【模型攻關】2025年中考復習培優專題訓練

正方形中的十字架模型

正方形十字模型詳解

正方形十字模型是數學中的經典概念，涉及正方形的兩組對邊取點并相連,探究所得兩條線段的關系。

①當兩條線段垂直時，它們相等。

②當兩條線段相等時，它們垂直。

1、模型展小

對I圖3

（3,模型結論；

如圖1,正方形ABCD中，AE±BF,則AE=BF.

如圖2,正方形ABCD中，EF±MN,則EF=MN.

如圖3,正方形ABCD中，AF±BE,則AF=BE.

一.選擇題

1.如圖，在正方形4BC。中,點E、E分別在邊CQ,上，BE與Cb交于點G,若BC=4,DE=AF=1,則CG

的長是（

3V212

A.2B.V5C.—D.—

25

2.如圖，點E、F、G分別是正方形ABC。的邊A。、BC、A8上的點，連接DG,EF,GF.MEF=DG,DE=2AG,

NADG的度數為a,則NEPG的度數為（）

AED

A.aB.2aC.45°-aD.45°+a

OH

3.如圖，正方形ABC。中，AE=DF,AF與BE相交于點”，點。為83中點，連結O"，若DG=OG,則一的

BH

4.如圖，在正方形ABCD中，點E、尸分別在A。、CD上，S.AE=DF,連接A尸與BE相交于點G.若AG+BG

=6,空白部分面積為10.5,則AB的長為（）

A.3V2B.V19C.2V5D.V26

5.如圖所示，E、F、G、”分別為正方形A8CD的邊A8,BC,CD,上的點，5.AE=BF=CG=DH=^AB,

則圖中陰影部分的面積與正方形ABC。的面積之比為（）

6.如圖，在正方形ABC。中，E為8c的中點，尸為CD的中點，AE和8尸相交于點G,延長CG交于點H,

下列結論：

?AE=BF-,

②NCBF=/DGF；

…BH2

③-=-；

CF3

公S"HG3

S&CFG4

其中結論正確的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

二.填空題

7.如圖，在正方形ABC。中，點E,尸分別是8C,C。上的點，AE與2尸相交于點G,連接AC交3產于點"若

CE=DF,BG=GH,AB=2,則△CFH的面積為.

8.如圖，在正方形ABC。中，點E,尸分別在8C,AB上，5.DE^DF,AC分別交DE,于點M,N.設ADMN

和△AFN的面積分別為Si和S2,若S2=2SI,則tan/A。尸的值為

9.如圖，E,尸分別是正方形ABC。的邊CB,AD上的點，5.CE^DF,AE與3尸相交于。下列結論：①AE=

1

BF&AE1BF；②S4A05=S四邊形o或m；@AD=OE；④連接0C,當后為邊。。的中點時，tanNEOC值為鼻，其

中正確的結論有

10.如圖，現有邊長為4的正方形紙片ABCD點P為邊上的一點（不與點A點。重合），將正方形紙片沿

EF折疊，使點8落在尸處，點C落在G處，PG交DC于H,連結BP、BH,下列結論：

①BP=EF；

②當P為中點時，三邊之比為3：4：5；

③/APB=NBPH；

④周長等于8.

三.解答題

11.如圖，A,B,C,。四家工廠分別坐落在正方形城鎮的四個角上，倉庫尸和。分別位于和。C上，且

=QC.問題：止匕時8尸與A。有怎樣的關系？請說明理由.

12.如圖，有兩個動點E,尸分別從正方形A3。的兩個頂點8,C同時出發，以相同速度分別沿邊8C和C。移動,

問：在E,歹移動過程中，AE與8尸的位置和大小有什么關系嗎？并給予證明.

13.在正方形ABC。中，尸是邊BC上一動點（不與點3、C重合），￡是AP的中點，

過點E作跖V_LAP,分別交AB、C。于點M,N.

（1）判定線段MV與4P的數量關系，并證明；

（2）連接8。交MN于點F.

①根據題意補全圖形；

②用等式表示線段ME,EF,FN之間的數量關系，直接寫出結論

14.如圖1,在正方形48CD中，AB=2V3,點E在邊BC上，連接AE,且/BAE=30°點/是AE的中點.

（2）過點F作直線GH,分別交AB,CD于點G,H,MGH=AE,求AG的長;

（3）如圖2,過點尸作AE的垂線，分別交AB,BD,CZ）于點M,O,N,連接0E,求NAE。的度數.

