2025年中考數學壓軸題專練：新定義問題

1.對于任意實數。，6,定義一種新運算：a^b=\a~b例如：3%=3-1=2,

[a+b-6(a<2b)

5X4=5+4-6=3.根據上面的材料，請完成下列問題：

⑴4M=,(-1)※(-3)=；

⑵若(3x+2)X(xT)=5,求尤的值.

2.定義兩種新運算，規定：?★/?=-Ja-b,a^b=\[a+b,其中a,6為實數且a?0.

⑴求(5刈(5刈的值；

(2)化簡(2尢。(2眾72).

3.對任意實數定義一種新運算“十”，規定：a十。=/5+2必.如：2?l=22xl+2x2xl=8.

⑴求3十(-2)的值;

⑵己知x為厄的整數部分，化簡并求值：x十(-3)+x十5；

(3)若2十相比-2十機小，請直接寫出一個滿足條件的加值.

4.觀察下列各式：定義一種新運算"，

13=lx4+3=7,

3)(-l)=3x4-l=ll,

54=5x4+4=24,

4(-3)=4x4-3=13,

(-2)(-5)=(-2)x4-5=-13,……

(1)寫出一般性結論：ab=；

(2)如果awb,那么abba(填“=”或“w”)；

(3)先化簡，再求值：(尤-歷(2x+y).其中x=y=2024.

5.對有理數a,6,定義一種新運算T：規定T(a,6)=ab3-4ab.例如T(2,l)=2xl3-4x2xl=-6.

(1)求T(3,-D的值;

⑵求7U+L2)的值.

11?2

6.學習情境?新定義觀察下列兩個等式：2--=2x-+l,5--=5x-+l,給出定義：我們稱

3333

使等式。-6=必+1成立的一對有理數a,b為“共生有理數對"，記為(a,b),如數對

，都是“共生有理數對”.

(1)判斷數對(-2,1),0,g］是否為“共生有理數對“，并說明理由；

(2)若(相,〃)是“共生有理數對"，且m-72=4,求(7戶的值;

(3)若(〃?,〃)是“共生有理數對"，則(-2”,-2〃?)是“共生有理數對”嗎？請說明理由.

7.對于有理數a,b,定義了一種新運算“※”為=

如：5X3=2x5-3=7.

⑴計算：①2※(-1)=_,②㈠)※(-3)=_；

⑵若3※機=-l+3x是關于尤的一元一次方程，且方程的解為尤=2,求機的值；

(3)若4=-丁+3%2-1+1,B=-X3+6X2-X+2,且4派8=-3,求的值.

8.新定義：我們把拋物線>="2+加+。(其中abwO)與拋物線y=加+ax+c稱為“關聯

拋物線”.例如：拋物線>=2尤2+3天+1的“關聯拋物線”為：y=3d+2x+l.已知拋物線

G:丁=4加+儀+4a-3(口工0)的“關聯拋物線”為Q.

⑴寫出c2的解析式（用含。的式子表示）及頂點坐標；

⑵若a>0,過x軸上一點p,作x軸的垂線分別交拋物線G，G于點”，N.

①當ACV=6a時，求點尸的坐標；

②當a-4Wa-2時，g的最大值與最小值的差為2a,求。的值.

9.對x,y定義一種新運算T,規定T（x，打=舞；（其中。、6均為非零常數），這里等

式右邊是通常的四則運算，例如：7（。，1）=葭°￥：1=6.

2x0+1

⑴已知T（L—1）=—2,7（4,2）=1.

①求。、b的值；

②若關于加的不等式組2。；恰好有3個整數解，求實數p的取值范圍；

⑵若T（x,y）=T（y，x）對于任意實數無、y都成立［這里T（x，y）和T（y，x）均有意義］，則a、

6應滿足怎樣的關系式？

10.已知函數3=2依+左與函數為=--2x+3,定義新函數了=%-%.

（1）若左=2,貝。新函數>=；

（2）若新函數y的表達式為丫=/+6尤一2,則左=,b=；

⑶設新函數y頂點為（九”）.

①當上為何值時，”有大值，并求出最大值;

②求w與m的函數表達式.

11.新定義：已知關于x的一元二次方程4尤2+4x+C]=。的兩根之和％+/與兩根之積，xr-x2

分別是另一個一元二次方程的尤2+匕/+°2=。的兩個根，則一元二次方程+=。稱

為一元二次方程6尤2+4無+Q=。的“再生韋達方程”，一元二次方程+bix+cl=。稱為"原

生方程”.

比如：一元二次方程f-2x-3=0的兩根分別為％=3,%=-1,則再+尤2=2,%“2=-3,所

以它的“再生韋達方程”為d+尤_6=0.

(1)已知一元二次方程/―5x+6=0，求它的“再生韋達方程”；

⑵己知“再生韋達方程"x2+x-30=0,求它的“原生方程”.

12.新定義：我們把拋物線>=辦2+法+。(其中"工0與拋物線>=/+辦+C稱為“關聯

拋物線”，例如，拋物線y=2尤2+3x+l的“關聯拋物線”為y=3x2+2x+l已知拋物線C1：

y=4ax2+ax+4a-3(a>0')的“關聯拋物線”為C2,G與y軸交于點E.

