第四章三角形

第16講三角形的概念和性質

口題型14利用三角形三邊關系求解

模擬基礎練口題型15利用三角形內角和定理求解

口題型16三角形內角和與平行線的綜合應用

口題型01三角形的穩定性

口題型17三角形內角和與角平分線的綜合應用

口題型02畫三角形的五線

口題型18與角度有關的折疊問題

口題型03與三角形高有關的計算

口題型19利用三角形內角和定理解決三角板問題

口題型04等面積法求高

口題型20利用三角形外角和定理求解

口題型05求網格中的三角形面積

口題型21三角形外角性質與平行線的綜合應用

口題型06與三角形中線有關的計算

口題型22三角形內角和定理與外角和定理的綜合

口題型07與三角形重心有關的計算

口題型08與三角形中位線有關的計算重難創新練

口題型09利用角平分線的性質求解

□題型10角平分線的判定

口題型T1利用垂直平分線的性質求解真題實戰練

□題型12垂直平分線線的判定

口題型13根據作圖痕跡求解

模擬基礎練?

口題型01三角形的穩定性

1.（2024?吉林白城?模擬預測）如圖，在生活中，為了保證兒童的安全，通常兒童座椅主體框架成三角形,

這是利用了

-JrrrA

【答案】三角形的穩定性

【分析】本題考查了三角形穩定性的特性，理解三角形的穩定性即可解題.

【詳解】解：為了保證兒童的安全，通常兒童座椅主體框架成三角形，是利用了三角形的穩定性,

故答案為：三角形的穩定性.

2.（2024.廣西柳州.二模）下列圖形中具有穩定性的圖形是（）

【答案】A

【分析】此題考查了三角形的穩定性，注意根據三角形的穩定性進行判斷.

【詳解】解：?，三角形具有穩定性，五邊形，四邊形，六邊形不具有穩定性,

二具有穩定性的是A選項中的圖形,

故選：A.

3.（22-23八年級上?江西贛州?期中）如圖，四邊形木架4BDC.

（1）加上木條BC后，木架不易變形，其中蘊含的數學道理是

⑵如乙4=ND,BC平分求證：AC=DC.

【答案】（1）三角形具有穩定性

（2）證明見解析

【分析】（1）根據三角形的穩定性解答即可;

（2）由BC平分乙4BD,可得4ABe=4DBC,然后證明△三△DBC（AAS）,再根據全等三角形的性質即

可得證.

【詳解】（1）解：?.?四邊形木架加上木條后,

2

則四邊形4BDC由△4"和小。"拼接而成，

「三角形具有穩定性，

此時木架不易變形.

故答案為：三角形具有穩定性.

(2)證明：???BC平分N4BD,

''Z-ABC-Z.DBC,

在△力BC和ADBC中，

'Z.A=Z.D

AABC=乙DBC

.BC=BC

??△ABC^AZ)SC(AAS),

-,-AC=DC.

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，三角形的穩定性，角平分線的定義.掌握全等三角形的判定

是解題的關鍵.

4.(2023?廣西欽州?一模)某綜合與實踐活動小組對其自制的橋梁模型的承重開展了項目式學習活動，如表

是活動的設計方案.請你參與該項目式學習活動，并完成下列問題：

項目主題橋梁模型的承重試驗

活動目標經歷項目化學習的全過程，引導學生在實際情境中發現問題，并將其轉化為合理的數學問題

驅動問題當橋梁模型發生不同程度的形變時，水桶下降的高度

狀態一狀態二

工具

(空水桶)(水桶內加一定量的水)

MABNM^ACB/N

1桌面桌面1

C

方案設計D'、、、D

o

示意圖\J

圖1圖2

說明：C為AB的中點

(1)該綜合與實踐活動小組在設計橋梁模型時，選用了三角形結構作為設計單元，這樣設計依據的數學原理

是.

3

A.三角形具有穩定性

B.兩點確定一條直線

C.兩點之間線段最短

(2)在水桶內加入一定量的水后，橋梁發生了如圖2所示的形變，若其他因素忽略不計，CD=20cm,ZCMC=

12°,=45。，請計算此時水桶下降的高度(參考數據：sinl2°?0.2,cosl2°?1.0,tanl2°?0.2).

