難點02與三角形有關的常考題型

（6大熱考題型）

題型一：三角形三邊關系的應用

題型二：用三角形的高的應用

題型三：三角形中線性質的應用

題型四：與平行線有關的三角形角度計算

題型五：與角平分線有關的三角形內角計算

題型六：平行線間的距離折疊背景下的三角形內角計算

精淮提分

題型一：三角形三邊關系的應用

【中考母題學方法】

【典例1】（2024?內蒙古赤峰?中考真題）等腰三角形的兩邊長分別是方程/_10》+21=0的兩個根，則這個

三角形的周長為（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【分析】本題考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，三角形的三邊關系及周長，由方程可得占=3,

%=7,根據三角形的三邊關系可得等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,進而即可求出三角形的周長，掌

握等腰三角形的定義及三角形的三邊關系是解題的關鍵.

【詳解】解：由方程--10》+21=0得，占=3,x2=7,

：3+3<7,

???等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,

,這個三角形的周長為3+7+7=17,

故選：C.

【變式1-1］（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，在V48c中，AB=3&AC=2,以8C為邊作RtABCD,

點。與點/在8C的兩側，貝U4D的最大值為（）

【答案】D

【分析】如圖，把V48c繞8順時針旋轉90。得到，求解4H=J/S2+BH2=6,結合4DWDH+AH,

，。三點共線時取等號），從而可得答案.

【詳解】解：如圖，把V48c繞5順時針旋轉90。得到△//B。，

:.AB=BH=3及，AC=DH=2,ZABH=90°,

?*-AH=ylAB2+BH2=6-

VAD<DH+AH,（4〃,。三點共線時取等號），

二40的最大值為6+2=8,

故選D

【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，旋轉的性質，三角形的三邊關系，二次根式的乘法運算，做出合

適的輔助線是解本題的關鍵.

【中考模擬即學即練】

1.（2024?廣東韶關?模擬預測）如圖，人字梯的支架N5NC的長度都為2m（連接處的長度忽略不計），則

B,C兩點之間的距離可能是（）

A

AB

A.3mB.4.2mC.5mD.6m

【答案】A

【分析】根據三角形任意一邊小于其它兩邊兩邊之和求出BC的取值范圍，判斷各選項即可得的答案.本題

主要考查了三角形的三邊關系，掌握據三角形任意一邊小于其它兩邊兩邊之和是解決問題的關鍵.

【詳解】解：■.■AC=AB=2m,

2-2<BC<2+2,

即0<3C<4.

只有A選項數值滿足上述的范圍，

故選：A.

2.（2024?云南曲靖一模）菱形的一條對角線長為8,邊48的長是方程工2-7工+10=0的一個根，則

菱形4BCD的周長為（）

A.16B.20C.16或20D.32

【答案】B

【分析】本題考查了菱形的性質，三角形的三邊關系，解一元二次方程等知識，先解方程得玉=2,%=5,

再根據菱形的性質和三角形三邊關系得到=5,即可求解，掌握相關知識是解題的關鍵.

【詳解】解：由題意可知，邊的長是方程V-7x+10=0的一個根，

解方程：/-7尤+10=0,

（x-2乂x-5）=0

解得：玉=2,x2=5,

?.?菱形/BCD的一條對角線長為8,

，當三=2時，2+2<8,不能構成三角形，

當％=5時，5+5=10>8,能構成三角形，

AB=5,

...菱形43c。的周長=5x4=20,

故選：B.

3.（2024?河北?模擬預測）如圖，嘉嘉將一根筆直的鐵絲AB放置在數軸上，點/,8對應的數分別為-5,5,

從點C,。兩處將鐵絲彎曲兩頭對接，圍成一個三角形，其中點。對應的數為-2,則點。在數軸上對應的

數可能為（）

4c/,PRT

-5-205

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】本題考查數軸上兩點的距離、三角形的三邊關系、解不等式組，先求得AC,設。對應的數

為x,根據三角形的三邊關系列不等式求得得到x的取值范圍，進而可作出選擇.

【詳解】解:設。對應的數為X,

?.,點/,8對應的數分別為-5,5,點C對應的數為-2,

=5-（5）=10,AC——2—5）=3,CD—x—（^—2）—x+2,BD=5—x,

根據題意，AC+CD>BD,CD-AC<BD,

（3+x+2>5—x

則。一,

[x+2—3<5—x

解得0<x<3,

.?.點D在數軸上對應的數可能為2,

故選：A

4.（2024?湖南長沙?模擬預測）已知兩個等腰三角形可按如圖所示方式拼接在一起，則邊/C的長可能為（）

【答案】B

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的三邊關系，解題的關鍵是掌握相關知識.根據等腰三角

形的性質和三角形的三邊關系求解即可.