⑴若點E的坐標為(0,-1),求C1的解析式；

(2)設G的頂點為尸，若△。后尸是以。尸為底的等腰三角形，求點E的坐標;

(3)過x軸上一點P,作x軸的垂線分別交拋物線C1,C2,于點M,N.

①當MN=6時，求點尸的坐標；

②當時，G的最大值與最小值的差為2a,求a的值.

13.定義：在平面直角坐標系中，點(小,〃)是某函數圖象上的一點，作該函數圖象中自變量

大于m的部分關于直線x="的軸對稱圖形，與原函數圖象中自變量大于或等于m的部分共

同構成一個新函數的圖象，則這個新函數叫做原函數關于點(辦〃)的“派生函數例如：圖

①是函數y=x+i的圖象，則它關于點(0,1)的“派生函數”的圖象如圖②所示，且它的“派生函

x+1(%>0)

數”的解析式為>=

一x+l(x<0)

圖①圖②

⑴直接寫出函數>=工+1關于點(1,2)的“派生函數”的解析式.

⑵點M是函數G:y=-d+4x-3的圖象上的一點，設點M的橫坐標為機，G'是函數G關

于點M的“派生函數

①當機=1時，若函數值y'的范圍是-Lwy'wi,求此時自變量x的取值范圍;

②直接寫出以點c(-l,-l),￡>(1,-1)為頂點的正方形ABC。與函數G'的圖象只

有兩個公共點時，山的取值范圍.

14.新定義：我們把拋物線%=ox2+6x+c與拋物線必ix'+or+c(其中必力0)稱為“伴

隨拋物線”.例如：拋物線％=3/+4.X+2的“伴隨拋物線”為%=4尤2+3尤+2.已知拋物線

2

G:%=2ax+ax+a-2(a>0)的“伴隨拋物線”為C2.

⑴求出G的解析式(用含。的式子表示)及頂點坐標；

⑵過x軸上一點尸，作x軸的垂線分別交拋物線C1,G于點M,N.當MN=12a時，求點P

的坐標；

(3)當a-3VxVa-l時，C?的最大值與最小值的差為2a,求a的值.

15.定義新運算：對于任意實數m、n都有m^n=mn-3n,例如《☆2=4x2-3x2=8-6=2,

請根據上述知識解決下列問題.

(l)x☆2>4,求x取值范圍；

⑵若=求x的值；

(3)若方程_n%r=x-6,口中是一個常數，且此方程的一個解為尤=1,求口中的常數.

16.定義：若〃為常數，當一個函數圖象上存在橫、縱坐標和為w的點，則稱該點為這個函

數圖象關于w的“恒值點”，例如：點(1,2)是函數y=2x圖象關于3的“恒值點”.

JAJA

圖1圖2

⑴判斷點(1,3),(2,8),(3,7)是否為函數y=5x-2圖象關于10的“恒值點”.

(2)如圖1,拋物線了=2/+法+2與x軸交于A,B兩點(A在2的左側)，現將拋物線在x

軸下方的部分沿x軸翻折，拋物線的其余部分保持不變，所得的新圖象如圖2所示.

①求翻折后A,8之間的拋物線解析式.(用含b的代數式表示，不必寫出尤的取值范圍)

②當新圖象上恰好有3個關于c的“恒值點”時，請用含b的代數式表示c.

17.定義：在平面直角坐標系中，有一條直線x=對于任意一個函數，作該函數自變量

大于加的部分關于直線、=團的軸對稱圖形，與原函數中自變量大于或等于機的部分共同構

成一個新的函數圖象，則這個新函數叫做原函數關于直線x的“鏡面函數”.例如：圖①

是函數y=x+i的圖象，則它關于直線尤=0的“鏡面函數”的圖象如圖②所示，且它的“鏡面

函數”的解析式為y=,也可以寫成產W+1.

l-x+l(x<0)

圖③

(1)在圖③中畫出函數y=2x+l關于直線尤=1的“鏡面函數”的圖象.

⑵函數y=*+2》+5關于直線％=-1的“鏡面函數”與直線，=*+m有三個公共點,求機的

值.

(3)已知A(-l,0),8(3,0),C(3,-2),￡>(-1,-2),函數y=x?-2〃x+2(〃>0)關于直線x=0

的“鏡面函數”圖象與矩形ABCD的邊恰好有4個交點，求〃的取值范圍.

18.我們定義［a,b,c］為函數丫=#+縱+。的“特征數”，如：函數y=2爐-3x+5的“特

征數”是12,-3,5］，函數y=x+2的“特征數”是［0,1,2］,函數尸2尤的“特征數”是［0,

-2,0］.

⑴若一個函數的特征數是【1,-4,1］，將此函數的圖象先向左平移2個單位，再向上平移

1個單位，得到一個圖象對應的函數“特征數”是.

