專題06二次函數

目錄

01理?思維導圖：呈現教材知識結構，構建學科知識體系。

02盤?基礎知識：甄選核心知識逐項分解，基礎不丟分。（5大模塊知識梳理）

知識模塊一：二次函數的相關概念

知識模塊二：二次函數的圖象與性質

知識模塊三二次函數與久①c之間的關系

知識模塊四二次函數與方程、不等式

知識模塊五二次函數的應用

03究?考點考法：對考點考法進行細致剖析和講解，全面提升。（9大考點）

考點一：二次函數的圖象與性質

考點二：判斷二次函數圖象a,b,c之間的關系

考點三：二次函數含參問題

考點四：二次函數解析式的確定及圖象變化

考點五：二次函數最值

考點六：二次函數與一元二次方程關系

考點七：二次函數與不等式關系

考點八：二次函數的實際應用

考點九：二次函數綜合

04辨?易混易錯：點撥易混易錯知識點，沖刺高分。（5大易錯點）

易錯點一：忽略題目中的隱含條件

易錯點二:混淆二次函數的增減性與一次函數的增減性

易錯點三：考慮不全，導致出錯

易錯點四：求最值時忽略自變量的取值范圍

易錯點五：忽略二次函數圖象中二次項系數為負數導致出錯

￡形嫻=冰2+國+式0網的函數叫做二次函數

____Z

描點法:通常取與拋物

圖像畫法線的對稱軸相對稱的

一般寫法:形嫻=OX2+M+C（葉0）"\七個點（含頂點）

是最基本的形式/

/1^-4000,與x軸有兩個交點,

注意事項:葉0.b、c可以為0,也可以Z“奴?〈O,與（軸無交點;

不為9,白變量的取值范圍是實數〃-如。=0,與x有一個交點

—c>0,與y軸正半軸相交;

平移前后的圖像,其形狀、大小相Ic<0,與y軸負半相交;

同,只是彳立置不同平移前后特征\c=O,與原點相交

平移前后的解析式中,a的值不變a>0,拋物線開口向上a<0,

開口方向

二次雨費、換物線開口向下

自平移變后量解,上析加式下的減確常定:數左項加有減/移年后擾解尸加析麻式L確無小一〉I

ba、b同號在y軸左側.

對稱軸

二a、b異號的軸右側

漏掉“：次項系數不為）”這個隱含條件

易將:y=a（*h）2+k的符號弄錯理解問題.確立變量與常量

在0>0時,函數有最小值:在a<0時,函數有最大值用函數關系式表示它們之問的關系

函數在對稱軸左、右兩側的增減性相反利用二次函數的性質進行求解

頂點縱坐標切忌寫錯檢驗結果的合理性

待定系數法求解

靈活運用二種表達式一般式,

頂點式,交就

知識模塊一：二次函數的相關概念

知識點一：二次函數的概念

一般地，形如y=ox2+bx+c（其中b、c是常數，存。）的函數叫做二次函數.其中，x是自變量，a是

二次項系數為是一次項系數,c是常數項。

注意：如果已說明該函數為二次函數,那么隱含條件為aWO.

知識點二：二次函數解析式的確定

1.二次函數常見表達式

名稱解析式適用范圍

一般式y=ax2+bx+c（葉0）已知拋物線上的無規律的三個點的坐標

頂點式y=a（x-h）2+k（a,h,Z為常數，已知拋物線的頂點坐標或對稱軸、最值

葉0）,頂點坐標是（h,k）

交點式y—a(x-xi)(x-X2)(葉0)已知拋物線與X軸兩交點坐標

注意:拋物線與X軸交點的橫坐標就是方辦2

+bx+c=O的解

相互聯系1)以上三種表達式是二次函數的常見表達式，它們之間可以互相轉化.

2)一般式化為頂點式、交點式，主要運用配方法、因式分解等方法.

2.對未給定二次函數解析式，根據所給點坐標選擇適當的表達方式

(1)頂點在原點,可設為>=以2

(2)對稱軸是丫軸(或頂點在y軸上),可設為>=ax2+c；

(3)頂點在x軸上,可設為~y=a(x-h)2;

(4)拋物線過原點,可設為y=ax2+bx.

知識模塊二：二次函數的圖象與性質

知識點一：二次函數的圖象與性質

二次函數的圖象是一條關于某條直線對稱的曲線，這條曲線叫拋物線，該直線叫做拋物線

的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點.