【詳解】解：??,VN5C為等腰三角形，

NC為3或4,

/C<ND+CD=2+2=4,

AC=3,

故選：B.

5.（2024?江蘇鎮江?中考真題）等腰三角形的兩邊長分別為6和2,則第三邊長為.

【答案】6

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形三邊關系，熟練掌握分類討論思想是解題的關鍵.分兩種

情況討論：當6為一腰長時；當2為一腰長時；分別求出第三條邊長，并根據三角形三邊關系判斷是否能

構成三角形，即可得出答案.

【詳解】解：當6為一腰長時，則另一腰長為6,底邊長為2,

,/6+6>2,

能構成三角形，

第三邊長為6；

當2為一腰長時，則另一腰長為2,底邊長為6,

2+2<6,

不能構成三角形，舍去；

綜上，第三邊長為6,

故答案為：6.

6.（2024?貴州黔東南?二模）某校九年級學生計劃前往貴州省博物館開展一天的研學活動，出發前每班需要

準備一個三角形形狀的隊旗，下列給出的三邊長規格中，可以實現三角形隊旗制作的是（）

A.6dm,6dm,12dmB.8dm,4dm,2dm

C.6dm,3dm,10dmD.6dm,8dm,7dm

【答案】D

【分析】本題考查了三角形三邊關系定理，熟練掌握三角形三邊關系并運用是解題的關鍵.根據三角形三

邊關系定理，即“三角形任意兩邊之和大于第三邊”、“三角形任意兩邊之差小于第三邊”進行計算，逐一判斷

即可解答.

【詳解】解：A、?；6+6=12,.?.不能組成三角形，故此選項不符合題意；

B、；2+4<8,.?.不能組成三角形，故此選項不符合題意；

C、：3+6<10,.?.不能組成三角形，故此選項不符合題意；

D、；6+7>8,8-6<7,.,.能組成三角形，故此選項符合題意；

故選：D.

【點睛】

7.（2024?河北邢臺?模擬預測）題目：“如圖，NB=30。,BC=2,在射線上取一點/,設4c=d,若

對于d的一個數值，只能作出唯一一個V48C,求d的取值范圍.”對于其答案，甲答：d>2,乙答：d=\,

丙答：為，則正確的是（）

B.乙、丙答案合在一起才完整

C.甲、乙答案合在一起才完整D.三人答案合在一起才完整

【答案】c

【分析】本題主要考查三角形的三邊關系及等腰三角形以及直角三角形的知識，熟練掌握直角三角形的性

質及三角形的三邊關系是解題的關鍵.由題意知，當CA4或C/2BC時，能作出唯一一個V/8C,分這

兩種情況求解即可.

【詳解】由題意知，當CA4或時，能作出唯一一個YABC,分這兩種情況求解即可.

①當。，以時，

VZ5=30°,BC=2,

：.AC=-BC=-x2=l,

22

此時d=1時，能作出唯——個V/3C；

②當。=5C時，

BC=2,

.?.當d22時能作出唯——個V4BC；

綜上，當d=1或4N2時能作出唯——個NABC,

故選：C.

8.（2024?江蘇南京?模擬預測）如圖，為平行四邊形，AC=BC,若VN8C腰長為5,則平行四邊形

A.28B.30C.32D.34

【答案】A

【分析】本題考查了平行四邊形的性質，三角形三邊關系，由四邊形是平行四邊形，得4B=CD,

AD=BC,從而有/C=3C=4D=5,則平行四邊形/BCD周長為243+10,最后由三邊關系即可求解，

熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】；四邊形/BCD是平行四邊形，

AB=CD,AD=BC,

：.AC^BC^AD=5,

二平行四邊形/BCD周長為2(48+80)=2/3+10,

在V4BC中，根據三角形三邊關系得：0<48<10,

二0<2/8+10<30,

.??選項A符合題意，

故選：A.

9.(2024?貴州貴陽?一模)如圖，V48C中，AC=8,。為/C邊上一點，且乙403=60。.點。在射線8。

上，且8。=6,連接DC.則/8+DC的最小值是.

【答案】2岳

【分析】構造平行四邊形3DCD',則當/、2、攜三點共線時48+8。最小，然后依次求出EC,

的長即可.

