2025年中考數(shù)學(xué)壓軸題專練：圓的證明題

1.如圖，VA3c是0。的內(nèi)接三角形，點(diǎn)。是弧A8的中點(diǎn)，連接AD,BD,CD.

圖1圖2

(1)如圖1,若ZACD=30。，求403的度數(shù)；

(2汝口圖2,若AB=AC=10,AZ)=—,求BC.

2

2.如圖，VA3c內(nèi)接于。。，AB為。。的直徑，C。平分/ACB交。。于點(diǎn)。，交A5于

點(diǎn)F,過點(diǎn)。作0。的切線DE交C4的延長線于點(diǎn)E.

(1)求證：AB//DE；

(2)連接AO,如果帥=10,CD=8,求。尸的長.

3.如圖，在中，ZA=90°,延長A0到點(diǎn)C,使OC=Q4,在以。為圓心，AC為

直徑的半圓上取一點(diǎn)。，使CD〃03,連接80.

⑴求證：3D是。。的切線；

25

(2)若CD=6,0B=y,則。。的半徑長為

4.已知點(diǎn)A,B,C,在0。上，NG4B的平分線交0。于點(diǎn)。.

(D如圖1,若BC為。。的直徑，BC=6.求NCB。的大小和的長.

(2)如圖2,若NC4B=60。，BD=5,求。。的半徑.

5.如圖，A8為。。的直徑，射線AC交0。于點(diǎn)C,AO平分，。LB交。。于點(diǎn)。，過點(diǎn)

。作直線OESAC于點(diǎn)E,交A5的延長線于點(diǎn)連接并延長交AC于點(diǎn)

M

E,

AF

(1)求證：直線DE是。。的切線;

(2)若N尸=30。，ME=6求OW的長.

6.如圖，AB為。。的直徑，OC_LAB交0。于點(diǎn)C,。為02上一點(diǎn)，延長C。交0。于

點(diǎn)E,延長08至歹，使DF=FE,連接EF.

⑴求證：EE為0。的切線；

(2)若。￡)=1且=求0。的半徑.

7.如圖，AB為。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，連接AC、BC,。。的切線50交OC的延

長線于點(diǎn)。.

D

⑴求證：NDBC=ZOCA；

(2)若NBAC=30。，AC=6,求CD的長.

8.在。。中，48為直徑，C為。。上一點(diǎn).

D

圖①圖②

(1)如圖①，過點(diǎn)C作。。的切線，與A3的延長線相交于點(diǎn)P,若NC4B=27。，求NP的大

小;

(2)如圖②，。為啟上一點(diǎn)，且0D經(jīng)過AC的中點(diǎn)E,連接。C并延長，與A3的延長線

相交于點(diǎn)尸，若/C4B=10。，求ZP的大小.

9.如圖，A3是。。的直徑，弦C。與AB相交于點(diǎn)E.過點(diǎn)。作交C4的延長線

于點(diǎn)/，CF=CD,ZF=67.5°.

c

FD

(1)試判斷直線OF與。。的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)^DEDC=2,求。。的半徑和AE的長.

10.如圖，VABC內(nèi)接于為。。的直徑，/ACB的平分線交。。于點(diǎn)。，連接

AD.BD,過點(diǎn)。作DE〃AB,交CB的延長線于點(diǎn)E.

⑴求證：EZ)是。。的切線；

Q)若AC=3垃,BC=6,求C。的長.

11.如圖，點(diǎn)尸為。。外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作。。的切線上4和PB,切點(diǎn)分別是點(diǎn)A和點(diǎn)3,連

接AB,直線尸。與。。交于點(diǎn)C和點(diǎn)E,交于點(diǎn)。，連接AE,BE.

A

0\D

(1)求證：AAEB是等腰三角形；

(2)若tanNAEP=g,BE=#,求CD的長.

12.如圖，己知Rt^ABC中，44。2=90°,4。平分1衣4。，交BC于點(diǎn)、D,以上某一

點(diǎn)。為圓心作。。，使。。經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)。，交48于點(diǎn)E,連接即并延長交AC的延長

線于點(diǎn)F.

(1)判斷直線BC與。。的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)若AE=12,8E=6,求陰影面積.

13.如圖，已知AB是。。的直徑，C。與0。相切于C,過點(diǎn)8作3E_LZ)C,交DC延長

線于點(diǎn)E.

E

DAOB

⑴求證：BC是-4BE1的平分線；

(2)若OC=8,0。的半徑Q4=6,求CE的長.

14.如圖，在Rt^ABC中，N54c=90。，/ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,以點(diǎn)。為圓心,

D4長為半徑的圓與AC相交于點(diǎn)E.

⑴求證：BC是。。的切線；

(2)若AB=5,3c=13,求CE的長.

15.如圖，在Rt^ABC中，/3C4=90。，點(diǎn)。是AC邊上一點(diǎn)，。。經(jīng)過點(diǎn)A交A3于點(diǎn)

交AC于點(diǎn)孔過點(diǎn)。作0。的切線，交BC于點(diǎn)、E.

B

(1)求證：ZBED=2ZA；

⑵若NA=30。，AO=DE=4,求AB的長.