【答案】(1)A

(2)7.5cm

【分析】本題考查了解直角三角形的應用，線段熟練掌握銳角三角的性質，三角形的穩定性，函數的定義

是解題的關鍵.

(1)根據三角形具有穩定性，即可解答；

(2)設4C'=xcm,根據題意可得：DC1AB,然后分另U在Rt△力CC'和Rt△AC'。中，利用銳角三角函數的

定義求出CC'和的長，最后列出關于x的方程，進行計算即可解答.

【詳解】(1)解：該綜合與實踐活動小組在設計橋梁模型時，選用了三角形結構作為設計單元，這樣設計

依據的數學原理是三角形具有穩定性，

故答案為：A；

(2)設/C'=xcm,

由題意得：0C_L4B,

在RtZk/CC'中，ZCMC=12°,

?=ACr-tanl2°七0.2%(cm),

在Rt^ZC'O中，Z,CrAD=45°,

-?CD=ACr-tan45°=x(cm),

'-'CD=30cm,

：.C'D-CC=30cm,

?,?%—0.2x=30,

解得：％=37.5,

??CC=0.2%=7.5(cm),

??.此時水桶下降的高度CC'約為7.5cm.

□題型02畫三角形的五線

5.(2024商洛市二模)在△ABC中，NBAC是鈍角，下列圖中畫力B邊上的高線正確的是()

4

D

AA

C.DCD.5DC

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的高，根據三角形的高的定義可知，4B邊上的高線是經過C點向邊所作的垂

線段，依此求解即可，解題的關鍵是正確理解定義：從三角形的一個頂點向它的對邊作垂線，垂足與頂點

之間的線段叫做三角形的高.

【詳解】由題意可得，在AABC中，NB4C是鈍角，畫AB邊上的高線是CD,

故選：B.

6.(23-24九年級下.吉林白城.階段練習)如圖，在6x6的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1,4

(2)在圖②中，畫出北邊上的點E,使得蕓

EC3

(3)在圖③中，畫出4B邊上的高CF.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，畫三角形的高和中線等等:

(1)取BC于格線的交點O,連接4D,線段AD即為所求；

(2)如圖所示，取格點G、H,連接GH交4c于E,點E即為所求；

(3)如圖所示，取格點D,連接CD交4B于凡線段CF即為所求.

【詳解】(1)解：如圖所示，線段40即為所求；

5

(2)解：如圖所示，取格點G、H,連接GH交2C于E,點E即為所求;

易證明MEGsACEH,貝嘿喑=］；

(3)解：如圖所示，取格點/,連接C/交于尸，線段CF即為所求.

7.(2022?湖北武漢?模擬預測)如圖是由小正方形組成的9x7網格，每個小正方形的頂點叫做格點，△4BC

的三個頂點都是格點，僅用無刻度的直尺在給定網格中按下列要求完成畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖

結果用實線表示.

圖1圖2

⑴在圖1中按下列步驟完成畫圖.

①畫出△謖。的高CD；

②畫△4CD的角平分線4E；

③畫點。關于4C的對稱點。'；

6

⑵如圖2,P是網格線上一點，過點P的線段MN分別交48,BC于點M,N,且PM=PN,畫出線段MN.

【答案】（1）①見解析；②見解析；③見解析

（2）見解析

【分析】（1）①取格點T,連接CT交2B于點。，此時CD是△ABC的高；

②取格點“，CD與的交點即為點E,連接4E；

③分別畫AB,CT關于"的對稱線段49和CV,4夕和C廠的交點。唧為點。關于AC的對稱點；

（2）連接BP并延長交網格線于點Q,則BP=PQ,連接4P并延長交網格線于點3貝必P=PL,連接QL交于

點N,延長NP交4B于點M,則線段MN即為所畫的線段.

【詳解】（1）解：（1）①如圖所示,。為所求；

；：：：：；/：：：；

②如圖所示AE為所求;

：：：：：C;;;;

（2）如圖所示，線段MN為所求.

7

【點睛】此題考查作圖一應用與設計作圖，解題的關鍵是理解題意，學會利用數形結合的思想解決問題,屬于中

考常考題型.