【詳解】解：如圖，構造平行四邊形助C。'，

CD=BD',BD=CD'=6,

：.AB+CD=AB+BD',

當/、B、"三點共線時48+最小,

過/作/￡_LCD'交CD于點E,

在RM/CE中，AC=8,AACE=AAOB=60°,

:.EC=AC?cos60°=4,AE=AC-sin60°=473,

■-AD=>]AE2+D'E2=2V13，

即AB+DC的最小值是2JW.

故答案為：2岳.

【點睛】本題考查了解直角三角形、勾股定理、平行四邊形的性質等知識點，添加合適的輔助線是解題關

鍵.

10.(2024?貴州黔南?模擬預測)如圖，在V48c中，AC=BC=^,過點A作直線AD18C于點。，E,

尸分別是直線4D,邊/C上的動點，且/E=CF,則B/+CE的最小值為.

【答案】V6

【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，三角形的三邊關系的應用，

如圖，過C作BCLCG,使CG=/C=JL連接GF,G3,證明AGC尸0(SAS),可得GF=CE,

BF+CE=BF+GF>BG,可得3尸+CE的最小值為3G,再進一步利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖，過C作8CLCG,使CG=ZC=6，連接GF,GB,

CG//AD,

ZGCF=ZCAE,

AE=CF,

AGC尸也(SAS),

GF=CE,

：.BF+CE=BF+GF>BG,

尸+CE的最小值為8G,

,:BC=GCM,BCLCG,

2G=+(網2=y/~6,

.?.3/+CE的最小值為幾；

故答案為：

11.(2024?四川遂寧?模擬預測)已知等腰三角形的周長12cm,底邊長y(cm)是腰長x(cm)的函數.

(1)寫出這個函數關系式.

(2)求自變量x的取值范圍.

(3)畫出這個函數的圖像.

【答案】(1?=12-2工

(2)3<x<6

(3)見解析

【分析】本題考查了一次函數關系式、函數自變量的取值范圍及函數的圖象；

(1)根據等腰三角形的周長計算公式表示即可；

(2)根據構成三角形三邊的關系即可確定自變量x的取值范圍；

(3)可取兩個點，在平面直角坐標系中描點、連線即可.

【詳解】(1)解:這個函數關系式為>=12-2X；

(2)由題意得x-尤<12-2尤<尤+x,即0<12-2尤<2x,

解得3<x<6,

所以自變量x的取值范圍為3<x<6；

(3)當x=3時，y=6;當x=6時，y=0,函數關系式y=12-2x(3<x<6)的圖象如圖所示，

題型二：三角形高的應用

【中考母題學方法】

【典例1】（2024?河北?中考真題）觀察圖中尺規作圖的痕跡，可得線段5。一定是VN8C的（)

C.中位線D.中線

【答案】B

【分析】本題考查的是三角形的高的定義，作線段的垂線,根據作圖痕跡可得L/C,從而可得答案.

【詳解】解：由作圖可得：BDLAC,

二線段BD一定是VABC的高線;

故選B

【典例2】（2024?山東德州?中考真題）如圖，在V/BC中，/￡＞是高，/￡是中線，AD=4S：=12,

則BE的長為（）

C.4D.6

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的高線和中線的意義，根據$。4=12和/。=4求出8。=6,根據4E是中線即

可求解.

【詳解】解—B_x5Cx312,g,

BC=6

,：/E是中線，

BE=LBC=3

2

故選：B

【變式2-1］（2024?河北?模擬預測）如圖，。是V/3C的邊8C上一點，將V/BC折疊，使點C落在8。上

的點C'處，展開后得到折痕AD,則力。是A/3C的（）

BCDC

A.中線B.IWJ線C.角平分線D.中位線

【答案】B

【分析】本題考查了翻折變換（折疊問題），三角形的高線，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵.根據折疊

的性質和三角形的高線的定義即可得到結論.

【詳解】解：??,將V/3C折疊，使點C落在8c邊上，

AADC=ZADB,

ZADC+ZADB=180°,

：.NADC=ZADB=90°,

ADLBC,

是VNBC的高線，

故選：B.

【變式2-2］（2024?陜西西安?模擬預測）如圖，在3x3的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1,點/,

8,C都在網格線的交點上，貝1JV4BC中邊BC上的高為（）

2V10VlO4710

5

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理、面積法以及三角形面積公式等知識，由勾股定理求出8c的長，再由三角形

面積求出V/2C中邊8c上的高即可.熟練掌握勾股定理和面積法是解題的關鍵.