16.如圖，已知AB是00的直徑，點(diǎn)C,。在。。上，且3C=CD.點(diǎn)E是線段A3延長

線上一點(diǎn)，連接EC并延長交射線AO于點(diǎn)/FEG的平分線E”交射線AC于點(diǎn)

/H=45°.

EG

⑴求證：EF是。。的切線；

(2)若跳;=2,CE=4,求4斤的長.

17.如圖，為0。的直徑，點(diǎn)C是A3上方0。上異于A,8的點(diǎn)，點(diǎn)。是嘉的中點(diǎn),

過點(diǎn)。，作交CB的延長線于點(diǎn)E,連接AC,AD

(1)求證：￡>E是。。的切線：

(2)若AC=8,BC=6,求圖中陰影部分的面積.

18.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于0。，連接AC,BD交于點(diǎn)、M,延長至點(diǎn)E.

(1)若AB=AC,猜想1AD3和4DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

⑵若/SAC=45。，BC=3.求0。的直徑.

19.如圖，是。。的直徑，弦CD和相交于點(diǎn)P,且4^。=45。,。。_1。。,。是垂足.

c

OP

(1)求證：PC-PD=2OQ.

(2)若。。的半徑為5,求尸c2+p￡)2的值.

20.如圖1,點(diǎn)A、B、C、。在。。上，且AD=BC，E是AB(不是直徑)延長線上一

點(diǎn)，且BE=AB,尸是EC的中點(diǎn).

圖1圖2

⑴探索所與80之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖2,設(shè)G是8。的中點(diǎn)，過點(diǎn)8作連接PG、PF,求證：PG=PF.

21.如圖，點(diǎn)D,E在以AC為直徑的。。上，ZADC的平分線交。。于點(diǎn)8,連接54,EC,

EA,過點(diǎn)E作EHLAC,垂足為X,交AO于點(diǎn)R

⑴求證：AE2=AFAD^

，/s

⑵若sin/ABD=—^―,AB=5,求SABOG.

22.如圖，點(diǎn)A,B,C,。在圓。上，四邊形Q4CB為平行四邊形，點(diǎn)。在NADS的內(nèi)

部，連接C。，過C作C廠||48,交。8的延長線于點(diǎn)F.

⑴求證：/ADC=/BDC；

⑵求證：C歹為圓。的切線;

⑶當(dāng)NOBA=45°,=2石+2時(shí)，求&的長.

23.如圖，已知48、C、。是。。上的四個(gè)點(diǎn)，AB=BC,80交AC于點(diǎn)E,連接CD、AD.

⑴求證：平分NADC；

⑵求證：&ABES&DBA

(3)若BE=3,ED=6,求AB的長.

24.如圖1,VABC中，ZACB=90°,AC=BC,點(diǎn)、D,E分別在AB,BC邊上，且

NCDE=45°.經(jīng)過點(diǎn)C,D,E的。0分別交AC,AB邊于點(diǎn)F,G,連結(jié)￡>F.

(1)求證：CF=CE.

(2)若A8=60，DF=2DE,求CE的長.

(3)如圖2,連結(jié)CG,若CG||D￡,請直接寫出C笠E的值.

《2025年中考數(shù)學(xué)壓軸題專練：圓的證明題》參考答案

1.(1)120°

(2)12

【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，得出=根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角相等得

出NBCZ）=NACD=3O。，求出NACB=60。，最后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出結(jié)果即可；

（2）連接49并延長交BC于點(diǎn)￡,連接。B,OD交AB于點(diǎn)F,證明AE垂直平分BC,證

明根據(jù)垂徑定理得出=B尸=：AB=5,根據(jù)勾股定理得出

2

222

DF=y/AD-AF=t-5=-,設(shè)AO=r,則。歹=廠一（，根據(jù)勾股定理得出

5?+卜-7=產(chǎn)，求出a。后，設(shè)EO7,根據(jù)勾股定理得出io?一,+字）=］亨：-尤2,

求出x=:,根據(jù)勾股定理求出*Jf=6,最后根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出結(jié)果

即可.

【詳解】（1）解：???點(diǎn)。是A3的中點(diǎn)，

??AD=BD，

JZBCD=ZACD=3O0,

：.NAC5=60。，

又ZACB-^-ZADB=180°,

ZADB=180°-60°=120°.

（2）解：連接AO并延長交BC于點(diǎn)E,連接OB,0C,交AB于點(diǎn)憶如圖所示：

?：AB=AC,OB=OC,

???AE垂直平分BC,

NAEB=90。,

又???點(diǎn)。是A3的中點(diǎn),

??AD=BD，

???ZBOD=ZAOD,

又,：OB=OA,

：.OD±AB,

/.AF=BF^-AB^5,

2

在RSADF中，DF=AD--AF1=

設(shè)AO=r,則。/=廠—

2

在Rt~4O尸中，52+

25

解得」二

???I

設(shè)EO=x,

在RtAABE和RtABOE中,

BE2-AB2-AE2=BO2-OE2,

25

A102-XH---

4

7

解得…T

在RR5OE中，BE=6,

BC=2BE=12.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，線

段垂直平分線的性質(zhì)和判斷，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)，作出輔助線，數(shù)形

結(jié)合.

