2025年九年級數學中考復習解直角三角形的應用問題解答題專

題提升訓練

1.如圖，矩形A3CL)的對角線AC與8。相交于點O,CD〃OE,直線CE是線段OD的垂直

平分線，CE分別交O2AD于點EG,連接DE.

(1)判斷四邊形OCDE的形狀，并說明理由；

⑵當CD=6時，求EG的長.

2.喜歡鉆研的小亮對75。角的三角函數發生了興趣，他想：75度雖然不是特殊角，但和特

殊角有著密切的關系，能否通過特殊角的三角函數值求75。的正弦值呢？經研究，他發現:

sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°,于是他大膽猜想:

sin(o+p)=sinacos/?+cosasin尸(。和￡為銳角).將圖1(。)等積變形為圖1(b)可用

于勾股定理的證明，現將這兩幅圖分別“壓扁”成圖2(。)和圖2(6).如圖，銳角為a的

直角三角形斜邊為優，銳角為月的直角三角形斜邊為〃，請你借助圖2(。)和圖2(6)

證明上述結論能成立.

ffil(a)圖1(b)

3.如圖，在菱形ABCD中，NBCD=60,A3=8cm,動點P,。分別從點A,C出發，

分別沿AB,CB方向勻速運動，速度為2cm/s.過點。作QE，AC交邊C￡＞于點E,垂足

為K,PE與AC交于點N.設運動時間為《s）（O<r<4）.

⑵設VPQE的面積為S（cm2）,求S與f之間的函數關系式；

（3）連接NQ,在運動的過程中，是否存在某一時刻使線段NQ的值最小？若存在，求出，

的值；若不存在，請說明理由.

4.如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標（6,0）,點8坐標（0,3）,過點A、8分別作坐標

軸的垂線交于點C,連接48、BC、AC得到VABC,點尸是線段。4上一個動點，點。是

射線上一個動點，且OP=OQ,連接尸。得到△尸。3將△尸。。繞點尸順時針旋轉90。

得到！PEF,設！尸EF與VA5c重疊部分面積為S,點P坐標為（根,0）,求S與m的函數關

5.在綜合實踐課上，數學興趣小組用所學的數學知識測量城運河某河段的寬度，如圖所示，

BC為水面，他們在河岸一側的一個欄桿CD上放飛一只無人機，無人機在河上方距水面60

米的點M處測得C。正對岸8處的俯角為46。，測得欄桿頂端。處的俯角為56.2。，經測量

欄桿C。高度為L5米（圖中在同一平面內），求運河的寬度即2C的長度.（參

考數據：sin46tM）.72,sin56.2。。0.83,tan46°?1.04,tan56.2°?1.49,結果精確到0.1米）

6.如圖，三角形花園A3C緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道.經測量，點

C在點A的正東方向，AC=200米.點E在點A的正北方向.點8,。在點C的正北方向,

班)=100米.點2在點A的北偏東30。，點。在點E的北偏東45。.(參考數據：忘=1.414,

73?1.732)

(1)求步道OE的長度(精確到個位)；

(2)點。處有直飲水，小紅從A出發沿人行步道去取水，可以經過點B到達點。，也可以經

過點E到達點D請計算說明他走哪一條路較近？

7.如圖，在Rt^ABC中，/A=90。，AB=3,AC=4,。是線段AC上的點，且滿足

tanZADB=3,將線段繞點。逆時針旋轉90。得到DE,連結CE.

⑴求證：ACLCE-,

⑵連結OE交線段BC于點尸，求蕓的值；

(3)點尸在直線AC上，當tan/D2P=；時，求AP的長.

8.(1)如圖1,在菱形A3CD中，對角線AG如相交于點。，AB=6,sinZDBC=1.若

E是BC的中點，連接AE,交BD于點、F,求線段OF的長；

(2)某市規劃一塊四邊形ABCD的休閑旅游觀光區，如圖2所示，

ZZMF=ZD=90°,AB=2AD=2CD=300米，點、E,F是觀光區預計規劃的兩個車庫出入

口，具體位置滿足2CE=3AF,已知AMJLEF,點N,。分別是AB,CB上的一點，為了

方便游客，需建“V，NQ,三條人行走道，已知走道造價每米300元，請求出走道的最

低造價為多少元？

圖1

9.已知VABC為等邊三角形，。是邊A3上一點，連接CD,點E為CD上一點，連BE.

(1)如圖1,延長3E交AC于點/，若/CB尸=45。，BF=3五,求CT的長；

(2)如圖2,將V8EC繞點C順時針旋轉60。到，AGC,延長BC至點使得CH=BD,連接

A”交CG于點N,求證CE=OE+2GV；

(3)如圖3,43=8,點H是BC上一點，且BD=2C”,連接點K是AC上一點，CK=AD,

連接。K,BK,將△3立)沿3K翻折到BKQ,連接C0,當的周長最小時，直接

寫出-CK。的面積.

