難點與解題模型09三角形中七種常考方法求角度問題

題型一：方程法求角度問題

「高飛7,承

方程法的解題步驟

第一步：找出題中的已知角，常涉及的概念有垂直、余角、補角、對頂角、角平分線等

；第二步：根據題干中出現的角度和差、倍分關系或者角度比例關系，考慮設一個角為未知數

第三步：用所設角度表示出其他角度

「第四步：通過列方程求解

【中考母題學方法】

【典例1】（2023?河南信陽?二模）【閱讀理解】如圖1,小明把一副三角板直角頂點。重疊在一起?如圖2固

定三角板405,將三角板COD繞點。以每秒15。的速度順時針旋轉，旋轉時間為t秒，當0D邊與03邊重

合時停止轉動.

【解決問題】

（1）在旋轉過程中，請填出//OC、NBOD之間的數量關系；

（2）當運動時間為9秒時，圖中有角平分線嗎？找出并說明理由；

⑶當40C、ZAOB,NBOC中一個角的度數是另一個角的兩倍時，則稱射線OC是/的“優線"，請直

接寫出所有滿足條件的/值.

【答案】（1）乙4OC+NB8=180。

⑵有，OD平分NAOB,08平分NCOD,理由見解析

（3）/=2,3,4,9,12

【分析】（1）由題意，根據題目分析，然后畫出圖形可得結論；

（2）依據題意，畫出圖形，然后分別計算出角的度數可得解；

（3）依據題意，將所有可能情形梳理并分類討論可得/的值.

【詳解】⑴解：①如圖，乙40C+40D=180。，理由如下：

由題意得，ZDOA=900-ZAOC,ZCOB=900-ZAOC.

：.ZAOC+/BOD=AAOC+ZDOA+ZAOC+/COB

=AAOC+90°-/AOC+ZAOC+90°-NAOC

=180°,

A

也。②如圖，乙4OC+/5QD=180。,理由如下:

0B

由題意得，ZDOA=90°-ZDOBfZCOB=900-ZDOB.

：.ZAOC+/BOD=ZDOA+ZDOB+ZCOB+/BOD

=90°-/DOB+ZDOB+90°-/DOB+ZBOD

=180°,

D

0\B

C

綜上，ZAOC+ZBOD=\SO°.

故答案為：40C+/80D=180。；

(2)解：有，OD平分/AOB,08平分NCOD

如圖所示，理由如下：

當運動時間為9秒時，乙40c=15。、9=135。，

ZBOC=ZAOC-ZAOB=135°-90°=45°.

:ZCOD=90°,

：.NBOD=ZCOD-ABOC=90°-45°=45°,

NBOC=NBOD=45°,

：.OB平分/COD,

,：ZBOD=45°=-ZAOB,

2

，OD平分NNOB；

(3)解：由題意得，408=90。，Z^OC=(15/)°.

當/5OC=2NNOC時，ZAOC=30°,

15Z=30>解得t—2；

3ZAOB=2ZAOC,0c在NN08內部時，ZAOC=45°,

15f=45,解得f=3；

當4OC=2ZBOC時，ZAOC=60°,

A15/-60,解得f=4；

當ZAOB=2ZBOC時，ZAOC=135°,

A15?=135,解得f=9；

當Z/1OC=2/4OB時，//OC=180°,

A15/=180,解得f=12；

綜上，t=2,3,4,9,12.

【點睛】本題主要考查角的計算，解題時需要全面考慮分析所有可能，學會分類討論是解題的關鍵.

【中考模擬即學即練】

【變式1-1］（23-24陜西西安）新定義：從一個角的頂點出發，在角的內部引兩條射線，如果這兩條射線所

成的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內半角.如圖1,若射線OC、OD在

的內部，且ECOD=；EMOB,則/COD是//OB的內半角，根據以上信息，解決下面的問題：

（2）如圖2,已知//。3=60。，將N/O3繞點O按順時針方向旋轉一個角度磯0°<7<60。）至NCOD.若

NCO8是440。的內半角，求a的值.

⑶把一塊含有30。角的三角板COD按圖3方式放置，使OC邊與CM邊重合，0D邊與02邊重合，如圖4,

將三角板COD繞頂點。以4度/秒的速度按順時針方向旋轉一周，旋轉時間為f秒，當射線04、OB、OC,OD

構成內半角時，請求出f的值.

