2025年中考數學壓軸題專練：幾何探究題

1.綜合與實踐：在菱形ABC。中，/3=60。，作=AM,AN分別交BC,CD于

點M,N.

圖①圖②圖③

(1)【動手操作】如圖①，若M是邊3C的中點，根據題意在圖①中畫出/M4N,則=

________度；

(2)【問題探究】如圖②，當M為邊3C上任意一點時，求證：AM=AN；

(3)【拓展延伸】如圖③，在菱形ABCD中，AB=4,點尸，N分別在邊3C,上，在菱

形內部作NB4N=N3,連接AP,若4尸=舊，求線段ON的長.

2.綜合與探究：已知在等腰VABC中,。是邊BC上任意一點(不與點8,C重合).

(1)【動手操作】

如圖①，若N54C=90。，在AD的右側作等腰直角VADE,使上94￡=90。，AD=AE,連

接CE,根據題意畫出圖形，則NACE的度數為度；

(2)【問題探究】

如圖②，若AB=3C=6,47=4,在4。的右側作等腰丫仞石，使">=。￡,ZABC=ZADE,

連接CE,探究線段3。與CE之間的數量關系，并說明理由；

(3)【拓展延伸】

在(2)的條件下，若。是射線上任意一點，CD=3,求CE的長.

3.探究與證明

已知四邊形ABC。中，M,N分別是AB,AD邊上的點，DM與CN交于點、Q.

【圖形認知】

(1)如圖1,若四邊形ABC。是正方形，且DMLOV于點。，求證：DM=CN；

【探究證明】

(2)如圖2,若四邊形ABCZ)是矩形，且_LC7V,求證：石『=’方；

【拓展運用】

(3)如圖3,將矩形ABCD沿EF折疊，使得點。落在A8邊上的點G處，點C落在點尸處,

EF=±叵，求三角形。EG的面積.

得到四邊形￡FPG,若4?=2,BC=3,

3

圖1圖2圖3

4.某數學興趣小組開展矩形的折疊實驗探究，折疊矩形ABCD的一邊AQ,使點。落在點尸

處，折痕為AE.

(1汝口圖1,當點廠恰好在邊上時，證明：AABFsAFCE.

⑵將矩形的邊AB折疊，使點3落在AF邊上的點M處，折痕為AN.

①如圖2,當點廠恰好在BC邊上時，若AB=1,BC=0,連接EN,試判斷△?1￡、的形狀,

并說明理由.

②如圖3,當點/在矩形內部時，若A3=8,8C=12.點￡是CD的中點，求KV的長

5.綜合與實踐：已知矩形ABC。和矩形A￡FG,點E在BC邊上，矩形AEFG在BC邊上方,

^—=—=k,連接AC,CF.

BCEF

F

圖1圖2

RF

⑴【特例發現】如圖1,當左=1時，求k的值；(提示：在邊上取一點使5M=5后,

CF

連接)

(2)【類比探究】如圖2,當上力1時，(1)中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立,

請給出新的結論，并證明你的結論；

(3)【拓展應用】如圖3,當％時，連接。G,若生=：，且DG=8,求。尸的長.

2CE3

6.如圖1,在Rt^ABC中，ZA=90°,AB=AC,點。、E分別在邊A3、AC上，AD=AE,

連接DC,點〃、P、N分別為DE、DC、BC的中點.

圖1圖2

(1)觀察猜想：圖1中，線段與PN的數量關系是_，位置關系是二

⑵探究證明:把VADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接比)，CE,判斷力MN

的形狀，并說明理由；

(3)拓展延伸：把VADE繞點A在平面內自由旋轉，若A￡>=2,AB=4,直接寫出ArMN面

積的最大值.

7.在數學興趣小組活動中，小明同學對幾何動點問題進行了探究：

問題背景：在RtaABC中，ZACB=90°,ZABC=60°,3c=6.點Z）為AB邊上一動點，

連接CD,點、E為CD邊上一動點，連接BE,以BE為邊,在BE右側作等邊ABEF,連接CF.

DD

圖1圖3

（D如圖1,當=時，求證：4BDEgABCF；

（2）如圖2,當點。運動到的四等分點（靠近點B）時，點。停止運動，此時點E從點C

運動到點。，試判斷點E從點C運動到點。的過程中線段C/和所的數量關系，并說明理

由；

（3）如圖3,點。從A8的四等分點（靠近點3）出發，向終點A運動，同時，點E從點。出

發，向終點C運動，運動過程中，始終保持/BEC=90。，求出CF的最小值.