2.⑴見解析

25

(2)DF=—

【分析】此題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識.

(1)連接OD,證明ZAOD=2ZACD=90。，由3E為。。的切線得到NC?E=90。，即可證

明AB〃DE；

(2)連接班),求出4。=5五.證明AAD/SACQA,貝|?￡=券，即可求出。尸的長.

C-Z-/

【詳解】(1)證明：連接OD,如圖.

TAB為。。的直徑，

???ZAC6=90°,

CO平分2AC5,

???ZACD=ZBCD=45°,

：.ZAOD=2ZACD=90°,

:為O。的切線，

???/ODE=90。,

：.ZAOD+NODE=180。，

AB//DE；

(2)解：連接BD,

TAB為。。的直徑，

???ZADB=9Q°,

?；ZBAD=NBCD=45。,AB=10f

AD=5叵.

VZBCD=ZDCA=ZBAD,ZADF=ZCDA

:.^ADF^^CDA,

.DFAD

**AD-CDy

VAD=5y/2，CD=8,

.DF_5>/2

/.DF=—.

3.(1)見解析

(2)5

【分析】(1)連接，則O￡>=OC=,證明△BOD^ABOA,可得ZODB=ZOAB=90°,

從而可得答案；

AC

(2)連接A。，證明△CDAS^OAB,可得，=_L,進(jìn)一步可得答案.

AOOB

【詳解】(1)證明：連接OD,則OD=OC=OA,

:./ODC=/C,

?.-CD//OB,

ZODC=/BOD,ZC=/BOA,

:.ZBOD=ZBOA,

OD=OA

在"OD和△BOA中，</BOD=ZBOA,

OB=OB

:./\BOD^/\BOA,

:.ZODB=ZOAB=90°f

TO。是。。的半徑，且BD_LOD,

30是。。的切線.

(2)解：連接AO,

?.?AC是。。的直徑

:.ZCDA=90°,

ZCDA=ZOAB=90°,

又：ZAOB=ZC,

:./\CDA^/\OAB,

62A0

DCAC

4。礪,即Bn：*25,

3

解得：AO=5.即圓的半徑為5.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理的應(yīng)用，相似三

角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

4.(l)ZCBD=45°,BD=3A/2

（2）5

【分析】本題考查角平分線定義，圓周角定理，30。直角三角形性質(zhì)，掌握圓的性質(zhì)綜合,

角平分線定義，30。直角三角形性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)為直徑，可得圓周角NC4B=90。，根據(jù)角平分線的定義，可求

ACAD-ABAD=\ZCAB=45°,根據(jù)同弧所對圓周角性質(zhì)可得NCBZ）；連接C。，根據(jù)

為。。的直徑，得/CD3=90。，然后利用勾股定理即可解答；

（2）連接20,并延長交。。于E,連結(jié)。E,根據(jù)AD平分NC4B,可得

NDAB=ZCAD=JNC42=30。，利用同弧所對圓周角性質(zhì)可得/BED=ABAD=30。，由EB

為直徑，可得/EDB=90。,根據(jù)30。直角三角形的性質(zhì)可求￡B=23D=2x5=10即可.

【詳解】（1）解：為。。的直徑，

ZCAB^90°,

,/AZ)平分，。18,

/.ZCAD=/BAD=-ZCAB=45°,

2

/CBD=/C4D=45°,

NCDB=90。，

ZCBD=45°,

..?△8DC是等腰直角三角形，

:.BD=CD.

在RtABDC中，BC=6,

根據(jù)勾股定理，BC2=CD2+BD2,

即2BD2=62,

解得：8。=30或-30（舍去）.

（2）解：連接30,并延長交。。于E,連結(jié)。E,

VZGW=60°,AD平分工CAB,

NDAB=ACAD=-ZCAB=30°,

2

/BED=/BAD=30。,

為直徑，

ZEDB=90°,

：.EB=2BD=2x5=10,

：.OB=-EB=5,

2

二。。半徑為5.

5.(1)見解析

(2)273

【分析】（1）連接OD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到=根據(jù)角平分線的定義

得到？Q4D1DAC,證明OD〃AC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到。E人OD,根據(jù)切線的判定

定理即可得證；

（2）根據(jù)題意求出/MDE=30。，根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案.

【詳解】（1）證明：連接OD,

M

E,

'：OD=OA,

：.ZODA=ZOADf

???AD平分2C4B,

：.?OAD1DAC,

ZODA=ZDAC9

：.OD//AC,

?:DE±AC,

:.DE人OD,

???。。是。。的半徑，

???直線。石是O。的切線;

(2)解：9：DEJ.AC,

：.ZDEM=90°f

???直線。石是。。的切線,

'ZODF=9Q°,

VZF=30°,ME=C，

：.ZFOD=90°-ZF=90°-30°=60°,

?：OB=OD,

是等邊三角形，

???ZODB=60°,

：.ZMDE=ZBDF=ZODF-ZODB=90°-60°=30°,

DM=2ME=2行.