8.(2023?湖北武漢?模擬預測)如圖是由單位長度為1的小正方形組成的7義7網格，每個小正方形的頂點叫

做格點4、8兩點在格點，C點在網線上，僅用無刻度直尺在給定的網格中完成畫圖，畫圖過程中用虛線表

小，

(1)在圖1中，畫BC中點。，再過點。畫線段EF,使EF=BC；

(2)在圖2中，畫線段4B的垂直平分線MN,再在直線4B右側找一點P,連接4P,使NP/1B=N4BC.

【答案】(1)見解析；

(2)見解析.

【分析】

(1)利用網格特征作出線段BC的中點D,延長ED后有EF=BC；

(2)取4B的中點/,點K作直線MN即可，延長CB交MN與點7,設力C交直線MN于點R,射線74射線BR交

于點尸，點P即為所求.

【詳解】(1)如圖1中，點。，線段EF即為所求；

8

(2)

圖2

【點睛】

此題考查了作圖-應用與設計作圖，軸對稱變換等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問

題.

口題型03與三角形高有關的計算

9.（2024.湖北?模擬預測）ANBC的三邊AB,AC,BC的長度分別是3,4,5,以頂點A為圓心，2.4為半徑

作圓，則該圓與直線BC的位置關系是（）

A.相交B.相離C.相切D.以上都不是

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理逆定理、三角形面積公式、直線與圓的位置關系，先由勾股定理逆定理判斷

出△力BC為直角三角形，且NB4C=90。，設斜邊BC上的高為％,根據等面積法求出八=2.4,即可得解.

【詳解】解：「朋+心=32+42=25=

.??△4BC為直角三角形，且NB4C=90。，

設斜邊上的高為無，貝USUBC=\AB-AC=^BC-h,

ABAC3X4-A

；?h7=------=——=2.4,

BC5

???以頂點A為圓心，2.4為半徑作圓，則該圓與直線BC的位置關系是相切，

9

故選：c.

10.（2024?上海?模擬預測）在梯形2BCD中，ADWBC,對角線4C,BD交于O,若△BCD面積是△4BD面積

的2倍，那么ABOC與ABDC的面積之比為

【答案】2:3

【分析】本題考查了平行線間的距離，相似三角形的判定與性質，梯形，根據題目的已知條件并結合圖形

添加適當的輔助線是解題的關鍵.

過點。作DM1BC,垂足為M,過點B作BN1AD,交D4的延長線于點N,根據已知易得DM=BN,再根據

SABCD=2SMBD，從而可得8。=24D,然后再證明△4。。一△COB,,利用相似三角形的性質可得某=*=；,

DCDUZ

從而可得黑=之最后根據△BOC與4BDC的高相等，即可解答.

BD3

【詳解】解：過點。作OM1BC,垂足為M,過點8作BN,40,交。4的延長線于點N,

-AD||BC,

：.BN=DM,

?」S^BCD—2s―⑶。，

?「BC?DM=2X-AD?BN,

22

，BC=2AD,

-AD||BC,

??Z-ADB=Z-DBC,Z.DAC=Z.ACB,

COB,

AD_DO_1

t-=------=—,

BCBO2

BO_=一2,

BD3

BOC與△BDC的高相等，

.S^BOC_￡￡_￡

S&BDCBD3

故答案為：2:3.

11.（2024?重慶?三模）如圖，AABC中，8。14。于點。，AB，CE于點E,CE與BD相交于點H,已知4。=

10

HD=2,CD=6,則A48C的面積為

【答案】24

【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質，根據ASA證明AaDB三△”￡?(?,得到BD=CD=6,再根據

△力的面積BD解答即可求解，證明AADB三△凡DC是解題的關鍵.

【詳解】解：???BD14C,CE1AB,

-.Z.HDC=Z.ADB=/-AEC=90°,

.?.ZX+乙HCD=90°,Z.DHC+Z.HCD=90°,

??Z.A=Z.DHC,

在與△”0。中，

=乙DHC

AD=HD,

/ADB=乙HDC

.*.△ADB=AH￡)C(ASA),

??BD=CD=6,

-AC=40+CD=2+6=8,

48C的面積=|AC-BD=1x8x6=24,

故答案為：24.