【詳解】解：設VA8C中邊2C上的高為力，

由勾股定理得：SC=VI2+32=Vio）

,/S/.=-BC-h=2x3--x2x2--xlxl--x3xl=2,

△"ARCC2222

-Xy/10/l=2,

2

.,2V10

??n=--------,

5

即V/BC中邊5c上的高為2叵,

5

故選：B.

【變式2-3］（2024?陜西西安?模擬預測）如圖,若力5=4。=5,8。=6,點石為5。的中點,過點月作反，4。

于點凡則斯的長為（）

ZAx

BEC

c9_125

A.2B.—C.—D.-

552

【答案】c

【分析】本題主要考查了等腰三角形性質和勾股定理,連接ZE.由等腰三角形三線合一性質可知

CE=3,再由勾股定理求出/￡=J/C2-=4,進而由三角形面積求出高所.

【詳解】如圖，連接/E.

Ax

BEC

VAB=ACf點石為5C的中點，BC=6,

：.AE1.BC,CE=3,

,：AC=5,

.?.在RMNCE中，AE=y/AC2-CE2=A/52-32=4-

S,=-AE-CE=-ACEF,

aArCF￡22

?AE-CE3x412

..EF=----------=------=——.

AC55

故選C.

【中考模擬即學即練】

1.(2024?重慶?三模)如圖，V48c中，于點。，AB,CE于點、E,CE與2。相交于點H,已知

AD=HD=2,CD=6,貝1JVN8C的面積為.

【答案】24

【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質，根據ASA證明△NDB0ZVTOC,得到BD=CD=6,再根

據V/8C的面積解答即可求解，證明名△加C是解題的關鍵.

【詳解】解：'：BDLAC,CE1AB,

：.ZHDC=ZADB=NAEC=90°,

N/+NHCD=90°,ZDHC+ZHCD=90°,

N4=ZDHC,

在AADB與LHDC中,

'ZA=ZDHC

,AD=HD,

ZADB=ZHDC

：.△ADB知HDC(ASA),

BD=CD=6,

：/C=/D+CD=2+6=8,

/.VJSCWffi^=-^C?fiD=-x8x6=24,

2J2

故答案為：24.

2.(2024?安徽?模擬預測)如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的8x8網格中，V/2C的頂點均

為格點(網格線的交點).

(1)將V4BC向右平移1個格，再向下平移3格，畫出對應的△4B1G；

(2)僅用無刻度直尺作出△4與G的高4P.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據平移的性質求解即可；

(2)根據網格線的特點取格點G,連接/G交4G于點P,4尸即為所求.

【詳解】(1)解：如圖所示，△同qG為所求；

(2)解：如圖所示，4P為所求.

MD

取格點。，連接/G交用￡于點尸，4尸即為所求;

取格點N,與qG相交于點G,

?:A、M=B、N,ClN=MD,AAXMG=/LBXNCX

：.A&AO知耳NG(SAS)

Z.ZMAtD=NNBG

NNBG+組GM=9(P,ABfiM=ZAGCt

：.ZAGQ+ZGAD=90°

.?./4PG=90。，點尸即為所求

3.（2024?黑龍江哈爾濱?三模）實踐操作：如圖，在5x5正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1,線段

（1）作出一個面積等于9個平方單位的VN8C,使得點C落在格點上；

（2）在（1）的條件下，作出V/BC最大邊上的高，垂足為。，并保留作圖痕跡.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】本題考查格點作圖，三角形的面積，勾股定理.

（1）設V/BCN8邊上的高為〃，利用勾股定理求出=30，再根據三角形面積公式得到〃=3及，取格

點尸，Q,利用格點的性質，易得PQ上4B,連接尸。交NB于格點再取格點G,延長尸。交過格點G的

豎網格線與格點C,格點C即為所求；

（2）根據格點的性質，取格點E,連接BE,交/C于點。，易得即AD為所求.

【詳解】（1）解：設V48c48邊上的高為人

；Lx9,=M+=3也，

h=3^2>

如圖所示，格點。即為所求；

（2）解:如圖所示，AD為所求.

4.(2024?湖北武漢?模擬預測)如圖，在7x7的正方形網格中，A,B,C均為小正方形的頂點，僅用無刻度

的直尺畫圖，保留畫圖痕跡.