15.問題情境：蘇科版八年級下冊數學教材第94頁第19題第(1)題是這樣一個問題:

如圖1,在正方形48C。中，點E、尸分別在邊BC、CD上，且A及L8F,垂足為那么AE與時相等嗎？

(1)直接判斷：AEBF(填“=”或“W”)；

在“問題情境”的基礎上，繼續探索：

問題探究：

(2)如圖2,在正方形A8CQ中，點E、F、G分別在邊BC、CD和ZM上，J.GELBF,垂足為根那么GE

與2尸相等嗎？證明你的結論；

問題拓展：

(3)如圖3,點E在邊8上，＞MNLAE,垂足為當X在正方形ABC。的對角線20上時，連接AN,將

△AHN沿著AN翻折，點〃落在點”'處.

①四邊形是正方形嗎？請說明理由；

②若AB=6,點尸在2。上，BD=3BP,直接寫出刊+零4N的最小值為.

16.問題背景：某課外學習小組在一次學習研討中，得到了如下兩個命題:

①②③⑷⑤

①如圖1,在正三角形A8C中，M,N分別是AC,A8上的點，與CN相交于點O,若/BON=60°,則

=CN；

②如圖2,在正方形48CD中，M,N分別是CD,上的點，與CN相交于點O,若NB0N=9Q°,則

=CN.

然后運用類比的思想提出了如下命題；

③如圖3,在正五邊形A8CDE中，M,N分別是CZ),上的點，與CN相交于點。，若/B0N=108°,

則8M=CN.任務要求：

(1)請你從①，②，③三個命題中選擇一個進行證明；

(2)請你繼續完成下面的探索：

①如圖4,在正〃(〃。3)邊形A8COEF…中，M,N分別是CO,OE上的點，8M與CN相交于點。，試問當

NBON等于多少度時，結論8M=CN成立；(不要求證明)

②如圖5,在正五邊形A8CDE中，M,N分別是OE,AE上的點，與CN相交于點。，若/BCW=108°時，

試問結論8M=CN是否還成立.若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由.

參考答案

一.選擇題

1.解：:四邊形ABCO為正方形，BC=4,

：.ZCDF=ZBCE=90°,AD=DC=BC=4f

又,.?DE=AF=1,

:.CE=DF=3,

在△口)/和ABCE中，

CD=BC

Z.CDF=乙BCE,

JDF=CE

:?ACDF?ABCE(SAS),

???NDCF=NCBE,

*：ZDCF^ZBCF=90°,

：.ZCBE+ZBCF=90°,

ZBGC=90°,

在RtzXBCE中，5C=4,CE=3,

：.BE=VBC2+EC2=5,

:?BE?CG=BC?CE,

.BC-CE_4x3_12

??CG=BE=~=T,

故選：

2.解：???四邊形A5CO為正方形，

：.AB=BC=CD=ADfZA=ZB=ZC=ZADC=90°,

如圖，過點尸作尸A。于點凡

則四邊形CDHb為矩形，

:.FH=CD,DH=CF,ZFHE=90°,

:?FH=AD,

在RtAFHE和RtADAG中，

(FH=AD

IFF=DG'

ARtAF/fE^RtADAG(HL),

：?EH=AG,NHFE=NADG=cc,

*：DE=AGf

：.DE=2EH,即點。為OE中點，

:?EH=DH=AG=CF,

：.AB-AG=BC-CF,即BG=BF,

???△BbG為等腰直角三角形，/BFG=45：

：.ZEFG=9Q°-ZBFG-ZHFE=90°-45°-a=45°-a.

故選：C.

3.解：??,四邊形A5CO是正方形，

：.AD=ABfZADC=ZDAB=90°,

又?：DF=AE,

\^DAF^AABE(SAS),

\BE=AF,/EBA=/EAH,

：ZEAH+ZHAB=90°,

??NEBA+NHAB=9U°,

\ZAHB=90°,

??點。為中點，DG=OG,

DG1

----

GB3

9：AB//CD,

:.ADFGS^BAG,

9DFDG1

AG~GB~3

設DF=k,則A3=3Z,

.\AE=k,

在RtZ\AE8中，EB=VlOfc,

3,

：.V10k-AH=AE-AB,解得A”=7Tok,

在RtZVIHB中，根據勾股定理J(3fc)2-(^=fc)2

過點。作。尸，AB于點尸，過X作HNLAB于點N,過。作。交的延長線于點M,如圖:

則四邊形。MNP為矩形,

13

：.OM=NP,OP=MN=^AD=2

3,9,

在Rt2\AHB中，3k?HN=AH?BH=

9

：.HN=^k,

393

MH=2fc—k=弓k,

又,：/EBA=/AHN,/HNA=/EAB,

:AHNAsABAE,

.BNEA1

,?HN~AB~39

3

**?AN=k,

oo

**?NP=0M=qk-k=弓k,

根據勾股定理可得OH=^k,

.OH|V5kV2

BH*3

Vio

故選：A.

4.解：??,四邊形A5CZ)為正方形，

：.ZD=ZBAD=90°,AD=AB,

在△AOF和△A4E中，

AD=AB

Z.ADF=Z-BAE,

DF=AE

：.AADF^ABAE(SAS),

SAADF=S^BAE,ZDAF=NABE,

VZBAG+ZZ)AF=90°,

：.ZBAG+ZABE=90°,

???NAG8=90°,即BG_LAG,

,**S/\ADF=S/\BAE,

S/\ADF-S/\AEG=S/^BAE-S/\AEG,BPS四邊形DEGF=Sz\A5G,

'：AG+BG=6,

：.(AG+BG)2=AG2+BG2+2AG-BG=36,

'：SMBG=|XG-BG,AB1=AG1+BG1,

AR2

**?AB+4SAABG—36,即=9-,

AB2

?:S空白=S正方形ABC。-S四邊形OEGb-S^ABG=S正方形A5CD-2S^ABG=AB2—2(9^―)=10.5,

解得：AB=V19(負值已舍去).

故選：B.

5.解:

H_D

BFC

???四邊形ABC。是正方形，

???5C=A5=AO,/DAB=/ABF=90°,

U：AE=BF=

(SAS),

???ZADM=/BAN,

*：ZBAN+ZDAM=90°,

ZADM+DAM^90°,

AZAMD=90°,

同理：ZANB=90°,

ZAMD=/ANB,

：./\DAM^AABN(AAS),

:?AM=BN,

同理可以證明△BC尸，△CO。，△QAM,AAaV是全等的直角三角形，它們的面積相等,

VBE=|AB,DG=1/)C,AB//DC,

???四邊形EBGD是平行四邊形，

：.ED//BG,

：.AM：AN=AE：AB=1：4,

令正方形ABC。的邊長是mAM=b,貝ij3N=。，AN=4b,

1

???正方形ABC。的面積是d,AABN的面積是一。?4。=2廿，

2

,:Aa=Bm+AV,

a2=b2+16b2=17b2,

???陰影的面積=〃2-4義2■=17廿-8■=9貶，

9b29

???陰影部分的面積與正方形A5CD的面積的比是「方=一.

17匕217

故選：A.

6.解：；四邊形A5CO是正方形，

：.AB=BC=CD=AD,ZABC=ZBCD=ZADC=90°,AB//CD,

?「E為的中點，尸為co的中點，

11

:?BE=$C,CF=^CD,

:?BE=CF,

:?△ABEQABCF(SAS),

：.BF=AE,NBAE=NCBF,

故①正確，

'：ZCBF+ZABF=90°,

AZABF+ZBAE=90°,

AZAGB=180°-(NBAE+NABF)=90°,

：.AELBF,

：.ZAGF=90°,

延長BF交AD的延長線于點M,

VZMDF=ZBCF=90°,DF=CF,ZDFM=ZBFC,

???△BF8/\MFD(ASA),

:,DM=BC,/M=NMBC,

：.AD=DMf

:,DG=DM=

???ZDGM=NM,

：.NCBF=NDGF,

故②正確；

設BE=CF=a,貝!|AB=BC=2m

：.AE=7AB2+BE2=耳，

.\BF=AE=V5tz,

?；AABE的面積=%B?BE=%E?BG,

.“2V5

??BG=~g—4，

:?FG=BF-BG=*a,

\9AB//CD,

:.NABG=NBFC,NBHG=NHCF,

：?4BHGs/\FCG,

.BHBG

?*CF~FG

.BH2

??——9

CF3

故③正確；

BH2

一,CF=3a,

CF3

：.BH=2a,

：.AH=AB-BH=4a,

.AH4

??=一,

CF3

???△AHG中AH邊上的高與AGCb中CT邊上的高不相等,

.S^AHG

..------工,一4,

S&CFG3

故④不正確；

綜上所述：正確的結論是：①②③，

故選：A.