12.(2024陜西西安?模擬預測)如圖，在以/\力山中，484。=90。,4。、45分別是邊山上的中線和高,45=2,

S^ABD=V5,貝iJCE=()

A.V5-1B.V3-1C.1D.|

11

【答案】A

【分析】本題主要考查了直角三角形的性質，求三角形的面積，先根據三角形的面積公式求出BD,再根據

直角三角形斜邊中線等于斜邊一半得4D=CD,然后根據勾股定理求出DE,進而得出答案.

【詳解】-.-AE=2,ShABD=V5,

■--BDSE=遙，

2

解得BD=V5.

必。是RtA4BC的中線，

■■.AD=CD=BD=店.

在Rt△4DE中，DE=<AD2-AE2=1,

■■.CE=CD-DE=-1.

故選：A.

[:題型04等面積法求高

13.（2024?陜西西安.二模）如圖，在3x3的網格中，每個小正方形的邊長均為1,點48、C都在格點上,

若8。是A/IBC的高，貝.

【答案】^/1V10

【分析】本題主要考查了求三角形的高，割補法求三角形面積，勾股定理，先利用割補法求出AABC的面積,

再利用勾股定理求出力C的長，再利用三角形面積公式求出BD即可.

【詳解】解：S“BC=3x3-|xlx3-|xlx3-jx2x2=4,

由勾股定理得AC=Vl2+32=V10,

,：BD是A的fWj,

BD

-,-SAABC=l-AC=4,

,,SAABC=5X710BD=4,

12

.二字

故答案為：

14.（2024.陜西商洛.二模）如圖，△ABC的頂點A,B,C均在邊長為1的正方形網格的格點上，貝UC邊上

的高為（）

B.*D.￥

【答案】B

【分析】本題考查網格與勾股定理、網格中求三角形的面積，先利用割補法和勾股定理求得三角形的面積

和4C,再利用三角形的面積公式求解即可.

【詳解】解：根據網格特點，S^ABC=3x4-ixlx2-1x2x4-|x2x3=4,

AC=V22+I2=V5,

"C邊長的高=至潸=^=|V5,

ACy55

故選：B.

15.（2024貴州省模擬）如圖是由邊長為1的小正方形組成的網格，AABC的頂點4,B,C均在格點上.若

4。1BC于點D,則線段4D的長為（）

A.V5B.2V5C.1D.2

【答案】D

【分析】此題主要考查了勾股定理以及三角形面積求法，利用勾股定理得出BC的長，再利用等面積法得出4。

的長.

22

【詳解】解：由圖可知：S^ABC=4x4-|x2xl-|x2x4-|x3x4=5,BC=V4+3=5,

13

.?.S—BC=3BC,AD,

?',S^ABC=5x5xAD=5>

解得：AD=2.

故選：D.

□題型05求網格中的三角形面積

1.(2024?河北唐山?二模)如圖，在4x4的正方形網格中，每個小正方形的邊長為1,AABC的頂點均在格

點上，將AABC向右平移1個單位長得到△ABC.

(1)△28C的面積為；

(2)陰影部分的面積為.

【答案】51

【分析】本題考查借助網格求面積，平移的性質，相似三角形的判定和性質，熟練掌握平移的性質，是解

題的關鍵：

(1)借助網格求面積即可；

(2)設與4c，的交點為E,8C與4。的交點為F,根據平移的性質，推出ABE尸-ABAC,進行求解即可.

【詳解】解：(1)AABC的面積為：3x4—(xlx4-|x2x3-]x2x2=5；

故答案為：5；

(2)設4B與4(7的交點為E,BC與AC，的交點為產，

根據格點可得，四邊形44CD是矩形，對角線交于點G,AABC,△的頂點均在格點上,

點G和點//是兩個相鄰格點的中點

14

；.BH=2-0.5=1.5,BG=3-0.5=2.5,

由平移的性質可知，ArCr||AC,

BEFBACf

2生=街=(空)2

S^ABC\BGj\2.57

?J^LABC=5，

二?S〉BEF=g，

即陰影部分的面積為一

故答案為：，

17.(2024瓊海市三模)如圖，己知4(0,2),8(2,1),1(4,3).