圖I圖2

(1)在圖1中，點。為8c與網格線的交點，先將點。繞點C順時針旋轉90。，畫出點。的對應點E,再在BE

上找點尸，使E4=FE；

(2)在圖2中，先找點^AM=^AB,S.ZCAM=ZBAC,再在/C上找點N,使

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)作出線段8C繞點C順時針旋轉90°得到的線段HC,HC與網格線的交點即為點。的對應點E,

連接BE,取的中點為G,作G尸〃/E交3E于點尸，根據平行線分線段成比例可知竺=要=1,即

EFAG

FE=-BE,在Rt^4BE中，4尸為斜邊上的中線，AF=-BE,即有E4=FE；

22

(2)將線段/C向下平移2個單位得到G。(G為中點)，作G。的垂線PG,再將線段ZC向上平移2個

單位與尸G的交點即為點M,則有GS=MS,易得A/GS絲ANMS(SAS),即有==且

ZCAM=ABAC,取。。=5,連接GO交/C于點N,利用相似三角形性質即可推出5^^=.

【詳解】(1)解：所作點。的對應點E,以及點尸，如下圖所示:

H

Ml

(2)解：所作點〃，點N如圖所示:

vAM=AG,/MAN=/GAN,AN=AN，

「.△/GN義△/MV(SAS),

?Q=S

…n"GN-?AAMN'

'-AG//OQ,

:"GAN=/GO。,

vZGNA=ZONC,AC//GQ,

：.ZOGQ=ZONC9

:.ZOGQ=ZGNA,

■.AOGQSAGA3,且相似比為92=3,

-AG2

.S.OGQ_25

：S,OG°=gx5x4=10,

,<_v_10x4_8

…*AMN-D"GN———u，

??點N滿足S兇.=不，\ABC-

【點睛】本題考查復雜作圖，旋轉作圖，平移作圖，平行線分線段成比例，全等三角形的判定和性質，直

角三角形性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

題型三：三角形中線性質的應用

【中考母題學方法】

【典例1】（2024?黑龍江綏化?中考真題）已知：VABC.

（1）尺規作圖：畫出V/BC的重心G.（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）

⑵在（1）的條件下，連接NG,BG.已知A/BG的面積等于5cm2,則V/8C的面積是

【答案】⑴見解析

⑵15

【分析】本題考查了三角形重心的性質，尺規畫垂線；

（1）分別作8C,/C的中線，交點即為所求；

S2

（2）根據三角形重心的性質可得寸=弓，根據三角形中線的性質可得又詠=2S”加=15cn?

^^ABD3

【詳解】（1）解：如圖所示

作法：①作3C的垂直平分線交BC于點D

②作AC的垂直平分線交AC于點F

③連接4。、8尸相交于點G

④標出點G,點G即為所求

（2）解：是VN8C的重心，

：.AG=-AD

3

.S?ABG_2

S.ABD3

AABG的面積等于5cm2,

?,S、ABD=7.5cm2

又：。是8C的中點，

S.ABC=2s“BZ>=15cnr

故答案為：15.

【變式3-1］（2024?河北唐山?三模）對于題目：如圖1,在鈍角V/BC中，AB=5,BC=3,NC邊上的中

線BD=2,求V/3C的面積.李明想到了如圖2和圖3所示的兩種作輔助線的方法.

方法一方法二

則下列說法正確的是（）

A.只有方法一可行B.只有方法二可行

C.方法一、二都可行D.方法一、二都不可行

【答案】C

【分析】圖2中，證明A4DE0ACDB（SAS）,則/E=3C=3,ZAED=Z.CBD,/E〃BC,證明四邊形/3CE

是平行四邊形，則又48c=：S5CE=LBE，由/￡2+砧2=482，可知“劭是直角三角形，N4EB=90°,

則=二邑金；血*6；可判斷方法一可行；圖3中’由題意知，如是“C尸的中位線，則

AF=2BD=4,由2尸+/尸=/爐，可知△“朋是直角三角形，ZAFB=90°,則邑盤==6；

可判斷方法二可行.

【詳解】解：圖2中，VED=BD=2,ZADE=ZCDB,AD=CD,

AADE^CDB（SAS）,

:.AE=BC=3,NAED=NCBD,

AE//BC,

，四邊形/BCE是平行四邊形，

,,S./BC=5^oABCE=S"ABE'

???32+42=52,

?*-AE?+BE?=AB?，

是直角三角形，ZAEB=90°,

S、ABC=S.ABE=xBE=6;方法一可行；

圖3中，由題意知，3。是△/（?尸的中位線，

二AF=2BD=4,

,/32+42=52，

BF-+AF2=AB2，

，必是直角三角形，ZAFB=90°,

.-.SAABC=^BCXAF=6；方法二可行；

故選：C.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，勾股定理的逆定理，中位線等

知識.熟練掌握全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，勾股定理的逆定理，中位線是解題

的關鍵.

