專題13特殊平行四邊形

目錄

01理?思維導圖：呈現教材知識結構，構建學科知識體系。

02盤?基礎知識：甄選核心知識逐項分解，基礎不丟分。（3大模塊知識梳理）

知識模塊一：矩形的性質與判定

知識模塊二：菱形的性質與判定

知識模塊三：正方形的性質與判定

03究?考點考法：對考點考法進行細致剖析和講解，全面提升。（12大基礎考點）

考點一：根據特殊四邊形的性質求角度

考點二：根據特殊四邊形的性質求線段長

考點三：根據特殊四邊形的性質求周長

考點四：根據特殊四邊形的性質求面積

考點五：根據特殊四邊形的性質求點的坐標

考點六：利用特殊四邊形的性質證明

考點七：特殊四邊形的折疊問題

考點八：證明四邊形是特殊四邊形

考點九：根據特殊四邊形的性質與判定求角度

考點十：根據特殊四邊形的性質與判定求線段長

考點十一：根據特殊四邊形的性質與判定求周長

考點十二：根據特殊四邊形的性質與判定求面積

04破?重點難點：突破重難點，沖刺高分。（6大重難點）

重難點一：與特殊平行四邊形有關的最值問題

重難點二：中點模型

重難點三：十字架模型

重難點四：半角模型

重難點五：一線三垂直模型

重難點六：對角互補模型

05辨?易混易錯：點撥易混易錯知識點，夯實基礎。（2大易錯點）

易錯點1：未掌握矩形，菱形，正方形的判定定理

易錯點2：求菱形面積時出錯

思維￥槌

具有的四邊形所有14S

四個角都是直角

對角線相等

既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形

有一個角是直角的平行四邊形

角-----------------------------

有三個角是直角的四邊形

判定對角線對角線相等的平行四邊形

運用勾股定理求邊或對角線的長

應用

運用對角線相等證明四個小三角形的面積相等

具有平行四邊形所有蟠

邊四條邊都相等

兩條又捅線互相垂直

對角線

菱形每一條對角線平分一組對角

有一組鄰邊相等的平行四邊形

特殊平行四邊形&邊

四條邊都相等的四邊形

判定

對角線互相垂直的平行四邊形

具有帝亍四娜所有瞳

邊四條邊都相等

角四個角都是直角

相等

對角線互相垂直平分

每條對角線平分一組對角

正方形軸對稱圖形4條對稱軸

對稱性

中心對稱圖形

邊有一組鄰邊相等的矩形

角有一個角是直角的菱形

判定

對角線互相垂直的朝

對角線

對角線相等的美形

盒基森如說、

知識模塊一：矩形

知識點一：矩形的性質

性質符號語言圖示

邊兩組對邊平行且相等?/四邊形ABCD是矩形

，AB=CD,AD=BC,AB//CD,AD//BCAD

角四個角都是直角四邊形ABCD是矩形

???NBAD=NBCD二NABC二NADC=90°

BC

對角線兩條對角線互相平分???四邊形ABCD是矩形

且相等.*.A0=C0=B0=D0

【補充】

1）矩形是特殊的平行四邊形，所以矩形具有平行四邊形的一切性質；

2）矩形的兩條對角線將矩形分成兩對全等的等腰三角形，經常會用到等腰三角形的性質解決問題.

3）利用矩形的性質可以推出：在直角三角形中斜邊的中線，等于斜邊的一半.

知識點二：矩形的判定

判定定理符號語言圖示

一個角是直角的平行四在平行四邊形ABCD中，AD

邊形是矩形VZABC=90°,二平行四邊形ABCD是矩o

BC

角形

二個角是直角的四邊形在四邊形ABCD中，D

是矩形VZB=ZA=ZD=90°,

BC

**?四邊形ABCD是矩形

對角線對角線相等的平行四邊在平行四邊形ABCD中，AD

形是矩形：AC=BD,.?.平行四邊形ABCD是矩形

BX

C

知識模塊二：菱形

知識點一：菱形的性質

性質定理符號語言圖示

???四邊形ABCD是菱形

邊四條邊都相等

L

.\AB=CD=AD=BC

四邊形ABCD是菱形，AC_LBD,

對角對角線互相垂直，且每一條——

AC平分/BAD,AC平分/BAD,

線對角線平分一組對角r

AC平分/BAD,AC平分/BAD

【補充】

1）菱形是特殊的平行四邊形，所以菱形具有平行四邊形的一切性質；

2）菱形的兩條對角線互相垂直，且對角線將菱形分成四個全等的直角三角形.