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的判定和性質(zhì)，等邊三角形

的判定和性質(zhì)，30。角的直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，掌握經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半

徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵.

6.⑴見解析

⑵3

【分析】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟記切線的判定定

理是解題的關(guān)鍵.

（1）連接OE,根據(jù)等邊對等角結(jié)合對頂角相等即可推出結(jié)論；

（2）設(shè)。。的半徑￡0=30=廠，則==1,FE=2BD=2r—2,在Rt△五EO中，

由勾股定理得得出方程求解即可.

【詳解】（1）證明：如圖，連接OE,

:OE=OC,

：.AOEC=AOCE,

?/DF=FE,

/.NFED=NFDE,

COLAB,

：.NCOD=90。，

ZCDO+ZC>CD=90°,

?FDE?CDO,

：.NFED+NOEC=9Q。,

即/莊0=90°,

：.OELFE,

是半徑，

，所為。。的切線；

(2)解：由(1)得NOEF=90。,

設(shè)。。的半徑EO=3O=r,則=3-=八一1,

FE=DF=2BD=2r—2,OF=DF+OD=2r-2+l=2r-l,

在中，由勾股定理得，F(xiàn)E-+OE2=OF2,

(2r-2)2+r=(2r-l)2,

解得r=3,或r=l(舍去),

，。。的半徑為3.

7.⑴見解析

(2)273

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.也考查了圓周角定理,

勾股定理，含30度的直角三角形.

(I)根據(jù)切線的性質(zhì)得到NOBD=NOBC+Nr?C=90。，再根據(jù)圓周角定理得到

ZACB=ZOCA+ZOCB=90°,力口上NO3C=NOCB,于是利用等量代換得到結(jié)論；

(2)利用含30度的直角三角形性質(zhì)及勾股定理得到C2=26,然后證明=得到

CB=CD即可.

【詳解】(1)證明：:OB是。。的切線，

二BDJ.AB,

：.AOBD=NOBC+ZDBC=90°,

1/AB是0。的直徑，

ZACB=ZOCA+ZOCB=90°,

OC=OB,

：.NOBC=NOCB,

：.ZDBC=ZOCA；

(2)解：在Rt^ACB中，/A=30°,

AB=2BC,

VAC=6,AC2+BC2=AB2,

62+BC2=ABC2,

/.CB=2百，

VZA=30°,OA=OC,

：.ZOCA=ZA=30°,

：.ZCOB=2ZA=60°,

：.ZD=90°-/COB=30°,

由(1)可知，ZDBC=ZOCA=30°,

：.ZD=ZDBC,

：.CB=CD,

：.CD=26.

8.(1)36°

(2)30°

【分析】(1)如圖所示，連接OC,由切線的性質(zhì)得NOCP=90。，根據(jù)圓周角定理得

NCOB=54。,在RhCOP中，由直角三角形兩銳角互余即可求解；

(2)如圖所示，連接8。，則OB=OD,根據(jù)垂徑定理可得即/OE4=90。，由直角三角形

兩銳角互余得到/。瓦＞=40。，由三角形外角的性質(zhì)得到/。比》=/龍＞尸+/尸，則

NP=NOBD-NBDP,根據(jù)同弧或等弧所對圓周角相等得到NC4B=/CDS=10。，由此即

可求解.

1/過點(diǎn)C作。O的切線，與AB的延長線相交于點(diǎn)P,

：.OCLCP,即/OCP=90°,

1?,啟所對的圓周角為/C4B=27。，所對的圓心角為/COB,

Z.COB=2ZCAB=2x27。=54°,

在Rt^COP中，ZP=90°-ZCOB=90°-54°=36°；

(2)解：如圖所示，連接8D,則OB=OD,

ZODB=ZOBD,

???0D經(jīng)過AC的中點(diǎn)E,

：.OE±ACf即NQE4=90。，

在R^AO石中，ZAOE=90°-ZCAB°=80°,

???ZAOD=ZODB+ZOBD=80°,

???NC?D=40。，

■:/OBD=/BDP+/P,

：.ZP=ZOBD-ZBDPf

..??

,BC=BC'

：.ZCAB=ZCDB=10°,

：.NP=ZOBD—ZCDB=40。-10。=30°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，直角三角形兩銳角互余，等邊

對等角，三角形外角的性質(zhì)等知識的綜合，掌握切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理的知識

是解題的關(guān)鍵.

9.(1)直線。口與0。相切，理由見解析

⑵1，2-72

【分析】(1)連接OD,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理角定理和等腰三角形的性質(zhì)求得N4CD=45。，

由圓周角定理求出NAC?=90。，由平行線的性質(zhì)求得NOD尸=90。，根據(jù)切線的判定定理

即可證得結(jié)論；

(2)證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，代入數(shù)據(jù)即可求解.