【答案】（1）35。，10。

(2)20°

,、5T45f135Tl75

(3)一或二或[1或——

2222

【分析】（1）本題主要考查了角的和差，先根據題意算出NCO。的度數，再利用

ZBOD=ZAOB-ZAOC-ZCOD即可解答；弄清楚角之間的關系是解題的關鍵；

（2）本題主要考查看旋轉的性質、內半角的定義、一元一次方程的應用等知識點，根據旋轉性質可推出

ZAOC=ZBOD=a?ZCOD=ZAOB=60°,然后可用含有a的式子表示―）和NCO3的度數，根據

NCOB是乙4。。的內半角，即可求出a的值即可；掌握內半角的定義是解題的關鍵；

（3）本題主要考查了旋轉的性質、內半角的定義、一元一次方程的應用等知識點，根據旋轉一周構成內半

角的情況總共有四種，分別畫出圖形，求出對應,值即可.掌握分類討論思想是解題的關鍵.

【詳解】（1）解：；NC8是44O2的內半角，4408=70。，

ZCOD=-ZAOB=35°,

2

：.NBOD=ZAOB-ZAOC-ZCOD=70°-25°-35。=10。.

故答案為：35°,10°.

（2）解：由旋轉性質可知：ZAOC=ZBOD=a,ZCOD=ZAOB=60,

ZAOD=ZAOC+ZCOD=a+6。，NCOB=NAOB-NAOC=6CP-?,

NCOB是ZAOD的內半角，

AZAOD=2ZCOB,即a+60。=2（60。-￡），解得：a=20。.

a的值為20。.

（3）解：①如圖4：此時NCO8是440。的內半角，

由旋轉性質可知：N/OC=ZBOD=4。，ZCOD=NAOB=30P,

：.ZAOD=ZAOC+ZCOD=41°+30;ZCOB=ZAOB-ZAOC=30°^lf,

,/NCOB是N4。。的內半角，

AZAOD=2ZCOB,即4尸+30°=2（30°—由。），解得：f=|；

②如圖：此時NCOS是44OD的內半角，

由旋轉性質可得：ZAOC=ZBOD=4。，ZCOD=ZAOB=30P,

ZAOD=ZAOC+ZCOD=41°+30°ZBOC=ZAOC-ZAOB=41°-30,

ACOB是ZAOD的內半角，

45

：.^AOD=2BBOC,即4尸+30°=2（4/。-30。），解得：z=y；

③如圖所示，此時440。是/80C的內半角，

由旋轉性質可知：ZAOC=ZBOD=360P-4°,ZCOD=NAOB=30P,

ZBOC=ZBOD+ZCOD=39cp-4°,ZAOD=NAOC-ZCOD=33cp-4°,

ZAOD是/BOC的內半角，

i35

：.ZBOC=2ZAOD,即390。一4尸=2（330。一4尸），解得：1

④如圖所示，此時乙40。是/80C的內半角，

0上^=^---------B

由旋轉性質可知：^AOC=ZBOD=360°-4t°,NCOD=ZAOB=30°,

：.ZBOC=ZBOD+ZCOD=390-4°,ZAOD=ZCOD-NAOC=4°一33（P,

,/ZAOD是NBOC的內半角，

175

:.NBOC=2NAOD,即390°-4尸=2（4尸-330°）,解得：t=胃.

綜上所述：當射線。4。吹℃、8構成內半角時，t的值為豹?或號或娛

【變式1-2］（23-24湖南長沙）定義：從一個角的頂點出發，在角的內部引兩條射線，如果這兩條射線所成

的角與這個角互余，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內余角，如圖1,若射線OG。。在的

內部，S.ZCOD+ZAOB=90°,則NCOD是的內余角.

根據以上信息，解決下面的問題:

（1）如圖1,ZAOB=72°,ZAOC=20°,若NCOD是/NOB的內余角，則N8OD=；

（2）如圖2.已知乙4。8=60。將CM繞點。順時針方向旋轉一個角度a（0°<a<60。）得到OC.同時將繞

點。順時針方向旋轉一個角度;e得到OD.若NC08是乙4。。的內余角，求a的值；

⑶把一塊含有30。角的三角板COD按圖3方式放置，使OC邊與CM邊重合，OD邊與。3邊重合，如圖4將

三角板COD繞頂點。以6度/秒的速度按順時針方向旋轉，旋轉時間為I秒，在旋轉一周的時間內，當射線

OA,OB,OC,0。構成內余角時，請求出/的值.

【答案】（1）34°

（2）a的值為45。

⑶當射線04OB,OC,構成內余角時，，的值為7.5秒或52.5秒

【分析】本題主要考查角的和差的運算，掌握內余角的概念及計算方法是解題的關鍵.