3）對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形.

4）菱形的面積公式：

①菱形的面積=底義高，即

②菱形的面積=兩條對角線長的乘積的一半，即S=’根”.

2

知識點二：菱形的判定

判定定理符號語言圖示

四條邊相等的四邊形是在四邊形ABCD中，

邊菱形.：AB=BC=CD=AD,四邊形ABCD是菱

形

一組鄰邊相等的平行四在平行四邊形ABCD中，c

邊形是菱形.VAB=BC,平行四邊形ABCD是菱形

對角線對角線互相垂直的平行在平行四邊形ABCD中，A

四邊形是菱形.VAC±BD,平行四邊形ABCD是菱形

B

C

知識模塊三：正方形

知識點一：正方形的性質

1）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等，對邊平行.

2）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角.

【補充】

1）正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質.

2）一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45°.

3）兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形.

4）正方形的面積是邊長的平方，也可表示為對角線長平方的一半.

知識點二：正方形的判定

定義法平行四邊形+一組鄰邊相等+一個角為直角有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊

形是正方形

判定定理矩形+一組鄰邊相等有一組鄰邊相等的矩形是正方形

矩形+對角線互相垂直對角線互相垂直的矩形是正方形

菱形+一個角是直角有一個角是直角的菱形是正方形

菱形+對角線相等對角線相等的菱形是正方形

⑹著點司法

考點一：根據特殊四邊形的性質求角度

1.（2023?黑龍江哈爾濱?中考真題）矩形4BCD的對角線4C,BD相交于點0,點F在矩形4BCD邊上，連接0F.若

4ADB=38°,4BOF=30°,貝！JNHOF=.

2.（2023?黑龍江大慶?中考真題）將兩個完全相同的菱形按如圖方式放置，若4BAD=a,乙CBE=0,貝4=

()

B

13

45。+%C.90°--aD.90°--a

222

3.（2023?山東?中考真題）如圖，點E是正方形4BCD內的一點，將△ABE繞點8按順時針方向旋轉90。得到

△CBF.若4WE=55°,則/EGC=度.

考點二：根據特殊四邊形的性質求線段長

4.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，矩形4BCD的對角線4C與BD交于點0,DE14C于點E,延長DE與BC交

于點F.若AB=3,BC=4,則點F到BD的距離為.

5.（2024.海南?中考真題）如圖，菱形4BCD的邊長為2,NABC=120。，邊4B在數軸上，將2C繞點A順時

針旋轉，點C落在數軸上的點E處，若點E表示的數是3,則點A表示的數是（）

BE

A.1B.1-V3C.0D.3-2V3

6.（2024?吉林?中考真題）如圖，正方形2BCD的對角線AC,BD相交于點。，點E是。力的中點，點E是。。上

一點.連接EF.若NFEO=45。，則g的值為

考點三：根據特殊四邊形的性質求周長

7.（2023?遼寧丹東?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，對角線4C與BD相交于點O,UBD=60°,AE1BD,

垂足為點E,尸是。C的中點，連接EF,若EF=2次，則矩形力BCD的周長是（）

C.4V3+8D.8g+8

8.（2023?內蒙古?中考真題）如圖，在菱形48CD中，4B=4,乙4=120。，順次連接菱形4BCD各邊中點E、

F、G、H,則四邊形EFGH的周長為（）

C.4+4V3D.6+4V3

9.（2024?江蘇連云港.中考真題）如圖,正方形中有一個由若干個長方形組成的對稱圖案，其中正方形邊長

是80cm,則圖中陰影圖形的周長是（）

A.440cmB.320cmC.280cmD.160cm

考點四：根據特殊四邊形的性質求面積

10.（2022?湖南邵陽?中考真題）已知矩形的一邊長為6cm,一條對角線的長為10cm,則矩形的面積為

cm2".