8.已知四邊形ABCZ）是矩形，E是4B邊上的一點，連接OE,CE,點尸是EC上一動點（不

與區C重合），連接尸3,過點P作尸尸，尸3,交DC于點F.

------RI-------NB4——A―R

圖⑴圖⑵圖⑶

【問題感知】

(1)如圖(1),當AO=3,EC=OC=5時，則AE=

【探究發現】

（2）在（1）的條件下，如圖（2）當點尸運動到EC的中點時，求尸尸的長.

【拓展提升】

（3）如圖（3）當ZBCE=45。時，探究線段CEBC,CP之間的數量關系，并說明理由.

9.如圖，48是。。的一條弦，的直徑于點E,連接AC,BO,延長80交AC

于點R交。。于點G,連接AG.

（1）求證：AAGFsACOF；

⑵若劣弧AB對應的圓心角的度數為120°,求ZACD的度數；

（3）若tan/C4￡=2,探究線段AE,OE之間的數量關系，并說明理由.

10.綜合與實踐

(1)【操作發現】如圖①，將正方形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使點2落在正方形內

部的點M處，折痕為AE,再將紙片沿過點A的直線折疊，使AQ與40重合，折痕為AF,

則/EAF的度數為一；

(2)【拓展探究】如圖②，在(1)的條件下，繼續將正方形紙片沿所折疊，點C的對應點

恰好落在折痕AE上的點N處，若AB=3,求線段DF的長；

(3)【遷移應用】如圖③，在矩形ABC。中，點E,尸分別在邊8C,C。上，將矩形AB8沿

AE,AF折疊，點B落在點M處，點D落在點G處，點A,M,G恰好在同一直線上，若

點尸為C￡＞的三等分點，AB=3,4)=5,請求出線段8E的長.

11.【操作】如圖，在矩形紙片A2CD中，點E,點/分別是邊A。，BC邊上的動點，連接

BE,DF.將矩形紙片A3。分別沿直線8E,折疊；點A的對應點為點河，點C的對

應點為點N.

圖②圖③

(1)若點/與點M重合，DN與EF交于點.G,如圖①，求證:DG=GM.

【探究】

(2汝口圖②，當點M,N落在對角線8。上時，AB=4,AD=6,則肱V=.

(3)如圖③，當點N落在對角線AC上時，EM與DN交于點、P,BM與FN交于點、Q,

連接尸2,若AB=4,AD=6,PQ=

12.在等腰Rt/XABC中，?B90?,AB=BC,D,￡分別為AB,2c邊上的動點且滿足

(2)如圖2,AC上有一點f滿足ZEDF=45。時，試探究OE與的數量關系，并說明理由;

(3)如圖3,連接CD,AE交于點O,當AE+CD取最小值時，直接寫出白絲的值.

13.【問題探究】

課外興趣小組活動時，同學們正在解決如下問題：

如圖1,在矩形ABCD中，點E,尸分別是邊DC,BC上的點，連接AE,DF,且尸

DF

于點G,若AB=6,BC=8,求一的值.

AE

圖1圖2圖3

(1)請你幫助同學們解決上述問題，并說明理由.

【初步運用】

AD3

(2)如圖2,在VABC中，ABAC=90°,—=~,點。為AC的中點，連接8。，過點A作

AC4

AF

人￡，瓦)于點石，交5c于點尸，求演；的值.

BD

【靈活運用】

4R3

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，ZBAD=90°,—=—,AB=BC,AD=CD,點、E,F

AD4

CF

分別在邊AB,AD上，且DE-LCr,垂足為G,則---=_.

14.綜合與實踐

問題情境：“綜合與實踐”課上，老師讓每個組準備了一張矩形紙片ABCO.如圖1,把矩形

ABCD繞點A逆時針旋轉得到矩形紙片AB'C'Z)',點8,C,。的對應點為9、C、)；如

圖2.連接AC、BD,當C'在AD的延長線上時，延長C3',交2C于點E,試判斷四邊形

圖1圖2圖3圖4

數學思考：（1）請你解答老師提出的問題；

深入探究：（2）老師將如圖1中的矩形A5CD紙片繞點A逆時針方向再次旋轉，并讓同學

們提出新的問題.

①“奮進小組”提出問題:如圖3,當點笈落在AD上時,連接CC,取CC'的中點連接AM、

AC,試猜想AM、AB,3C三條線段的數量關系，并加以證明，請你解答此問題；

②“團結小組’'提出問題：如圖4,當點"落在8。上時，連接DZ7,DD交EC于點、F.若

CD=3,AD=4,求的長.請你思考此問題，直接寫出結果.