（1）根據內余角可求出NCOD的度數，再根據=-44OC-/COD即可求解；

（2）根據旋轉的性質分別用含a的式子表示NCO2,的度數，再根據NCOS是Z4C?的內余角列

式求解即可；

（3）根據內余角的概念及計算方法，分類討論，當OC在//O8內部時；當OC在射線。3下方時；當

在。/上方時；當OD在內部時；根據旋轉的性質表示角的數量關系，列表求解即可.

【詳解】（1）解：:/。。。是//03的內余角，

ZCOD+ZAOB=90°,

ZAOB=72°,

ZCOD=90°-ZCOD=90°-72°=18°,

NAOC=20°,

ZBOD=ZAOB-ZAOC-ZCOD

=72°-20°-18°

=34°,

故答案為：34°；

（2）解：已知//。8=60。，繞點。順時針方向旋轉一個角度a（0°<a<60。）得到OC,OB繞點。順時

針方向旋轉一個角度;a得到OD,

；.NAOC=a,ABOD=-a,

3

ZBOC=ZAOB-a=60°-a,ZAOD=ZAOB+ZBOD=6（P+-?,

3

,/2cOB是ZAOD的內余角，

：.ZCOB+ZAOD=90°,

：.6Q°-a+60°+-a=90°,

3

解得，a=45。

的值為45。；

（3）解：根據題意可得，乙108=30。，三角板COD繞頂點。以6度/秒的速度按順時針方向旋轉，旋轉時間

為。秒，

當。。在NNO3內部時，如圖所示，

AZAOC=6t,ZBOD=6t,

：.ZBOC=ZAOB-ZAOC=30°-6t,ZAOD=ZAOB+ZBOD=30°+6t,

若ZCOB是440。的內余角時，得/COB+ZAOD=90°,

30-6f+30+6/=90。，無解，

.?.當OC在內部時，射線04OB,OC,OD不能構成內余角；

當OC在射線下方時，如圖所示，

AZSOC=6?-30°,ZAOD=6t+30°,

若ZBOC是。的內余角，

6/300+6/+30°=90°,

解得，，=7.5（秒）；

當。。在CM上方時，如圖所示,

c

：.ZAOD=360°-6/-30°=330°-6;,ZBOC=ZAOD+60°=330°-6/+60°=390°-6?,

若乙40。是/80C的內余角，

.?.330°-67+390°-6/=90°,

解得，1=52.5（秒）；

當。。在//O3內部時，如圖所示，

AZAOC=360°-6t,ZBOD=360°-6t,ZAOD=6t-ZAOC=6t-（360°-6/）=12z-360°,

ZBOC=ZAOC+ZBOD=360°-6r+360°-6t=720°-12f,

若ZAOD是ZBOC的內余角，

A12^-360+720-12；=90°,無解，

.?.當OD在內部時，射線04OB,OC,OD不能構成內余角；

綜上所述，當射線。4OB,OC,構成內余角時，，的值為7.5秒或52.5秒.

【變式1-3］（23-24河南焦作）一副三角板按如圖1所示放置，邊04,0c在直線"N上,

ZAOB=60°,ZCOD=45°.

圖3圖4

如圖2,將三角板COD繞點。順時針旋轉到C'。。'，轉速為每秒鐘轉動5。，當OC旋轉一周回到射線ON上

時停止轉動，設轉動時間為t秒.

⑴當。。與08重合時，直接寫出的值；

⑵①當OD'正好平分NBON時，在圖1中畫出此時O。'的位置，并求出/的值；

②在旋轉過程中，作N8OD'的角平分線當乙4。￡=15。時.直接寫出/的值.

【答案】（1）15秒

⑵①圖見詳解，/的值為21秒；②Z的值為33或45秒

【分析】本題考查了角的計算，特殊角，角平分線的定義，正確的理解題意是解題的關鍵.

（1）根據已知角的度數和平角的定義直接求度數即可；

（2）①根據=105。求解即可；②根據題意分兩種情況得出的度數，求解即可.

【詳解】（1）解：由題知，ZBOD=180°-ZAOB-ZCOD

=180°-60°-45°

=75°

75°,

￡=-^-=15（秒）；

（2）①如圖所示:

圖1

OD'正好平分ZBOA

：.ZBOD'=ZAOD'=-NBOA=30°

2

QNBOD=75°,

ND'OD=NBOD+ZBOD'=75°+30°=105°

105°?

?.t--------21,

5°

，的值為21；

②當在NHO/內部時，

ZAOE=15°,

Z.BOE=/BOA-ZAOE=60°-15°=45°

OE平分/BOD'

J/BOE=/D'OE=45。

：.HON=45。-15。=30。

:.AD'OD=ZDfOA+ZAOD=30°+l80°-45°=165°

165°”

t=------=33

5°

當OE在N5Q4外部時，

???AAOE=\50

：.Z.BOE=/BOA+乙4OE=60。+15。=75。

平分NBO。'

ZBOE=ZDrOE=75°

JOD轉動的角度為：ZBOE+ZDrOE+NBOD=75。+75。+75。=225°,

775°

解得^=45,

.,?當440￡=15。時.，的值為33或45（秒）.