11.（2024?廣東.中考真題）如圖，菱形48CD的面積為24,點E是4B的中點，點廠是BC上的動點.若4BEF

的面積為4,則圖中陰影部分的面積為.

12.（2023?湖南?中考真題）七巧板是我國民間廣為流傳的一種益智玩具，某同學用邊長為4dm的正方形紙

板制作了一副七巧板（如圖），由5個等腰直角三角形，1個正方形和1個平行四邊形組成.則圖中陰影部

分的面積為dm3.

考點五：根據特殊四邊形的性質求點的坐標

13.（2024?吉林中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（-4,0）,點C的坐標為（0,2）.以。4,OC

為邊作矩形Q48C,若將矩形04BC繞點。順時針旋轉90。，得到矩形OA'B'C',則點夕的坐標為（）

5

A'―

_______C

AOCx

A.(-4,-2)B.(-4,2)C.(2,4)D.(4,2)

14.(2024.遼寧?中考真題)如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形40BC的頂點4在x軸負半軸上，頂點B在

直線y=|x上，若點B的橫坐標是8,為點C的坐標為()

A.(-1,6)B.(-2,6)C.(-3,6)D.(-4,6)

15.(2024.河南?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，正方形48CD的邊力8在左軸上，點A的坐標為(-2,0),

點E在邊CD上.將4BCE沿BE折疊,點C落在點尸處.若點P的坐標為(0,6),則點E的坐標為.

考點六：利用特殊四邊形的性質證明

16.(2024?山東東營?中考真題)如圖，四邊形48CD是矩形，直線EF分別交AD,BC,8。于點E,F,O,

下列條件中，不能證明AB。尸三△DOE的是()

A.。為矩形48CD兩條對角線的交點B.EO=FO

C.AE=CFD.EF1BD

17.(2024?山東青島?中考真題)如圖，菱形48CD中，BC=10,面積為60,對角線AC與8。相交于點。,

過點A作交邊BC于點E,連接E。，則E。=

18.（2023?四川綿陽?中考真題）如圖，在邊長為4的正方形2BCD中，點G是BC上的一點，且BG=3GC,

DEL2G于點E,BF||DE,且交4G于點R則tan/EDF的值為()

A-；B-1c|D-I

考點七:特殊四邊形的折疊問題

19.（2024.山東淄博.中考真題）如圖所示，在矩形力BCD中，BC=2AB,點M,N分別在邊8C,力。上.連

接MN,將四邊形CMND沿MN翻折，點C,。分別落在點4E處.貝Utan乙4MN的值是（）

A.2B.V2C.V3D.V5

20.（2023?江蘇南京?中考真題）如圖，在菱形紙片2BCD中,點E在邊4B上，將紙片沿CE折疊，點、B

落在B'處，CB'LAD,垂足為尸若CF=4cm,FB'=1cm,則BE=___cm

21.（2023?湖北?中考真題）如圖，將邊長為3的正方形A8CD沿直線EF折疊，使點B的對應點M落在邊4。上

（點M不與點4。重合），點c落在點N處，MN與CD交于點、P,折痕分別與邊48,CD交于點￡,尸，連接BM.

(1)求證：^AMB=4BMP；

(2)若DP=1,求MD的長.

考點八：證明四邊形是特殊四邊形

22.（2024?吉林長春?中考真題）如圖，在四邊形48CD中，乙4=LB=90。,。是邊4B的中點，乙4。。=NBOC.求

證：四邊形4BCD是矩形.

23.（2024?內蒙古呼倫貝爾?中考真題）如圖，在平行四邊形力BCD中，點尸在邊力。上，AB=AF,連接BF,

點。為BF的中點，4。的延長線交邊BC于點E,連接EF

（1）求證：四邊形A8EF是菱形：

⑵若平行四邊形4BCD的周長為22,CE=1,ABAD=120°,求4E的長.