10.如圖，在VABC中，/區4c=45。，以A3為直徑的：。交AC,BC于點瓦。，連接OE,

尸是C。上一點，，翡足NCEF=NCDE.

⑴求證：EF是「。的切線.

(2)過點。作DGLA5于點G,AG=8,BG=2,求AC的長.

11.(1)如圖，在菱形A3CD中，對角線AC,8D相交于點0,AB=6,sinZDBC=1.若

E是BC的中點，連接AE,交3。于點歹，求線段。廠的長；

(2)某市規劃一塊四邊形A3CD的休閑旅游觀光區，如圖所示，ZA=ZD=90°,

AB=2AD=28=300米，點、E,歹是觀光區預計規劃的兩個車庫出入口，具體位置滿足

2CE=3AF,已知點N,。分別是AB,CB上的一點，為了方便游客，需建MN,

NQ,MQ三條人行走道，已知走道造價每米300元，請求出走道的最低造價為多少元？

12.如圖，VABC內接于。，48為＜。的直徑，ZADE=ZCBA,BC=BD,延長54至

E.

13.如圖，在ABC中AB=AC,BC=6,正方形OEPG的頂點G、下在線段BC上,

。在邊上.在邊AC上取一點“，使NAEH=ZB.

⑴若點E為&ABC的重心，直接寫出點A和射線FE的位置關系，并求A"的長;

（2）如圖1,若ABC為正三角形，且空=立，求正方形DEfG的邊長；

EH2

（3）連接HF,若_AS）和_HEF全等，求47的長.

14.數學課外興趣小組決定利用無人機測量學校國旗桿的高度（如圖）無人機起飛到點。

處時距離地面的垂直高度CD為50米，DE為水平線測得國旗桿AB頂端A的俯角為45°,

測得國旗桿AB底端8的俯角為60。，求國旗桿AB的高度（血”1.41，君。1.73,結果精

確到0.1米）.

15.如圖1,在正方形A3CD中，AB=2,P是4。邊上一點，連接3P,將一A5P繞著點B順

時針旋轉，得到△A'B'P.

A'

B

圖1

⑴己知旋轉角為60。，點尸與。點重合（如圖2）.

①證明：ABPA'心BPC；

②證明：.A'PC是等腰三角形；

⑵已知旋轉角為45。.

①請用沒有刻度的直尺和圓規，在圖3上的AD邊上作出一點尸，使P、A\P三點在一直

線上；（不寫作法，保留作圖痕跡）

②當APC是直角三角形時，求AP的長.

《2025年九年級數學中考復習解直角三角形的應用問題解答題專題提升訓練》參考答案

1.(1)四邊形OCDE是菱形，理由見解析

(2)273

【分析】(1)證明和△EOD是等邊三角形，即可推出四邊形OCDE是菱形；

(2)利用含30度角的直角三角形的性質以及勾股定理求得"l和CF的長，利用菱形的性

質得到防=B=2百，在Rt^OGF中，解直角三角形求得G/的長，最后根據線段的和差

求解即可.

【詳解】(1)證明：四邊形OCDE是菱形，理由如下：

:矩形A2CD的對角線AC與即相交于點0,

：.OC^OD=-AC^-BD,

22

???直線CE是線段。。的垂直平分線，

/.CO=CD,EO=ED,

：.CO=CD=OD,即△COD是等邊三角形，

ZOCD=ZCDO=Z.DOC=60°,NOCF=ZDCF=-ZDCO=30°,

2

CD//OE,

：.ZEOD=ZEDO=ZCDO=60°,

**?△?EOD是等邊三角形，

，CO=CD=EO=ED,

???四邊形OCDE是菱形.

(2)解：??,直線CE是線段OD的垂直平分線，且ZDCF=30。，

：.DF=^CD=3,CF7CD?-DF。=3元，

由(1)得四邊形OCDE是菱形，

，EF=CF=3y/3,

在RtADGF中,Z.GDF=90°-NODC=30°,

GF=DFtan30°=3x^=V3,

3

/.EG=EF-GF=.

【點睛】本題考查了菱形的判定和性質、等邊三角形的判定與性質、解直角三角形、線段垂

直平分線的性質、矩形的性質等知識點，明確題意，找出所求問題需要的條件是解答本題的

關鍵.

