專題14解直角三角形

1.銳角三角函數的定義

如圖，在△ABC中,NC=90。.

4A的鄰邊

48的就版

⑴銳角A的對邊與斜邊的比叫作/A的正弦，記為sinA,即sinA=.

⑵銳角A的鄰邊與斜邊的比叫作NA的余弦，記為cosA,即cosA=.

(3)銳角A的對邊與鄰邊的比叫作/A的正切，記為tanA,即tanA=.

2.一些特殊角的三角函數值

a

0°30°45°60°90°

三角函數

sina

cosa

tana

3.各銳角三角函數之間的關系

(1)互余關系：sinA=,cosA=.

(2)推導關系：sin2A+cos2A=tanA=.

4.解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三個______和兩個_______.由直角三角形中除直角外的已知

元素求出所有其他元素的過程叫作解直角三角形.解直角三角形的理論依據:在RtAABC中,/C=9(T,NA,/B,NC所

對的邊分別為a.b,c.

(1)三邊之間的關系：.

(2)銳角之間的關系：.

(3)邊角之間的關系：

sinA=,cosA=,tanA=;

sinB=,cosB=,tanB=.

5.了解測量等實際問題中的概念

⑴方位角從某個參照點看物體，視線與正北(或正南)方向射線的夾角稱為.

⑵仰角與俯角

視線與水平線所成的角中，視線在____的叫作仰角，在_____的叫作俯角.如圖1,仰角是_______俯角是.

（3）坡度與坡角

坡面的垂直高度h和水平寬度1的比叫作或______一般用i表示；坡角a是坡面與水平線的夾角.如圖

2,AB的坡度iAB=,Za叫,tana=i=.

實戰演練

l.tan45。的值等于（）

A.2B.1

V2V3

c.—nu.—

23

2.如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長為12米，AB與AC的夾角為a,則高BC是（）

A.12sina米B.12cosa米

C.衛米D.衛米

sinacosa

3.如圖,AD是^ABC的高若BD=2CD=6,tanC=2廁邊AB的長為（）

X.3V2B.3V5

C.3V7O.6V2

4.圖1是第七屆國際數學教育大會（ICME）的會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得

到如圖2所示的四邊形OABC.若AB=BC=l,NAOB=a，則OC?的值為（）

B.sin2a+1

1

C.—^+1D.cos2a+1

cosza

5.如圖，小明想要測量學校操場上旗桿AB的高度，他作了如下操作：⑴在點C處放置測角儀，測得旗桿頂的

仰角NACE=a;⑵量得測角儀的高度CD=a笈）量得測角儀到旗桿的水平距離DB=b.利用銳角三角函數解直角三角形

的知識，旗桿的高度可表示為)

B.a+bsina

C.a4----

tana

D.dd----

sina

6.如圖，沿AB方向架橋修路,為加快施工進度，在直線AB上湖的另一邊的D處同時施工.取NABC=150°,

BC=1600m,/BCD=105。,則C.D兩點的距離是.m.

7.如圖，有甲乙兩座建筑物，從甲建筑物A點處測得乙建筑物D點的俯角a為45°,C點的俯角0為58°,BC

為兩座建筑物的水平距離.已知乙建筑物的高度CD為6m，則甲建筑物的高度AB為m.（s譏58。?0.85,

cos58。《0.53,tan58*1.60,結果保留整數）

8.如圖，海中有一個小島A.一艘輪船由西向東航行,在B點測得小島A在北偏東60。方向上;航行12nmile

到達c點,這時測得小島A在北偏東30。方向上.小島A到航線BC的距離是________nmile（V3?1.73,,結果

用四舍五入法精確到0.1）.

9.一條上山直道的坡度為1：7,沿這條直道上山，每前進100米所上升的高度為______米.

10.2022年6月6日是第27個全國“爰眼日”，某數學興趣小組開展了“筆記本電腦的張角大小、頂部邊緣離

桌面的高度與用眼舒適度關系”的實踐探究活動.