注意：

圖象特征

二次函數圖象的畫法(1)依據解析式列表、描點、連線畫出二次函數圖象；(2)利用配方法找

出函數圖象頂點;利用因式分解法或公式法找出圖象與x軸的交點;利用一般式中的c值找

出圖象與y軸的交點,畫出簡易的函數圖象.

基本形式y-axr2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c

V/

圖\/h>0,k>0v

a>0

象

__1>ox

4h<0,k<0:

代A

h<0,k>0

-L―Ju——

a<0/LAji>0,k<0

巾o10__________>oX

b

對稱軸y軸y軸x=hx=hx=---

2a

(b4ac-b2^

頂點坐標(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)

2a4a

a>0開口向上，頂點是最低點，當x=-9時y有最小值”p；

最2a4a

值

a<0開口向下，頂點是最高點，當X=-9時時y有最大值受把.

2a4a

增在對稱軸X=-白的左邊y隨x的增大而減小，在對稱軸x=-白的右邊y隨x的增大而增大.

a>02a2a

減

在對稱軸X=-白的左邊y隨x的增大而增大，在對稱軸x=-白的右邊y隨x的增大而減小.

性a<02a2a

知識點二：二次函數的圖象變換

1.二次函數的平移變換

總結：拋物線的平移規律左加右減自變量，上加下減常數項”

方法一：

(1)將拋物線解析式轉化成頂點式y=a(x-h)2+k,其頂點坐標為(h,k);

(2)保持拋物線y=ax2的形狀不變，將其頂點平移到(h,k)處，

方法二：

⑴將拋物線y=ax2+bx+c沿y軸向上(或向下)平移in(m>0)個單位，得拋物線y=ax2+bx+c+m(M

y=ax2+bx+c-m);

(3)(2)將拋物線y=ax2+bx+c沿x軸向左(或向右)平移個單位，得拋物線廠如:+加產+貼+刈+7或

y=*-刈2+貼_刈+0具體平移方法如下：

平移方式（n>0）一般式y=a￡+bx+c頂點式y=a(x-h)2+k平移口訣

左加

向左平移n個單位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k

向右平移n個單位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右減

向上平移n個單位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加

向下平移n個單位y=ajr+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下減

2.二次函數圖象的翻折與旋轉

變換前變換方式變換后口訣

繞頂點旋轉180°y=-a(x-h)2+ka變號,h、k均不變

2

y=a(x-h)+k繞原點旋轉180°y=-a(x+h)2-k〃、h、k均變號

沿X軸翻折y=-a(x-h)2-ka、k變號,h不變

沿y軸翻折y=a(x+h)2+ka、h不變,h變號

知識點三：二次函數的對稱性問題

拋物線的對稱性的應用，主要體現在：

1）求一個點關于對稱軸對稱的點的坐標；

2）已知拋物線上兩個點關于對稱軸對稱，求其對稱軸.

解題技巧：

1.拋物線上兩點若關于直線，則這兩點的縱坐標相同，橫坐標與》=-二的差的絕對值相等；

2a

2若二次函數與x軸有兩個交點，則這兩個交點關于直線x=-二對稱；

2a

3二次函數-^y=ax2-bx+c的圖象關于y軸對稱；二次函數與y=-a￡-bx-c的

圖象于x軸對稱.

知識模塊三二次函數與人c之間的關系

關系符號圖象特征

a決定拋物線a>0開口向上⑷壁尢拋物線的開口小.

的開口方向

a<0開口向下

a、b共同決b=0對稱軸是y軸

定拋物線對

ab>O（a,b同號）對稱軸在y軸左側左同右異

稱軸的位置

ab<O（（a,b異號））對稱軸在y軸右側

C決定了拋物c=0拋物線經過原點

線與y軸交

c>0拋物線與y軸交于正半軸

點的位置.

c<0拋物線與y軸交于負半軸

由bz-4ac確b2-4ac>0拋物線與X軸有兩個交點

定拋物線與X

b2-4ac=O拋物線與X軸有一個交點

軸交點的個

b2-4ac<0拋物線與X軸沒有交點

數

注意：當x=l時，產Q+Z?+C;當x=-l時,y=〃-b+c.若〃+Z?+c>0,即當x=l時y>0;若〃6+0<0,即當x=-l時,y<0.