(1)在平面直角坐標系中畫出△48C；

⑵在圖中畫出△ABC關于久軸對稱的△ABC(點4、B、C的對稱點分別為4,B',廣)；

(3)已知P為y軸上一點，若A4。'。的面積為4,請直接寫出點P的坐標.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)P(0,0)或P(0,—4)

【分析】本題主要考查了坐標與圖形，在平面直角坐標系中畫三角形以及畫關于x軸的對稱的圖性，及其根

據三角形面積求點的坐標.

(1)先根據4(0,2),8(2,1),C(4,3)描點，然后連接各點即可.

(2)先求出A,B,C三點關于無軸的對稱點，然后描點連接即可.

⑶設點P(0,m),根據題意，得P4=|m+2],根據△AC'P的面積為4,即可求出機的值，進一步即可得出

點P的坐標.

【詳解】(1)解：根據題意，4(0,2),5(2,1),C(4,3),畫圖如下:

15

(2)根據4(0,2),B(2,l),C(4,3),得到關于x軸對稱的△的三個頂點坐標分別為4(0,-2),

C'(4,一3),畫圖如下：

(3)設點P(0,m),

根據題意，得Pa'=|m+2|,

???△AC'P的面積為4,

1X4X|m+2|=4,

解得m=0或m=-4,

故點P的坐標為P(0,0)或P(0,-4).

18.(2024莆田市模擬)如圖，每個小正方形的邊長為1.

(1)求四邊形4BCD的面積;

⑵求N8CD的度數.

16

【答案】⑴17.5

⑵乙BCD=90°

【分析】本題考查勾股定理和逆定理的應用，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點.

(1)利用網格割補法求面積進行求解即可；

(2)先用勾股定理求出各邊的長，再利用勾股定理的逆定理進行求解即可.

【詳解】(1)四邊形ZBCD的面積=5x7-|xlx7-|xlx2-|x3x4-|x2x4-lx3=17.5；

(2)解：連接BD,

根據勾股定理得4B=VF+72=sV2,AD=V32+42=5,

CD=Vl2+22=V5,BC=V22+42=2V5,

BC=2V5,CD=V5,BD=V32+42=5,

??.BC2+CD2=BD2,

:/BCD=90°.

19.(2024金沙縣模擬)如圖，在平面直角坐標系中，已知點4(-3,-1),5(1,3),C(2*-3),則三角形ABC

【分析】利用割補法求解即可，

【解答】

3_

解：SAABC=5X6-2x3x7-22x2x7=30-6-3-5=16.

17

口題型06與三角形中線有關的計算

20.（2024?上海浦東新?一模）如圖，在AABC中，AB=4,AC=6,E為BC中點，AD為△ABC的角平分線,

△ABC的面積記為Si，AADE的面積記為52，貝"2：51=.

【答案】1:10

【分析】此題考查角平分線的性質，關鍵是根據三角形中線的性質和角平分線的性質得出面積關系解答.根

據三角形中線的性質和角平分線的性質解答即可.

【詳解】解：過點。作DM1AB,DN14C,

???力。為△ABC的角平分線，

DM=DN,

■■■AB=4,AC=6,E為BC中點,

,■,SAABE=SAAEC—5sA4BC，

1

SHABD=22加=4=2

SMDC^AC-DN63'

設SAAB。-2K,SRADC=3無，貝USAABC=5x,S^ABE—S^AEC=-x,

18

呢$r3X—~X=靠1

故答案為：1:10.

21.（2024?浙江?模擬預測）如圖，。是A4BC的邊力B上一點，且AO:DB=2:1,過點。作DE||BC,交AC于

點、E,取線段4E的中點R連接DF.若DF=4,則△力BC中4C邊上的中線長為（）

【答案】B

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，三角形的中線的定義，熟練掌握知識點是解決本題的關鍵.

證明出△ADFsAABH,得到竺=也，即可求解.

BHAB

【詳解】解：取/C中點為H,連接8“，則8”為ZC邊上的中線，

???DE||BC,

ADAE「

???一=—=2,

DBEC

設ZE=4x,EC=2%,則ZC=6%,

-'-AH=3x,

???線段4E的中點R

?-AF—2x,

,AF_AD_2

'"AH~AB_3J

VZX=乙4,

ADFABH,

DF_AD

BHAB

.4_2

,,—―f

BH3

；,BH=6,

故選：B.

19

22.（2024?廣東廣州?二模）如圖，已知AABD中，AC1BD,BC=8,CD=4,cos^ABC=1,BE為AD邊

上的中線.