2.證明見解析

【分析】根據平行四邊形面積公式求出圖（。）中的平行四邊形A3CD面積，根據矩形的面

積公式求出圖（6）中的矩形ASCZ）和矩形CEFG面積，由圖（。）中的平行四邊形ABCD

面積和圖（6）中的矩形A3CO和矩形CEFG面積和相等，即可證明

sin（a+^）=sinacos（3+cosasin[3.

【詳解】解：如圖（。），原來內部的正方形變成了一個平行四邊形，冊，〃為相鄰兩邊，

其夾角為a+尸，

作,ABCD的高AE交BC于點E,

則AE=A&sinHSChz?（°-osiaj3^=m（a+0，

則SMCO=BCAE=raisin（a+0）,

如圖（6）,原來的兩個小正方形變成矩形ABC。和矩形CEFG,

則SABCD=BCAB="sire例wcos=/raina（3,

SCEFG=CECG=mstKaln.注maosa/3,

:圖（a）中的平行四邊形ABCD面積和圖（6）中的矩形ABCD和矩形CEFG面積和相等,

mnsin（（z+/）=mncosasin/3+mnsinacos0,

即sin（a+'）=sinacosf3+cosasin（3得證.

【點睛】本題考查的知識點是解直角三角形的實際應用，解題關鍵是理解圖（。）中的平行

四邊形ABCD面積和圖（6）中的矩形ABCD和矩形CEFG面積和相等.

3.（1）2

⑵S=-2舟+8/(o<r<4)

(3)存在，t=3

【分析】本題是四邊形綜合題，考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形

的性質，相似三角形的判定與性質及三角形的面積等知識點，熟練掌握以上知識是解題的關

鍵.

(1)證明△,CKQ%CXE(ASA)△,得出CQ=CE,證出四邊形MCE是平行四邊形，得出

PB=CE,列出方程可得出答案；

(2)證明一BPQsBAC,得出NBQP=NACB,則尸Q〃AC,過點B作3尸，于點尸，

求出QB,PQ,由三角形面積公式可得出答案；

(3)證明QV=；PE,則當PE的值最小時，線段N。的值也最小，故當PE_LAB時，PE的

值最小連接求出f=3.

【詳解】(1)解：：四邊形AB。是菱形，；.NQCK=NECK.

VQELAC,：.ZCKQ=ZCKE=90.

在-CKQ和4CKE中,

ZQCK=ZECK

<CK=CK,

ZCKQ=ZCKE

CKQmCXE(ASA),

:.CQ=CE.

:動點尸，。分別從點A,C出發，分別沿48,CB方向勻速運動，速度為2cm/s,

AAP=CQ=2t,；.PB=AB-AP=8-2t,CE=2t.

?.?四邊形ABCD是菱形，

二AB//CD.

'：PE//BC,

四邊形PBCE是平行四邊形，

:.PB=CE,即8-2f=2f,解得f=2,

故/的值為2.

(2)解:由(1)知AP=C￡=C0=2J

NBCD=60,

???△CQ石是等邊三角形，

QE-CQ=2t.

???四邊形ABC。是菱形，

???BC=AB=8,

BP=BQ=8—2z,

.BPBQS-2t

??莉―沃-8?

又,：/PBQ=AABC,

：..BPQs-BAC,

：.ZBQP=ZACB,

：.AC//PQ.

QE±AC,

：.QE,LPQ,

???VPQE為直角三角形.

如圖1,過點3作5尸，尸。于點尸.

???△CQE是等邊三角形，QE.LACf

：.ZACB=-ABCD=30,

2

???ZPQB=30.

在尸。中，COS/PQB=R,gpQF=BQcos3Q=(8—2/)x立=一打+4班.

2

?；BP=BQ,BF上PQ,

：.PQ=2QF=-24+8百，

：.S=^PQQE=弟2"+8⑹2=-2&+8"(0<f<4).

(3)解：由(2)知VPQE為直角三角形.

?/CD//AB,

：.NBAC=NDCA.

XVAP=CE=2t,ZANP=ZCNE,

/.APNmCEN(AAS),

：.PN=EN=-PE,ANCN=-AC,

22

NQ=gpE,

...當PE的值最小時，線段NQ的值最小.

VAB//CD,AN=CN,

.,.當PE，Afi時，PE的值最小.

如圖2,連接3N.

,:AB=BC,AN=CN,：.BNYAC,

AAN=CN=BC-cos30=4百，

AP=AN-cos30=6,

21=6,

；?，=3,

???當，=3時，線段NQ的值最小.

8

—nr-8/71+6(1.5<m<2)

4.S=《~m2+m-3(^2<m<3)

一2m。+4m(3<m<6)

【分析】分別求出點E點E落在AB上時機的值，分三種情形：當0<mVL5時，沒有重

疊部分；當1.5〈機V2時，重疊部分是肱VF,如圖3中，根據點N作NK_LAP于點K交環

于點J；當2<根43時，重疊部分是四邊形現WF,如圖4中，過點N作NKLR4于點K；

當3〈機W6時，重疊部分是五邊形必WGC,分別求解即可.