知識模塊四二次函數與方程、不等式

知識點一：二次函數與一元二次方程的關系

一元二次方程加74;冗/°=0（葉0）的解就是二次函數丫=加77?%7^=0圖象與x軸交點的橫坐標.

b2-4ac與0的關系二次函數與無軸交點個數一元二次方程ax2-^bx+c=0根的情況

按-4〃c>02個交點有兩個不相等的實數根

b2-^ac=01個交點有一個不相等的實數根

b2-^ac<00個交點沒有實數根

知識點二：二次函數與不等式的關系（以。大于0為例）

不等式以。大于。為圖象觀察方法解集

例

ax2+bx+c>0函數y=ax2+bx+c的X<X1或X>X2

的解集情況X圖象位于X軸上方時

4a叫。及時0產

對應的自變量的取值

范圍

ax2+bx+c<0函數y=ax2+bx+c的X1<X<X2

的解集情況L圖象位于X軸下方時

O8

/a2,。）4

對應的自變量的取值

范圍

知識模塊五二次函數的應用

知識點一：用二次函數解決實際問題的一般步驟

1.審：仔細審題，理清題意；

2.設：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關系，與圖形相關的問題要結合圖形具體分析，設出適當

的未知數；

3.歹!J：用二次函數表示出變量和常量之間的關系，建立二次函數模型，寫出二次函數的解析式；

4.解：依據已知條件，借助二次函數的解析式、圖象和性質等求解實際問題；

5.檢：檢驗結果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結論.

注意：二次函數在實際問題中的應用通常是在一定的取值范圍內，一定要注意是否包含頂點坐標，如果頂

點坐標不在取值范圍內，應按照對稱軸一側的增減性探討問題結論.

知識點二：方法技巧總結

1.利用二次函數解決面積最值：利用圖形面積公式構造關于x的二次函數,利用二次函數圖象的頂點坐標求

出最值，注意解題時必須結合自變量的取值范圍和函數的增減性確定最值

2.拋物線形問題：將實際問題轉化為數學問題，建立函數模型,利用二次函數的性質解決問題

3.銷售利潤問題：根據“利潤=（售價-進價）X銷量列出函數解析式，利用二次函數的性質求最值

4.利用二次函數解決動點問題：首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結合直線

或拋物線的表達式設出動點的坐標或表示出與動點有關的線段長度，最后結合題干中與動點有關的條件進

行計算.

5.利用二次函數解決存在性問題：一般先假設該點存在，根據該點所在的直線或拋物線的表達式，設出該

點的坐標；然后用該點的坐標表示出與該點有關的線段長或其他點的坐標等；最后結合題干中其他條件列

出等式，求出該點的坐標，然后判別該點坐標是否符合題意，若符合題意，則該點存在，否則該點不存在.

考點一：二次函數的圖象與性質

【典例1】（2024.內蒙古包頭.中考真題）將拋物線y=f+2尤向下平移2個單位后，所得新拋物線的頂點

式為（）

A.y=（x+l）2-3B.y=（%+7）2-2C.J=（X-1）2-3D.y=（%-l）2-2

【典例2】（2024?四川涼山?中考真題）拋物線y=g（x-iy+c經過（一2,％）,（0,%）,||，%）三點，則

M，火，%的大小關系正確的是（）

A.%>%>%B.%>%>%C.D.

【典例3】（2024.安徽馬鞍山.二模）下列函數中，當x>0時，y隨x的值的增大而增大的是（）

A.y=-x+lB.y=x+l

C.y=-（x+1）2D.y=（x-1）2

【典例4］（2024?西藏?中考真題）如圖，已知二次函數y=ad+bx+c（a片0）的圖象與x軸相交于點A（-3,0）,

3（1,0）,則下列結論正確的個數是（）

①abc<0

②36+2c>0

③對任意實數加，am1+bmWa—b均成立

④若點（T,yJ,［g,%］在拋物線上，貝

A.1個B.2個C.3個D.4個

【典例5】（2024?貴州遵義二模）已知函數y=二的圖象與二次函數y=2渥+3g+1（。<0）的圖象交于點

X+1

8%2，%），。（電，%）.若點A在％軸下方且%時，則下列正確的是（）

A.再<%2<%3B.x2<x1<x3

C.x3<0<x1<x2D.x3<x2<xi

【典例6】（2024.內蒙古赤峰.中考真題）如圖，正方形ABCD的頂點A,。在拋物線y=-/+4上，點。在

,軸上.若A。兩點的橫坐標分別為加〃（m>n>0）,下列結論正確的是（)

