微專題28圓的基本性質

考點精講

構建知識體系

r弧

d相關畏念!■一弦.出格.強心費

時你性目

rlWM!角及其推論

J廁周航,副心角

,.L弦.網.IW心角之間的關系

旋轉不變件Jq闞內接三角/、四邊叼

考點梳理

i.圓的基本概念及性質

在一個平面內，線段繞它固定的一個端點旋轉一周，另一個端點所形成

圓

的圖形叫做圓

弦連接圓上任意兩點的線段叫做弦

直徑經過①的弦叫做直徑

弧圓上任意兩點間的部分叫做圓弧；小于半圓的弧叫做劣弧

圓周角在圓圓工？并宜兩邊都寫圓相交的角叫做圓周角

圓心角頂點在②并且兩邊都與圓相交的角叫做圓心角

弦心距圓心到弦的垂直距離

2.與圓有關的性質

(1)對稱性：圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都

是它的對稱軸，③是它的對稱中心

(2)旋轉不變性：圓繞圓心旋轉任意角度都與自身重合

3.垂徑定理及其推論

⑴定理：垂直于弦的直徑④弦，并且⑤弦所對的兩條弧(2022年版

課標將探索并證明垂徑定理調整為考查內容)

(2)推論：平分弦(不是直徑)的直徑⑥于弦，并且⑦弦所對的兩條

弧

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4.弦、弧、圓心角之間的關系

(1)定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧⑧，所對的弦⑨

⑵推論：①在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角⑩，

所對的弦?

②在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角?，所對的

優弧與劣弧分別?

5.圓周角定理及其推論(6年6考)

定理圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的?一

(1)同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角?；

(2)直徑(或半圓)所對的圓周角是?，90°的圓周角所對的弦是?

及結論

1

ZAPB=-ZAOB

2

如圖①，已知AP是。O的直徑，點5是圓上二點(不與A,尸重合)，連接

應用

AB,則有NA5尸=90°

6.三角形的外接圓

外心三角形外接圓圓心或三角形?的交點叫做外心

性質三角形的外心到三角形的?的距離相等

角度關系ZA

7.圓的內接四邊形

概念四個頂點均在同二個圓上的四邊形叫做圓的內接四邊形

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格

八

I

1II)

-------T

性質(1)圓內接四邊形的對角?，如圖，ZA+ZBCD=180°,ZB+

ZD=180°；

(2)圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角，如圖，ZDCE=?

練考點

1.下列結論正確的是()

A.長度相等的兩條弧是等弧

B.半圓是弧

C.相等的圓心角所對的弧相等

D.弧是半圓

2.如圖，已知A5是。O的直徑，CD是。O的弦，ABA.CD,垂足為E,連接O

C.

(1)若A5=10,CD=8,則cos/OCE=；

(2)若8=4,AE=6,則。O的半徑為；

(3)若。。的半徑為7,尸是CO上一點，且尸。=4,PD=6,貝1]0尸=.

第2題圖

3.如圖，在。O中，AB和CD是兩條弦，0E_LA5于點E,O尸_LC。于點尸.

對于下列命題：

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第3題圖

①如果0E=0尸，那么N495=NC0。；

②如果@=8，那么0E=0下；

③如果0E=0/，那么A5=CD；

④如果OE=OF,那么OB=CD,

其中真命題是.

4.如圖，若45是。0的直徑，點。在。。上（不與A,5重合），則NA。？的度

數為.

Iy

第4題圖

5.如圖，四邊形A5CZ）是。。的內接四邊形，/5。。=100。，則NR4。

=,ZBCD=.

第5題圖

高頻考點

考點1圓基本性質的相關證明及計算（6年6考）

例1（2022廣東22題改編）如圖，四邊形A5C。內接于00,4。為的直徑,

ZADB=ZCDB.

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例1題圖①

(1)核心設問試判斷△人與。的形狀，并給出證明；［2022廣東22(1)題考查］

(2)核心設問若A5=VLAD=1,求的長度；［2022廣東22(2)題考查］

(3)核心設問如圖②，連接。。并延長，交詫于點G,若/ADB=2/BDG,求

證：AB//DG-,［2018廣東24⑴題考查］

例1題圖②

(4)如圖③，BD交AC于點H,且求sinN4CD的值.

例1題圖③

考點2圓內接四邊形

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例2（2024珠海香洲區二模）如圖，已知四邊形A5cZ）,過點A,B,。的圓交AD