【變式3-2］（2024?云南昆明?二模）如圖，AD,CE是VNBC的兩條中線，連接E/X若凡六0=16,則陰

影部分的面積是（）

B

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】本題考查的是三角形的中線，熟記三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分是解題的關鍵.根

據三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分計算即可.

【詳解】解：是V48。的中線,號加=16,

^^ABD=^^ABC=_X16=8,

???￡是45的中點，

-S^BED~]S^ABD=4,

故選：B

【中考模擬即學即練】

1.（2024?安徽蚌埠?模擬預測）如圖，A4BC的面積為10,點。，E,尸分別在邊AB,BC,C4上，AD=2,

D8=3,的面積與四邊形。2￡尸的面積相等，貝!的面積為（）

【答案】C

【分析】本題考查三角形面積性質的應用，可通過作輔助線的方法，做此題時注意理清各個三角形面積之

間的關系.

由題意可知的面積和四邊形D3E尸的面積相等，可通過連接。E,OC的方法，證明出龍〃/C,進而

求出ABOC的面積，然后即可求出答案.

【詳解】解：連接。E,OC.

,??3vADE_=nS^FDE，

?..兩個三角形有公共底。￡,且面積相等,

.??高相等，

DE//AC,

從而可得：SMDE=S&CDE,

?V-c

??2"BE-JBDC，

又AD=2,DB=3,

33

S4BDC=sS"8c=丁1°=6,

即^AABE=6，

故選：c.

2.（2024?安徽六安?模擬預測）如圖，40是V/5C的中線，點￡是4。的中點，連接CE并延長，交于

點、F,若45=6.則Z尸的長為（）

【答案】B

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，三角形的中線，正確添加輔助線構造相似三角形是解題的

關鍵.過點4作平行線交CF延長線于點G,可得LAGFs△CBF4GEsMDE,通過比例式即可

AF1

求出,=彳，即可解決問題?

FB2

【詳解】解：過點4作平行線交CF延長線于點G,

△AGFsABCF,AAGEs△DCE,

AFAGAG_AE

而一茄，而一茄’

點E是40的中點，

AGAE1

五=訪j

AG=CD,

；40是V48c的中線,

BD=CD,

：.AG=CD=BD,

.AFAG1

：.AF=-AB=2,

3

故選：B.

3.（2024?上海浦東新?一模）如圖，在V/2C中，AB=4,AC=6,￡為5c中點，4D為V4BC的角平分線,

VABC的面積記為S1,VADE的面積記為S2,則S2:St=.

【答案】1:10

【分析】此題考查角平分線的性質，關鍵是根據三角形中線的性質和角平分線的性質得出面積關系解答.根

據三角形中線的性質和角平分線的性質解答即可.

【詳解】解：過點〃作。

?.?4D為V/3c的角平分線,

DM=DN,

VAB=4,AC=6,E為3c中點,

?*‘VABE=AEC

ABC，

-ABDM.c

Sc

NABD_2=i=1

S、甌-AC-DN63

2

X

設SvABD=2x,SvADC=3x,則SvABC=5x,SvABE=AEC='^，

c5

3x——x[

貝nl匹c=___2_」，

H5x10

故答案為：1:10.

31

4.（2024?湖北隨州?二模）如圖，點A在反比例函數y=—-的圖象上，ZB/x軸于點B,已知點8,C關于

x

原點對稱，貝IJV48c的面積為.

3

【分析】根據題意先求出屋”。=2,再根據點3,C關于原點對稱得到S"c=25.。計算即可.本題考查

了反比例函數上值的幾何意義，熟練掌握左值幾何意義是關鍵.

【詳解】解：.?,點A在反比例函數＞=3的圖象上，無軸于點8,

X

..SnABO=5，

?點3,C關于原點對稱，

BO=CO,

―3.

S/Bc=2s“BO=2x耳=3.

故答案為：3.

5.（2024?河南新鄉?三模）如圖是正方形網格，請僅用無刻度的直尺，分別根據下列要求畫出圖形，并用實

線保留作圖痕跡.