15.已知點E是邊長為2的正方形A5CD內部一個動點,始終保持/A￡?=90。.

【深入探究】(2)如圖，連接CE并延長交邊AD于點當點M是AO的中點時，求二二

的值；

DE....

【延伸探究】(3)如圖，連接8E并延長交邊CD于點G.當。G取得最大值時，求益的值.

16.綜合探究

如圖，在矩形A8CD中，AB=5,BC=8,點E是射線BC上的動點，連接AE,將5K沿

AE折疊，點8落在點F處，連接CT,DF.

⑴當點E是BC的中點時，求證：AE\\CF.

(2)^AF=DF,求8E的長；

(3)當/AZ小的度數最大時，求△山邛的面積.

17.如圖，將矩形ABC。繞點C旋轉，得到矩形所CG.已知

圖1圖2圖3

⑴如圖1,若順時針旋轉90。，當〃=2時，求出ABAE的數量關系；

(2)如圖2,當"=抬"且點G落在直線AC上時，試探究線段AB,AE的數量關系，并寫出證

明過程；

⑶如圖3,若點尸落在AD上，BG與CF,CD分別交于點。，P,當O,D,E三點線時，

直接寫出”的值.

18.如圖,在菱形ABCD中，ZB=60°,點E為邊8C上一點,將.CDE沿DE翻折得到^c'DE，

連接AC'并延長交。E于點尸，交BC于點G.

(1)設NAT>C'=2(z,探究NAKD的大小是否為定值，請說明理由;

(2)在OF上截取=連接求證：DH=C'F；

Arr5

⑶若會=g,BE=5,求菱形的邊長.

FG4

19.【問題探究】

(1)如圖①，點P是等邊VABC內一點，PA=1,PB=6PC=2,則/APB的度數為

【類比遷移】

(2)如圖②，若點P是正方形ABCD內一點，PA=1,PBf，ZAPB=135°,求尸C的

長；

【拓展應用】

(3)如圖③，某公園有一塊矩形水池ABC。，AB=600米，AD=800米，為方便觀賞游玩，

工作人員計劃在水池內P，。兩點處增加亭臺，連接AP,8P,CP,DP,AQ,OQ,PQ,且

SAPAD=2SAPBC,怎樣選擇點尸和點。的位置，可以使4。+。。+尸。最小？并求出

AQ+OQ+P0的最小值.

圖①

20.(1)問題發現

如圖1,在AACB和AOCE中，NACB=NOCE=90。，CA=CB,CD=CE,連接AD、DE,

則AD、BE的數量關系是------，AD,BE所在直線相交所成夾角的度數為.

（2）類比探究

如圖2,在AACB和AOCE中，ZACB=ZDCE=90°,NC4B=NCDE=30。，連接AD,DE,

請判斷AO,BE的數量關系及A。，BE所在直線相交所成夾角的度數，并說明理由.

（3）拓展延伸

在（2）的條件下，將AOCE繞點C在平面內旋轉.若CE=1,CB=2,請直接寫出當直線OE

經過點B時BE的長.

21.【探究發現】

（1）如圖1,在正方形中，E是。C邊上一點（不與端點重合），尸為CB延長線上

一點，S.ZJ3AD=ZEAF,連接EF,點“在線段所上，且/AHF=NADC,連接

求證：AFAB^^EAD；

【類比遷移】

（2）如圖2,在矩形A2CD中，E是。C邊上一點（不與端點重合），P為CB延長線上一

點，kZBAD=ZEAF,連接砂，點H在線段所上，且NA7iF=NADC,連接。求

證：AFABS^EAD；

【拓展提高】

（3）如圖3,在菱形ABC。中，E是DC邊上一點（不與端點重合），尸為CB延長線上一

點，^.ZBAD=ZEAF,連接砂，點H在線段所上，且NA7iF=NADC,連接若

AD=6,ADC^60°,EHEF^28,求3F的長.

圖1圖2圖3

22.【問題情境】如圖，在VA5c中，ZACB=90°,AC=kBC,CD是AB邊上的高，點E是

08上一點，連接CE,過點A作AFLCE于歹，交CD于點G.

【特例猜想】如圖1，當人=1時，直接寫出DG與DE之間的數量關系為:

【問題探究】如圖2,當上片1時，(1)中的結論是否還成立？若成立，請寫出證明過程，若

不成立，請指出此時。G與OE的數量關系，并說明理由;

3

【類比運用】如圖3,連接。/，若左=:，AC^AE,DF=6,求DG的長.