【詳解】解：如圖1中當點尸落在上時，過點尸作于點Z).

???A(6,0),5(0,3),

/.OA=6,OB=3,

由題意四邊形西尸是正方形,

???DF=PD=EF=PE=OP=m,

tan/2變°B3

ADOA62

AD=2m

4m=6

??in—1.5

???當Ovm41.5時，！PE尸與VABC沒有重疊部分；

如圖2中，當點E落在上時，OP=PE=m,AP=2m,

m=2

當1.5＜加工2時，重疊部分是,的兩，如圖3中，過點N作NKLA尸于點K交環于點J.

3x=6-m

?O1

..x=2——m

3

JN=JK-NK=m-\2--m\=-m-2

[33

84

：.MJ=2JN=-m-4FJ=NJ=-m-2

3f3f

：.FM=MJ+FJ=4m-6,

=；（4加-6）X4一2

??u一口MNF+6

(33

當2V機43時，重疊部分是四邊形EMNF,如圖4中，過點N作NK,A4于點K.

QQ—V=-PEEF--PMPM=-m2--x-(6-mM2--m\=—m2+m-3

0—0PEF°PMN22222V7I3J12

當3＜加工6時，重疊部分是五邊形HMNGC,如圖，過點N作于點K.

AG=AP=6-m,

..s=s四邊形"PA。-sPMN-sPAG

8

—m2-8m+6(1.5<m<2)

綜上所述,S=<-m2+m-3(2<m<

12v

4

+4”?(3<m<6)

6

【點睛】本題考查坐標與圖形的變化-旋轉,二次函數的應用，正方形和矩形的性質和判定,

解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會尋找特殊位置解決問題，學會用分類討論的思想解

決問題，屬于中考常考題型.

5.97米

【分析】本題主要考查仰俯角解直角三角形，矩形的判定與性質，掌握解直角三角形的計算

是解題的關鍵.

如圖所示，延長BA8垂直于點M所在的水平直線，垂足為點尸,E,則四邊形3CEF是矩

BF

形，則3C=EF,在吊血質中由tanZBMF=—得到MR~57.7（米），在W。回0中由

MF

r）p

tanZDME=tan56.2°=—得至lja39.3（米），則砂=EM+=57.7+39.3=97（米），

EM

由此即可求解.

【詳解】解：如圖所示，延長BACD垂直于點M所在的水平直線，垂足為點￡石，

VAB±BC,CD±BC,BF_LEF,

四邊形BCEF是矩形，則BC=EF,

:.CE=BF=60（米）,

BF

在應BMF中,tanZBMF=tan46°=-----

MF

：.MF=BF??57.7（米）,

tan46°1.04

DE

在RE中,DE^CE-CD.60-1.5^58.5（米）n56.2。=說

/.EM=DE??39.3（米）,

tan56.2°1.49

AEF=EM+FM=51.1+393=91（米）,

：.BC=EF=97（米）；

答：河寬的長度為97米.

6.⑴283米

⑵經過點8到達點。較近

【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，明確題意，準確構造直角三角形是解題

的關鍵.

（I）過E作BC的垂線，垂足為H,可得四邊形ACHE是矩形，從而得到即=AC=200米，

再證得為等腰直角三角形，即可求解；

（2）分別求出兩種路徑的總路程，即可求解.

【詳解】（1）解：過。作。尸_LAE于尸，如圖:

由己知可得四邊形ACDF是矩形,

:.DF=AC=200^,

:點D在點E的北偏東45。，即/。跖=45。，

；?_DEF是等腰直角三角形，

DE=拒DF=20072*283米，

答：步道。E的長度約為283米.

（2）解:由（1）知.。即是等腰直角三角形，上=283米,

，所=。尸=200米，

:點3在點A的北偏東30。，即NEAB=30。，

/AfiC=30°,

AC=200米，

,,AB=2AC=400米，BC=AB1—AC2=200y/3米，

?/5。=100米，

經過點B到達點。路程為AB+班＞=400+100=500米，

CD=BC+BD=(200若+100)米,

AF=CD=(2006+100)米,

AE=AF-EF=(200石+100)-200=(20073-100)米,

，經過點E到達點D路程為AE+DE=20073-100+200夜它529米,

529>500,

經過點8到達點。較近.