題型二：分類討論法求角度問題

「藉TMT稼T承，

常考分類討論的情形

i.若題中出現角度大小，但不明確角度邊的位置，需對角的位置進行分情況討論,再根據角度大小分別求解：

i

2.若題中出現射線旋轉，并讓探究三條射線中某一條射線是另兩條射線夾角的平分線，需分別討論哪條射線是

I角平分線的情況；I

3.若題中出現射線三等分角，但并未說明射線靠近角度的哪一邊,需對射線的位置進行分情況討論.

【中考母題學方法】

【典例2］（22-23浙江）【問題提出】已知。與//0C有共同的始邊OC,且滿足NBOC=2440C,

若440c=28。，求N/08的度數.

【問題解決】圓圓首先畫出兩個符合題意的圖形，運用分類討論的數學思想，解決問題.

在圖①中，當射線。4在。的內部時，由題意易得乙403=28。；

在圖②中，當射線。4在480。的外部時，由題意易得/4。8=84。.

ACB

IIIII1IIIIItIIItI

-8-7-6-5-4-3-2-1012345678

圖③

【問題應用】請仿照這種方法，解決下面兩個問題

（1）如圖③，已知點/,B,C在數軸上對應的數分別為-4,2,1,請在數軸上標出線段/C的中點。并寫

出。所表示的數；若數軸上存在點￡,它到點C的距離恰好是線段的長，求線段OE的長.

⑵如果兩個角的差的絕對值等于90。，就稱這兩個角互為垂角，例如：Zl=120o,Z2=30°,|Zl-Z2|=90°,

則Z1和Z2互為垂角（本題中所有角都是指大于0。且小于180。的角）.

①若/a=140。，求/a的垂角；

7

②如果一個角的垂角等于這個角的補角的I,求這個角的度數.

【答案】（1）8；或3；

（2）①50°；②18°或126°

【分析】本題考查了互為垂角和補角的定義及運用，數軸，數軸上兩點之間的距離，絕對值，解題關鍵是

找準角之間關系.

（1）根據中點的定義找到點D,由已知的/、B、C所表示的數求出NB的長度，就可以求出￡點所在的位

置，再求出DE的長度.

（2）①根據互為垂角的定義求出即可.②根據已知條件，分類列出方程解之.

【詳解】（1）解：???點/,B,C在數軸上對應的數分別為-4,2,1,點。的線段/C的中點，

所表示的數為書=-1；,/8=2-（-4）=6,

如圖，點。即為所求；

EADCBEi

）ii■2????i????i???1A

-8-7-6-5-4-3-2-1012345678

???點E到點C的距離恰好是線段AB的長，

???CE=AB=6,

???點。表示的數為7或-5,

DE的長為：7-1-lg）=81^-5-1-lg）=3；；

（2）解：①設/a的垂角為x。，

根據題意得：|140。-犬|=90。，

A140°-x°=90°gg140°-x°=-90°,

解得x=50或230（舍去），

Za的垂角為50。；

②設這個角的度數為了°,

當0<y<90時，它的垂角為（90+了）。，

2

根據題意得90+y=§（180-田，

解得：y=18,

當90<><180時，它的垂角為（夕-90）。,

7

根據題意得y-90=§(180-y),

解得N=126,

故這個角的度數為18。或126。.

【中考模擬即學即練】

【變式2-1］（24-25?江蘇無錫）定義：從一個角的頂點出發，在角的內部引兩條射線，如果這兩條射線所成

的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內半角.如圖①所示，若

則NCOD是ZAOB的內半角.

DB

-B

■DO

（1）如圖①所示，已知乙403=70。，//0C=15。，是NNO3的內半角，則Z8OA=.

⑵如圖②，已知4405=63。，將N/O2繞點O按順時針方向旋轉一個角度a（0<a<63。）至NC0D,當旋

轉的角度a為何值時，NCO5是440。的內半角？

⑶已知N4OB=30。，把一塊含有30。角的三角板如圖③疊放，將三角板繞頂點。以3。/秒的速度按順時針方

向旋轉，如圖④，問：在旋轉一周的過程中，且射線始終在//O8的外部，射線。4。民OC,。。能否

構成內半角？若能，請直接寫出旋轉的時間；若不能，請說明理由.