【詳解】(1)解：如為。。的切線，理由如下：

如圖，連接OD,

B

?:CF=CD,

ZCDF=ZF=61.5°,

ZDCF=180°—67.5°-67.5°=45°,

ADAD>

ZAOD=2ZDCF=90°,

\DF//AB,

,\ZODF=90°,

:.ODVDF,

???0D是。。的半徑，

.?.也＞為。。的切線；

(2)解：vAO=OD,ZAOD=90°,

:.ZEAD=45°,

???ZACD=45°,

/.ZACD=/EAD,

又?；ZADE=/CDA,

AZME^APCA,

.DEDA

'~DA~~DC'

BPZM2=DEDC=2,

:.DA=y/2,

：.OA=OD=—AD=\,

2

即O。的半徑為1,

/.AB=2,

過E作于H,

則/\AEH是等腰直角三角形,

也

AH=EH=—AE,

2

過C作CG_LAE于G,

?;CF=CD,

:.ZCFD=ZCDFf

AEIIDF,

:.NCAE=NCEA,

CA=CE,

/./ECG=-ZACE」x45。=22.5°,

22

“CEG=ZDEO,ZCGE=ZDOE,

/.ZODE=ZECG=22.5°,

NODE=ZADE=22.5°,

...OCE”=E…H=—也AAET,

2

?.?AE+OE=1,

:.AE+—AE=\,

2

:.AE=2-yf2.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，相似三角

形的性質(zhì)與判定等知識，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.

10.⑴證明見解析;

（2）CD=4.

【分析】（1）連接OD,利用角平分線的定義，圓周角定理和圓的切線的判定定理解答即可；

（2）根據(jù)圓周角定理得到NACB=90。，/ADB=90。，根據(jù)勾股定理得到AB的值，根據(jù)

角平分線的定義得到NACD=/BCD求得40=80=可，過點(diǎn)B作于點(diǎn)根據(jù)

等腰直角三角形的性質(zhì)得到3"=C"=1,根據(jù)勾股定理得到斯=3,于是得到

CD=CH+DH=4.

【詳解】（1）證明：連接OD,

：C￡）是NACB的平分線，

ZACD=ZBCD,

：.ZAOD=/BOD,

：A8為。。的直徑，

/.ZAOD=ZBOD=lxl80°=90°,

2

：.ODVAB,

'：DE//AB,

：.OD1DE,

為。。的半徑，

???瓦>是。。的切線；

(2)解：,..AB為。。的直徑,

ZACB=90°,ZADB=90°,

VAC=3A/2>BC=y/2,

AB=y/AC2+BC2=2若，

,/NACB的平分線CO交。。于點(diǎn)O,

ZACD=/BCD,

??AD=BD，

***AD=BD=AB=\/To,

過點(diǎn)5作于點(diǎn)H,

*??BCD-?ACB45?,

2

?V2

??BH=CH=—BC=l,

2

???DH=1BD2-BH2=3,

：.CD=CH+DH=1+3=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，角平分線的定義，直角三角形的性質(zhì)，

勾股定理，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用，正確添加的輔助線是解題的關(guān)鍵.

11.⑴見解析

(2)cr>=1

【分析】(1)根據(jù)切線長的性質(zhì)可證△P4E絲△P3E,得到=由等腰三角形的定義

即可求解；

(2)連接BC,可得NE3c=90。，由全等三角形的性質(zhì)可得N4￡P(guān)=N3EP,則

tanZAEP=tan/BEP筆=3,可得8C="，根據(jù)同弧所對圓周角相等可得

BE22

CD1

ZAEP=ZABC則有tanNAEP=tanNABC=——=—,設(shè)CD=尤，則&)=2%,根據(jù)勾股定

fBD2

理C￡>2+3￡>2=5。2,即可求解.

【詳解】(1)證明：?.?,依是。。的切線，

:.PA=PB,PA±OA,PB±OB,

J尸。平分-4P5,

:.ZAPE=ZBPE.

在場和△尸防中，

PA=PB

<NAPE=NBPE,

PE=PE

:.^PAE2公PBE(SAS),

/.AE=BE,

「.△AEB是等腰三角形.

?：/\PAE^/\PBE,

,\ZAEP=ZBEP.

tanZAEP=tanZBEP

BE2

又?；BEM，

/.BC=-

2f

?：PA=PB,PO平分NAPB,

:.PO±AB,

...ZCDB=90°

ZAEP^ZABC,

CD1

tanZAEP=tanZABC=—=—,

BD2

設(shè)CD=x,則8Z）=2x,有CD?+BD?=BC?,

即x2+（2x）2=[q],

11

解得：x=5（負(fù)根舍去），即C￡>=5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)，切線長的性質(zhì)，直徑對的圓周角是直角，等腰三角形的

判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的計(jì)算，勾股定理等知識的綜合運(yùn)用，掌握切線及切線長的性質(zhì)，三

角函數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

12.（1）相切，見解析

⑵186一6兀

【分析】（1）連接OD,根據(jù)角平分線的定義及等腰三角形的性質(zhì)證明/2=/3,進(jìn)而推出

OD//AC,可得出NOD3=NACB=90。，可證直線BC與。。相切；

（2）先證AOED為等邊三角形，推出ZEOD=60°,再根據(jù)S陰影=S^BOD-S^EOD計(jì)算可得答

案.