24.（2023?湖北十堰?中考真題）如圖，回48CD的對角線力&BD交于點。，分別以點為圓心，長

為半徑畫弧，兩弧交于點P,連接BP,CP.

AD

（1）試判斷四邊形BPC。的形狀，并說明理由；

（2）請說明當團力BCD的對角線滿足什么條件時，四邊形BPCO是正方形？

考點九：根據特殊四邊形的性質與判定求角度

25.（2024?湖北武漢?中考真題）小美同學按如下步驟作四邊形4BCD：①畫NAMN；②以點4為圓心，1個單

位長為半徑畫弧，分別交4M,4N于點B,D；③分別以點8,。為圓心,,1個單位長為半徑畫弧，兩弧交于點

C；④連接BC,CD,BD.若乙4=44。，則NC8D的大小是（）

Af

/X\//

Z__

A[yN

A.64°B.66°C.68°E）.70°

26.（2023?江蘇鎮江?二模）如圖，在平行四邊形4BCD中，點E、F、C；、”分別在邊力B、BC、CD、D4上，

且AE=CG,BF=DH,連接EG、FH.

DGC

AEB

⑴求證：4AEH任CGF；

（2）若EG=FH/AHE=35。，求NDHG的度數.

27.（2023?四川?中考真題）如圖，半徑為5的扇形20B中,/.AOB=90°,。是舫上一點，CD1OA,CE1OB,

垂足分別為D,E,若CD=CE,則圖中陰影部分面積為（）

.257rc257r—,257r一257r

A.—B.—C.——D.—

16864

考點十：根據特殊四邊形的性質與判定求線段長

28.（2024.西藏?中考真題）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=12,BC=5,點尸是邊48上任意一點,

過點尸作PD14C,PE1BC,垂足分別為點。，E,連接DE,則DE的最小值是（）

29.（2024?山東德州?中考真題）如圖，ElABCD中，對角線4C平分NR4D.

（1）求證：12ABe。是菱形；

（2）若力C=8,4DCB=74°,求菱形力BCD的邊長.（參考數據：sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75）

30.（2020?貴州黔西?中考真題）如圖，在ATlBC中，CA=CB,Z.ACB=90°,4B=2,點。為48的中點，

以點。為圓心作圓心角為90。的扇形EDF,點C恰在舁上，則圖中陰影部分的面積為.

B

考點十一：根據特殊四邊形的性質與判定求周長

31.（2021.內蒙古?中考真題）如圖，在回ABC。中，AD=12,以AD為直徑的O。與相切于點E,連接

OC.若。C=4B,貝!!laaBCD的周長為

32.（2023?青海西寧?中考真題）如圖，在團4BCD中，點E,F分別在4B,CD的延長線上，且BE=DF,連

接EF與4C交于點M,連接力F,CE.

E

（1）求證：LAEM=△CFM-,

（2）若4尸=3魚，求四邊形2ECF的周長.

33.（2023?浙江?模擬預測）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,AB=10,兩銳角的角平

分線交于點P,點E,F分別在邊AC,BC上，且NEPF=45。，求△CEF的周長.