二.填空題

7.解：如圖：過點〃作垂足為M,

;四邊形A5CO是正方形,

：.AB=BC^CD=2fAB//CD,ZABC=ZBCD^90°,NACO=45°,

：.AC=V2AB=2V2,

?；CE=DF,

：.BC-CE=CD-DF,

；?BE=CF,

:.△ABEQBCF(SAS),

.\Z1=Z2,

VZABC=Z2+Z3=90°,

.,.Zl+Z3=90°,

ZAGB=180°-(Z1+Z3)=90°,

?：BG=GH,

；.AG是的垂直平分線，

：.AB^AH=2,

：.Z3=ZAHB,CH=AC-AH=2a一2,

'：AB//CD,

：.Z3=ZCFH,

'：NAHB=NCHF,

：.ZCFH=ZCHF,

:.CH=CF=2正-2,

CH_2HL2__后

在RtZXHMC中，HM=互=飛-=2-/，

11

???△。尸〃的面積=為尸?印0=>(2V2-2)X(2-V2)=3近一4,

故答案為：3立一4.

8.解：過N作N〃_LA5于如圖:

■:NFHN=/FAD=90°,

：.HN//ADf

：./ADF=/HNF,

設tanZADF=tanZFNH=k,設NH=AH=b,貝！JFH=kb,

:.AF=b+kb,

AU

???tanNAZ)b=飴，

.sb+bkl+/c.

..AD=-；—=—；—b,

kk

11c11+ZCc11+/C

S2=gF、HN=(1+攵),SI=S^ADC-2sAADN=q(kb)2-2x.kb，b,

VS2=2SI,

111+Zc0i1+Zc

—tr9(1+Z)=2*[_(-----b)2-2x------b?b],

22k2k

整理得：F+2Z-2=0,

解得：仁百-1或-遍-1(舍棄)，

tanZADF=%=V5—1,

故答案為：V3—1.

9.解：???四邊形A5CD是正方形，

：.AB=ADfZBAF=ZADE=90°.

?.?CE=DF,

：.AF=DE.

在AAB尸和△ZME中，

AB=AD

/-BAF=乙ADE,

AF=DE

：.AABF^ADAE(SAS).

：.AE=BFf故①正確.

,/AABF^ADAE,

???ZAFB=ZAED.

VZAED^-ZDAE=90°,

ZAFB+ZDAE=90°,

AZAOF=90°,BPAELBF,故①正確.

?.?AABF^ADAE,

??S^ABF=SAADE.

AS^AOB=SAABF-SAAOF,S四邊形QEOF=SZV4￡>E-S^AO尸,BPS^AOB=S四邊形OEO尸,故②正確.

如圖過點E作交于點連接OM,

在正方形ABCD中，

ZBAD=ZADE=ZAME=90°,

???四邊形ADEM為矩形，

AD=EM,

在中，

TNEOM為鈍角，

.?.△EOM不是以點￡為頂點的等腰△,

：.OEWEM,

即AD^OE,

故③錯誤.

如圖，連接。C,延長AE使A￡=EG,交BC延長線于點G,過點。作“LAG交于點H,

是邊DC的中點，

：.ED=EC,

在△ADE和△GCE中，

DE=CE

^AED=乙GEC,

AE=GE

：.AADE^AGCE{SAS),

所以/ECG=/EZM=90°=ZBCE,

...點8、C、G共線，

：.ZG=ZGAD

設邊AD=DC=2a,

'.AF=DE=a,

一門OFOD1

twZGAD=Jo=AD=r

cp1

tanXCGA=

AE=y/AD2+ED2=45a,

：.AG=2AE=2乘a,

'：CG=AD,

CG=2a,

在△CEG中，CH=緡a,HG=^a,

ofc

在AAO廠中，AO=等〃，

4/5

???OH=AG-HG-AO=等〃，

「H1

在RtZ\a/O中，tanZEOC=

故④正確.

故答案為：①②④.