【詳解】（1）解：直線8c與。。相切,

理由如下：如圖，連接OD,

AD平分/BAC

.-.Z1=Z2,

'：OA=OD,

.?.N2=N3,

:.OD//AC,

???ZACB=90°,

:.ZODB=90°,

:.OD1BC,

.?IC是。。的切線；

(2)解：AE=12,BE=6,

0D=0E=-AE=6,

2

--OE=BE,OB=OE+BE=12,

又*:OD±BC,

ED=^0B=6,BD=y/OB2-OD2=A/122-62=6^>

.?.△O即為等邊三角形，

:.ZEOD=60°,

?*,S^BOD=Tx6x6石=18石，s扇形池=旦鑒8=6兀，

S陰影=S&BOD—S扇形E(?=186一6兀?

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，扇形面積公式，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊

中線的性質(zhì)，勾股定理等，難度一般，能夠綜合應(yīng)用上述知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

13.(1)見解析

(2)CE=4.8

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和判

定，角平分線的判定和性質(zhì)，能綜合運(yùn)用知識點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)切線的性質(zhì)得出OC_LOE,求出3E〃OC,求出AEBC=ZOCB,ZOCB=ZOBC,

求出N￡BC=NO3C,根據(jù)角平分線的定義得出即可；

(2)過C作于根據(jù)勾股定理求出OD,根據(jù)三角形的面積求出CM,根據(jù)角

平分線的性質(zhì)得出CE=CM,再求出答案即可.

【詳解】(1)證明：與。。相切于C,

OCA.DC,

,：BE1DC,

：.BE//OC,

：.NEBC=NOCB,

"：OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC,

:.NEBC=NOBC,

即BC是NABE的平分線；

(2)解：過。作于M,如下圖,

是的平分線，BELCE,

：.CE=CM,

■:OCLDC,

：.NOCD=90。,

VDC=8.OC=OA=6f

???OD=y/DC2+OC2=A/82+62=10

*.*ZXSLA/Clnzrn2=—xCDxOC2=—xODxCM,

???8x6=10xCM,

解得：CM=4.8,

即CE=CM=4.8.

14.(1)證明見解析；

(2)CE的長為

【分析】(1)過點(diǎn)。作止±5c于點(diǎn)尸，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到4￡>=。?，根據(jù)切線

的判定定理即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)切線的性質(zhì)得到=在RtADPC中，設(shè)DF=DE=r,根據(jù)和勾股定理列

方程即可得到結(jié)論；

本題考查了切線的判定，切線長定理，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理，理解題意，綜合運(yùn)

用這些知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)證明：過點(diǎn)。作。尸±BC于點(diǎn)F,

??ZBAD=90°，

???ADLBA,

?/8￡＞平分—ABC,

/.AD=DF,

：AD是0。的半徑，DFLBC,

2C是。。的切線;

⑵解：VABAC=90°,

，AB與。。相切,

1/BC是。。的切線,

AB=FB,

VAB=5,3C=13,

ACF=13-5=8,AC=[BC-6=芯一52=驍,

在Rt2\DFC中，設(shè)DF=DE=r,

則DF-+CF2^CD2,即/+8?=(12-廠》,

解得：r=g

16

CE=AC-AE=n~—

33

，CE的長為號.

15.(1)見解析

⑵4石+4

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.也考查了圓周角定理和

含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系.

(1)連接OD,如圖，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到NEDO=90。，再利用四邊形的內(nèi)角和

ZZ)EC+ZDOC=180°,則根據(jù)同角的補(bǔ)角相等得到4￡D=/DOC,然后根據(jù)圓周角定理

得到4>OC=2NA,從而得到結(jié)論；

(2)連接OF,如圖，先利用圓周角定理得到？AZW90?,再根據(jù)含30度角的直角三角

形三邊的關(guān)系得到DF=4,AD=4超,接著證明VBDE為等邊三角形得到%>=%=4,然

后計(jì)算AD+3D即可.

【詳解】(1)證明：連接OD,如圖，

?/DE與。。相切，

EDtOD,

：.ZEDO=90°,

???ZBCA=90°,

：.ZBCA+ZEDO=18Q°,

?:ZBCA+ZEDO+ZDEC+ZDOC=360°,

AZDEC+ZDOC=180°,

VZZ)EC+ZBE?=180°,

；?/BED=/DOC,

???ZDOC=2ZA,

：.ZBED=2ZA；

(2)解：連接。尸，如圖，

???AF為。。的直徑，

????ADF90?,

在尸中，44=30。,

DF=-AF=OA=4,

2

AD=CDF=443,

?/ZB=90°-ZA=60°,ZBED=2ZA=60°,

，VBDE為等邊三角形，

BD=DE=4,

；?AB=AD+8O=46+4.

16.⑴見解析

24

⑵彳

【分析】(1)連接OC,根據(jù)圓周角定理得到ZDAC=ZCAB=|ZDAB,即可得到OC//AD,

然后根據(jù)角平分線的定義得到=2NH=2x45°=90°,然后得到ZOCE=NF=90°即可證

明切線；

(2)設(shè)。。的半徑為「，根據(jù)OP+c石2=。石2,可以求出廠，然后根據(jù)△ECOs△防4,即

可得到結(jié)果.

