微專題21全等三角形

考點精講

構建知識體系

邊邊邊

［修念.r

~邊角邊

邊］全等三角形電■-角邊角

角一-用何邊

冏長、闿枳-'-----'L斜邊、立角邊

麗嚶線收」

考點梳理

1.全等三角形的性質（6年9考）

概念能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形

L全等三角形的對應邊①，對應角②二一

性質2.兩個全等三角形的周長③________,面積④________;

3.全等三角形對應的中線、高線、角平分線、中位線都⑤

2.全等三角形的判定（8年11考）

⑴方法

SSSSASASAAASHL

（邊八邊邊）（邊角邊）（角邊角）（角角邊）（斜邊、直角邊）

A[\

￡\A4

兩邊和它們的兩角和它們的

三邊分別相等兩角和其中一斜邊和一條直角

夾角分別相等夾邊分別相等

的兩個三角形個角的對邊分邊分別相等的兩

的兩個三角形的兩個三角形

全等（基本事別相等的兩個個直角三角形全

全等（基本事全等（基本事

實）三角形全等等

實）實）

（2）思路

第1頁共16頁

（找夾角相等玲SAS

①已知兩對等邊|找直角玲或SAS

（找第三邊相等玲SSS

②已知一對等邊

「邊為角的對邊玲找任意一對等角好AAS

找等角的另一鄰邊相等玲SAS

和一對等角《邊為角

找等邊的另一鄰角相等玲ASA

的鄰邊

找等邊的對角相等玲AAS

…口枇石f找夾邊相等玲ASA

③已知兩對等角，

I找其中任意一對等角的對邊相等玲AAS

練考點

1.如圖，已知點5,E,C,尸依次在同一條直線上.若5。=8,

CE=5則CF的長為

第1題圖

2.如圖，兩個三角形全等的是（

第2題圖

A.③④B.②③

C.①②D.①④

高頻考點

考點全等三角形的性質與判定（6年9考）

第2頁共16頁

模型一平移型

模型分析

模型展示：

工/AAAA

HRCF1RC(￡)FRcEF1

模型特點：沿同一直線(/)平移可得兩三角形重合(5E=CF)

解題思路：證明三角形全等的關鍵：(1)加(減)共線部分CE,得BC=EF；

(2)利用平行線性質找對應角相等

例1(人教八上習題改編)如圖，已知點5,C,E,尸在同一條直線上，BE=CF,

AB//DE,N4=N。，試判斷AC和Z)下的數量關系和位置關系，并說明理由.

/X1/X1

//1\//\\

//\\//\

RCKF

例1題圖

變式1(2024內江)如圖，點A,D,B,E在同一條直線上，AD=BE,AC=DF,

BC=EF.

(1)求證：工ABg^DEF；

(2)若NA=55°,NE=45°,求N尸的度數.

CF

AnRE

變式1題圖

模型二軸對稱(翻轉)型[2022.18,2021.23,2020.20,2020.22(2)]

模型分析

nc-

模型展示有公共邊】

nHbC

第3頁共16頁

有公共頂

所給圖形沿公共邊所在直線或者經過公共頂點的某條直線折疊，兩個

三角形能完全重合

證明三角形全等的關鍵:

⑴找公共角、垂直、對頂角、等腰等條件得對應角相等；

解題思路

（2）找公共邊、中點、等底角、相等邊、線段的和差等條件得對應邊相

例2（2024香洲區二模）如圖，已知垂足分別為A,。，ZACB

=NC5D求證：AB=CD.

例2題圖

變式2如圖，AB=AC,DB=DC,尸是延長線上的一點.連接3尸，CF,求

證：ZBFA=ZCFA.

變式2題圖

變式3（人教八上習題改編）如圖，點。在A5邊上（不與點A,點5重合），E在

4。邊上（不與點4,點。重合），連接5E,CD,BE與CD相交于點O,AB=AC,

NB=NC求證：BO=CO.