如圖,當張角NAOB=150。時，頂部邊緣A處離桌面的高度AC的長為10cm,此時用眼舒適度不太理想.小組成

員調整張角大小繼續探究，最后聯系黃金比知識，發現當張角/AOB=108。時（點A，是A的對應點）,用眼舒適度較

為理想.求此時頂部邊緣A，處離桌面的高度AD的長.（結果精確到1cm；參考數據：sin7230.95,cos72y（）.31,tan72。

=3.08）

1L湖中小島上碼頭C處一名游客突發疾病，需要救援.位于湖面B點處的快艇和湖岸A處的救援船接到通知

后立刻同時出發前往救援.計劃由快艇趕到碼頭C接該游客，再沿CA方向行駛，與救援船相遇后將該游客轉運到

救援船上.已知C在A的北偏東30。方向上，8在人的北偏東60。方向上，目在C的正南方向900米處.

（1）求湖岸A與碼頭C的距離（結果精確到1米，參考數據：V3?1.732）;

⑵救援船的平均速度為150米/分，快艇的平均速度為400米/分.在接到通知后，快艇能否在5分鐘內將該游

客送上救援船？請說明理由.（接送游客上下船的時間忽略不計）

12.每年的11月9日是我國的“全國消防安全教育宣傳日”，為了提升全民防災減災意識，某消防大隊進行了

消防演習.如圖1,架在消防車上的云梯AB可伸縮(最長可伸至20m),且可繞點B轉動，其底部B離地面的距

離BC為2m,當云梯頂端A在建筑物EF所在直線上時，底部B到EF的距離BD為9m.

(1)若/ABD=53。.求此時云梯AB的長；

(2)如圖2,若在建筑物底部E的正上方19m處突發險情，請問在該消防車不移動位置的前提下，云梯能否伸

到險情處?請說明理由.

(參考數據:sin53°-0.8,cos53°?0.6,tan53°?1.3)

圖2

13.知識小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角a一般要滿足53°<a<

72°.(參考數據：sin53°~0.80,cos53°?0.60,tan53°?1.33,s出72°?0.95,cos72°?0.31,tan72°?3.08,sin66°

右;0.91,cos66°~0.4l,tan66°~2.25)

如圖，現有一架長4m的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上.

(1)當人安全使用這架梯子時，求梯子頂端A與地面距離的最大值；

(2)當梯子底端B距離墻面1.64m時，計算NABO等于多少度？并判斷此時人是否能安全使用這架梯子？

14一座吊橋的鋼索立柱AD兩側各有若干條斜拉的鋼索，大致如圖所示.小明和小亮想用測量知識測較長鋼索

AB的長度.他們測得/ABD為30。,由于B、D兩點間的距離不易測得，通過探究和測量，發現/ACD恰好為45°,

點B與點C之間的距離約為16m.已知點B、C、D共線,ADLBD.求鋼索AB的長度.(結果保留根號)

BCD

15.拓展小組研制的智能操作機器人，如圖1,水平操作臺為1,底座AB固定，高AB為50cm,連桿BC長度

為70cm,手臂CD長度為60cm.點B,C是轉動點，且AB,BC與CD始終在同一平面內.

⑴轉動連桿BC,手臂CD,使NABC=143o,CD〃l,如圖2,求手臂端點D離操作臺1的高度DE的長(精確到1

cm,參考數據：sin53°?0.8,cos53°~0.6);

(2)物品在操作臺1上，距離底座A端110cm的點M處，轉動連桿BC,手臂CD，手臂端點D能否碰到點

M?請說明理由.

壓軸預測

1.如圖,R3ABC中,/BAC=9（F,AD_LBC于點D,若AD:CD=4:3,則tanB的值為（）

2.某公園有一座古塔，古塔前有一個斜坡CD,坡角ZDCE=42。，斜坡高DE=1.8米，DQ是平行于水平地面

BC的一個平臺.小華想利用所學知識測量古塔的高度AB,她在平臺的點G處水平放置一平面鏡，她沿著GQ方

向移動，當移動到點N時，剛好在鏡面中看到古塔頂端點A的像，這時，測得小華眼睛與地面的距離MN=1.5

米,GN=2米,BC=16米,DG=8米，已知AB，BC,MN，DQ,根據題中提供的相關信息，古塔的高度AB約為(參考數

據：sin42°=0.67,cos42°=0.74,tan42°=0.90)()

A.19.5米

B.19.7米

C.21.3米

D.22.1米

3.如圖C島在A島的北偏東45。方向.在B島的北偏西25。方向.