7.⑴見解析

13

3

（3）亍或3

【分析】（1）根據三角函數的定義得到AD=1,CD=AC-AD=3,由旋轉的性質得到

DB=DE,求得ZABD=/CDE,根據全等三角形的性質得到"CE=NBAD=90。，求得

ACLCE-,

nr

（2）如圖2,過點。作OG〃回交BC于點G,根據相似三角形的性質得到==—,

ABCA

9

得到OG=T，由（1）知CE〃AB,CE=AD=l根據相似三角形的性質得到

4f

EFEF44曰與?跖4

~ED~EF+DF~V3,侍壬茄一IP

（3）①當點尸在點。下方時，如圖3,連結尸3,過點尸作尸M_L3￡＞于點M,設=

貝1]3知=2。，根據三角函數的定義得到。求得〃1/=3加，解直角三角

3

形得到AP=OP—AD=1；

②當點P在點。上方時，如圖4,連結PB,過點尸作PN2.3。交BD的延長線于點N,設

PN=b,則BN=2b,根據三角函數的定義得到黑=黑=3,求得DN=；PN=；b,得

ULXDJ

到BD=BN-DN=2b-；b=3b=回,求得PN=b=：回,根據三角函數的定義即可得

到結論.

【詳解】（1）證明：如圖1,在Rt^ABC中，NA=90。，

圖1

*/tanNADB==3,AB=3,

AD

**?AD=19CD=AC—AD=3,

由旋轉的特征，得：DB=DE,

ZADB+ZABD=ZADB-^-ZCDE=90°,

：.ZABD=ZCDEf

在△板）和.COE1中，

AB=CD

<ZABD=ZCDE,

DB=DE

：.ABD^CDE,

：.ZDCE=ZBAD=9Q0,

：.AC1CE；

(2)解：如圖2,過點。作OG〃AB交5C于點G

MDGSMAB,

,DGCD

"~AB~~CA

DG]

由（1）知CE〃AB,CE=AD=1,

：.DG//CE,

：.NCEF^NGDF,

.EFCE

??一,

DFDG

EF_1_4

即而下一口

4

.EFEF_4

??而-EF+DF一口’

?；BD=ED,

.EF_4

**BD-13；

(3)解：在RtAADB中，BD=VAZ)2+AB2=V10?

①當點尸在點。下方時,

如圖3,連結尸8,過點?作于點M,

PM1

在中，tanZDBP=——=一,

BM2

設=貝115M=2Q,

在Rt和RtAWB中,

tanZADB=W

：.DM=-PM=-a,

33

,:BD=DM+BM,

J10——Q+2a,

3

解得：

：.PM=-sJ10,

7

在RtAADB中，smZPDB=~^==~sflO,

DU，1010

PM

在RtPDM中，sinZPDB=------,

3377

3

???AP=DP-AD=-

7

②當點尸在點。上方時,

過點P作PN，5。交BD的延長線于點N,

PN1

在RtPBN中,tanZDBP=——=-,

BN2

沒PN=b,則3N=2A,

在Rt△尸DN和RtAADB中，

?:ZADB=/NDP,

tanZADB=tanZAKP,

.PNAB

??——J,

DNAD

：.DN=-PN=-b,

33

???BD=BN-DN=2b--b=-Z?=^/w,

33

??.PN=b=3M,

在KAPDN和RtZkADB中，

■:AADB=/NDP,

???smZADB=sinZNDP,

.PDNPAT?

...勿=半取=用酒=2,

AP^DP+AD^3,

綜上所述：AP的長為1或3.

【點睛】本題是相似形的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，解直角三角形，旋轉的

性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握各知識點是解題的關鍵.

8.(1)yV2；(2)(18000回-18000)元

【分析】(1)根據sinZDBC=T='，.AD尸6右班戶得出oc=』8C=2,—,

BC33BFBE

進一步得出結果；

(2)作CV,AB于匕先求得NABC=/BCV=45。，連接AC,交E尸于W,根據C。AB

得出CEW^^FAW,進而求得AW=1AC=60也，結合/4ME=90。可得出點M在以AW

為直徑的。'上運動，作點M關于A3的對稱點式作M關于BC的對稱點G,連接GH,

連接QG,HN,連接3G,BH,可推出M/V+MQ+NQ=NH+QG+NQ2G”,

NHBG=ZABC=90°,從而得出當H、M。、G共線時，等號成立，GH=y/lBM，連接O'B,

交(。'于當點M在M'處時，3M最小，進一步得出結果.