⑴求4C的長；

(2)求ABE。的面積.

【答案】(i)ac=6

(2)18

【分析】本題考查了解直角三角形及勾股定理，熟知余弦的定義及三角形中線的性質是解題的關鍵.

(1)先根據乙4BC的余弦求出4B的長，再利用勾股定理即可解決問題.

(2)根據BE為4。邊上的中線可知，ABED的面積是AaBD面積的一半，據此可解決問題.

【詳解】(1)AC1BD,

.-.4ACB=Z.ACD=90°.

在Rt△力BC中，

Pf

cos^ABC=—,

AB

AB=A=10,

AC=V102—82=6.

(2),??BE為ND邊上的中線，

，?S&BED=2$△力80?

-1-1

又：S0BD=；?BD?AC=；X12x6=36，

S.BED=5x36=18.

23.(2024?山西太原.三模)如圖示，BE是△ABC的中線，點。是4B邊靠近頂點8的一個三等分點，連接CD,

交BE于點尸，則笑等于()

CF

20

【答案】B

【分析】本題考查相似三角形的性質和判定，三角形中線的性質，作EHIIAB,交CD于點H,證明ACEH-

ACAD,結合三角形中線的性質，得到=CH=D”=1CD,根據題意得到BD進而得到

BD=EH,證明AEHFBDF,利用相似三角形性質得到OF=HF=-DH="D,CF=HF+CH=-CD,

244

即可解題.

【詳解】解：作EHII/IB,交CD于點H,

BC.-.ACEHCAD,

■.BE是A2BC的中線，

—--=-=i,即￡7/=340,CH=DH^-CL

CDACAD222

??,點。是邊靠近頂點B的一個三等分點，

1

???BD=-AD

2f

BD=EH,

???EHWAB,

EHFBDF,

DFEHY

?*?——1,

HFBD

11a

即DF=HF=-DH=-CD,CF=HF+CH=-CD

244f

.DF_1

??=一,

CF3

故選:B.

口題型07與三角形重心有關的計算

24.（2024?甘肅蘭州?模擬預測）如圖①，是某教材七年級下冊某一頁的插圖，這幅插圖告訴我們可以用鉛

筆支起一張均勻的三角形卡片.請用尺規作圖法，在圖②的△48C中找到這個支點尸（保留作圖痕跡，不寫

作法）.

21

A

【答案】見解析

【分析】本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質.作力C和BC的垂直平

分線得到三角形的兩條中線，它們的交點為P.

【詳解】解：如圖，點尸即為所求.

②

25.（2024,江蘇徐州.模擬預測）如圖，在RtAABC中，乙4cB=90。,BC=3,AC=4,D、E分別為48、BC

的中點，AE與CD交于點。，貝!JOD的長為（）

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理定理，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，三角形中線交點的性質，根據勾

股定理可求出AB=5,根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得CD==I，再根據三角形中線交點

（重心）的性質“三角形的三條中線交于一點，該點叫三角形的重心，重心到頂點的距離是它到對邊中點距

離的2倍”即可求解，掌握勾股定理定理，直角三角形斜邊中線的性質，重心的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：?.24CB=90。，BC=3,AC=4,

-?AB=VBC2+AC2=V32+42=5,

22

,:點D,E是力B,BC中點,

-.CD==I，且點。是三角形△ABC的重心，

'-OC=20D,

：.0D=-CD=ix-=

3326

故選：B.

26.(2024山東聊城?二模)綜合與實踐

教材重現：取一塊質地均勻的三角形木板，用一枚鐵釘頂在這個三角形的重心上，木板會保持平衡(如圖),

瑩瑩提前準備了一個等腰三角形紙片ABC,如圖，AB=AC=5,BC=6.為了找到重心，以便像教材上那

樣穩穩用筆尖頂起，她先把點8與點C重疊對折，得折痕2E,展開后，她把點B與點4重疊對折，得折痕。尸，

再展開后連接CD,交折痕力E于點。，則點。就是△4BC的重心.