10.解：如圖，過點尸作引于點

P

???四邊形A3CO為正方形，

AZA=ZABC=90°,AB=BC,

'：FM±AB,

???四邊形b為矩形，

；?MF=BC=AB,N尸ME=90°,

由折疊可知，EFLBP,

:?/PBE+/BEF=90°,

*：ZPBE+ZAPB=90°,

：.ZBEF=ZAPB,BPZMEF=AAPB,

在△A5P和中，

Z.APB=乙MEF

乙BAP=ZFME,

AB=MF

:?AABPQ叢MFE(AAS),

：.BP=EF,故①正確；

由折疊可知，BE=PE,

設BE=PE=x,貝！)AE=4-x,

???尸為AD中點,

???AP=2,

221

在RtAiRlE中，AP+AE=PE9

22+(4-x)2=/,

解得：％=趣,

35

：.AE=4-x=I，PE=|,

35

：.AE：AP：PE=*2：-=3：4：5,

22

即△B4E三邊之比為3：4：5,故②正確；

由折疊可知，BE=PE,NEBC=NEPG=90°,

:?/PBE=/BPE,/BPE+/BPH=90°,

VZPBE+ZAPB=90°,

:?/APB=/BPH,故③正確；

如圖，過點5作BNLPH于點N,

NBAP=/BNP=9U

在AABP和△N5P中，

2BAP=乙BNP

乙APB=乙NPB,

PB=PB

：.^ABP^ANBP(AAS)，

:?AB=BN,AP=PN,

:?BC=BN,

在RtABAW和RtABCH中，

BN=BC

BH=BHf

：.RSNH沿RtdBCH(HL),

：?NH=CH,

：.CAPDH=PD+PN+NH+DH=PD+AP+CH+DH=2AD=8,故④正確.

綜上，正確的結論有①②③④.

故答案為：①②③④.

三.解答題

11.解：如圖所示：

8P與AQ互相垂直且相等，理由如下：

:四邊形ABC。是正方形，

：.AB=AD=CD,ZBAP=ZADQ=90°,

'：PD=QC,

：.AD-PD=CD-QC,即AP=DQ,

在△A2P和△ZMQ中，

AB=AD

/.BAP=/.ADQ,

AP=DQ

...△ABPdZM。(SAS),

：.BP^AQ,ZABP^ZDAQ,

:四邊形ABC。是正方形，

：.AD//BC,ZABC=90°,

ZAPB=ZPBC,

；NABP+NPBC=NABC=9Q°,

ZDAQ+ZAPB=90°,

「ZDAQ+ZAPB+ZAOP=180°,

ZAOP=180°-CZDAQ+ZAPB)=90°,

J.BPLAQ,

：.BP與A。互相垂直且相等.

12.解：AE與BE的位置關系是：垂直；大小關系是：相等.

證明：???四邊形ABCO為正方形，

：.AB^BC,ZABC=ZBCD=90°,

又動點E,尸分別從正方形ABC。的兩個頂點8,C同時出發，以相同速度分別沿邊8C和CD移動,

：.BE=CF,

在△A3E和△BC/中，

AB=BC

Z.ABC=乙BCD=90°,

BE=CF

:?△ABEmABCF(SAS),

；?NEAB=/FBC,AE=BF,

'：ZCBF+ZABO=90°,

：.ZEAB+ZABO=90°,

在AABO中，ZAOB=180°-(ZEAB+ZABO)=90°,

：.AE±BF.

13.解：(1)MN=AP.

證明：過點M作MGLCO于點G,則四邊形AMGO是矩形,

圖1

：.MG=AD,ZMGN=90°,

???四邊形ABC。是正方形，

AZABP=90°,AB=BC=AD,

；.MG=AB,NABP=/MGN,

又,.?MN_LA尸，

AZAEM=90°,

AZAME+ZBAP=90°,

又???NNMG+NAA/￡=90°,

???ZNMG=NBAP,

:?△ABPQAMGN(ASA),

：.AP=MN；

（2）①補全圖形如圖2,

②如圖3,過點尸作尸修〃A3交MN于點”，交BD于點K,過點M作MGLC0于點G,

圖3

'：AM//PH,

:?/MAE=/EPH,

???E為AP的中點，

：.AE=EP,

又?.?NAEM=/PEH,

:?△AMEWXPHE(ASA),

；.ME=EH,AM=PH,

???四邊形AMG。是矩形，

???AM=OG,

:.DG=PH,

???NC5O=45°,NBPK=90°,

:./PBK=/BKP=45°,

:?BP=PK,

由(1)知△A5Pg/\MGM

:,BP=NG,

:.PK=NG,

:?HK=DN,

又,：NK//DN,

：.ZHKF=ZNDF,

:.△HKFQ4NDF(A4S),

:,HF=NF,

：.EF=EH+HF=EM+FN.