A.m+n=1B.m—n=lC.mn=lD.—二1

n

考點二：判斷二次函數圖象a,b,C之間的關系

【典例1】（2024?山東青島?三模）二次函數丁=以2+法+°（。片0）的圖象如圖所示，下列結論：①％<0；

②2°+6=0；③機為任意實數，則。+方4加（。/+6）；?a-b+c>Q\⑤若依；+如=ax；，且占R%，

則占+%=2.其中正確的個數是（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【典例2】（2024?湖北武漢?二模）函數％、%在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則在該平面直角

坐標系中，函數>=%+%的大致圖象是（）

【典例3】（2024?四川自貢沖考真題）一次函數、=尤-2〃+4,二次函數、=爐+（”_1比一3,反比例函數

w+1

>=巴巳在同一直角坐標系中圖象如圖所示，則H的取值范圍是（）

C.—lv〃vlD.l<n<2

【典例4】（2024?四川遂寧?中考真題）如圖，已知拋物線＞（〃、6c為常數，且〃。0）的對

稱軸為直線戶-1,且該拋物線與1軸交于點A（l,0）,與y軸的交點3在（0,-2）,（0,-3）之間（不含端點），

則下列結論正確的有多少個（）

②9。-3〃+c20；

（3）—＜4＜1;

④若方程依2+云+。=%+1兩根為租,〃（加＜〃），貝！J-3〈根＜lv〃.

A.1B.2C.3D.4

【典例5】（2024.山東青島?中考真題）二次函數y=Q/+法+。的圖象如圖所示，對稱軸是直線X=-1,則

過點M（c,2a-6）和點N（Z?_4ga-6+c）的直線一定不經過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【典例6】（2024?四川雅安?中考真題）已知一元二次方程依2+6x+c=0有兩實根國=-1,%=3,且必c＞0,

則下列結論中正確的有（）

@2a+b-0；②拋物線y=加+bx+c的頂點坐標為［1,孚］；

③。＜0；④若根（曲2+人）＜4〃+%,貝!］0＜相＜1.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【典例7】（2024.山東日照.中考真題）已知二次函數y=a?+bx+c（aw0）圖象的一部分如圖所示，該函數

圖象經過點（T,。），對稱軸為直線x=2.對于下列結論：①%<0；②a+c=b；③多項式依2+bx+c可

因式分解為"+1）（》-5）；④當機>-9a時，關于x的方程加+6x+c=m無實數根.其中正確的個數有（）

C.3個D.4個

考點三：二次函數含參問題

【典例1】（2024?四川內江?二模）若二次函數y=&+3x_i的圖象與x軸有公共點，則上的取值范圍是（）

99r

A.k>——B.k>——且左

44

99

C.k>一一D.k>一一且左wO

44

【典例2】（2024?山東荷澤一模）若二次函數y=（m+2）九2一儂:+療一2帆—8經過原點，則用的值為（）

A.-2B.4C.-2或4D.無法確定

【典例3】（2024?廣東廣州?一模）二次函數y=（左-1）/”的圖象開口向—.

【典例4】（2023?浙江嘉興?中考真題）在二次函數y=V一2九+3?>0）中，

⑴若它的圖象過點（2,1）,貝卜的值為多少？

⑵當04x43時，y的最小值為-2,求出f的值：

⑶如果A（〃z-2,°）,3（4,6）,CO,°）都在這個二次函數的圖象上，且。<b<3,求wz的取值范圍.

【典例5】（2024?云南.二模）我們約定：若關于x的二次函數為=%尤2+4x+q與丫2=g/+3+02同時滿

足五三+（仇+乙）2+卜2-弓|=0，3-仇產3=0,則稱函數%與函數為互為“美美與共”函數.根據該約

定，解答下列問題.

⑴若關于X的二次函數％=2/+乙+3與%=7/+尤+”互為“美美與共”函數，求3相,〃的值.

（2）對于任意非零實數，，$,點與點。（sJ）（"s）始終在關于x的函數％=，+2。+s的圖象上運動，

函數%與必互為“美美與共”函數.