Br

變式3題圖

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模型三旋轉型[2023.22(2)①，2019,10①]

模型分析

模型展

示

共

頂I)

點

模型特（1）共頂點，繞該頂點旋轉可得兩三角形重合;

點（2）不共頂點，繞某一點旋轉后，再平移可得兩三角形重合

證明三角形全等的關鍵：（1）共頂點：力口（減）共頂點的角的共角部分得

解題思一組對應角相等;

路（2）不共頂點：①由5/=。石一5/土。尸=。石土。尸一5。=石尸；②利用平

行線性質找對應角相等

例3(2024珠海模擬)如圖，在AABC和△EQC中，AB=ED,Z1=Z2,ZA

NE.求證：BC=DC.

例3題圖

變式4（2024吉林省卷）如圖，在口A5CD中，點O是的中點，連接。。并延

長，交D4的延長線于點E,求證：AE=BC.

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4、

變式4題圖

模型四一線三垂直型[2023.23(3),2020.25(3)]

模型分析

基本圖形2已知：AB±BC,

基本圖形1已知：

AE±BD,CDLBD,AB=BC

DE±CE,AC.LCD,AB=CE

模型展示

?ZA=ZDCE,ZACB=ZD；

結論（針對②BE=AB+DE；?ZA=ZDBC,NABE=NC；

基本圖形）③連接A。，AACD是等腰直角三角②DE=AE—CD

形

.常用三個垂直作條件進行角度等量代換，即同（等）角的余角相等，相等

解題思路

的角就是對應角，證三角形全等時必須還有一組對應邊相等

例4如圖，在四邊形A5CD中，AB=AD,AB±AD,AC±DC過點5作

BELCA,垂足為點E.若AC=6,則△A5C的面積是（）

例4題圖

A.6B.12C.18D.36

第6頁共16頁

變式5（人教八上習題改編）如圖，點D,C,E在直線/上，點A,5在/的同側,

ACLBC,若40=40=3。=5,CD=6,求CE的長.

變式5題圖

真題及變式

命題點全等三角形的性質與判定（6年9考）

1.（2022廣東18題8分）如圖，已知點尸在0。上，PDLOA,

PEL0B,垂足分別為。，E.

求證：△OPD^AOPE.

nrR

第1題圖

變式

1.1變圖形一一增加線段

如圖，在△人5。中，NC=90°,A。平分NCAB于點E,點尸在AC

上，5。=。尸.求證：BE=FC.

且

4KR

變式1.1題圖

1.2變設問——證角平分線

如圖，在APOE和△00。中，ZE=ZD,OP=OQ,PE交QD于點、C,CP

CQ,連接0C求證：0C平分/DOE.

第7頁共16頁

p

變式1.2題圖

拓展訓練

2.(2024佛山模擬)如圖，在四邊形ABC。中，ZD=ZBCD=90°.

(1)如圖①，若E為CD的中點，AB^BC+AD,求證：AE平分ND4&

(2)如圖②，若E為A5的中點，AB=2AD,CA=CB,試判斷三角形A5C的形狀,

并說明理由.

圖①

第2題圖

新考法

3.［真實問題情境］(人教八上習題改編)小明同學沿一段筆直的人行道行走，在由

A步行到達5處的過程中，通過隔離帶的空隙O,剛好瀏覽完對面人行道宣傳墻

上的社會主義核心價值觀標語.其具體信息匯集如下，如圖，AB//OH//CD,相

鄰兩平行線間的距離相等.AC,5。相交于點O,5。，。。于點。.已知A5=

20m.根據上述信息，標語CD的長度為m.

8人行道4

［,一.行車道

工力隔離帶H

行車道一

一方人行道

富強民主文明和諧門由平等公正法治愛國敬業減信友善

第3題圖

4.［條件開放］如圖，已知在等腰AABC中，AB=AC,分別以AbAC為邊向外

作三角形，使5D=AE.

第8頁共16頁

(1)添加條件-----------------，可以判定四△C4E,請說明理由;

(2)在(1)的條件下，若乙45。=65°，ZD=120°,求/D4石的度數.

A

■一

M/]/\\I

\/\I

\/Xi

X-------

第4題圖

第9頁共16頁

考點精講

①相等②相等③相等④相等⑤相等

教材改編題練考點

1.3

2.C

高頻考點

例1解：AC=DF,AC//DF,理由如下：

?：BE=CF,

：.BE-CE=CF-CE,BPBC^EF,

'.,AB//DE,

：.ZB=ZDEF,

在^ABC和^DEF中，

囿4=0。

回B=SDEF,

(BC=EF

△ABC出ADEF(AAS),

：.AC=DF,ZACB=ZF,：.AC//DF.