故答案為：EF=EM+FN.

14.解：⑴*：ZBAE=30°,

:?AE=2BE,

設則AE=2x,

在RtZkABE中，/+(2代產=(2x)2,

解得x=2或-2(舍去)，

???AE=4；

(2)如圖，過點3作切?〃GH,交CD于R,

■:GH//BR,AB//CD,

???四邊形BRHG是平行四邊形，

:?GH=BR,NBGH=NBRH,

■:GH=AE,

；?BR=GH=AE.

又?：AB=BC,

：.RtAABE^RtABCR(HL),

???/BAE=/CBR=30°,

：.ZBRC=60°=/AEB,

：.ZBRH=120°=/BGH,

：.ZAGH=60°,

/.ZAFG=180°-60°-30°=90°,

9：ZBAE=30°,

：.AG=2GFf

：.AG2=GF2-AF2,

；.3G產=4.

.…_2V3

??GF——~q~,

.…4V3

..AG=—;

如圖，過點A作AR〃GH,交CD于R,過點G作GOLAE于點O,

同理可證：AABE^AADR,

：.ZDAR=ZBAE=30°,

：.ZEAR=30°,

■:AR//GH,

：.ZRAF=ZAFG=30°,

：.ZBAE=ZAFG,

：.AG=GFf

'：GO±AF,

：.AO=FO=\,

'：ZBAE=30°,

：.AG=2GO,

222

.'.AG-GO=AOf

???3GO2=1,

???GO=卓,

2/3

：.AG=

3

4A/32\/3

???AG的長為虧或可;

(3)如圖，連接AO,過點。作0QLA2于點。，OPLBC于點尸,

???四邊形A5CO是正方形,

ZABD=ZCBD=45°,

VOQLAB,OPLBC,

：.OQ=OP,

■:MNLAE,AE=EF,

：.AO=OE,

：.ZOAE=ZOEAf

?：OA=OE,OQ=OP,

ARtAAOe^RtAEOP(HL),

：.ZOAQ=ZOEP,

VZBEA^-ZAEO+ZOEP=180°,

.*.60°+ZAEO+ZOAE+300=180°,

AZAEO=45°.

15.解：(1)9：AE±BF,

：.ZEMB=90°,

：.ZFBC+ZBEM=90°,

???四邊形A5CO是正方形，

：.AB=BC,ZABC=ZC=90°,

：.ZFBC+ZBFC=90°,

ZBEM=ZBFC,

在△ABE和△3CF中，

/.ABC=乙C

乙BEM=乙BFC,

AB=BC

:?△ABE/XBCF(A4S),

：.AE=BF.

故答案為：=；

(2)GE=BF,理由如下：

如圖2,過點A作AN〃GE,交BF于點H,交BC于點、N,

圖2

AZEMB=ZNHB=90°,

：.ZFBC+ZBNH=90°,

???四邊形ABC。是正方形，

：.AD//BC,AB=BC,ZBAD=ZABC=ZC=90°,

9：AD//BC,AN//GE,

???四邊形ANEG是平行四邊形，

:?AN=EG,

VZC=90°,

；?/FBC+NBFC=9U°,

???NBNH=ZBFC,

:?AABN咨ABCF(A4S),

:?AN=BF,

?：AN=EG,

：.GE=BF.

?..四邊形ABCD是正方形，8。是正方形的對角線,

/.ZABD=ZCBD=45°,AB=BC,

：.AABH^ACBH(SAS),

:./BAH=/BCH,AH=CH,

由折疊可知，AH=AH',NH=NH',

■:/ABN+/AHN=180°,

：.ZBAH+ZBNH=180°,

"：ZBNH+ZHNC=180°,

ZBAH=ZHNC,

：.ZHNC=ZNCH,

：.NH=CH,

：.NH=CH=AH=AH'=NH',

四邊形AHMT是菱形，

VZAHN=90°,

:.菱形AHN印是正方形；

②如圖4,作H'8c交C8的延長線于點Q,作于點M,

/.ZH'QN=ZHFB=9O°,

由上