(1)初步觀察：連接力F,判斷4F與BF的數量關系并說明理由；

(2)猜想驗證：瑩瑩通過測量發現。4與。E,OC與。。有同樣的數量關系，寫出它們的關系并說明理由；

(3)嘗試運用：利用(2)的結論計算△4OC的面積；

(4)拓展探究：瑩瑩把△力FC剪下后得發現可以與AABF拼成四邊形，且拼的過程中點A不與點4重

合，直接寫出拼成四邊形時。4的長.

【答案】(1)4F=BF,見解析

(2)0A=20E,OC=2OD,見解析

(3)4

(4)04的長為噂或寫

36

【分析】(1)利用折疊的性質即可得到答案;

23

(2)連接DE,易得DE為△4BC的中位線，貝!]DE||4C,DE=^AC,于是△ODE”△。乙4,利用相似三角形

的性質即可求解；

(3)由折疊可知，BE=CE=^BC=3,^AEC=90°,利用勾股定理求得4E=4,結合(2)的結論，根

據三角形面積公式可求解；

(4)連接OB,由(2)知。4=|,貝UOE=￡利用勾股定理求得。B=?,由折疊可知乙4DF=NBDF=

90°,AF=BF,AD=BD=易證AFBD”AABE,由相似三角形的性質可求得BF=至，則EF=4分

266

兩種情況討論：當4與點B重合時，此時。4=。8；當點A與點尸重合時，利用勾股定理求出。F即可.

【詳解】(1)解：???點2與點A重疊對折，得折痕DF,

.-.AADF^ABDF(折疊的性質),

：.AF=BF；

故答案為：AF=BF；

(2)解：猜想：04=20E,0C=20D

理由如下：連接。￡

為△4BC的中位線，

■■.DEWAC,DE=^AC,

.ZODE=A.OCA,Z-OED=Z-OAC,

???△ODE?匕OCA,

OE_DE_OD_i

"OA-AC~OC_29

^OA=20E,OC=20D；

(3)解：由折疊可得，BE=CE=^BC=3,AAEC=90°,

■.■AC=5,

■.AE='AC?一"2=4,

24

由(2)知，0A=20E,

,-0A+0E=/E=4,

'-0A=-AE=

33

-11p

???^0C=|0^-CE=|x^x3=4；

(4)解：如圖，連接。B,

由(2)知,0A=~,

3

：.0E=4--=-,

33

在Rt△OBE中，OB=VOE2+BE2=J(Q2+32=

由折疊可知，/-ADF=/.BDF=90°,AF=BF,AD=BD=^AB=|,

:.乙BDF=ZBEA=90°,

,?ZFBD=Z.ABE,

???△FBDs△ABE,

=些，即1=里，

BEBA35

257

：.EF=BF-BE=--3=-

66f

當A與點2重合時，如圖①②，連接OB,

圖①

25

此時。4=OB=詈;

???Z4FF+/.AFC=180°,LAFC=^A'F'C,

：.^AFB+^A'F'C=180°,

此時拼成的圖形為三角形，不符合題意；

當點4與點尸重合時,如圖③④，

c

B,-----------------F

一F⑷

圖③

A

1

/

⑺%-----------------

一

C圖④

在Rt/XOEF中，OF=

.：OA'=OF=^.

26

綜上所述，04的長為孚或號..

36

【點睛】本題主要考查折疊的性質、中線的定義、勾股定理、全等三角形的判定與性質、三角形中位線的

判定與性質、相似三角形的判定與性質，解題關鍵是讀懂題意，熟知折疊的性質，學會利用數形結合和分

類討論思想解決問題.

□題型08與三角形中位線有關的計算

27.（2024?重慶?模擬預測）如圖，在RtadBC中，^ACB=90°,D、E、尸分別是AB、BC、C4的中點，若

CD=3cm,貝!=cm.

【答案】3

【分析】本題考查了三角形的中位線以及為直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半等知識點，由題意得:

CD=\AB,再結合EF是RtA4BC的中位線即可求解；

【詳解】解：由題意得：CD^\AB,

-'-AB=6cm,

；E、尸分別是BC、C力的中點，

是Rt△ABC的中位線，

1

??EF=-AB=3cm,

2

故答案為：3

28.（2024?青海西寧.二模）在探索平面圖形的性質時，往往需通過剪拼的方式幫助我們尋找解題思路.