⑵將“特征數”是10,-也，-1］的函數圖象向上平移2個單位，得到一個新函數，這個新

3

函數的解析式是.

⑶在（2）中，平移前后的兩個函數圖象分別與y軸交于A、B兩點,與直線x=-6分別交

于。、C兩點，在給出的平面直角坐標系中畫出圖形，并判斷以A、8、C、。四點為頂點的

四邊形的形狀，且說明理由；

（4）若（3）中的四邊形與“特征數”是11,-26,k+；】的函數圖象有交點，求滿足條件的

實數b的取值范圍.

19.定義：在平面直角坐標系宜為中，點（加，〃）是某函數圖象上的一點，作該函數圖象中

自變量大于m的部分關于直線x=的軸對稱圖形，與原函數圖象中自變量大于或等于m的

部分共同構成一個新函數的圖象，則這個新函數叫做原函數關于點（加，⑶的“派生函數”.

例如：圖1是函數丫=》+1的圖象，則它關于點（。，1）的“派生函數''的圖象如圖2所示，且它

x+l(x>0)

的“派生函數”的解析式為y=

—x+l(x<0)

⑵點M是函數Hy=-f+6x-8的圖象上的一點，設點M的橫坐標為相，2T是函數”關

于點M的“派生函數”.

①當機=1時，若函數值了的范圍是-3vyvi,求此時自變量尤的取值范圍;

②直接寫出以點A(2,2),B(-2,2),C(-2,-2),。(2,-2)為頂點的正方形9CD與函數/T的

圖象只有兩個公共點時，機的取值范圍.

20.定義：對任意一個兩位數°,如果。滿足個位數字與十位數字互不相同，且都不為零,

那么稱這個兩位數為“互異數”，將一個“互異數”的個位數字與十位數字對調后得到一個新的

兩位數，把這個新兩位數與原兩位數的和與11的商記為了①).例如：a=12,對調個位數字

與十位數字得到新兩位數21,新兩位數與原兩位數的和為21+12=33,和33與11的商為3,

所以"12)=3.根據以上定義，回答下列問題：

⑴填空：

①下列兩位數：60,63,66中，“互異數”為；

②計算：/(23)=；

(2)如果一個“互異數*的十位數字是左，個位數字是2*+1),且/S)=8,求瓦

(3)如果機，〃都是“互異數”，且加+〃=100./(租)+/(〃)的值是否與機有關，請說明理由.

《2025年中考數學壓軸題專練：新定義問題》參考答案

1.(1)1;2；

⑵尤=1,

【分析】(1)原式利用題中的新定義計算即可求出值；

(2)已知等式利用已知的新定義進行分類討論并列出方程，再計算求出x的值即可.

【詳解】(1)4<3x2,

二4刈=4+3-6=1,

-1>(-3)X2

.-.(-W(-3)=-l-(-3)=2;

故答案為：1；2；

(2)若3x+2N2(x-l)時，即xN-4時，則

(3x+2)—(%—1)=5,

解得：x=l,

若3x+2V2(x—1)時，即X<—4時，貝(！

(3%+2)+(x—1)—6=5,

解得：X=(,不合題意，舍去，

2

..元=1,

【點睛】此題考查了實數的新定義運算及解一元一次方程，弄清題中的新定義是解本題的關

鍵.

2.(1)4

⑵2-a2

【分析】本題考查二次根式的混合運算.

(1)根據新定義列式，并利用平方差公式計算即可；

(2)根據新定義列式，并利用平方差公式計算即可.

【詳解】(1)解：(5★以5到

=(75-1)(75+1)

=5-1

=4；

(2)解：(2*TZ)(2☆幾)

二(0-幾)(四+〃)

=2-n2.

3.(1)-30

(2)30

(3)-1(答案不唯一)

【分析】本題主要考查了有理數混合運算，無理數的估算，解題的關鍵是理解新定義，列出

算式.

(1)根據題干提供的信息列出算式進行計算即可；

(2)根據x為舊的整數部分，得出x=3,然后把x=3代入x十(-3)+x十5列式求解即可；

(3)先求出2十〃?=2?"?+2x2/77=8"?,—2十〃?=(―2)~a+2x(—2)根=0,2十〃？比一2十/小，

得出山的取值范圍，得出答案即可.

【詳解】(1)解：?；a十6=01b+2ab，

3?(-2)=32x(-2)+2x3x(-2)

=9x(-2)+6x(-2)

=-18+(-12)

=-30；

(2)解：：3＜配＜4，

又為厄的整數部分，

x=3f

%十(—3)+工十5

二3十(—3)+3十5

=32X(-3)+2X3X(-3)+32X5+2X3X5

=9x(-3)+6x(-3)+9x5+30

=—27—18+45+30

=30.

(3)解：*/2@m=22m+2x2m=Sm>

-2十，〃=(-2)~，w+2x(-2)〃z=0,

又：2十相比一2十〃?小，

8m<0,

m<0,

.?.滿足條件的相值可以是-1.(答案不唯一)

4.⑴4a+b

⑵*

(3)6x-3y,-6075

【分析】此題考查了新定義，有理數的混合運算，以及整式的加減，

(1)根據已知等式歸納總結得到一般性結論即可；

(2)利用題中的新定義化簡，比較即可；

(3)原式利用題中的新定義化簡，把a與6的值代入計算即可求出值.