⑴請在圖（1）中的線段48上作點。，使最短；

（2）請在圖（2）中.在上找一點M、使得CM平分V48c面積；

（3）訪在圖（3）中，在2C上找一點N,使得4N將V/2C分成面積比為2:3的兩部分（找到一個即可）.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】本題考查網格作圖，三角形中線的性質，相似三角形的判定和性質，掌握相關的知識是解題的關

鍵.

(1)根據網格的特點和垂線段最短畫圖即可；

(2)根據三角形中線的性質找到的中點即為所要求作的點M；

(3)構造相似三角形利用相似三角形的性質將8C分成2:3的兩部分，連接/N,即為所求.

【詳解】(1)如圖所示，點。即為所求；

(2)如圖所示，點用■即為所求；

BE//CF,

：.ABENSKFN

.BEBN_2

''FC-CW"3

.S"=BN=2

,?S.ACNCN3-

6.(2024?陜西西安?模擬預測)如圖，在V/3C中，ND是5c邊上的中線，請用尺規作圖法在NC邊上作一

點P，使得4sA(保留作圖痕跡，不寫作法)

【分析】本題考查了尺規作圖一作垂線,與三角形中線有關的面積的計算,分別以點A、C為圓心，大于:/C

的長度為半徑畫弧，交于M、N,作直線"N角/C于點P,點尸即為所求，熟練掌握以上知識點并靈活

運用是解此題的關鍵.

【詳解】解：如圖，點尸即為所求，

A-熱

B:加DC

Z

?.?在VN8C中，40是8c邊上的中線，

??S4ABe=2s叢ACD，

由作圖可得：垂直平分4C,

/.AP=CP,

=，

一?V?"CD—乙Q屋APD?

,?,VQ&ABC=4QrkJ^APD?

7.(2023?山東青島?二模)【模型】

同高的兩個三角形面積之比等于底邊長度之比.

D

圖1圖2圖3

MENF°

圖4圖5

S^ABD__BD

己知，如圖1,V/2C中，。為線段BC上任意一點，連接N。，則有：

S.ACJCD-

【模型應用】

(1)如圖2,任意四邊形43co中，E、尸分別是43、C。邊的中點,連接C￡、AF,若四邊形N3CO的

面積為S,則S四邊形4ECF=___________-

(2)如圖3,在任意四邊形ABC。中，點￡、尸分別是邊4B、C。上離點A和點。最近的三等分點,連接

AF,CE,若四邊形的面積為S,貝”四邊/煙=.

(3)如圖4,在任意四邊形/BCD中，點E、尸分別是邊48、CD上離點B和點。最近的〃等分點,連接

AF,CE,若四邊形48co的面積為S,貝!|S四邊形A￡CF=.

【拓展與應用】

(4)如圖5,若任意的十邊形的面積為100,點K、L、M、N、。、P、。、五分別是/8、CD、DE、

EF、FG、HI.IJ、〃邊上離點A、C、E、E、F、H、I、A最近的四等分點，連接應、DK、DR、

MJ、NJ、FQ、OI、GP,則圖中陰影部分的面積是.

【答案】［模型應用］⑴工⑵《；(3)巴工；［拓展與應用］⑷75

【分析】本題考查了四邊形面積、三角形面積、三角形的中線性質以及多邊形面積等知識；

［模型應用］(1)由三角形的中線性質得S“Ec=gS"BC，即可解決問題；

(2)連接NC,由模型得14EC=；S_BC，即可解決問題；

(3)連接NC,由模型得邑雙=’5向c，S=-S^，根據S四邊形題中=S四邊形8CD—(S^BEC+S“DF),

AADFACD即可

nn

求解；

4-13

-

［拓展與應用］(4)連接4。、JE、IF,由(3)得：S四邊形成QK=一^S四邊形45CZ)=四邊形438，問理，

333

S四邊形MW=四邊形400,S四邊形力陷=四邊形曲7，S四邊形1OGP=7s四邊形ZFG"，根據

-

S陰影S四邊形或OK+S四邊形應乂0+S四邊形加世+S四邊形/0GP，即可求解.