⑴直接寫出/ACB的度數是____;

⑵測量發現NBAC=2（T,A島與C島之間的距離AC=20海里，求A島與B島之間的距離.（結果精確到0.1海

里）（參考數據：sin20°?0.34,cos20°~0.94,tan200~0.36）

4.某地為了讓山頂通電，需要從山腳點B開始接駁電線，經過中轉站D,再連通到山頂點A處，測得山頂A

的高度AC為300米，從山腳B至仙頂A的水平距離BC是500米斜面BD的坡度i=l:2（指DF與BF的

比），從點D看向點A的仰角為45°.

⑴斜面AD的坡度i=;

⑵求電線AD+BD的長度（結果保留根號）.

參考答案

,~、乙A的對邊

1.(1J---------=-a

斜邊c

的鄰邊

⑵------=-b

斜邊C

C、N』的對邊

1-NA的鄰邊一彳

2,當西,i,i,冬樂鼻虛,3,不存在

2222223

3.(l)cos(90°-4)s譏(90。-A)

(2)1也

cosA

4邊角(1)&2+/=c2

⑵互余

ababab

d，一，7,一，，

ccbcca

5.⑴方位角

(2)水平線上方水平線下方ZAOBZAOC

⑶坡度坡比hl坡角hl

1.B【解析】本題考查特殊角的三角函數值31145。=1,故選B.

2.A【解析】本題考查解直角三角形的實際應用在RtAABC中,NACB=90。,所以sina=箓=工，所以BC=1

2sina米，故選A.

3.D【解析】本題考查解直角三角形.：BD=2CD=6,

,>.CD=3.VtanC=2,AD是仆ABC的高券=2,；.AD=6.在RtAABD中,.AB=y/BD2+AD2=6遮故選D.

4.A【解析】本題考查三角函數的應用、勾股定理.由題意得sina=喘=焉則OB=工.由勾股定理得(OU

OBOBsina

=BC2+OB2=BC2+(―V=1+故選A.

\sina/sinza

5.A【解析】本題考查三角函數的實際應用.過點C作CFXAB于點F,由題意得CF=DB=b,VtanZACF=AF,

/.AF=tanZACFxCF=btana,AB=AF+FB=AF+CD=a+btana,故選A.

A

6.8OOV2【解析】本題考查解直角三角形.如圖，過點C作CELBD于點E.VZABC=150°,ZBCD=105°,

乙DBC=30°,ZXDC=180°-30°-105°=45°.vBC=16GBe=800(m),.-.EC=—=簧=800V2(m).

A

7.16【解析】本題考查解直角三角形的實際應用.如圖，過點D作DHXAB于點H.易知四邊形BCDH為

矩形廁DH=BC,BH=CD=6m.由平行線的性質可知/人口k(1=45。,/人?8=懺58。在RtAADH中,設AH=xm,則D

H=xm,所以BC=xm,AB=AH+BH=(x+6)ni在RtAABC中,tan/ACB=tan58°=—=—?1.60,解得xFO,則甲

BCx

建筑物的高度AB約為16m.

8.10.4【解析】本題考查解直角三角形的實際應用作AD±BC于點D很！J/ABC=3(r,NACD=60o,/BAC=30。.

設CD=a，在RtAACD中,AD=V3a,AC=BC=2a=12,.-.a^6,AD=6V3-10.38~10.4.

9.10V2【解析】本題考查解直角三角形的應用.設上升的高度為x米，二.上山直道的坡度為1：7,.?.水平距

離為7x米，由勾股定理得%2+(7x)2=io。?,解得打=io讓,和=-10/(舍去)一，.每前進100米所上升的高度

為10注米

10.19cm

先在RtAAOC中，求出AO的長.再在RtAA'OD中,利用銳角三角函數即可求出A'D的長.

解：由題意可知，

在RtAAOC中,/-AOC=180°-150°=30°,AC=10cm,

,>.AO=2AC=20cm.

在RtAA'OD中，乙A'OD=180°-108°=72°,A'O=AO=20cm,

A'D=A'O-sin72°?20X0.95=19(cm),即頂部邊緣A處離桌面的高度A'D的長約為19cm.