【詳解】(1)解：根據題中的新定義得：ab=4a+b；

故答案為：4a+b；

(2)如果那么ab=4a+b,ba=4b+a,即。b豐ba；

故答案為：卡.

(3)(X—y)e(2%+y)=4(x—y)+(2x+y)=6x—3y

當x=_],y=2024時,

原式=6X,：3X2024=-6075.

5.(1)9

⑵。

【分析】此題考查了有理數的混合運算及整式的加減運算，弄清題中的新定義是解本題的關

鍵.

(1)原式利用題中的新定義計算即可求出值；

(2)原式利用題中的新定義化簡即可得到結果.

【詳解】(1)解：m-i)

=3X(-1)3-4X3X(-1)

=9；

(2)解:TU+1,2)

=(左+1)x23—4x(上+1)x2

=8伙+1)-8化+1)

=0.

6.不是，卜,；）是，見解析

（2）-64

（3）不是，見解析

【分析】本題考查有理數的混合運算、“共生有理數對”的定義，解題的關鍵是理解題意，靈

活運用所學知識解決問題.

（1）根據“共生有理數對”的定義即可判斷；

（2）根據“共生有理數對”的定義，構建方程即可解決問題；

（3）根據“共生有理數對”的定義即可判斷.

【詳解】（1）解：（-2,1）不是“共生有理數對”，（3,；］是“共生有理數對”，

理由：因為—2—1=—3,—2x1+1=—2+1=—1,-3W—1,

所以（-2,1）不是“共生有理數對“；因為3-；=|,3x：+l=|,

所以（3,；］是“共生有理數對”；

（2）解：因為（加㈤是“共生有理數對"，且〃L〃=4,

所以加一〃=加2+1,

則mn=3，

所以（-4廣=（-4）;-64；

（3）解：（-2〃,-2%）不是“共生有理數對”,

理由：因為—2M—(—2m)=—2n+2m=2(m—?),(—2w)x(—+1=4〃zw+1,

又（m,〃）是“共生有理數對”，

所以加一〃=加2+1,

所以2（m-n）=2（mn+1）=2mn+2,

而2mAz+2不一1定等于4zm+l,

所以(-2〃,-2m)不是“共生有理數對”.

7.(1)5,-5

(2)m=1

(3)2x3+2x=6

【分析】本題考查了整式的加減運算，解一元一次方程.

(1)根據題中定義代入即可得出；

(2)根據x=2,代入題中定義，解方程即可求解；

(3)先利用整式的加減求得人※^的值，得到尤3+x=3,再整體代入即可求解.

【詳解】⑴解:根據題意：2※(-l)=2x2-(-1)=5；

㈠)※(-3)=2x(T)-(-3)=-8+3=-5；

故答案為：5,-5；

(2)解：'：x=2,

**?—1+3x=—l+3x2=5,

?.?3※M=—l+3x=5

2x3—m=5,

解得m=l；

(3)角軍：由題意入※^=2(—丁+3X2—兀+1)—(—九3+6%2—%+2)

——+6/—2%+2+工，—+x—2

——尤3—%,

?.,瞇5=-3,

-%3一元=—3,BPx3+x=3,

2x3+2x=2(d+%)=6.

8.(l)y=辦2+4依+4〃一3(.wO),頂點為(一2,-3)

(2)①尸(—1,0)或(2,0)；②〃=2—0或。=&-

【分析】(1)根據定義將一次項系數與二次項系數互換即可求得解析式，化為頂點式即可求

得頂點坐標；

（2）①設P（p,O）,貝！JM（P，4"+Q〃+4〃-3）,N（p,a/+4乎+4〃-3）,根據題意建立方

程解方程即可求解；

②根據題意，分三種情形討論，根據點距離對稱軸的遠近確定最值，然后建立方程，解方程

求解即可.