圖1圖2圖3

23.【問題情境】

綜合與實踐課上，老師發給每位同學一張正方形紙片ABC。.在老師的引導下，同學們在邊

BC上取中點E,取CD邊上任意一點尸(不與C,。重合)，連接跖，將△CEF沿所折疊,

點C的對應點為G.然后將紙片展平，連接尸G并延長交所在的直線于點N,連接

EN,EG.探究點廠在位置改變過程中出現的特殊數量關系或位置關系.

圖1圖2圖3

【探究與證明】

(1)如圖1,小亮發現：NF硒=90。.請證明小亮發現的結論.

(2)如圖2、圖3,小瑩發現：連接CG并延長交AB所在的直線于點7/,交EF于點M,

線段EN與C”之間存在特殊關系.請寫出小瑩發現的特殊關系，并從圖2、圖3中選擇一

種情況進行證明.

【應用拓展】

(3)在圖2、圖3的基礎上，小博士進一步思考發現：將EG所在直線與所在直線的交

點記為尸，若給出和BC的長，則可以求出CE的長.

《2025年中考數學壓軸題專練：幾何探究題》參考答案

1.（1）圖見解析，30°

（2）見解析

（3）1或3

【分析】（1）根據題意作圖，由菱形的性質可得VA5C是等邊三角形，根據等腰三角形的性

質可得4"_L8C,由直角三角形的性質即可求解；

（2）如解圖，連接AC,由四邊形ABCD是菱形，可得VA2C和△ADC都是等邊三角形，

再證△54〃絲△CRV（ASA）即可求解；

（3）根據題意作圖如解圖，過點A作AHLBC于點連接AC,可得VABC是等邊三角

形，由勾股定理可得AH=2?,在Rt~4月"中，明=而，AH=2y/3,由勾股定理可得

期=1,同理可得m=1,分類討論：當點P在點H的左側（片的位置）時，

CP=CH+HPx=2+\=3.當點P在點H的右側（鳥的位置）時，CP=CH-HP2=2-\=\.

再由（2）知AA4P絲AC4N（ASA）,可得線段DN的長為1或3,由此即可求解.

【詳解】（1）解：作NM4N如解圖，

:四邊形是菱形，

AB=BC,

如圖所示，連接AC,—3=60。,

；.VABC是等邊三角形,

Zfi4c=60°,

:點M是BC中點，

/.AMLBC,即ZAWB=90°,

???ZBAM=30°,

故答案為：30；

（2）證明：如解圖，連接AC,

。??四邊形ABC。是菱形,且4=60。，

:.AB=AD=BC=CD,ZB=ZD=60°,

/.△ABC和AADC都是等邊三角形，

:.AB=AC,AB=ZACN=ZBAC=60°,

:.ZBAM+ZMAC=60°,

???NM4N=60。，

:.ZMAC^ZCAN=60°,

/.ZBAM=ZCAN,

??.△a4M也4C47V(ASA),

:.AM=AN.

（3）解：根據題意作圖如解圖，過點A作AHL3C于點”，連接AC,

四邊形A3CD是菱形，且NB=60。，AB=4,

,\BC=CD=AB=4,

「.△ABC是等邊三角形，

\BH=CH=-BC=2,

2

AH=y/AB2-BH2=A/42-22=2垂)，

在RtAA《"中，A^=713,AH=2A/3,

222

HPV=^AP；-AH=7(713)-(2T3)=1,同理可得"g=1,

當點尸在點H的左側（［的位置）時，CP=CH+班=2+1=3；

當點尸在點H的右側（鳥的位置）時，CP=CH-HP2=2-1=1.

，CP=1或3；

由（2）知△547~CW（ASA）,

:.BP=CN,

:.DN=CP,

.,?線段rw的長為1或3.

【點睛】本題主要考查菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，

勾股定理的綜合運用，掌握菱形的性質，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性

質，分類討論思想是解題的關鍵.

2.（1）圖見解析；45

Q12BD=3CE；理由見解析

（3）CE的長為2或6

【分析】（1）利用SAS證明據此求解即可；

（2）先證明NEW=NC4E,再證明A4BCszviD石得喂=喂，然后再證明△AB。,

ACAE

據此求解即可；

（3）先證明N&ID=NC4E,再證明得黑=當，從而當=當，然后再

ACAEACAE

證明△AB。可證結論成立.

【詳解】（1）解：畫出圖形如圖.