P

A

B

考點十二：根據特殊四邊形的性質與判定求面積

34.（2023?山東濰坊?中考真題）工匠師傅準備從六邊形的鐵皮4BCDEF中，裁出一塊矩形鐵皮制作工件，

如圖所示.經測量，AB||DE,4B與DE之間的距離為2米，48=3米，4F=8C=1米，乙4==90。,

ZC=ZF=135°.MH,HG,GN是工匠師傅畫出的裁剪虛線.當的長度為多少時，矩形鐵皮MNGH的面

積最大，最大面積是多少？

35.（2023?西藏?中考真題）如圖，兩張寬為3的長方形紙條疊放在一起，己知乙48c=60。，則陰影部分的

A.1B.3V3C.竽D.6V3

36.（2021?廣西貴港?中考真題）如圖，在正方形ABC。中，E,尸是對角線AC上的兩點，MEF=2AE=2CF,

連接。E并延長交AB于點連接DP并延長交8c于點N,連接MN,則登也=（）

S&MBN

Dy__________

A0MB

321

A-；B-3C-1D.5

f點燃點

重難點一：與特殊平行四邊形有關的最值問題

1.如圖，在RtAABC中，Z5XC=90°,且B4=6,AC=8,點。是斜邊BC上的一個動點，過點。分別作

DM1AB于點M,DNLAC于點、N,連接MN,則線段MN的最小值為（）

A.5B.3.6C.2.4D.4.8

2.（2022?山東苗澤?中考真題）如圖，在菱形ABC。中，力B=2,々1BC=60。，M是對角線3。上的一個動

點，CF=BF,則M4+MF的最小值為（）

A.1B.V2C.V3D.2

3.（2021?青海?中考真題）如圖,正方形4BCD的邊長為8,M在DC上，且0M=2,N是AC上一動點，則DN+MN

的最小值為

重難點二：中點模型

1.（2023?山西?中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學的數學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應任務.

瓦里尼翁平行四邊形

我們知道，如圖1,在四邊形48CD中，點E,F,G,H分別是邊D4的中點，順次連接E,F,G,H,

得到的四邊形EFGH是平行四邊形.

D

圖1我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形EFGH被稱為瓦里尼翁平行四邊形.瓦里

尼翁"ar譏gncm,Pierrel654—1722）是法國數學家、力學家.瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關系密切.

①當原四邊形的對角線滿足一定關系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正

方形.

②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關系.

③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.此結論可借助圖1證明如下：

證明：如圖2,連接AC,分別交于點P,Q,過點。作DM1AC于點M,交HG于點N.

???H,G分別為的中點，??.HG||=*C.（依據1）

D

圖2,,黑嗎??:DG=GC,：.DN=NM=3DM.

???四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，.WE||GF,即”P||GQ.

■.■HG||AC,SPWG||PQ,

四邊形HPQG是平行四邊形.（依據2）：.SmPQG=HG,MN=^HG-DM.

','SAADC=萬力，-DM=HG-DM,■,-S^HPQG=^I^ADC■同理，…

任務:

（1）填空：材料中的依據1是指：.

依據2是指：.

（2）請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形4BCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFGH,使得四邊形EFGH為

矩形；（要求同時畫出四邊形4BCD的對角線）

（3）在圖1中，分別連接4C,BD得到圖3,請猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長與對角線4C,BD長度的關

系，并證明你的結論.

圖3

2.（2024?青海?中考真題）綜合與實踐

順次連接任意一個四邊形的中點得到一個新四邊形，我們稱這個新四邊形為原四邊形的中點四邊形.數學

興趣小組通過作圖、測量，猜想：原四邊形的對角線對中點四邊形的形狀有著決定性作用.

以下從對角線的數量關系和位置關系兩個方面展開探究.

【探究一】

原四邊形對角線關系中點四邊形形狀1

不相等、不垂直平行四邊形

圖1

如圖1,在四邊形4BCD中，E、F、G、H分別是各邊的中點.

求證：中點四邊形EFGH是平行四邊形.

證明：???￡、F、G、//分別是43、BC、CD、的中點，

；.EF、GH分別是△ABC和△4CD的中位線，

.許=2，GH=IAC（一①一）

：.EF=GH.

同理可得：EH=FG.

???中點四邊形EFGH是平行四邊形.

結論：任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形.

(1)請你補全上述過程中的證明依據①

【探究二】

原四邊形對角線關系中點四邊形形狀A

不相等、不垂直平行四邊形%

B

AC=BD菱形

____1____1____1____'

C圖2

從作圖、測量結果得出猜想I:原四邊形的對角線相等時，中點四邊形是菱形.

(2)下面我們結合圖2來證明猜想I,請你在探究一證明結論的基礎上，寫出后續的證明過程.