【詳解】（1）解：拋物線G：y=4辦辦+4〃—3（"0）的“關聯拋物線”為

根據題意可得，Q的解析式,=依2+4av+4a—3（aW。）

y=ax2+4av+4a-3=a（x+2）2-3

頂點為（-2,-3）

（2）解：①設P（〃,0）,則M（p,4印？+印+4々一3）,N（p,印2+4印+4々一3）

MN=,即2+即+4a-3-（即2+4即+4〃-3）|

二B叩2-3（^1

MN=6a

^ap2-3同=6a

awO

p?-p=±2

當p2-P=2時，

解得P1=-1,Pi=2

當p?-p=-2時，方程無解

.?.尸（—1,0）或（2,0）

②一C?的解析式y=依2+4ar+4a_3（。w0）

y-ax2+4ax+4a-3=a（x+2）2-3

頂點為（-2,-3）,對稱軸為x=-2

a>0,

ci—2>—2

當（一2）—（a—4）..a—2—（—2）時，即2,1時，

函數的最大值為Q（a-4+2）2—3,最小值為_3

C2的最大值與最小值的差為2a

a（a-2）2=2a

awO

a-2=

解得4=2—0,%=2+0（4,1,舍去）

二.Q=2-A/2

當（一2）—（〃-4）<〃一2—（一2）時，且〃一4<—2即lvav2時，

函數的最大值為々（-2+2）2-3,最小值為_3

G的最大值與最小值的差為2a

a3=2a

awO

a=+A/2

解得4=V2,6Z2=—y/2（1<tz<2,舍去）

/.a=^2

當a-4...-2時，即a.2時，拋物線開向上，對稱軸右側>隨1的增大而增大，

函數的最大值為Q（a—2+2）2—3=d—3,最小值為Q（〃—4+2）2—3=a（a—2）2—3

G的最大值與最小值的差為2〃

3-a（a-2）+3=2Q

即a3—Q（〃—2）2—2a=0

awO

即a2-（a-2^-2=0

3

解得。=5（a.2舍去）

綜上所述，tz=2-V2^tCi=^2?

【點睛】本題考查了二次函數的性質，求頂點式，二次函數的最值問題，分類討論是解題的

關鍵.

_I65=1_1

9.⑴①6=3；②-2"<-§

（2）a=2b

【分析】此題考查了分式的混合運算，解二元一次方程組，以及一元一次不等式組的整數解，

弄清題中的新定義是解本題的關鍵.

（1）①已知兩對值代入T中計算求出。與6的值；

②根據題中新定義化簡已知不等式，根據不等式組恰好有3個整數解，求出P的范圍即可;

（2）由T（x,y）=T（y,x）列出關系式，整理后即可確定出。與6的關系式.

【詳解】（1）①由T（L—1）=—2,7（4,2）=1得

axl+》x（-l）ax4+bx2

------------------=-2,=],

2x1-12x4+2

a-b=-2Q=1

，解得

4〃+2b=10b=3

②由得小,y）=普，則不等式組

2m+3（5-4m）<4

T（2m,5-4m）<44m+5-4m

T（m,3-2m）>p,可化為'

m+3（3-2m）

、2m+3-2m'

[-10m<5

整理得工2Q，

[-5m>3p-9

解得一gw機<ye.

\T（2m,5-4m）<4

:不等式組°：，恰好有3個整數解,

I1\m3-2m）>p

???其整數解為0,L2,

??.2<2Z也3.

5

解得-2VP<—g.

（2）VT（x,y）=T（）,無）對于任意實數x,y都成立,

.ax+by_ay+bx

°?2x+y2y+x'

整理得(辦+的)(x+2y)=(ay+bx)(2x+y),

即(a—2與無2+(2人—a)y2=。，對于任意實數羽》都成立，

fa-2Z?=0

故Kn，

\2b-a=0

：.a=2b.

10.(1)X2-6X+1

(2)5,-12

317

(3)①當Z=一萬"時，〃最大值=1；?n=—nr—m+4

【分析】本題主要考查了二次函數的性質，二次函數的最值問題：

(1)將左=2代入函數X=2履+%,得必=4%+2,即可求出結果；

(2)根據定義求出新函數得y=/一2(左+1)%+3-左，和題目所給的＞=%2+"一2對比，從

而求出無和b的值；

(3)①利用配方法將(2)中的新函數解析式寫成頂點式y=(x-女-1尸-左2一3k+2,得到

頂點坐標的表達式，即可求出幾的最大值；

I—k+]

②根據①中的關系式一7207C，將左=根-1代入〃=-^―3k+2即可求出結果.

\n=-k-3左+2

【詳解】(1)解：當左=2時，=2kx+k=4x+2,

???函數%=f—2x+3,定義新函數丁=%-%，

**?y-—2x+3—4x—2-—6x+1,

故答案為：x2-6x+l;

(2)解：???函數％=2日+左與函數%=/-2x+3,定義新函數＞=為一％，

???新函數》的角軍析式為y~~2.^+3—2Ax—k=爐—2(左+1)元+3—左,

??,新函數y的解析式為y=/+"-2,

???匕=-2(%+1),3—k=—2,

k=59b=—12，

故答案為：5,-12；

（3）解：①由（2）知，新函數解析式為y=/一2（左+1）%+3—左=（%—%—1）—左2—3左+2,

:新函數>頂點為（私〃），

?*\n=-k2—3k+2，

：.-k2-3k+2=-(k+^

n=?+*

'/-l<0,

317

當％=一/時，〃最大值=1；

m=k+l

②由①知,

n——左2—3k+2

將％=”2—1代入力=-左2_3左+2得：〃=一（九一1）2—3（加一1）+2

n=—m—m+4-

11.（1）X2-11X+30=0

（2）y2+6y+5=0ggy2-5y-6=0

【分析】題目主要考查一元二次方程根與系數的關系及因式分解法解一元二次方程，熟練掌

握根與系數的關系是解題關鍵.