???VABC和VADE都是等腰直角三角形，

AAB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=9009ZABC=ZACB=ZADE=45°9

：.ABAC-ADAC=ZDAE-ZDAC,

即N8W=NC4E,

AABD^AACE(SAS),

JZABC=ZACE=45°f

故答案為：45；

(2)解:成立,

理由：；AB=BC,

,?ABAC=ZACB=|x(180°-ZABC),

:AD=DE,

\ZDAE=ZDEA=-x(180°-ZADE),

2

:ZABC=ZADE,

\NBAC=NDAE,

\ZBAD=ZCAEf

ABBC

：ZABC=ZADE,

AD~DE

\AABCSAADE,

.ABAD

*AC-AE?

??AABD'ACE,

,BDAB6_3

*CE-AC-4-2

??2BD=3CE；

(3)解：當點。在線段BC上時，如圖,

由(2)知，AABD-△ACE,

.ABBD

^AC~CEf

.66-3

??一=~~,

4CE

：.CE=2；

當點。在線段5c的延長線上時，如圖,

E

綜上可知，CE的長為2或6.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性

質等知識，證明是解(1)的關鍵，證明是解(2)(3)的關

鍵.

3.(1)見解析(2)見解析(3)1

6

【分析】⑴根據正方形的性質，證明絲ADCV(ASA)即可得證；

(2)根據矩形的性質，證明AWQ-ADNC,即可得證;

(3)折疊可知：EFA.DG,由(2)可得：一=—,求出DG的長，勾股定理求出AG

DGAD

的長，設DE=GE=x,在Rt&4GE中，利用勾股定理求出工的值，再利用面積公式進行求

解即可.

【詳解】(1)解：???四邊形ABC。是正方形，

:.AD=CD,ZBAD=ZADC=90°,

?；DM1CN,

ZDQN=900=ZADC,

ZADM+ZMDC=90°=ZMDC+ZDCN,

.\ZADM=ZDCN,

在A4DM和△OC7V中，

ZADM=NDCN

<AD=CD,

ADAM=ZCDN

「.△ADM/△QC/V(ASA),

.-.DM=CN；

(2)證明：?.,四邊形A3CD是矩形，

:.ZA=ZNDC=90。,

?;CM1DN,

ZDQN=9Q°,

:.ZADM+ZCND=90°,ZADM+ZAMD=90°f

:"CND=ZAMD,

\-ZA=ZCDN,

:△AMD^ANC,

DMAD

,~CN~~CD；

(3)由折疊可知：EFYDG,

HFAR2*\/10_

由(2)可知，—=—，即刀一—2,解得OG=M，

DCJAD-----=一

DG3

二.在Rt^WG中，由勾股定理得AG=JOG?-AD?=],

由折疊的性質可得，DE=GE,

設：DE—GE—x,貝!JAE=AD—DE=3—九,

???在RJAGE中，由勾股定理得AG2+AE2=G^2,

.,.12+(3-X)2=X2,解得x=g,

/.DE=~,

3

-'-^ADEG=JX1=g-

【點睛】本題考查正方形的性質，矩形與折疊，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判

定和性質，勾股定理等知識點，熟練掌握相關知識點，證明三角形全等和相似，是解題的關

鍵.

4.⑴見解析

(2)①為等腰直角三角形，理由見解析；②4點

【分析】(1)由題意可得NAFE=/￡>=90。，推出NEFC=ZE4B即可求證；

(2)①由題意可得△加是等腰直角三角形，進一步得△「小?是等腰直角三角形；證

VABN四VNCE即可求證；②延長AF交BC于點H,連接EH,可證VEFH絲VECH；設

4

FH=CH=x,則3H=12_x,AH=12+x,根據342+犯2=鉆2解得：x^--設

32

MN=BN=y,H]NH=BC-BN-CH=}-y,根據MTV?+M"?=NH?解得：V=4；據

此即可求解.

【詳解】(1)證明：由題意可得：ZAFE=ZD=90°

：.ZAFB+ZEFC=ZAFB+ZFAB=90°

：.ZEFC=ZFAB

'：ZABF=ZECF=90°

：.AABFsAFCE

(2)解:①"EN為等腰直角三角形，理由如下：

由題意得：AF=AD=BC=s/2

BF=ylAF2-AB2=1=AB

.?.△鉆尸是等腰直角三角形

:AABFsAFCE

?1?△八光是等腰直角三角形

CF=BC-BF=y/2-l=CE

由(1)得：ZMFN=ZCEF=45°

?.?ZAMN=ZABN=90°

：.ZNMF=90°

???AM"是等腰直角三角形

MN=MF=AF-AM=AF-AB=y/2-l

BN=MN=42-1=CE

：.CN=BC-BN=1=AB

：.NABN^/NCE

：.AN=EN

9：ZNAM+ZEAF=-/BAD=45°

2

???"EN為等腰直角三角形

②延長"交BC于點H,連接￡”，如圖所示:

由題意得：AM=AB=DC=8fCE=DE=EF=4fAF=AD=BC=12

：.FM=AF-AM=4

???ZEFH=ZECH=90°

：.VEFH^VECH

設FH=CH=x,則3"=12—%,AH=12+x

BH2+AB1=AH2

：.(12-X)2+82=(12+X)2

4

解得:x=-；

416

???MH=AH-AM=12+——8=——

33

32

設MN=BN=y,蝦NH=BC-BN-CH=b-y

丁MN2+MH2=NH2

解得：y=4；

FN=4iMN=4也

【點睛】本題考查了幾何綜合問題，涉及了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與

性質、勾股定理等知識點，掌握相關幾何結論是解題關鍵.

BEk

(2)不成立，新結論為方=/場，證明見解析

⑶5

【分析】本題主要考查矩形的性質，相似三角形的判定與性質，正確作出輔助線構造全等三

角形和相似三角形是解答本題的關鍵

(1)在邊上取一點使=連接EM,則=根據SAS證明

△⑷WE四△ECF即可；

(2)(1)中結論不成立,在AB邊上取一點M,使BM=k-BE,連接EM,則ME=y/k2+\BE，

證明即可得出緒論；

(3)過F作切_LCD于H,證明△MEsA4￡)G和"GDs△GFH,求出m=4,斯=3,

再運用勾股定理求出。廠

【詳解】(1)解：如圖1,在邊上取一點M,使BM=BE,連接貝=

AAB=BC,AE=EF,

BM=BE,

：.AB-BM=BC-BE,即4W=CE,

VZMAE+ZAEB=90°,ZAEB+ZCEF=180°-ZAEF=90°,

ZMAE=/CEF,

：.AAME/AECF(SAS),

CF=ME=y[2BE，

.BEBE也

CF~42BE-2,

BEk_BE左、

(2)解：(1)中的結論不成立，新結論為彳=-

Jk2+lCFk2+l

理由：如圖2,在42邊上取一點使=左BE,連接上"，貝=JF+IBE，

G

:」

BEC

圖2

VZ1+ZA￡B=9O°,ZAEB+N2=180。—ZAEF二90°,

AZ1=Z2,

..ABAE

,——=——=k7,

BCEF

.AMAB—BMk(BC-BE)_卜

??EC-BC-BE-BC-BE-'

.AEAM

"EF~EC"

：.AAME^AECF,

.MEAEyjk2+[BE,

??——=,即---------=k,

CFEFCF

BE_k

ACF=7FT7'

(3)解:如圖3,過尸作M_LCD于H,

G

一

BEC

圖3

VZl+ZEAZ)=90o,NE4D+N2=90。，

?Z1=Z2,

Ar

?矩形ABCD和矩形AEFG,—=—=k,

BCEF

AB=k,AD,AE=k-AG,AE=FG,AG=EF,

ABAE,1AG_1

----=k=—

ADAG2GF

Z\ABEs^ADG,

ABBE1BE

---,即an一二——

而DG28

BE=4,

,?殷_2

*CE~39

：.BC=10,

AB=k-BC=5,

VZAGD+ZDGF=90°,ZAGD+Z2=90°,

：.Z2=ZDG,

：.AAGD^AGFH,

AGAD篝即2二瑞8

~GFGHFH

：.GH=5,FH=4,

：.DH=DG-GH=3,

DF=^DH2+FH2=V32+42=5?

6.(1)PM=PN,PMLPN

(2)#MN是等腰直角三角形

(3)l

【分析】(1)根據三角形中位線定理得PN〃3D,PN=；BD,PM//CE,PM=gcE,

從而得出PM=PN,PMLPN■

(2)首先利用SAS證明△ABD=△&(?￡,得ZABD=ZACE,BD=CE,再由(1)同理說

明結論成立；

(3)先判斷出最大時，APAW的面積最大，進而求出AN,AM,即可得出MN最大

=AM+AN,最后用面積公式即可得出結論.

【詳解】(1)解：???點P,N是BC,C。的中點，

:.PN\\BD,PN=；BD,

?.?點P,M是CD,DE的中點，

:.PM\\CE,PM=gcE,

■.■AB=AC,AD^AE,

BD=CE,

:.PM=PN,

?.-PN\\BDf

:.ZDPN=ZADCf

vPM||CE,

:.ZDPM=ZDCA,

?/ABAC=90°,

/.ZAZ）C+ZACD=90°,

.?.ZMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCA+ZADC=90。，

/.PM工PN,

故答案為：PM=PN,PMLPN?