變式1⑴證明：?.?AO=JBE,

：.AD+DB=BE+DB,即AB=DE,

'：AC=DF,BC=EF,

.,.AABC^ADEF(SSS)；

(2)解：VAABC^ADEF,NA=55°,

：.ZFDE=ZA^55°,

VZE=45°,

.*.ZF=180°-ZFDE-ZE=S0°.

例2證明：'：AB±AC,BDLCD,

第10頁共16頁

ZA=ZD=90°,

在△A5C與中,

回4=0。

回ACB=^\DBC,

(BC=CB

：.△ABC^ADCB(AAS),

：.AB=CD.

變式2證明：'：AB=AC,DB=DC,AD=AD,

.*.AABD^AACD(SSS),

ZBAF=ZCAF,

X'."AB=AC,AF^AF,

.*.△AACF(SAS),

：.ZBFA=ZCFA.

甌=0C

AB=AC,

(囿4=團4

△ABE^AACD(ASA),

：.AD=AE,

'：AB=AC,

：.AB-AD=AC-AE,即5Z)=CE,

在^BOD和^COE中,

甌=HC

甌。。=0COE,

(BD=CE

0△COE(AAS),

：.BO=CO.

第11頁共16頁

例3證明：?.?N1=N2,

Z1+ZACD=Z2+ZACD,即NACB=NECD.

在△A5C和^EDC中，

EL4=aE

團ACB=^\ECD,

(AB=ED

：.△ABC^AEDC(AAS),

：.BC=DC.

變式4證明：?.?四邊形A5CD是平行四邊形，

J.AD//BC,

：.ZOAE=ZB,ZOCB=ZE,

???點0是A5的中點，：.OA=OB

在△AOE和△50。中，

團OAEFB

WCB=0E,

(OA=0B

：.△AOE0△BOC(AAS),

：.AE=BC.

例4C【解析】'：AB±AD,AC±DC,BE±CA,：.ZACD=ZBEA=ZDAB

=90°,：.ZD+ZDAC=90°,ZDAC+ZEAB=90°,：.ZD=ZEAB,"：AD

=AB,：.△ADC^ABAE(AAS),:.AC=BE=6,：.S^ABC=^AC-BE=^X6X6=

18.

變式5解：如解圖，過點A作4GJ_CD于點G,過點5作出于點H,

'：AD=AC,AGLCD,

1

CG=-2CD=3,

第12頁共16頁

在RSACG中，由勾股定理得，AG=(AC2—CG2j52-32=4,

'：AC±BC,

：.ZCAG+ZGCA=ZGCA+ZBCH=90°,

：.ZCAG=ZBCH.

在△ACG和4C5”中，

f^CAG^BCH

［回ZGCFCHB,

△ACGQ4CBH(AAS),

：.CH=AG=4.

?:BC=BE,BHLCE,

:.CE=2CH=8.

變式5題解圖

真題及變式

1.證明：'：PD±OA,PELOB,垂足分別為。,

：.ZPDO=ZPEO=9Q°,(3分)

在^OPD和^OPE中，

回PDOFPE。

即OPFEOP,

(OP=OP

△OPD^AOPE(AAS).(8分)

一題多解法

,?ZAOC=ZBOC,

：.OC^JZAOB的平分線，

第13頁共16頁

'：PD±OA,PELOB,

：.PD=PE,(3分)

在RtAOPD和RtAOPE中，

OP=0P

、PD=PE'

Z.RtAOPD^RtAOPE(HL).(8分)

變式1.1證明：:人。平分NBA。，DELAB,NC=90°,

：.DC=DE,ZC=ZDEB=90°,

在RtADCF和RtADEB中,

DC=DE

、DF=BD'

Z.RtADCF^RtADEB(HL),

：.BE=FC.

變式1.2證明：在△POC和△中，

(OP=0Q

<CP=CQ,

[oc=oc

POC^A2OC(SSS),

：.ZPCO=ZQCO,

,：ZPCD=ZQCE,

：.ZDCO=ZECO,

'：ND=NE,

：.ZDOC=ZEOC,

：.OC平分NOOE.

2.(1)證明：如解圖，延長AE交的延長線于點H,