（1）根據一元二次方程根與系數的關系得出百+%=5,占=6,然后根據新定義求解即可;

（2）令它的“原生方程”兩根分別為%,%，根據題意得出%+%=-6,%%=5,或

%+%=5,%?%=-6,然后求解即可.

【詳解】（1）解：解d-5*+6=0

得為=2,3=3,

則%+%2=5,石?兀2=6,

所以一元二次方程尤2-5尤+6=0的“再生韋達方程”為Y-（5+6）x+5X6=。,

即%2-11X+30=0；

(2)解/+%-30=0得%=—6,無2=5,

令它的“原生方程”兩根分別為必,必，

則X+%=-6,%?%=5,或％+%=5,%?%=-6.

當%+%=-6,%?%=5,則所求“原生方程”為_/+6〉+5=0；

當%+%=5,%?%=-6,則所求“原生方程”為y2-5y-6=0.

綜上所述，它的“原生方程”為丁+6y+5=0或y2-5y-6=0.

,1

12.(1)y=2x~+—x—1

⑶①P（T。）或P（2,0）,②2-0或0

【分析】（1）根據“關聯拋物線”的定義可直接得出g的解析式，再將該解析式化成頂點

式，可得出a的頂點坐標；

（2）根據“關聯拋物線”的定義可得G的解析式，之后得到函數的頂點，過點歹作切，y軸

于點連接EF,進而得到OE,EH,FH,于是根據所。爐即可得到結論；

（3）①設點P的橫坐標為優，則可表達點M和點N的坐標,根據兩點間距離公式可表達

的長，列出方程，可求出點尸的坐標；

②當a-4V-2Va-2時得出C?的最大值和最小值，進而列出方程，可求出。的值.

【詳解】（1）解：與y軸交點的坐標為E（0,-1）,

4。-3=-1,解得a=L

2

的解析式為y=2尤2+]-1；

（2）解:根據“關聯拋物線”的定義可得G的解析式為y=a/+4依+4“一3,

y=ax2+4at+4a—3=a（x+2）-—3,

/.G的頂點F的坐標為（-2,-3）

易得點E（0,4a-3）,

過點尸作軸于點H,連接所.

OE=3—4a,EH-4a,FH=2,

9：OE=EF,

：.EF2=OE2,BP22+（4a）2=（3-4a）2.

解得“=三，

24

???點E的坐標為（o,-

（3）解：①設點P的橫坐標為相，

??,過點尸作工軸的垂線分別交拋物線G，。2于點M，N,

/.MN=^am2+am+4〃-3-（a療+4am+4。一3）卜|3?m2—3?m|

?：MN=6a,

：.|3（7m2-3arr^=6a,解得m=一1或m=2,

???P（-1,0）或P（2,0）；

②；Q的解析式為y=a（x+2）2—3,

，當元=-2時，y=-3f

當x=a—4時，y=a（a-4+2）2一3=々（〃一2了一3.

當X=Q-2時，y=a(Q-2+2)-3=〃^—3.

根據題意可知，需要分三種情況討論：

I.當〃一4V—2VQ—2時，0<。<2,且當。<々<1時，函數的最大值為〃（〃一2）2一3；函數

的最小值為-3.

?，?a（a-2）-3-（-3）=2〃，解得a=2-V5或Q=2+V^（舍）或a=0（舍）；

當1V1V2時，函數的最大值為〃3—3,函數的最小值為-3.

二?"一3—（―3）=2a,解得a=&或〃=一0（舍）或a=0（舍）；

II.當-2?〃-4?a-2時，?>2,函數的最大值為d—3;函數的最小值為2了-3,

Y—3——2）—31二2〃，解得〃（舍）或a=0（舍）；

III.當〃一44。一2?—2時，?<0,不符合題意，舍去.

綜上，Q的值為2-0或血

【點睛】本題屬于二次函數背景下新定義類問題，涉及等腰三角形以及兩點間距離公式，二

次函數的圖象及性質，由“關聯拋物線”的定義得出G的解析式，掌握二次函數圖象的性

質是解題關鍵.

x+l(x>1)

13.⑴尸

-x+3(x<l)

⑵①當-應W2+&時，九②|<“<1或,匕』

【分析】（1）根據“派生函數”的定義在x>l的部分任取一點（2,3）關于直線x=l的對稱點為

（0,3）,運用待定系數法即可得到答案；

⑵①當機=1時，G'的解析式為廣「尤V]中：。，分另怵出爐+4元一3=-1,解得

[-廠+l（x<1）

X=2-6,或X=2+E；X2+1=-1,解得x=-后或》=也；即可得到當-或

0<：<2或2Vx<2+四時，

②求出函數y=-/+4x-3關于x對稱的函數解析式為y=-（x-2/〃+2）2+1,再由

2%—2>1時，即根A：,當x=l時，-（3-2m）2+l>-l,即主聲<根<士?1,可得

土不徨＜相＜士乎時G'與正方形ABCD有兩個交點；當x=—l時，-（1-2機y+l＜-l,即

加＜上史或，力＞91,可得根＜匕，1,即可求解.