①求函數為的圖象的對稱軸.

②函數內的圖象是否經過某兩個定點？若經過某兩個定點，求出這兩個定點的坐標；否則，請說明理由.

考點四：二次函數解析式的確定及圖象變化

【典例1】（2024?江蘇南通?中考真題）將拋物線y=9+2%-1向右平移3個單位后得到新拋物線的頂點坐

標為（）

A.（TT）B.（-4,2）C.（2,1）D.（2,-2）

【典例2］（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）將拋物線y=ax2+bx+3向下平移5個單位長度后，經過點（-2,4）,

則6a-3b-7=.

【典例3】（2024?江蘇徐州沖考真題）在平面直角坐標系中，將二次函數y=（尤-2023）（尤-2024）+5的圖

象向下平移5個單位長度，所得拋物線與x軸有兩個公共點P、Q,則PQ=.

【典例4】（2024?江蘇鎮江?中考真題）對于二次函數y=Y-2ax+3（a是常數），下列結論：①將這個函

數的圖像向下平移3個單位長度后得到的圖像經過原點；②當“=-1時，這個函數的圖像在函數丁=-彳圖像

的上方；③若。21,則當x>l時，函數值y隨自變量無增大而增大；④這個函數的最小值不大于3.其中正

確的是（填寫序號）.

【典例5】（2024?四川巴中?中考真題）若二次函數丁=依2+云+c（。>0）的圖象向右平移1個單位長度后關

于》軸對稱.則下列說法正確的序號為.（少選得1分，錯選得。分，選全得滿分）

①”2

a

3522

②當白。4三時，代數式a+b-5b+8的最小值為3

22

③對于任意實數沉，不等式。m2+6加-4+620一定成立

④P（xi，yj,QQ2,>2）為該二次函數圖象上任意兩點，且占<超.當%+%+2>。時，一定有力<當

【典例6】（2024?湖北武漢?中考真題）拋物線y=依2+bx+c（a,b,c是常數，a<0）經過（T,l）,（m,l）

兩點，且0<〃z<l.下列四個結論：

@b>0；

②若0<x<l,貝!]a（x-iy+6（x-l）+c>l；

③若。=-1,則關于尤的一元二次方程辦2+施+0=2無實數解；

④點4（芯,必），研程％）在拋物線上，若玉+%>-；，龍1>々，總有％<%，則

其中正確的是（填寫序號）.

【典例7】（2024內蒙古?中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線y=/-2/-4經過點（-1,根）.

（1）若根=1,則人=,通過配方可以將其化成頂點式為；

（2）已知點（&%）,（々，%）在拋物線上，其中國<4.若租>0且2占+2%245,比較％與%的大小關系，并說

明理由；

（3）若6=0,將拋物線向上平移4個單位得到的新拋物線與直線>=息+；交于A,B兩點,直線與y軸交于

點G點E為AC中點’過點“作尤軸的垂線’垂足為點R連接CF.求證：/=3E.

【典例8】(2024?湖南邵陽?模擬預測)如果二次函數％的圖象的頂點在二次函數為上的圖象上，同時二次

函數%的圖象的頂點在二次函數為的圖象上，那么我們稱這兩個函數互為“頂點相容函數”.

(1)若二次函數%=尤?-2x-3與二次函數為=-x2+弧-7互為“頂點相容函數”，貝I]b=

(2)如圖，已知二次函數y=：(尤+1)2-2的圖象的頂點為點尸是x軸正半軸上的一個動點，將二次函數

%的圖象繞點尸旋轉180。得到一個新的二次函數%的圖象，旋轉前后的兩個函數互為“頂點相容函數”，且為

的圖象的頂點為N.

①求二次函數內的解析式；

②點。為了軸上一點，是否存在一點Q,使得△MAQ為直角三角形？若存在，求出點。的坐標；若不存在,

請說明理由.

【典例9】(2024?江蘇宿遷?中考真題)如圖①，已知拋物線％=，+H+c與x軸交于兩點0(0,0)、4(2,0),

將拋物線力向右平移兩個單位長度，得到拋物線內,點P是拋物線％在第四象限內一點，連接出并延長,

交拋物線乃于點。.