【答案】（1）20。

（2）a=21°

⑶當旋轉的時間為gs或30s或90s或一s時，射線CM,OB,OC,能構成內半角

【分析】（1）由內半角的定義得DCOD=JEMOB=35。，再由480。=乙4。8-44。。-/（%〃）即可求解；

（2）由旋轉得：ZAOC=ZBOD=a,由角的和差得N8OC=63。-。，ZAOD^63°+a,再由內半角的定

義得/C0B=L/40D,即可求解；

2

（3）分四種情況討論，利用內半角的含義，建立一元一次方程，即可求解.

【詳解】（1）解：?.?44。3=70。，NC0D是的內半角，

:.ZCOD=-ZAOB

2

=-x70°

2

=35。，

/BOD=ZAOB-ZAOC-/COD

=70°-15°-35°

=20°；

故答案：20°；

(2)解：當旋轉的角度。為21。時，NCOB是N4a)的內半角；

理由如下：

由旋轉得：ZAOC=/BOD=a,

/./BOC=/AOB—/AOC

=63。—a,

ZAOD=ZAOB+/BOD

-630+a,

??,/COB是ZAOD的內半角，

:.ZCOB=-ZAOD,

2

63O-a=1(63°+?),

解得:a=21°；

(3)在旋轉一周的過程中，射線CM,OB,OC,OD能構成內半角，理由如下;

理由：設按順時針方向旋轉一個角度",旋轉的時間為7,

如圖1,：/80C是44。。的內半角，ZAOC=ZBOD=a,

圖1

40。=30°+a,

A|（30o+cz）=30°-?,

解得：a=10。,

如圖2,〈/BO。是N4O。的內半角,/AOCZ.BOD=a,

圖2

：.ZAOD=300+a,

|(30°+a)=a-30°,

a=90°,

y=30(s)；

如圖3,???//40。是/5。。的內半角,NAOC400=360—a,

圖3

???/3。。=360。+30。一。，

：.1(360°+30°-a)=360°-tz-30°,

a=270°，

t=90(s),

如圖4,???乙4。。是/3。。的內半角,ZAOC/BOD=360—a,

c

/A

D

B

圖4

???Z5OC=360°+30°-6Z,

1(360°+30°-6Z)=30°+30°-(360°+30°-a),

解得：a=350。，

.350/、

??/二^-(s),

綜上所述，當旋轉的時間為半S或30s或90s或孥s時，射線。4,OB,OC,OD能構成內半角.

33

【點睛】本題考查了新定義，旋轉的性質，角的和差，一元一次方程的應用，理解新定義，能根據旋轉的

過程確定時間范圍，進行分類討論是解題的關鍵.

【變式2-2](23-24?廣東廣州)(1)如圖，線段48=20cm,C為AS的中點，點P從點/出發，以2cm/s的

速度沿線段向右運動，到點2停止；點。從點8出發，以lcm/s的速度沿線段向左運動，到點/停

止.若尸，。兩點同時出發，當其中一點停止運動時，另一點也隨之停止.設點P的運動時間為x(x>0)

s.

APCQB

(i)AC=cm.

(ii)是否存在某一時刻，使得C,P,0這三點中，有一點恰為另外兩點所連線段的中點？若存在，求出

所有滿足條件的x的值；若不存在，請說明理由.

(2)一副三角板按左圖中的方式拼接在一起，其中邊OC與直線EF上，4403=45。，ZCOD=60°.

(i)ZBOD=度.

(ii)如圖，三角板C。。固定不動，將三角板/O5繞點。按順時針方向旋轉角。(即44OE=a),在轉

②在旋轉過程中，是否存在某一時刻滿足/80C=2a48?若存在，求此時的角￡；若不存在，請說明理

由.

【答案】(1)(i)10(ii)x=6；尤=9(2)(i)75(ii)①夕的值為30°,90°,105。②當a=105°

或125。時，存在NBOC=2ZAOD

【分析】(1)(i)根據線段中點，可得答案；(ii)根據線段中點的性質，可得方程，根據解方程，可得

答案.

(2)(i)根據平角的定義即可得到結論；(ii)①根據已知條件和角平分線的定義即可得到結論；②當。4

在0D的左側時，當CM在0。的右側時，列方程即可得到結論.

【詳解】解：(1)(i)為48的中點

120

：.AC=-AB=—=10(cm).

故答案為：10；

(ii)存在，

①二?尸的速度2cm/s,Q的速度是1cm/s,

APwBQ,

又AC=BC,

：.PCwCQ

???C不是線段尸。的中點；

②尸為線段。。的中點，得

2(2x—10)=10—x,解得％=6；

③。為線段尸。的中點，得

2x—10=2(10—x),解得％=￡

綜上所述：%=6或%=".