222

【詳解】（1）解：函數＞=x+l在彳＞1的部分任取一點（2,3）關于直線尤=1的對稱點為（0,3）,

設函數y=x+i圖象關于X=1對稱的部分的圖象解析式為丫=履+6,

k+b=2

將（1,2）,（0,3）代入解析式，得:

6=3

k=—l

解得:

b=3

x+l(x>l)

???“派生函數”的解析式為y=

-x+3(x<l)

（2）解：①??,當加=1時，圖像Gy=—爐+公―3=—（%—2了+1的頂點坐標為（2,1）,

關于直線x=l的對稱點坐標為：（0,1）,

G丫=一%2+4%—3=—（%—2）2+1關于直線％=1對稱的圖像解析式為：丁=一/+1,

-爐+4x-3(%21)

AG'的解析式為y=

—+1(X<1)

令y=-l,-x2+4x-3=-b

解得：％=2-V5或x=2+，

令y=—i,-%2+i=-b

解得x=—A/2或x=V2，

結合圖像可得：當-或。9＜2或2Vx＜2+四時，TVyCl；

②函數y=-Y+4x_3的頂點為（2,1）,

點（2,1）關于、=機對稱的點的坐標為（2機-2,1）,

函數廠-/+4彳-3關于x=機對稱的函數解析式為y=_（x_2〃2+2y+l,

3

當2根—2＞1時，即加〉一，

2

當x=l時，一(3—2加了+1>—1,gp3-V2<m<3+V2

22

機<2±91時G'與正方形ABC。有兩個交點;

22

1-及t1+血

當犬=—i時，一(i—2根y+i<—1,即m<-----取用〉------

22

1-5/2

??m<

2

時G'與正方形ABC。有兩個交點.

【點睛】本題考查二次函數的綜合應用；理解并運用新定義“派生函數”，能夠將圖象的對稱

轉化為點的對稱，借助圖象解題是關鍵.

14.(1)%=。(尤+1)2—2；(-1,-2)

⑵尸(-3,0)或P(4,0)

(3)。的值為2-夜或也

【分析】本題考查二次函數的應用，涉及新定義，二次函數的圖象及性質；

(1)根據“伴隨拋物線”定義求拋物線的函數表達式和頂點坐標即可；

(2)設點P。,。)，貝I]Af2〃+af+a—2),N^t,at"+2at+a—2^,根據MV=12<7列方程求

解即可；

(3)分別求出頂點、x=a-3,x=a-l時函數值，再根據對稱軸與。一3VxVa—1的位置

分類討論，確定最大值和最小值，最后列方程求解即可.

【詳解】⑴根據“伴隨拋物線”定義可知，拋物線G的函數表達式%=加+2仆+。-2；

22

y2=ax+2ax+〃-2=a{x+1)-2,

頂點坐標為(-1,-2)；

2

(2)設點尸”,0),因為a:y=2QY+〃x+〃一2(。。0),C2:y=ax+2ax+a-2,

.M僅,2at2+at+a—2),N(，,a/+2at+a—2),

/.MN-12〃廠+at+a—2—at?—2at—a+二a1—4,

MN=12a

〃卜之_^|=l2a,

/./t—12=0或/T+12=0,

當，+12=0時，判別式A=l—144v0,

二.方程無解；

當—12=0時,解得。=4,t2=-39

???尸(-3,0)或P(4,0)；

(3)C2y=a(x+-2,

?二對稱軸為x=T,當％=—1時，產―2.

當x=a—3時，y=a(a-3+1)2-2=a[a-2)2-2；

當x=a—1時，y—a(a—1+1)2—2=—2；

根據題意可知，需要分三種情況討論：

I.a-3<-l<a-l,即0<a<2時，

若一1-(〃-3)>,BP0<a<1,

則丁大二〃2)2—2；y小=—2,

—2了一2—(—2)=2a,

解得(7=2-0或4=2+后(舍)或4=0(舍)；

若_1_(a_3)va_1_(-1),即1vav2時,

y大="_2；為、=-2,

Q3_2_(_2)=2a,

解得。=0或a=-&(舍)或a=0(舍)；

II.當一lVa—3Va—1,即aN2時，

y大=。3-2；為、=a(q_2)2-2.

Q3—2-[a（Q-2）2-21—2Q,

3

解得4=7（舍）或4=0（舍）；

2

III.當〃一34[一1?—1,即時，y大=。（。-2>—2,y小="一2

/.Q（Q-2）2_2-（/_2）-2a,

解得（舍去）或4=0（舍去），

綜上所述，〃的值為2-血或&.

15.(1)%>5

(2)%=—9

(3)1

【分析】(1)根據題意列出不等式進行計算即可；

(2)根據題意列出方程進行計算即可；

(3)設口中的常數為y,根據題意列出關于y的方程，解方程即可.

【詳解】(1)解：：x^2>4,

2x—3x2>4，

(3)解：設口中的常數為幾根據題意得:

xy-3y=x-6,

,/此方程的一個解為x=l,

y-3y=1—6,

解得：y=|.