【詳解】解：：四邊形ABCD是菱形，AB=6,

：.ADBC,AC±BD,BD=2OB,AD=BC=AB=6,

oc1

sinZDBC=—=-,ADF^EBF,

BC3

：.OC=-BC=2,—,

3BFBE

OB=VBC2-OC2=A/62-22=4&，

BD=8A/2，

是BC的中點，

AD=BC=2BE,

需2

小抑=|x8而殍

(2)如圖1,作CV_LAB于V,

圖1

/.NAVC=90。，

"：ZA=ZD=9Q°,

四邊形AVCD是矩形，

，AV=CD=150米，CV=AD=150米,

W=AS—AV=300—150=150米，

/.BV=CV,

：.ZABC=ZSCV=45°,

如圖2,

圖2

連接AC,交E/于W,

VZD=90°,AD=CD=150米，

???AC=0A￡)=15O及米，ZBAC=ZCAD=45°f

???/胡C=45。，

CDABf

???CEW^AFW,

.CWCE

**AW-AF'

2CE=3A尸，

._3

??一，

AW2

AW=|AC=60亞米，

NAME=90。，

...點M在以AW為直徑的。'上運動，

作點〃關于48的對稱點笈，作M關于BC的對稱點G,連接Ga,連接QG,HN,連接

BG,BH,

：.MN=NH,MQ=QG,ZGBQ=ZMBQ,ZHBF=ZMBF,BG=BM=BH,

：.MN+MQ+NQ=NH+QG+NQ>GH,ZHBG=1ZABC=90°,

當H、N、Q、G共線時，等號成立，GH=s/2BM,

連接02,交。。于“，當點。在AT處時,最小,

作于R,

O'R=AR=-O'A=—x-AW=—x30y/2=30=—x30y/2=^i

22222

5R=AB—47?=300-30=270米，

O'B=NOK+BR1=A/302+2702=30姬米，

/.最小=BM'=(30y/^2-300)米，

/.MN+MQ+NQ的最小值為后x(30^2-30亞)=(60歷一60)米，

；?走道的最低造價為：300x(60面-60)=(18000歷-18000)元.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，確定圓的條件，解直角三角形，菱形的性質，

軸對稱的性質，解直角三角形等知識，解決問題的關鍵是作輔助線，構造相似三角形.

9.(1)273

(2)見解析

(3)4A/3

【分析XI)如圖1,過點尸作FPL3c于點P,利用等腰直角三角形的性質求得BP=EP=3,

再解直角三角形求解即可；

(2)如圖2,延長CG到/,使G/=DE,連接加，過點a作交CG于點跖

先后證明，AG,IAN—CHN,AGN^HMN,AHCM名八BDE,利用三角形

全等的性質和線段的和差求解即可;

(3)過點。，H分別作3c的垂線，分別交2C于點R交AC于點G,作/血圮=60。，交BC

于點E,證明△GCHQADBF可得DF=GH,DF=GH,族=CH,再證明&BDE沿AAKD,

可得3E=AD=CK,設BF=CH=a,則CG=其=瓦＞=2。，可得DE,得到當八4￡)長的

周長最小值時，OE的值最小，據此求解即可.