2

(2)(i)\'ZAOB=45°,/COD=60。,

/BOD=180。一ZAOB-/COD=75°,

故答案為：75；

(ii)①當03平分乙40。時，

?;/AOE=a,ZCOD=60°,

/.ZAOD=180°-ZAOE-ZCOD=120。一a,

ZAOB=-ZAOD=60°--a=45°

22f

二.CL-30°,

當08平分時，

vZAOC=180°-a,

:.ZAOB=90°--a=45°

2f

a=90°；

當05平分/DOC時，

???NDOC=60。,

NBOC=30。，

.-.(Z=180O-45O-30O=105O,

綜上所述，旋轉角度。的值為30。，90°,105°；

②當。4在QD的左側時，則乙40。=120。-0，ZBOC=1350-af

???ZBOC=2ZAOD,

.?.135。—a=2（120。—a）,

/.a=105°；

當04在O。的右側時，則=a—120。，/BOC=135。—a,

ZBOC=2ZAOD,

.?.135。—a=2(a—120),

二.a=125°,

綜上所述，當a=105。或125。時，存在N5OC=24。。.

【點睛】本題考查了兩點間的距離，角的計算，特殊角，角平分線的定義，利用線段中點的性質得出關于X

的方程是解題關鍵，要分類討論，以防遺漏.

【變式2-3]（24-25陜西西安）探究與實踐

將一副三角板按如圖方式拼接在一起，已知4403=90。，ZCOZ）=60°,按如圖1所示擺放，將CM、0c邊

重合在直線“N上，OB、OD邊在直線的兩側:

圖1圖2

【問題發現】

(1)保持三角板N03不動，將三角板COD繞點。旋轉至如圖2所示的位置，則

①ZAOC+ZBOD=；

②ZBOC-ZAOD=.

【問題探究】

(2)若三角板COZ)按每分鐘6。的速度繞點。逆時針方向旋轉，三角板/OB按每分鐘4。的速度也繞點。

逆時針方向旋轉，OC旋轉到射線ON上時都停止運動，設旋轉，分鐘，計算/MOC-40。(用含［的代

數式表示).

【問題解決】

(3)保持三角板NO3不動，將三角板COD繞點。逆時針方向旋轉暖("4360),若射線OE平分//OC,

射線OF平分ZBOD,求ZEOF的大小.

【答案】(1)①150°；②30°；(2)ZMOC-ZAOD=(8t-60)°；(3)/EO尸=15°或165°

【分析】本題考查的是角的和差運算，角平分線的定義，角的動態定義的理解；

(1)①將4OC+/8O。轉化為NC8+4O3即可得；②依據=-4OC、

ZAOD^ZCOD-ZAOC,將原式轉化為4-/CO。計算可得；

(2)設運動時間為，秒，0<^<30,ZMOC=(60°,只需表示出440。即可得出答案，而乙40。在OD與。4

相遇時，f=30,再畫出圖形求解即可；

(3)設△DOC繞點。逆時針旋轉九°,再分①①0<”。4180。時，如圖；②180。<〃。4360。時，如圖，分

別畫出圖形求解即可.

【詳解】解：(1)?AAOC+ABOD=ZAOC+ZAOD+ZAOB

=ZCOD+ZAOB=60°+90°=150°,

②ZBOC-ZAOD=(ZAOB-NAOC)-(ZCOD-ZAOC)

=NAOB-ZAOC-ZCOD+ZAOC

=ZAOB-ZCOD=90°-60°=30°；

(2)設旋轉時間為/秒，則0</V30,ZMOC=(6/)°,

當。。與O/相遇時，6t-4t=6Q,

解得：t=30,

如圖,

B

\^AOD=(60+4t-60°=(60-2t)0,

N_M

D

：.ZMOC-ZAOD=(8Z-60)0；

(3)設AOCD繞點。逆時針旋轉"。，

①0<""180°時，如圖，

ZAOB=90°,ZMOD=60°-n°,

：.NBOD=ZAOB+ZMOD=(150-。,

OF平分ZBOD,

ZS(?F=1(150-?)°=75o-1??°,

■:NMOC=n。,OE平分//OC,

AMOE=-ZMOC=-n°

22

ZBOE=(90-,

：.ZEOF=ZBOE-NBOF=15°；

②180°<〃°V360°時，如圖，

ZBOD=4MOD-AAOB=(n-\5Q)°,

:OF平分ZBOD,

：.ZBOF=ZDOF=1(w-150)0,

ZMOC=360°-?°,OE平分ZAOC,

：.NMOE=ZCOE=-ZMOC=180°—nc,

22

/EOF=360°-ZBOE-ZBOF=360°-90°-1180°-一；一150°)=165°.

