上的高.

⑴如圖1,在矩形4BCD中，AB=3,AD=4,P是4。上不與4和。重合的一個動點，過點P分別作4C、BO的

垂線，垂足分別為E、F.求PE+PF的值；

⑵如圖2,在矩形ABCD中，點M、N分別在邊4D、8c上，將矩形48CD沿直線MN折疊，使點。恰好與點B重

合，點C落在點C，處.點P為線段MN上一動點（不與點M,N重合），過點P分別作直線8M、BC的垂線，垂足

分別為E、F,以PE、PF為鄰邊作平行四邊形PEGF,若DM=13,CN=5,求平行四邊形PEGF的周長；

（3）如圖3,當點P是等邊AABC外一點時，過點P分別作直線的垂線，垂足分別為點心、若

PHr-PH2+PH3=3,直接寫出△ABC的面積.

2.（2023?廣西貴港?模擬預測）閱讀理解學習

如圖1,在△力BC中，AB=AC,BD是AABC的高，P是BC邊上一點，PM,PN分另1J與直線AB,4C垂直，

垂足分別為M,N,求證：B。=PM+PN.小剛發現：連接2P,有S-BC=S-BP+SA4CP，^AC-BD=

^AB-PM+^AC-P