【詳解】(1)證明：如圖，連接OC,

A

'：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

???BC=CD,

BC=CD，

：.ZDAC=ZBAC,

：.ZOCA=ZDAC,

???OC//AF,

：?NOCE=NF,

EH平分NFEG,

:,NFEH=NGEH,

?：NGEH=NH+NBAC,NFEH=NF+NBAF,

：.2NH+2ZBAC=NT+NBAF,

：.ZBAF=2ZBAC,

???NT=2N7/=90。，

：.ZOCE=ZF=9G0,

即OC_LEF,

OC是半徑，

JEF是。。的切線；

(2)解：設(shè)圓。半徑為r，則OE=Q3+3E=r+2,

OC2+CE2=OE2,

：.r2+42=(r+2)2,

解得r=3,

；?EA=AB+BE=8,OE=5,

'：AD//OC,

：.^ECO^^EFA,

:?且=2即江”

EOCO53

24

FA=—

5

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，根據(jù)角

平分線的定義得到/尸=90。是解題的關(guān)鍵.

17.(1)見解析

2525萬

⑵一+---

24

【分析】本題主要考查了切線的判定、圓周角定理、勾股定理、三角形的面積公式、扇形的

面積公式等.

(1)連接OD,由AD=RD，得ZAOD=NBOD,而4400+/30。=180。得到

ZAOD=ZBOD=90°,由平行線的性質(zhì)可得NODE=ZBOD=90°,從而即可得證;

(2)由圓周角定理可得NACB=90。，由勾股定理可得AB=10,從而得到

OD=OA=OB=^AB=5,再由S陰影=SAAOD+S扇形血＞進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)證明：連接O。,

點(diǎn)。是A3的中點(diǎn),

??AD=BD，

,\ZAOD=ZBOD,

???ZAOD+ZBOD=180。，

:.2ZAOD=180°,

ZAOD=ZBOD=90°,

\-DE//AB,

ZODE=ZBOD=90°,

?.?QD是O。的半徑，且。￡八。。，

二。石是的切線；

(2)解：為。。的直徑，

:.ZACB=90°,

?.?AC=8,BC=6,

:.AB=^AC1+BC1=782+62=10,

：.OD=OA=OB=-AB=5,

2

由(1)得NAQD=NBQD=90。，

._1vs90XKX52_2525K

+

??3陰影一)AA。。+3扇形BOD--XdX^+—~~2~4~

,圖中陰影部分的面積是M+字?

24

18.(1)ZADB=ZADE,理由見解析

⑵30

【分析】(1)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)推出NA3C=NADE,結(jié)合等腰三角形性質(zhì)得到

NABC=ZACB,結(jié)合同弧或等弧所對的圓周角相等得到/AD3=/ACS,再進(jìn)行等量代換,

即可解題；

（2）連接8。并延長，交。。于點(diǎn)連接CE.利用半圓（直徑）所對的圓周角是直角

得到ZBCE'=90°,利用等腰三角形性質(zhì)得到CE'=BC,最后利用勾股定理求解，即可解題.

【詳解】（1）解：ZADB=ZADE.理由如下.

V四邊形ABCD內(nèi)接于。。，

.-.ZABC+ZADC=180°,

???ZADE+ZADC=180°,

:.ZABC^ZADE.

???AB=AC,

:.ZABC^ZACB.

■：ZADB=ZACB,

:.ZADB=ZADE.

（2）解:如答圖，連接20并延長，交。。于點(diǎn)￡,連接CE'.

____A

?.,BE'是直徑,

:.ZBCE'=90°.

?/ZBAC=45°,

:.ZBE'C=45°,

NCBE=180。一90°-45°=45°.

NBE'C=NCBE',

:.CE'=BC=3.

在Rt^BCE'中，由勾股定理得BE'=732+32=3叵-

二。。的直徑為3VL

【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，同弧或等弧所對的圓周角相等，半

圓（直徑）所對的圓周角是直角，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理.

19.（1）見解析

(2)50

【分析】本題考查的是等腰三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用；

(1)先證明CQ=QD,△OP。是等腰直角三角形，可得。。=力2,再進(jìn)一步利用線段的

和差關(guān)系可得結(jié)論；

(2)由2。2=(。。+尸。)2,即2=(。。一尸。)2,再結(jié)合勾股定理可得答案;

【詳解】(1)證明：???OQ，C2Q是垂足，

：.CQ=QD(垂徑定理).

又ZAPC=45°,

???△OPQ是等腰直角三角形，

OQ=PQ,

：.PC-PD=(CQ+PQ)-PQ)=2PQ=2OQ；

(2)解：由(1)知，PC2=(CQ+PQ)2,PD2=(QD-PQ^,

PC2+PD2=CQ2+2CQ-PQ+PQ2+QD2-2QD-PQ+PQ2

=2CQ2+2PQ2=2(9+PQ2).

連接CO,

則由CO2=CQ2+OQ：=CQ；+PQ2=52=25,

PC2+PD2=50.

20.⑴BF=；BD,理由見解析；

(2)見解析.