綜上，/EOF=15°或165°.

題型三：A字模型

■HMM.■■■■

!指點迷津

IIII

模型結論：ZDBC+ZECB=180°+ZA.

【中考母題學方法】

【典例3】（2024?貴州?模擬預測）教材回顧

我們知道，直角三角形的兩個銳角互余，你能對直角三角形的這一性質進行證明嗎？

性質證明

（1）為了證明該性質，小明同學畫出了圖形（如圖1）,并寫出了"已知"和"求證"，請你完成證明過程.

已知：在直角三角形48c中，ZC=90°

求證：乙l+Z8=90°

性質運用

(2)如圖2,在△48M中，48=10,點C,。分別在BM,AM±.,且MC=4,AD=CD=5,/B=NMDC,

求證：ZA+ZB=90°.

拓展提升

(3)如圖3,在V/3C中，AB=BC=2。,AC=24,D,E分別為48,NC的中點.M,N分別在NC,

2c上，且EM=2MC,CN=6,ZW與BE相交于尸，A?與DM相交于。求證：點。是r的中點

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析

【分析】本題考查三角形的內角和定理，相似三角形的判定和性質，勾股定理逆定理：

（1）根據三角形的內角和定理，即可得出結論；

（2）先證明ACZ亞■SAWBM,得到空J=求出的長，進而求出。河的長，勾股定理逆定理得到

AMAB

VC。河是直角三角形，且NM=90。，即可得證；

（3）先證明△4Ws/\cNE,得至1］乙4MD=NCEN,進而得到。￡=（W,三線合一，得到B￡_L/C,得

到/5￡C=90。，進而得到=,推出。尸=。￡,等量代換得到。尸=（W,即可得證.

【詳解】（1）證明：由三角形的內角和定理可得乙4+/5+/。=180。，

又NC=90。，

ZA+ZB=90°.

(2)證明：?:NB=NMDC,/M=/M,

：.ACDMS“BM,

.MCCD45

即一=—,解得/0=8,

AM10

；.DM=AM—AD=3.

在VCQM中，CM=4,CD=5,DM=3,

CM2+DM2=CD2

???VCQM是直角三角形，且/M=90。,

AZ^+ZB=90°.

（3）證明：9：AC=24,E為ZC的中點,

???EC=12,

又EM=2MC,

：.CM=4,

：.AM=20.

???45=20,點。為45的中點,

???AD=10,

?CN_6_1AD_10_1

,u~CE~n~29IM-20-2,

AB=BC,

ADAM=/NCE,

：.dADMsACNE,

???ZAMD=/CEN,

：.OE=OM.

???/3=3。，點E是4C的中點，

：.BELAC,即/B￡C=90。.

/OEM+ZOEF=ZEMF+ZEFM=90°,

：.ZMFE=/FEO,

???OF=OE,

：.OF=OM,

???點。為的中點.

【中考模擬即學即練】

【變式3-1］如圖，中，乙4=65。，直線。E交43于點。，交/C于點E,則NBDE+/CED=

【答案】D

【詳解】解：???//=65。,

.\ZADE+ZAED=18(P-6^=1153,

/.ZBDE+ZCED=360P-11^=245^,

故選：D.

【變式3-2】如圖所示，ND4E的兩邊上各有一點5,。，連接3C,求證/DBC+408=180。+乙4.

A

【詳解】解：；NDBC和ZECB是“BC的外角，

ZDBC=Z/4+ZACB,ZECB=ZA+ZABC.

又VN4+ZABC+Z4C5=180°,

ZDBC+ZECB=ZA+ZACB+ZABC+=180。+血.

【變式3-3］如圖1,直線/與。8c的邊/C,A8分別相交于點。，E（都不與點A重合）.

圖4

(1)若//=64。，①求N1+N2的度數；②如圖2,直線加與邊,/C相交得到/3和N4,直接寫出/3+/4

的度數.(2)如圖3,EO,I)。分別平分NBED和NCDE,寫出/EOD和//的數量關系，并說明理由；

(3)如圖4,在四邊形BCDE中，點”，N分別是線段DC、線段3E上的點，NG,MG分別平分/的W和

4CMN,直接寫出/NGMr與/E,的關系.

【答案】⑴①244。；②244。(2)/￡0。=90°,理由見解析⑶NE+/D+2NNGN=360°.

【分析】本題主要考查三角形內角和定理、三角形外角性質，掌握三角形內角和定理、角平分線的定義等

知識點，靈活運用相關知識是正確解答的關鍵.(1)①根據三角形內角和定理，角平分線的定義進行計算

即可；②根據①的結論即可解答；(2)由(1)的結論以及三角形內角和定理即可解答；

(3)由(2)的結論可得NBNM+/CMN=/D+/￡,再根據三角形內角和定理進行解答即可.