于點E,連接CE,ZB=70°,ZD=80°,則NZ）CE的度數為（）

A.10°B,30°C.50°D,60°

VbJ

/）

例2題圖

變式1（2024吉林省卷）如圖，四邊形ABC。內接于。0,過點5作5石〃AZ）,

交CD于點E.若/BEC=50°,則NA5C的度數是（）

變式1題圖

A.50°B,100°C.130°D,150°

真題及變式

命題點與圓周角定理及其推論有關的計算（6年6考）

1.（2023廣東9題3分）如圖，A5是OO的直徑，ZBAC=50°,則ND=（）

A.20°B,40°C,50°D.80°

第1題圖

1.1變思維方式——融入中點

如圖，點A,B,C,。均在。O上，連接AHAD,CD,CA,ZBAD=9Q°,

ZADC=59°,若點A是防的中點，則NR4C的度數為（）

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變式1.1題圖

A.31°B.28°

C.14°D,4°

2.（2021廣東7題3分）如圖，A5是。O的直徑，。為圓上一點，AC=3,ZABC

的平分線交AC于點。，CD=L則OO的直徑為（）

第2題圖

A.V3B.2V3C.1D.2

2.1變條件——與內接四邊形結合

如圖，四邊形ABCD內接于。0,/5=60°,8=4,AO=2,則AC的長為（）

變式2.1題圖

A.5B.3A/5

C.2V7D.V7+2

拓展訓練

3.（2024長沙）如圖，在。。中，弦A5的長為8,圓心。到A5的距離OE=4,

則。O的半徑長為（）

A.4B.4V2C.5D,5加

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第3題圖

新考法

4.［真實問題情境］（2024涼山州）數學活動課上，同學們要測一個如圖所示的殘缺

圓形工件的半徑，小明的解決方案是：在工件圓弧上任取兩點A,B,連接A5,

作A5的垂直平分線交A5于點。，交檢于點C,測出A5=40cm,CD=10

cm,則圓形工件的半徑為（）

第4題圖

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

5.［數學文化］（2024珠海香洲區二模）《九章算術》是我國古代數學著作，書中記

載：“今有圓材，埋在壁中，不知大小以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾

何？”用數學語言可表述為：“如圖，。。為。。的直徑，弦。于E,ED

=1寸，AB=1Q寸，求直徑CD的長.”則CD=寸.

第5題圖

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考點精講

①圓心②圓心③圓心④平分⑤平分⑥垂直

⑦平分⑧相等⑨相等⑩相等夠目等?目等

■目等號半?^等領0。(g直徑蛆條垂直平分線儂個頂點

??互補?NBA。

練考點

1.B

2.(1)|;(2)y；(3)5

3.①②③

4.90°

5.50°,130°

高頻考點

例1(1)解：△A5C為等腰直角三角形.

證明：:人^為^^的直徑，

ZABC=ZADC=90°,

ZADB=ZCDB,

：.ZADB=45°.

"：AB=AB,

：.ZACB=ZADB=45°,

△ABC為等腰直角三角形；

(2)解：由(1)知△人呂。為等腰直角三角形，

,:AB=也,

.*.AC=V2AB=V2XV2=2,

又?.?在R34CD中，AD=1,

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：.CD=^AC2~AD2=J22-12=V3；

(3)證明：ZADB=ZCDB=2ZBDG,

：.ZBDG=ZCDG,

：.BG=CG,

由題意知DG為O0的直徑，

：.DG±BC,

VZABC=90°,

：.AB±BC,

J.AB//DG；

(4)解：如解圖，連接05,過點"作"K,A5,交A3于點K,

AABC是等腰直角三角形，

：.ZCAB=ZACB=45°,AB=CB,OBLAC,

設AB=CB=ypix,

22

J(V2x)+(V2x)=2%,

OA=OB=x,

"：AH=0H,

11

：.AH=0H=-0A=-x.

22

：.HK=AHsin45°=—x,

4

22

在R305H中，由勾股定理得5H=J(|X)ZX=*,

ZACD=ZABD,

V2L

HK—X/1n

.?.sinZACD=sinZABD=—=^=—A.

BHV510

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yx*\

府

例1題解圖

例2B【解析】,四邊形A5CE是圓內接四邊形，.?.NCEZ)=N5=70°,

=80°,：.ZDCE=130°—NCED—ND=30°.

變式1C【解析】\'BE//AD,ZBEC=50°,：.ND=NBEC=50：二?四

邊形45CZ)內接于。O,ZABC+ZD=180°,ZABC=180°-50°=

130°.

真題及變式

1.B【解析】是。。的直徑，...NAC5=90°,?.?/氏4。=50°,：.ZB

=180°-50°-90°=40°,,：AC=AC,：.ZD=ZB=40°.

變式1.1C【解析】如解圖，連接①),,點4是第的中點，.\@=蕊，.?.A5

1

=AD,：.ZADB=ZABD.,：ZBAD=90°,ZADB=ZABD=j(180°—

ZBAD)=45°.,：ZADC=59°,ZBDC=ZADC-ZADB=14°,"：BC=

BC,：.ZBAC=ZBDC=14°.

A

\/7J\)

c\-------"7〃

變式1.1題解圖

2.B【解析】如解圖，過點。作。ELA3于點E,TAB是。O的直徑，

=90°,平分NABC,：.DE=CD=1,：.AD^AC-CD=3~1=2,在

R3ADE中，VDE=|AD,：.ZBAC=3Q°,：.ZABC=60°,'：BDAABC,

：.ZABD=ZCBD=ZCAB=30°,C.AD^BD,.?.點O與點E重合，：.OA=

JAD2~OD2=V3,.,.AB=2OA^2V3.

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第2題解圖

變式2.1C【解析】如解圖，過點A作AE，CD,交CD延長線于點E,,四

邊形內接