【詳解】(1)解:如圖，過點尸作FP-L8C于點尸,

ABC為等邊三角形,

ZASC=ZACB=60。，

FP±BC,

.-.ZFP5=90°,

,ZCBF=45°,

:./BFP=45。,

:.BP=FP,

BF=3五,

,-.BP=FP=—x3y/2=3,

2

FP

tanZACB=—=Vr3,

PC

PC=y/3,

CF=2PC=2石；

(2)如圖2,延長CG到/,使GI=DE,連接從，過點X作H7W〃AG,交CG于點

ABC為等邊三角形,

圖2

/.AB=AC=BC,ZABC=ZACB=60°,

由旋轉的性質得,ZBCD=ZACI,CE=CG,BE=AGfNCBE=NCAG,

/.BCD空一AC/(SAS),

:.BD=AI,ZIAC=ZABC=60°,

:.AI//BC,

:/AN=/CHN,

CH=BD,

:.CH=AI,

又二/INA=/CNH,

.二MTV均CfflV(AAS),

:.AN=HN,

,HM//AG,

.\ZGAN=ZMHN,

又二ZANG=ZHNM,AN=HN,

AGN0HMV(ASA),

:.AG=HM,GN=MN,

同理HCM均BDE(ASA),

:.CM=DE,

：.CE=CG=CM+MN+NG=DE+2GN、

(3)如圖3,過點。，〃分別作5C的垂線，分別交3c于點尸，交AC于點G,作/KDE=60。,

交BC于點E,

Q

圖3

:./GCH=NDBF=60。,

GHA.BC,

「.NHGC=30。，

:.CG=2CH,

BD=2CH,

:.BD=CG,

又/DFB=/GHC=9U,

GCH"DBF(AAS),

:.DF=GH,BF=CH,

CK=AD,

.\BD=AK,

NKDE=60。,

:./BDK=ZBDE+600=60°+ZAKD,

:.ZBDE=ZAKD,

BDEWAKD(AS^),

:.BE=AD=CK,DE=KD,

設BF=CH=a,貝lJCG=A^=BD=2a,

：.HG=DF=6a,BE=AD=CK=8—2a,

:.EF=\BF-B^\=\a-^-2a^=\ia-^,

DE=J(V3a)2+(3a-8)2=^12(?-2)2+16，

.?.△ADK的周長最小值時，DE的值最小，

當。=2時，DE的值最小，此時CG=4T=BD=4,

即點K,點G重合，如圖4,

「KC—2sr=2x—x2x2A/3=

CAI,/CrCrJr/72

【點睛】本題是三角形的綜合題，考查了解直角三角形，等邊三角形的判定與性質，全等三

角形的判定與性質，求二次函數的最值等知識，做出合理的輔助線，學會利用參數構建二次

函數解決問題是解題的關鍵.

10.(1)見解析;

(2)^2

3

【分析】(1)連接OE,先通過ZA+ZBDE=180°,NCDE+NBDE=180。，得NA=NCDE

MffiiiZCEF=ZCDE,得ZA=NCEF,得到E尸〃AB,再通過求解得到ZAOE=90。，

ZFEO=ZAOE=90°,即可得到跳'是匚O切線；

(2)連接OD,過點C作_L45于點Af,先求AB=AG+3G=8+2=1。，得半徑

OD=OB=5,則OG=C?—BG=3.通過勾股定理求得DG=JaF—OG?=4,在BOG和

8cM中，ZBGD=ZBMC=90°,nT^tanB=—=—=2,則CM=2BAf,據邊與邊

BGBM

20,__________

的關系求得AM=j.在及AMC,利用勾股定理即可得：AC=口得到答案.

【詳解】(1)證明：如圖，連接

???四邊形石是。內接四邊形,

：.ZA+ZBDE=180°.

,：ZCDE+ZBDE=180°,

：.ZA=ZCDE

'：ZCEF=ZCDEf

：.ZA=ZCEF.

：.EF//AB

：.ZFEO=ZAOE.

?.?AO=EO,ZBAC=45°,

：.ZOAE=ZAEO=45°.

：.ZFEO=ZAOE=1800-ZOAE-ZAEO=90°9即OE_L防.

?：OE為。半徑，

：?EF是，。切線.

(2)解：如圖，連接OD,過點。作于點

DGLAB,

：.ZDGO=90°.

???AB=AG+5G=8+2=10,

：.OD=OB=5.

：.OG=OB-BG=3.

在RtZX?O中，DG=yJOD2-OG2=4

在；BOG和5cM中，/BGD=/BMC=90。,

?.?tanB八-DG-CM-~2.

BGBM

：.CM=2BM.

VZAMC=90°,ZBAC=45°

：.AM=CM=2BM.

AB=AM+BM=10f

：.AM=—.

3

在RtZXAMC,ZAMC=90°,

，AC=JAM?+CM2=.

3

【點睛】本題考查了利用三角函數解直角三角形，圓的內接四邊形的性質、切線的判定，勾

股定理等知識點，能靈活運用知識點進行推理和計算是解此題的關鍵.

11.(1)獷；(2)(18000屈一18000)元

OC11

【分析】(1)根據sinZD3C=2=z，得到。。=彳3。=2,勾股定理求得50,進而求得

BC33

BD=8插,證明aAD尸S.EBE,得出三=即可求解；

BFBE

(2)作CVLAB于V,先求得NABC=/3CV=45。，連接AC,交E尸于W,根據CD〃AB

得出一CEWS_E4W,進而求得AW=]AC=600,結合/4ME=90。可得出點M在以AW

為直徑的O'上運動，作點、M關于AB的對稱點H,作M關于BC的對稱點G,連接GH,

連接QG,HN,連接BG,BH,可推出M7V+MQ+NQ=M+QG+NQ2G”,

NHBG=ZABC=9Q。,從而得出當H、N、Q、G共線時，等號成立，GH=^BM,連

接03,交(7于AT,當點M在AT處時，3N最小，進一步得出結果.

【詳解】解：：四邊形A2CD是菱形，AB=6,

：.ADBC,AC_LBD,BD=2OB,AD=BC=AB=6,

oc1

AsinZDBC=—=-,ADF^.EBF,

BC3

：.OC=-BC=2,—,

3BFBE

OB=ylBC2-OC2=V62-22=4夜，

BD=80，

是BC的中點，

AD=BC=2BE,

軟2

￡?F=-Br>=-x8V2=^?