ADAD

BCBC

圖②

（1）【知識回顧】

在證明三角形中位線定理時，就采用了如圖①的剪拼方式，將三角形轉化為平行四邊形使問題得以解決,

請寫出已知，求證，并證明三角形中位線定理.

（2）【數學發現】

27

如圖②，在梯形ABCD中，ADWBC,尸是腰。。的中點，請你沿著4尸將上圖的梯形剪開，并重新拼成一個完

整的三角形.

如圖③，在梯形4BCD中，ADWBC,E、F分別是兩腰AB、DC的中點，我們把EF叫做梯形4BCD的中位線.請

類比三角形的中位線的性質，猜想EF和A。、BC有怎樣的位置和數量關系？

【證明猜想】

(3)證明(2)的結論，并在"4。=5,BC=7"的條件下，求EF的長.

【答案】(1)見解析；(2)畫圖見解析，猜想：EFWADWBC,EF=1(XD+SC)；(3)證明見解析，6；

【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，平行四邊形的性質與判定，全等三角形的性質與判定：

(1)根據三角形中位線定理的內容寫出對應的已知，求證和證明過程即可；

(2)延長4F交BC延長線于證明△4DF三AMCF(AAS)可得到所要的三角形；根據梯形性質和三角形的

中位線進行猜想即可得出結論；

(3)如圖③，連接4F并延長，交BC延長線于點M,證明△4DF三AMCFSAS)得到4。=MC,AF=MF,

在AABM中，利用三角形的中位線可證得EF||BM,EF=：BM,進而可證得結論；再根據結論求出EF的長

即可.

【詳解】解：(1)已知：在AABC中，D、E分別是48、4c的中點，

求證：DE=\BC,DEIIBC：

證明：如圖所示，過點C作CF||4B交DE延長線與F,

???￡),E分另!］是4C的中點，

??AD=BD,AE=CE,

???CF||AB,

?-Z-EAD=Z.ECF,Z.EDA=Z.EFC,

ADE=△CFE(AAS),

?.DE=FE,AD=CF,

?.CF=BD,

.??四邊形BCFD是平行四邊形，

：.BC=DF=2DE,BC||DF,

■■■DE^BC,DE||BC；

(2)如圖所示，延長4F交BC延長線于M,則把△力DF延4F剪開后放置到AMCF的位置，AABM即為所求；

28

圖②

猜想：EFWADWBC,EF=[(4D+BC)；

(3)連接4F并延長，交BC延長線于點M,

圖③m||BC,

??.ZM=Z-DAF.

??.F是0C的中點，

??.DF=CF.

Z.AFD=乙MFC,

ADF=△MCF(AAS).

??.AD=MC,AF=MF.

點F是AM的中點，又點E是4B的中點，

???EF是△ABM的中位線，

EF||BM,EF=-BM.

2

...EF=|(MC+BC)=2(AD+BC).

vADWBC,EFWBC,

???EF||AD.

???EFWADWBC,EF=\{AD+BC).

-：AD=5,BC=7,

■.EF=；GW+BC)=：x(5+7)=6。

29.(2024?山西?模擬預測)閱讀下列材料，并完成相應任務：

下面是小華同學，課后學習過程中遇到的一個問題：

如圖①，在AABC中，D,E分別是邊AB,AC的中點，CD,BE相交于點P.求證：鬟=笑=3

BECD3

29

小華認真思考后，寫出下面的證明過程：連結

D,E分別是邊4B,4C的中點,

DE||BC,DE=|BC,（依據）

PE_PD_1

BE~CD~3

圖①圖②

任務：

(1)填空：材料中的依據是指：

(2)將材料中的證明過程補充完整.

(3)如圖②，在AABC中，AB=AC,4。為邊BC的中線.點、E,尸分別為邊48,AC的中點，EF與力。交于點

。，B尸與4D父于點P.則SAPOF：S四邊形PDCF=

【答案】(1)三角形中位線定理(三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半)

(2)見解析

SxPOF_工

1/sa

,四邊形POF0

【分析】本題考查了三角形中位線定理，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，解答本題的關鍵

是明確題意，找出所求問題需要的條件.

(1)利用三角形中位線定理“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”解答即可;

(2)證明APOE-APCB,即可解答;

⑶如圖中，連接DF.設APOF的面積為a.證明EFIIB