（2）解：△PMN是等腰直角三角形.

理由如下：由旋轉知，ZBAD=/CAE,

\AB=AC,AD=AE,

.?.△ABZ）^AACE（SAS）,

,\ZABD=ZACEfBD=CE,

利用三角形的中位線得，PN；BD,PM；CE,

22

:.PM=PN,

二.△尸腦V是等腰三角形，

同（1）的方法得，PM//CE,

:.ZDPM=ADCE,

同（1）的方法得，PN//BD,

:.ZPNC=ZDBCf

ZDPN=ZDCB+/PNC=/DCB+/DBC,

/.ZMPN=ZDPM+NDPN=ZDCE+ZDCB+Z.DBC=ZBCE+ZDBC

=ZACB+ZACE+ZDBC=ZACB+ZABD+ZDBC=ZACB+ZABC,

■.■ABAC=90°,

ZACB+ZABC=90°,

：.ZMPN=90°,

.?.△PMN是等腰直角三角形；

(3)解：如圖，同(2)的方法得，APMN是等腰直角三角形，連接⑷V,AM,

??MN<AM+AN,

...當點AM,N三點共線時，MN最大,

最大時，APAW的面積最大,

.1?MV最大=AM+A7V,

在VADE中，AD=AE=2,ZDAE=90。,

...由勾股定理得：DE=>J2AD=2A/2，

:點〃為DE中點,

.-.AM=-DE=y(2,

2

在Rt^ABC中，AB=AC=4,同上可求AN=2后,

MN最大=2>/2+72=3A/2,

同上可得：MN=41PM-

PM=—MN,

2

SgMN藏大=|?2=1=5x(3回2=|.

【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的

判定與性質，三角形中位線定理，三角形的三邊關系和旋轉的性質等知識，證明APMN是

等腰直角三角形是解題的關鍵.

7.(1)證明見解析

Q)BF=CF,理由見解析

(3)373-3

【分析】(1)證明BE=BF且NDBE=NCBF,從而證明三角形全等；

(2)過點尸作GF，3C,垂足為點G,取AB中點耳，連接，由四等分點證明DH=BD,

再根據三線合一得到CD，進而證明ABDE絲ABGW,最后可得GF是BC的垂直平分

線，根據垂直平分線的性質得到族=CF；

(3)以BC為邊作等邊三角形BCM,連接M/，證明ABCE絲ABMF,則可得點歹在以8M

為直徑的圓弧上運動，起點為BC的中點N,終點為點連接OC,交圓弧于點尸，此時

C尸取得最小值，即可求出答案.

【詳解】(1)證明：?.?△3EF是等邊三角形，

:.BE=BF,NEBF=60°,

?.?ZABC=60。，

ZABC-NCBE=ZEBF-ZCBE,即NDBE=ZCBF,

又?；BD=BC,

:.ABDE^BCF(SAS).

(2)BF=CF,理由如下：

過點尸作GFLBC,垂足為點G,取48中點連接CH,

ZACB=90°,ZABC=6f)°,

HD

：.BC=-AB,

2

??,點H是AB的中點，

：.BC=AH=BH,

???ZABC=60°,

.?.△3C”是等邊三角形，

:.CH=BC,

??,點H是45中點，點。是AB四等分點，

:.DH=BD,

?.-CH=BC,

S.CD^BH,

由(1)得/EBD=/FBG,

X?/ZEDB=ZFGB=90°,BE=BF,

:.ABDE均BGF(AAS),

:.BD=BG,

?.?CD±BH,ZABC=60°,

.?.N5CD=30。，

:.BC=2BD,

:.BD=BG=GC,

?.?GF±BC,

.?.G尸是BC的垂直平分線，

:.BF=CF.

(3)以5c為邊作等邊三角形3cM,連接W,

:.ZCBE=ZMBFf

:ABCE%BMF(SAS),

.\ZBEC=ZBFM=90°f即當點。和點￡運動過程中，始終保持/班70=90。,

則點尸在以期為直徑的圓弧上運動，起點為5c的中點N,終點為點M,

由三角形三邊關系可知CF+OF2c0,則CBNCO—OF,

連接OC,交圓弧于點歹，此時CR取得最小值，

?.?△3CM是等邊三角形，點。是EW中點，BC=6,

:.OC±BM,03=3,

OC=yjBC2-OB2=373，

:.CF=OC-OF=343-3,

則C尸的最小值為-3.