【點睛】本題主要考查了新定義運算，解不等式，解一元一次方程，解題的關鍵是理解題意

列出相應的不等式或方程.

16.⑴(2,8)是函數y=5x-2圖象關于10的“恒值點”.

（2）①y=-2尤2-法-2；②,J+“2-曳或,/SY

48

【分析】（1）由（L3）,（2,8）在函數丫=5.—2圖象上，（3,7）不在函數圖象上，而1+3=4,

2+8=10,可得（2,8）是函數丫=5彳-2圖象關于10的“恒值點

（2）①由拋物線丁=2/+/+2,再根據關于尤軸對稱的特點可得答案；②新圖象分兩部

分，如圖，當新圖象上恰好有3個關于c的“恒值點''時，尤+2/+人尤+2=c，尤-2元之-6元一2=c,

整理得：2x2+bx+2=—X+CS￡-2%2-bx-2=—x+cj而V=-彳+。與坐標軸構成的三角形是

等腰直角三角形，求解/"當〉=-％+。過8點時，滿足條件；

I4J

c=3'〃T8,當〉=_工+，與y=_2尤2-法-2只有1個交點時，滿足條件；

4

一2/一^一2=—尤+c即2犬+0—1）*+。+2=0有兩個相等的實數根，從而可得答案.

【詳解】（1）解：???（L3）,（2,8）在函數〉=5犬-2圖象上，（3,7）不在函數圖象上，

而1+3=4,2+8=10,

???（2,8）是函數、=5犬-2圖象關于10的“恒值點”.

（2）①；拋物線y=2x?+6尤+2,

.??翻折后的拋物線的解析式為-y=2/+桁+2,

；?翻折后的解析式為：y=-2x2-bx-2,

②新圖象分兩部分，如圖，當新圖象上恰好有3個關于c的“恒值點”時,

.,.整理得：2x2+bx+2=—x+c或—2d-6x—2=-x+c,

而丁=一元+。與坐標軸構成的三角形是等腰直角三角形，

令y=2x2+bx+2=0,

解得：x/土后可

4

，心處在弓、，

I4J

當丁=-X+C過3點時，滿足條件；

.-b+y/b2-18

??c=-----------，

4

當y=-x+c與＞=-2/_云_2只有1個交點時，滿足條件；

???一2尤2—法一2=-x+c即2/+0—l)x+c+2=0有兩個相等的實數根，

/.(ZJ-1)2-4X2(C+2)=0,

解得：cJ-215；

8

【點睛】本題考查的是軸對稱的性質，二次函數的應用，利用待定系數法求解拋物線的解析

式，熟練的利用數形結合的方法解題是關鍵.

17.(1)圖象見解析

⑵機的值為3或亍

313

(3)?的取值范圍為彳＜〃＜2或〃＞二

【分析】(1)根據“鏡面函數”的定義畫出函數y=2x+i的“鏡面函數”的圖象即可；

(2)分直線y=x+相過“鏡面函數”圖象與直線龍=-1的交點和與原拋物線相切兩種情況求

解即可；

(3)先求出丁=f-2?%+25＞0)關于x=o的“鏡面函數”解析式，再分x=_l以及頂點在

V=-2上的情況和X=3時，列出不等式求解即可.

【詳解】(1)解：如圖③，即為函數函數y=2無+1關于直線x=i的“鏡面函數”的圖象,

(2)對于y=-尤2+2x+5,當x=0時，y=5,

；?函數y=-/+2x+5與〉軸的交點坐標為(。，5),

當％=—1時，y=—(-I)?+2x(-l)+5=2,即函數y=—爐+2x+5與x=T的交點為(T,2),

當直線＞=x+7”經過點(-1,2)時，m=3,

根據對稱性，此時，函數_￥=-尤?+2尤+5關于直線x=-L的“鏡面函數”與直線y=x+?"有三

個公共點；

當直線＞=%+相與原拋物線只有一個交點時，也有三個公共點，

,,X-\-YYl——X?+2x+5,

整理得，%2—x+2+m-5=0,

止匕時，A=(-l)2-4x(m-5)=0,

21

解得，m=—,

4

y=0時，A=(-l)2-4x(m-5)＞0,

綜上，加的值為3或二21；

4

x2—2nx+2（幾>0,x<0）

y=<,

x2+2nx+2（〃〉0,x>0）

當％=-1時，y<0,

1—2rl+2v0,

3

解得，n>~

2

當y=Y一2Hx+2（〃>0）的頂點在CD上時，-―加-=一2

4

解得〃=2或〃=-2（舍），

此時，函數y=/_2加+2（心0）關于直線x=o的“鏡面函數”圖象與矩形ABC。的邊有5個

交點，不合題意，

?.一<〃<2,

2

當元=3時，y<-2,

9—6〃+2v—2,

解得，心?13;

6

綜上，〃的取值范圍為3:<〃<2或〃〉13

26

【點睛】本題考查一次函數、二次函數的綜合應用；理解并運用新定義“鏡面函數”，能夠將

圖象的對稱轉化為點的對稱，數形結合是解題的關鍵.

18.