【詳解】解：［模型應用］((1)E,f分別是ZB、C。邊的中點,

AE=-AB,CF=-CD,

22

q

--Dv"EC-—J2_v^ABC，口AAFC--J_2v"CD，

,S四邊形4BC。=SaABC+S^ACD，S四邊形NEC尸=^AAEC+^AAFC，

.c3=￡

一“四邊形NECT-2"四邊形ZBCD—2

故答案為：-

(2)如圖，連接NC,

???點E、尸分別是邊48、C。上離點A和點C最近的三等分點,

AE=-AB,CF=-CD,

33

?V-J_VV-J_V

一口"EC-3Q"BC9口AAFC_3^^ACD，

c_c_I_c

,S四邊形43cZ>=S^ABC+S4CD，2四邊形NEC產一°AAEC丁3AFC，

,,,S四邊形ZECE-]S四邊物88~~

故答案為：—

(3)如圖，連接/C,

A

D

F點、E、廠分別是邊48、CD上離點B和點。最近的〃等分點,

E

BaC

:.BE=-AB,DF=-CD,

nn

?q-J_v

一口sABEC~304ABe'口"DF-Q&ACD，

nn

S四邊形”。尸-S四邊形a)一(SABEC+S"DF)‘

§四邊形4&C￡>=S“BC+S&ACD，5

S四邊形"C戶-S四邊形48co-(S.BEC+S"DF)

=S四邊形A5C7)(SAZBC+S“CD

n

=S四邊形45coS四邊形N6CZ)

n

7

n

上S,

n

W—1

故答案為：—S；

n

［拓展與應用］(4)如圖，連接4。、JE、IF,

z4-13

由（3）得：5四邊形成Z）K=一^一S四邊形45cz>=四邊形ABCD

_3小四…3

同理，S四邊形電）w=-S四邊形4DEJ，S四邊形力忸0S四邊形QGP=1S四邊形ZFG”，

?S十邊形HBCDEFGHU='四邊形46。+S四邊形"汨/十”四邊形㈤7十。四邊形/FGH，

-S陰影二S四邊形&/）K+S四邊形應）M/+S四邊形川理+S四邊形/OGP

3333

二S四邊形43s+^四邊形/。Q+—S四邊形的十-S四邊形/以汨

3

二W（S四邊形/5C。+$四邊形/QE7+$四邊形㈤;y+$四邊形皿汨）

—34°十邊形4BCDEFGHIJ

3

=-xlOO

4

=75,

故答案為：75.

題型四：與平行線有關的三角形角度計算

【中考母題學方法】

【典例1】（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖，在一次綜合實踐課上，為檢驗紙帶①、②的邊線是否平行,

小慶和小鐵采用了兩種不同的方法：小慶把紙帶①沿折疊，量得N1=N2=59。；小鐵把紙帶②沿G8折

疊，發現GD與GC重合，HF與HE重合.且點C,G,。在同一直線上，點E,H,廠也在同一直線上.則

下列判斷正確的是（）

GD

BAHF

A.紙帶①、②的邊線都平行

B.紙帶①、②的邊線都不平行

C.紙帶①的邊線平行，紙帶②的邊線不平行

D.紙帶①的邊線不平行，紙帶②的邊線平行

【答案】D

【分析】對于紙帶①，根據對頂角相等可得N1=N/A3=59。，利用三角形內角和定理求得氏4=62。，

再根據折疊的性質可得N/5C=4DA4=62。，由平行線的判定即可判斷；對于紙帶②，由折疊的性質得，

ZCGH=NDGH,AEHG=ZFHG,由平角的定義從而可得N￡”G=NFHG=90°,ZCGH=ZDGH=90°,

再根據平行線的判定即可判斷.

【詳解】解：對于紙帶①，

Zl=Z2=59°,

Zl=ZADB=59°,

ZDBA=180°-59°-59°=62°,

由折疊的性質得，ZABC=ZDBA=62°,

Z2豐NABC，

對于紙帶②，由折疊的性質得，ZCGH=ZDGH,ZEHG=ZFHG,

又：點C,G,。在同一直線上，點E,H,尸也在同一直線上，

AZCGH+ZDGH,EHG+NFHG=180°,

：.ZEHG=ZFHG=90°,ZCGH=ZDGH=90°,

Z.NEHG+NCGH,

J.CD//EF,

綜上所述，紙帶①的邊線不平行，紙帶②的邊線平行,

故選：D.

【點睛】本題考查平行線的判定、對頂角相等、三角形內角和定理、折疊的性質，熟練掌握平行線的判定

和折疊的性質是解題的關鍵.

【變式4-1］（2024?廣東中山?模擬預測）將一副三角板（NE=30°）按如圖方式擺放，使EF//AB,則NFPC=

（）

A.105°B.115°C.75°D.90°

【答案】