【詳解】(1)解：①如圖1,

；Nl=ZA+ZADE,Z2=ZA+ZAED,：.Z1+Z2=ZA+ZADE+ZAED+,

-/+ZADE+ZAED=18CP,ZA=，/l+/2=/N+180°=64°+180°=244°；

②由①方法可得：Z3+Z4=Z1+Z2=244°.

(2)解：ZEOD=9Q°--ZA,理由如下：由(1)可得/BED+/CDE=180°+.

2

,/EO,。。分別平分/BED和NCOE,ZOED=-ZBED,ZEDO=-ZCDE,

22

ZOED+ZEDO=^(^BED+ACDE)=1(180°+Z^)=90°+1,

：.ZEOD=180°-(ZO￡,D+ZEDO)=180°-^90°+g=90°-.

(3)解：ZE+ZD+2ZNGM=360°,理由如下：由圖2可得，ZBNM+ZCMN=ZD+ZE,

'：NG,MG分別平分ZBNM和ZCMN,二ZBNG=ZMNG=-ZBNM,ZCMG=ZNMG=-ZCMN,

22

ZMGN=180。一(ZMNG+ZNMG)=180°-1(ZBNM+ZCMN)=18O°-|(ZZ)+Z￡),

2ZMGN+ND+/￡=360°.

題型四：8字模型

!指I點I迷I津

I

【中考母題學方法】

【典例4】（2024?寧夏?中考真題）綜合與實踐

如圖1,在V/BC中，8。是//8C的平分線，2。的延長線交外角NC4W的平分線于點E.

【發現結論】

結論1：NAEB=ZACB；

結論2：當圖1中N/C5=90。時，如圖2所示，延長8c交/E于點尸，過點E作/尸的垂線交BF于點G,

交NC的延長線于點則/￡與EG的數量關系是.

【應用結論】

（1）求證：AH=GF；

（2）在圖2中連接EH,AG,延長/G交于點N,補全圖形，求證：FN=NH+^AE.

圖1圖2

【答案】【發現結論】結論1：結論2：相等(或/E=EG)；【應用結論】(1)見解析；(2)見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的定義、三角形外角的性質、等邊對等角、

等角對等邊、勾股定理等知識，熟練掌握知識點推理證明是解題的關鍵.

［發現結論］結論1：根據角平分線的定義、三角形外角的性質，推出

DAEB=SMAE-DABE=-DMAC--^)ABC,DACB=DMAC-DABC,即可得出NAES=；

222

結論2：根據已知乙4c2=90。，和結論1ZAEB=\AACB,得出N4E3=45。，根據角平分線的定義得出

ZABE=NGBE,進一步推出N/班=NGE8,利用ASA證明△N2E會/XGAE1,即可得出/E=EG；

［應用結論］(1)根據過點E作/尸的垂線交8尸于點G,得出D4EH=RGEF=90°,推出

結合結論2：AE=EG,利用AAS證明■均GEF,即可證明/〃=GF；

(2)連接EH,AG,延長/G交切于點N,根據垂線的定義得出D/EG=DEEH=90°,由結論2得：

AE=EG,由(1)過程得：ANM■gAG昉，根據等邊對等角、勾股定理、全等三角形的性質，推出

ZEAG=ZEGA=45°,AG=J1AE，EH=EF,根據對頂角相等得出QNGH=DEGA=45°,推出

ZEFH=AEHF=45°,進一步得出￡)NWV=E)E4N=45°,QNGH=^NHG=45°,根據等角對等邊得出

FN=AN=NG+AG,NH=NG,即可證明網=Nff+內石.

【詳解】解：［發現結論］結論1：

,/BD是NABC的平分線，BD的延長線交外角ZCAM的平分線于點E,

NMAE=ZCAE=-ZMAC,ZABE=ZCBE=-NABC,

22

：.￡AEB=^MAE-DABE=-^)MAC--DABC,

22

又：BACB=BMAC-DABC,

NAEB=-ZACB,

2

故答案為：y;

結論2：

?：ZACB=90°f由結論1得//仍=工/4。5,

2

令AEB-§90=45,

2

???BD是NABC的平分線，過點E作4尸的垂線交5廠于點G,

:?/ABE=/GBE,/AEG=90。,

：.DGEB=^AEG~=90°-45°=45

NAEB=ZGEB,

在“BE和AGBE中,

ZABE=ZGBE

<BE=BE,

/AEB=/GE