【點睛】本題考查等邊三角形的性質和判定,全等三角形的性質和判定,垂直平分線的性質，

隱圓，本題的關鍵在于構造全等三角形，發現隱圓從而解決最小值問題.

8.（1）1；（2）PF=^--（3）BC+CF=yj2PC>理由見解析.

O

【分析】（1）由矩形的性質得3c=AD=3,AB=DC=5,ZASC=90°,即可由勾股定理

得BEAECJBC?=4,再根據線段和差的關系即可求解；

（2）作尸鉆于點延長交DC于點N,由直角三角形的性質可得

尸2="尸=尸。=1￡。=9,由M為防的中點可得=進而得到是AEBC的

222

13

中位線，即得尸MJg=匕又可得四邊形MVCB是矩形，得到MN=3C=3,即可得

22

PN=MN-PM=~,最后證明得至ij絲￡="，據此即可求解；

2PNPF

（3）過點尸作尸H_LDC于作PGLBC于G,由角平分線的性質可得PH=PG,即可

得四邊形尸HCG是正方形，得到ZHPG=90。,CH=CG,進而可證明四△PHF（ASA）,

即得HF=8G,得至“BC+CF=CG+BG+CF=CG+HF+CF=CG+CH=2CG,再在

□△PCG中，由勾股定理得0PC=2CG，即可得到BC+CT=0PC.

【詳解】解：（1）:四邊形ABCD是矩形，

BC=AD=3,AB=OC=5,ZABC=90°,

,/EC=5,

BE=1EC，-BC，=&2—3?=4，

AE=AB-BE=5-4=1,

故答案為：1;

(2)作于點延長MP交。。于點N,

???四邊形ABCD是矩形.

AZABC=90°,AB//CD,

又???。為￡C的中點，

???PB=EP=PC=-EC=-

22f

*.*PMLAB,

：.ZPMB=90°f

為師的中點，

???BM=-BE=2,

2

???PM是△ESC的中位線，

13

???PM=—BC=—,

22

又?.?AB〃C。，ZBMP=90°,

:?/PNC=90。,

???四邊形MNCB是矩形，

:.MN=BC=3,

33

???PN=MN—PM=3——=-,

22

???PF±PB,

：.ZBPF=90°f

：.Z1+Z2=180°-ZBPF=90°,

N3+N2=90。，

???Z1=Z3,

:./XPMBsAFNP,

,BMBP

,?再一而'

.2_2.5

*f5-PF

（3）BC+CF=4^PC，理由如下：

過點。作尸于"，作PGL3C于G,

：.ZPHC=ZPGC=9Q0,

???四邊形ABCD是矩形，

：.ZBCD=90°,

?.?ZBCE=45。,

???CE平分/DCB,

：.PH=PG,

四邊形尸HCG是正方形，

：.ZHPG=9Q°fCH=CG,

又???PF±PB,

：.NBPF=9。。,

???Zl+ZFPG=Z2+ZFPG=90°,

Z1=Z2,

△PGB^APHF(ASA),

：.HF=BG,

???BC+CF=CG+BG+CF=CG+HF+CF=CG+CH=2CG,

在Rt^PCG中，ZBCE=45°,PG=CG,

由勾股定理得：尸C=J5CG,

:?叵PC=2CG，

BC+CF=4^PC.

【點睛】本題考查了矩形的判定和性質，勾股定理，直角三角形的性質，三角形中位線的性

質，余角性質，相似三角形的判定和性質，角平分線的性質，正方形的判定和性質，全等三

角形的判定和性質，正確作出輔助線是解題的關鍵.

9.⑴見解析

(2)30°

3

(3)OE=：AE,見解析

【分析】(1)根據垂直和直徑所對的圓周角為直角可得=判定G4〃CD,貝U

ZGAF=ZOCF,結合=即可判定相似；

(2)由題意得NAO3=120。，結合垂徑定理得AO=80,則NAOD=4QD=60。，由圓周角

定理得ZACD=-ZAOD；

2

CF

(3)設=則一=2,即C石=2%,求得OE=2x—r,在RtZ\AO石中，由勾股定理求得

AE

533

r=-x,^OE=-x=-AE.

444

【詳解】(1)證明：：ABLCD,

/.ZAEC=90°,

,：3G為。。的直徑，

ZGAB=90°,

：.ZAEC=NG4B=90。，

GA//CD,

：.Z.GAF=Z.OCF,

XV/GFA=/OFC,

：.AAGFs"OF；

(2)解：連接。4,如圖，

c

對應的圓心角的度數為120。,

ZAOB=120°,

'：OD1AB,

?*-AD=BD，

JZAOD=ZBOD=60。,