333

(2)如圖1,作CVLAB于V,

ZAVC=90°,

?/ZA=ZD=90°,

四邊形AVCD是矩形，

AV=CD=150米，CV=AD=150米,

8V=AB-AV=300—150=150米，

???BV=CV,

???ZABC=ZBCV=45°,

如圖2,連接AC,交E廠于W,

圖2

VZD=90°,A￡>=CD=150米，

，AC=0AZ)=15O及米，ZBAC=ZCAD=45°f

：.ABAC=45°,

CD//AB,

：.-.CEW^AFW,

.CWCE

**AW-AF'

2CE=3AF,

?CW_3

??而-5，

???AW=gAC=600米，

'：ZAME=90°,

???點”在以AW為直徑的O,上運動，

作點”關于A5的對稱點〃，作點M關于5C的對稱點G,連接G”,連接。G,HN,連

接5GBH,

：.MN=NH,MQ=QG,ZGBQ=ZMBQfZHBF=AMBF,BG=BM=BH,

.?.MN+MQ+NQ=NH+QG+NQ>GH,ZHBG=2ZABC=90°,

當〃、N、。、G共線時，等號成立，GH=6BM，

連接O'b,交O,于AT,當點M在W處時，最小，作O7?_LAB于A,

o^==—0^=—x-AW=-X30A/2=30=—X30A/2=7?：

22222

3R=AS—A/?=300—30=270米，

O'B=doK+BR2=A/302+2702=30姬米，

，最小=BM'=(30屈-300)米,

MN+MQ+NQ的最小值為夜x00屈-30底)=(60741-60)米，

.??走道的最低造價為：300x(60741-60)=(18000741-18000)元.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，確定圓的條件，解直角三角形，菱形的性質，

軸對稱的性質，解直角三角形等知識，解決問題的關鍵是作輔助線，構造相似三角形.

12.(1)見解析；

(2)ED=y.

【分析】此題主要切線的判定與性質，圓周角定理，相似三角形的判定和性質，解直角三角

形，熟練掌握切線的判定與性質，圓周角定理，相似三角形的判定和性質，靈活運用相似三

角形的性質，銳角三角函數進行計算是解決問題的關鍵.

(1)連接OD,則8=03,進而得ZD￡H=ZBDO證明RtBC4和RtBDA全等得

NCBA=NDBA,根據NADE=NCR4,MZADE=ZDBA=ZBDO,再根據

4。0+4400=々94=90。得/40￡'+/400=90。，BPED±OD,據此可得出結論；

(2)根據80=4得AB=2O3=8,則EB=M+8,根據/。朋=ZD朋得tanZD3A=L

2

AE)1

則tanNQB4=—=-,設AD=a,BD=2a,證明△EAD^^\EDB得ED:EB=AE:ED=AD:BD,

BD2

gpED:(AE+S)=AE:ED=a:2a,由AE:￡D=a:2a,AE=—ED,由ED:(AE+8)=〃:2a,得

2ED=AE+8,則2瓦)=；EZ)+8,據此可得ED的長.

【詳解】(1)證明：連接OD,如圖所示：

:.ZBCA=ZBDA=90°,OB=OD,

:.ZDBA=ZBDO,

在Rt5c4和RtBDA中，

[BA=BA

[BC=BD，

RtABCA^RtABZM(HL),

.\ZCBA=ZDBAf

ZADE=ZCBAfZDBA=ZBDOf

:.ZADE=ZDBA=ZBDO,

ZBDO+ZADO=ZBDA=90°,

..ZADE+ZADO=90。,

即磯)_LOD,

OD為。的半徑，

:.ED是。的切線；

(2)解：50=4,

,\AB=2OB=8f

.\EB=AE+AB=AE+8,

tmZCBA=-,NCBA=/DBA,

2

/.tan/DBA=—,

2

AF)1

在中，tanZDBA=--=-,

BD2

設AD=a,BD=2a,

ZADE=ZDBA,ZE=NE,

，AEAD^AEDB,

ED:EB=AE:ED=AD:BD,

ED:(AE+S)=AE:ED=a:2af

由AE:ED=a:2a,得：AE=gED,

由ED:(AE+8)=4：2Q,得：2ED=AE+8,

...2ED=-ED+8

2f

ED=1

13.(1)6=半

(2)正方形DEFG的邊長為尹T2〉

23

【分析】(1)根據重心的性質，三線合一的性質，正方形的性質可得EFJ.BC可

得A在射線FE上，設DE=Q,則AE=2〃，AD=^5則§由乙4。七=”一,證明

ZB=ZADE=ZAEH,在Rt中，sinZAEH=—=^,即可求解；

AE5

(2)延長。石交AC于/,作〃/_LAE1于/.證明一AEHsZADE=ZEHI,

ADEs