(3)從作圖、測量結果得出猜想H：原四邊形對角線垂直時，中點四邊形是②.

(4)下面我們結合圖3來證明猜想H,請你在探究一證明結論的基礎上，寫出后續的證明過程.

【歸納總結】

(5)請你根據上述探究過程，補全下面的結論，并在圖4中畫出對應的圖形.

中點四邊形形狀

原四邊形對角線關系

③________④________

結論：原四邊形對角線③.時，中點四邊形是④.

重難點三：十字架模型

1.(2023?山東?中考真題)(1)如圖1,在矩形力BCD中,點E,F分別在邊DC,BC上，AE1DF,垂足為

點G.求證：4ADEfDCF.

圖1圖2圖3

【問題解決】

(2)如圖2,在正方形4BCD中,點E,F分別在邊DC,BC上，AE=DF,延長BC到點H,使CH=DE,連

接DH.求證：4ADF=KH.

【類比遷移】

(3)如圖3,在菱形4BCD中，點E,F分另U在邊DC,BC上，AE=DF=11,DE=8,AAED=60°,求CF的

長.

2.(2023?河南?三模)綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形與垂直”為主題開展數學活動.

(1)操作判斷

如圖1,正方形紙片力BCD,在邊8C上任意取一點E,連接4E,過點B作BF14E于點G,與邊CD交于點F.

根據以上操作，請直接寫出圖1中BE與CF的數量關系:

(2)遷移探究

小華將正方形紙片換成矩形紙片，繼續探究，過程如下:

如圖2,在矩形紙片ABC。中，AB-.AD=m-.n,在邊BC上任意取一點E,連接力E,過點B作BF12E于點G,

與邊CD交于點尸，請求出K的值，并說明理由；

（3）拓展應用

如圖3,已知正方形紙片4BCD的邊長為2,動點E由點力向終點D做勻速運動，動點尸由點。向終點C做勻速

運動，動點E、F同時開始運動，且速度相同，連接力F、BE,交于點G,連接GD,則線段GD長度的最小值

為，點G的運動軌跡的長為.（直接寫出答案不必說明理由）

重難點四：半角模型

1.（2023?內蒙古赤峰?中考真題）數學興趣小組探究了以下幾何圖形.如圖①，把一個含有45。角的三角尺

放在正方形力BCD中，使45。角的頂點始終與正方形的頂點C重合，繞點C旋轉三角尺時，45。角的兩邊CM,CN

始終與正方形的邊AD,48所在直線分別相交于點M,N,連接MN,可得△CMN.

圖③

【探究一】如圖②，把ACDM繞點C逆時針旋轉90。得到ACBH,同時得到點H在直線力B上.求證：4CNM=

MNH；

【探究二】在圖②中，連接BD,分別交CM,CN于點、E,F.求證：△CEFCNM；

【探究三】把三角尺旋轉到如圖③所示位置，直線BD與三角尺45。角兩邊CM,CN分別交于點E,F.連接北

交BD于點求黑的值.

NM

2.（2024?四川樂山?中考真題）在一堂平面幾何專題復習課上，劉老師先引導學生解決了以下問題：

【問題情境】

如圖1,在AABC中，^BAC=90°,4B=AC,點。、E在邊BC上，且=45。，BD=3,CE=4,求

DE的長.

解：如圖2,將AABD繞點A逆時針旋轉90。得到連接E?.

圖1

由旋轉的特征得NBA。=/.CAD',Z.B="CD',AD=AD',BD=CD'.

'：/-BAC=90°,/.DAE=45°,

/.BAD+Z.EAC=45°.

,//.BAD=4cAD',

：.Z.CAD'+^EAC=45°,即NE4D'=45。.

Z.DAE=乙D'AE.

在AIME和△￡1%￡中，

AD=AD',Z-DAE=^D'AE,AE=AE,

①.

：.DE=D'E.

又,：乙ECD'=NEC4+AACD'=乙ECA+NB=90°,

.?.在RtAEC。'中，②.

：.DE=D'E=③.

【問題解決】

上述問題情境中，