559米(2)能,理由略

(1)過點A作ADLCB,交CB的延長線于點D,根據題意可得/CAB,NBAD的度數，再由平行線的性質及等

腰三角形的判定可得AB,BD的長，進而得CD的長，結合銳角三角函數的定義即可求出答案；(2)分別求出快艇

和救援船5分鐘內行駛的路程和以及實際行駛的路程和，進行比較即可得解.

解:⑴如圖，過點A作ADMB,交CB的延長線于點D,則NADC=90。.

由題意得NNAC=30O,NNAB=60。.

ZCAB=30°,ZBAD=30°.

：NA〃CB,

ZC=ZNAC=30°.

/.AB=BC=900.BD=450.

->.CD=900+450=1350.

?.?在RtAACD中.cosC=與,

AC=2=籌=900V3-1559.

cosC在

2

答:湖岸A與碼頭C的距離約為1559米.

⑵在接到通知后，快艇能在5分鐘內將該游客送上救援船.理由如下：

快艇和救援船5分鐘一共可行駛的路程為

5x150+5x400=2750,

快艇和救援船實際行駛的路程和為

1559+900=2459.

；27502459,

???在接到通知后，快艇能在5分鐘內將該游客送上救援船.

12.(1)15m⑵能,理由略

⑴在RtAABD中，利用銳角三角函數即可求解；

⑵結合已知條件先求出AD的長，再利用勾股定理求出AB的長，比較大小即可作出判斷.

解:⑴在RtAABD中,NABD=53o,BD=9,

???AB=———=——-——?—=15(m).

COSZ.ABDcos53°0.6

答：此時云梯AB的長為15m.

(2)VAE=19,BC=2,

；.AD=19-2=17.

在RtAABD中,BD=9,

???AB=VXD2+BD2="72+92=V370(m).

???V370<20,

在該消防車不移動位置的前提下，云梯能夠伸到險情處.

13.(1)3.8米(2)NABO=66。,能

⑴根據a的取值范圍，確定AO取最大值時所對應a的值，在RtAAOB中，由正弦的定義即可求解；(2)在R

tAAOB中.由余弦的定義求出cos/ABO再結合已知條件求出/ABO,即可判斷.

解：(l)53°<a<72。,,當a=72。時,AO取最大值.

在RtAAOB中，sinzXBO=笫

.\AO=ABsinZABO

=4sin72°

=4x0.95

=3.8,

所以梯子頂端A與地面的距離的最大值3.8米.

⑵在RtAAOB中.cos^ABO=

cosZABO=1.64+4=0.4l,cos66°~0.41,

：.ZABO=66°.

???53°<cr<72。，

..?人能安全使用這架梯子.

14.(1)(1673+16)m

設AD=x,根據三角函數構造關于AD的方程，解方程進而求得AB.

解:解法一:在仆ADC中，設AD=x.

VAD±BD,ZACD=45°,

CD=AD=x.

在4ADB中,AD_LBD,NABD=30。，

.,.AD=BDtan30°,

即x=彳(16+x).

解之，得x=8百+8,

???AB=2AD=16V3+16.

鋼索AB的長度約為((16g+16)m.

解法二:在△ADB中，設AB=x.

?.?AD±BD,ZABD=30°,

BD=71BCOS30°=—x,AD=-AB=

222

???CD=BD-BC=-x-16.

2

在^ADC中,ADJ_BD,NACD=45。，

二?AD=CD,

即'=漁'一16.

22

解之，得X=16V3+16.

.??鋼索AB的長度約為((16V3+16)m.

15.(1)106cm⑵能,理由略

⑴作CPLAE于點P.BQXCP于點Q,由CQ+PQ計算CP得至[]DE即可；⑵根據題意畫出圖形，根據圖形

運用勾股定理求解AD,從而即可判斷.

解:⑴過點C作CPJ_AE于點P,

過點B作BQXCP于點Q,如圖1,

,/ZABC=143°,.\ZCBQ=53°,

，在RtABCQ中，

CQ=BC-sm53°《70x0.8=56cm.

CD//1,???DE=CP=CQ+PQ=56+50=106cm.

⑵當點B,C,D共線時，如圖2,

BD=60+70=130cm,AB=50cm,

在RtAABD中,AB2+AD2=BD2,

AD=120cm>110cm.

.?.手臂端點D能碰到點M.

壓軸預測

1.C【解析