【分析】(1)連接AC,由中點(diǎn)定義可得8歹=；47,又AO=BC，則BO=AC，故有3D=AC,

從而得出8尸

(2)由G是30的中點(diǎn)，則==根據(jù)中位線定理可得8/〃AC,由圓周角定理得

2

Z1=Z2,則N2=/3,故有ZPBG=/PBF,證明APBG絲APBP(AAS),根據(jù)全等三角形

的性質(zhì)即可得出PG=小；

本題考查了圓周角定理，弦、弧、圓心角的關(guān)系，中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì),

掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：BF=^BD,理由:

連接AC,

VBE=AB,尸是EC的中點(diǎn),

BF=-AC,

2

AD=2C，

BD=AC，

BD=AC,

：.BF=-BD；

2

(2)證明：如圖，由(1)知，BF=-BD,

2

又是8。的中點(diǎn)，

BG=-BD,

2

：.BG=BF,

VBE=AB,尸是EC的中點(diǎn),

BF//AC,

：.Zl=Z3,

'?*AD=BC>

AZ1=Z2,

：.N2=N3,

BPVAE,

:?/PBA=/PBE=90。,

：.ZPBG+Z2=ZPBF+Z3=90°,

：?/PBG=/PBF,

又?：PB=PB,

：.APBG%PBF(AAS),

:.PG=PF.

21.⑴見解析

⑵”

12

【分析】（1）連接即，根據(jù)直角三角形中兩銳角互余得出㈤H+ZA￡H=90。，根據(jù)直徑所

對的圓周角是直角得出/AEC=90。，根據(jù)直角三角形中兩銳角互余得出

/E4H+NACE=90。，根據(jù)等角的余角相等得出NACE=NA￡H,根據(jù)同弧所對的圓周角相

等得出/4DE=NA￡"，根據(jù)有兩個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是相似三角形得出

△上4廣6口￡■，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊之比相等即可證明AE2=AFAD;

（2）連接08,過點(diǎn)G作GKLAD,垂足為K,過點(diǎn)G作GMJ_CD,垂足為根據(jù)直

徑所對的圓周角是直角得出NADC=90。，根據(jù)角平分線的定義和同弧所對的圓周角是圓心

角的一半得出NAO3=2NAT>3=90。，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得出

GK=GM,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值求出OA=。8=OC=逑，

2

AC=5夜，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義和同弧所對的圓周角相等求出AD=2jT6,CD=M,

根據(jù)三角形的面積求出GC=』AC=逑，OG=述，即可求出S^B”.

336

【詳解】（1）證明：連接即，

■.■EHA.AC,

B

ZEAH-hZAEH=90°f

-/AC是直徑，

:.ZAEC=90°,

.?.ZE4H+ZACE=90。,

:.ZACE=ZAEH,

.\ZADE=ZAEH,

又?.?NEAF=NDAE,

.?一AE4"sAH4以

AEAF

~AD~~AE，

AE2=AFAD;

(2)解：如圖，連接05,過點(diǎn)G作GKLAD,垂足為K,過點(diǎn)6作6加，8,垂足為

",

/.ZADC=90°,

又Qa）平分/ADC,AB=AB^

z.ZAOB=2ZADB=90°,GK=GM,

在等腰直角VAQB中,AB=5,

SJ9

-,OA=OB=OC=—!—

2

/.AC=2OA=5后，

2J5

?/sinZABD=—^~,ZABD=ZACD,

5

」.sinZAO=任=與=述

AC5y/25

:.AD=2^i5,則CD=W，

,-S4A.rdnJ=2-AGCD-sinZACD,△￡/SCCnrr2=-CG-CD-sinZACD

.SAAG。_AG

S^BCGGC

-ADGKAGADAG

2——，即Rn——=——

LCDGMGCCDGC

2

二.GC二

33

OC-GC=述-述=逑

OG=

236

5725屈25

?Q

??OBOG=-OGOB=-x------X

A226----212

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，直徑所

對的圓周角是直角，同弧所對的圓周角，同弧所對的圓周角是圓心角的一半，角平分線的性

質(zhì)等，正確做出輔助線，通過三角形的面積求出CG是解題的關(guān)鍵.

22.(1)詳見解析

(2)詳見解析

4

(3)CB的長=§兀.

【分析】(1)通過平行四邊形的性質(zhì)得到△O8C和ACMC是等邊三角形，再利用圓周角定理

即可推出角的關(guān)系;

(2)先證四邊形。4cB是菱形，得出OCLAB,然后利用平行線的性質(zhì)可得出OCLCF,

從而即可證明W為圓0的切線;

(3)如圖，過點(diǎn)2作BGLFC于點(diǎn)G,先證出NOC8=60。，BC=OB=OC,再證出

FC=CG+FG=y/3BG+BG,進(jìn)而得出圓的半徑，最后根據(jù)弧長公式即可求出弧長.

【詳解】(1)證明：如圖，連OC,OD,

?.?四邊形OACB為平行四邊形,

AOA=BC,OB=AC,

??,點(diǎn)A,B,C,。在圓。上，

OA=OB=OC=OD,

：.OA=OB=BC=AC=OC,

：.△05。和△Q4C是等邊三角形，

ZBOC=60°,ZAOC=60°,

???根據(jù)圓周角定理得，ZBDC=-ZBO