⑴求拋物線為的表達式；

(2)設點尸的橫坐標為埠，點。的橫坐標為與，求%-%的值；

(3)如圖②，若拋物線為=Y-8x+f與拋物線%=*+"+c交于點C,過點C作直線MN,分別交拋物線％

和劣于點〃、N(M、N均不與點C重合)，設點M的橫坐標為點N的橫坐標為“，試判斷I，"-川是

否為定值.若是，直接寫出這個定值；若不是，請說明理由.

4

【典例10X2024?江蘇鎮江?中考真題)如圖,在平面直角坐標系中,。為坐標原點，二次函數y=--(x-l)2+4

的圖像與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，頂點為C.

(1)求A、B、C三點的坐標；

(2)一個二次函數的圖像經過8、C、M?,4)三點，其中twl,該函數圖像與x軸交于另一點D,點3在線段

OB±.(與點O、B不重合).

①若D點的坐標為(3,0),則t=

②求f的取值范圍：

③求OD/汨的最大值.

【典例11】(2024山東泰安.中考真題)如圖，拋物線G：y=ax2+gx-4的圖象經過點與無軸交

(1)求拋物線。的表達式；

(2)將拋物線G向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線G,求拋物線C2的表達式，并判斷點D

是否在拋物線g上；

(3)在x軸上方的拋物線g上，是否存在點P,使△PBD是等腰直角三角形.若存在，請求出點尸的坐標；

若不存在，請說明理由.

考點五：二次函數最值

【典例1】（2024?廣西?中考真題）課堂上，數學老師組織同學們圍繞關于x的二次函數y=V+2辦+a-3的

最值問題展開探究.

【經典回顧】二次函數求最值的方法.

（1）老師給出。=-1,求二次函數？=爐+2依+。-3的最小值.

①請你寫出對應的函數解析式；

②求當x取何值時，函數y有最小值，并寫出此時的y值；

【舉一反三】老師給出更多。的值，同學們即求出對應的函數在x取何值時，y的最小值.記錄結果，并整

理成下表：

a-4-2024

X*20-2-4

y的最小值*-9-3-5-15

注：*為②的計算結果.

【探究發現】老師：“請同學們結合學過的函數知識，觀察表格，談談你的發現.“

甲同學：“我發現，老師給了a值后，我們只要取無=就能得到y的最小值.”

乙同學：“我發現，y的最小值隨。值的變化而變化，當。由小變大時，》的最小值先增大后減小，所以我猜

想y的最小值中存在最大值.”

（2）請結合函數解析式y=f+2ax+a-3,解釋甲同學的說法是否合理？

（3）你認為乙同學的猜想是否正確？若正確，請求出此最大值；若不正確，說明理由.

【典例2】（2024?江蘇徐州?模擬預測）已知在正方形中，AB=4,點E為邊上一動點（不與點S

C重合)，連接AE,將AE繞點E順時針旋轉90。得到族，連接赫交C￡＞于點G

(1)如圖1,當點石為BC的中點時，求二方的值;

ACJ

(2)如圖2,若DG=BE,求班的長；

(3)連接。尸，求。尸的最小值.

【典例3】(2024?四川南充?中考真題)已知拋物線y=-無2+法+。與龍軸交于點A(-i,0),B(3,0).

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,拋物線與y軸交于點C,點P為線段0C上一點（不與端點重合），直線上4,P8分別交拋物線

于點E,D,設面積為跖，△尸砥面積為S2,求U的值；

（3）如圖2,點K是拋物線對稱軸與工軸的交點，過點K的直線（不與對稱軸重合）與拋物線交于點M,N,

過拋物線頂點G作直線/〃x軸，點。是直線/上一動點.求QM+QV的最小值.

【典例4】（2024.內蒙古呼倫貝爾.中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數丁=G2+法+。（。二0）

的圖像經過原點和點4(4,0).經過點A的直線與該二次函數圖象交于點8(1,3),與y軸交于點C.

(1)求二次函數的解析式及點C的坐標；

(2)點尸是二次函數圖象上的一個動點，當點尸在直線上方時，過點P作PELx軸于點E,與直線AB交

于點。，設點尸的橫坐標為優.

①加為何值時線段尸口的長度最大，并求出最大值；

②是否存在點尸，使得MPD與△AOC相似.若存在，請求出點尸坐標；若不存在，請說明理由.

【典例5】(2024?江蘇常州?中考真題)將邊長均為6cm的等邊三角形紙片ABC、小尸疊放在一起，使點￡、

3分別在邊AC、DF±（端點除外），邊AB、EF相交于點G,邊BC、DE相交于點H.

（2）如圖2,若EF〃BC,求兩張紙片重疊部分的面積的最大值；

（3）如圖3,當AE>EC,即>應）時，AE與所有怎樣的數量關系？試說明理由.

【典例6】（2024?山東淄博?中考真題）在綜合與實踐活動課上，小明以“圓”為主題開展研究性學習.

【操作發現】

小明作出了。。的內接等腰三角形ABC,AB^AC.并在BC邊上任取一點O（不與點B,C重合），連

接AD,然后將△ABD繞點A逆時針旋轉得到小”.如圖①

小明發現：CE與。O的位置關系是,請說明理由：

【實踐探究】

連接DE,與AC相交于點歹.如圖②，小明又發現：當VA3C確定時，線段C尸的長存在最大值.

請求出當A3=3jiU.3C=6時，b長的最大值；

【問題解決】

在圖②中，小明進一步發現：點。分線段8C所成的比與點尸分線段DE所成的比分:EE始終相

等.請予以證明.

【典例7】（2024.重慶銅梁.一模）已知，在平面直角坐標系中，拋物線,=辦2+施+3與x軸交于點3,C,

與y軸交于點4其中3(-3,0),C(1,O).

⑴求a,6的值;

(2)如圖1,連接AB,點P是直線AB上方拋物線上一動點,過點P作PK〃y軸交AB于點K,過點K作KE，y

軸，垂足為點區求尸K+KE的最大值并求出此時點尸的坐標；

(3)如圖2,點尸在拋物線上，且滿足在(2)中求出的點尸的坐標，連接PC,將該拋物線向右平移，使得

新拋物線V恰好經過原點，點C的對應點是凡點M是新拋物線V上一點，連接CM,當ZMCF+ZPCB=135°

時，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標.

考點六：二次函數與一元二次方程關系

【典例1】（2024?貴州?中考真題）如圖，二次函數y=o%2+bx+c的部分圖象與％軸的一個交點的橫坐標是

-3,頂點坐標為（-1,4）,則下列說法正確的是（）

A.二次函數圖象的對稱軸是直線x=l

B.二次函數圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是2

C.當x<-l時，y隨x的增大而減小

D.二次函數圖象與y軸的交點的縱坐標是3

【典例2】（2024.黑龍江牡丹江?中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線y=62+bx+c（aw0）與x軸交于

A、B兩點，A（-3,0）,3（1,0）,與y軸交點C的縱坐標在-3?-2之間，根據圖象判斷以下結論：①必/>0；

2

@-<b<2-③若oxi-bx1=axi,-bx、且玉w馬，則xt+x2=-2；④直線y---cx+c與拋物線y=ax+bx+c

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的一個交點（加,〃）（〃件0）,則m=：.其中正確的結論是（）

C.①②③D.①②③④

【典例3】（2024.寧夏?中考真題）若二次函數y=2/-x+根的圖象與無軸有交點，則加的取值范圍是

【典例4】（2024.遼寧?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線、=如2+法+3與尤與相交于點A,

8,點5的坐標為（3,0）,若點C（2,3）在拋物線上，則的長為.

【典例5】(2024.全國.模擬預測)根據以下素材，探索完成任務.

素材1：為響應全民健身號召，某校在校運會上開展“8”字長繩比賽.圖1是繩甩到最高處時的示意圖，可

以近似的看作一條拋物線，正在甩繩的甲、乙兩位隊員拿繩的手間距6米，到地面的距離均為1米.

素材2：如圖2,身高為1.5米的小麗站在距點。的水平距離為1米的點尸處，繩子甩到最高處時剛好通過

她的頭頂點E.

(2)某班跳繩成員有男生和女生各5名，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.60米至1.68米，繩子能否

順利從每位跳繩成員頭頂越過？請說明理由.

(3)身高為1.6米的跳繩成員至少站在離搖繩同學多遠的地方，才能讓繩子順利從頭上越過？

【典例6】(2024?云南昆明?一模)已知拋物線y=f-2g+%2-9.

(1)求證：拋物線與x軸有兩個不同的交點；

(2)當根=1時，拋物線與x軸交于點A,B