2025年中考數學第一次模擬考試（無錫卷）

全解全析

第I卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）

1.-2的倒數是（）

1?

A.-2B.——C.-D.2

22

【答案】B

【分析】根據倒數的定義（兩個非零數相乘積為1,則說它們互為倒數，其中一個數是另一個數的倒數）求

解.

【詳解】解：-2的倒數是

故選：B.

【點睛】本題難度較低，主要考查學生對倒數等知識點的掌握.

2.如圖所示的幾何體是由一個球體和一個正方體組成的，它的左視圖是（）

正面

【分析】本題考查了簡單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖.根據左視圖的意義和畫法即可

解題.

【詳解】解：???球的左視圖一個大圓，正方體的左視圖是一個正方形，

該幾何體的左視圖是一個大圓與一個正方形，

故選：A.

3.計算（-5）-（-3）的結果等于（

A.-8B.8C.-2D.2

3.C

【詳解】分析：減去一個數，等于加上這個數的相反數.依此計算即可求解.

詳解：（-5）-（-3）=-2.

故選C.

點睛：考查了有理數的減法，方法指引：①在進行減法運算時，首先弄清減數的符號；②將有理數轉化為

加法時，要同時改變兩個符號：一是運算符號（減號變加號）；二是減數的性質符號（減數變相反數）.

4.某中學開展“讀書伴我成長”活動，為了解八年級學生四月份的讀書冊數，對從中隨機抽取的20名學生的

讀書冊數進行調查，結果如下表：

冊數/冊12345

人數/人25742

根據統計表中的數據，這20名同學讀書冊數的眾數，中位數分別是（）

A.3,3B.3,7C.2,7D.7,3

4.A

【分析】由人數最多所對應的冊數可得出眾數，由總人數是20人可得，中位數是將數據從小到大排序后的

第10和11個所對應冊數的平均數即可求得結果；

【詳解】由表中數據可得，人數基數最大的7人所應的冊數是3,所以眾數是3.

將數據從小到大排序后，第10和第11個數據均為3,所以中位數為：三=3,

故選：A.

【點睛】本題主要考查了中位數和眾數的求解，準確分析表中數據得出結果是解題的關鍵.

5.如圖，在A/BC中，于點。，CE上AB于點、E,BD和CE交于點、O,則下列結論不正確的是

（）

A.Z1=Z2B.Zl+Z5=90°C.，3=/4D./5=/3+/4

5.C

【分析】根據垂直的定義、直角三角形的兩個銳角互余及三角形外角的性質可進行求解.

【詳解】解：BDLAC,CE1AB,

：.ZBEC=NBDC=90°,

Z1+Z5=Z2+ZDOC=90°,

-1-Z5=ZDOC,

Zl=Z2,故A、B正確；

由三角形外角的性質可知/5=/3+/4,故D正確；

題干中并未給出=所以無法得出/3=/4；故C錯誤；

故選C.

【點睛】本題主要考查垂直的定義、直角三角形的兩個銳角互余及三角形外角的性質，熟練掌握垂直的定

義、直角三角形的兩個銳角互余及三角形外角的性質是解題的關鍵.

6.上海與北京之間的鐵路距離約為1400km,乘坐高鐵列車比乘坐普通列車能提前4h到達.已知高鐵列車

的平均行駛速度是普通快車的2倍，設普通快車的平均行駛速度為xkm/h,根據題意所列出的方程為（）

14001400x21400x21400

A.------=-----------B.=----------

xx+4xx+4

-14001400)一14001400)

2xxx2x

6.D

【分析】根據題意可直接列出方程.

【詳解】解：由題意可列出方程為剪一孚°=4；

x2x

故選D.

【點睛】本題主要考查分式方程的應用，解題的關鍵是理解題意.

7.已知拋物線y=+加工的對稱軸為直線1=2,若關于x的一元二次方程-J+加%7=0（t為實數）在

l<x<5的范圍內有解，則t的取值范圍是()

A.t>—5B.—5</<3C.3<，V4D.—5<￡V4

7.D

【分析】本題主要考查了二次函數與一元二次方程之間的關系，先根據對稱軸計算公式求出“2=4,再根據

題意可得二次函數y=-、2+加x=-工2+4%=—(%一2『+4與直線V=，在1<冗<5的范圍內有交點，據此求出

l<x<5時，二次函數的函數值的取值范圍即可得到答案.

【詳解】解：?.?拋物線>=*+必的對稱軸為直線％=2,

=2,

-2

.?.冽=4,

?.?關于X的一元二次方程--+7〃XT=0(t為實數)在1<X<5的范圍內有解，

二二次函數y=-x2+mx--X1+4x=-(x-2)2+4與直線>=?在1<x<5的范圍內有交點，

???二次函數>=-(》-2)2+4的對稱軸為直線》=2且開口向下，

二離對稱軸越遠函數值越小，

當x=l時，y=-(l-2)2+4=3,

當x=2時，y=-(2-2『+4=4,

當x=5時，歹=-(5-2)2+4=-5,

???當l<x<5時，-5<yV4,

?,?當一5<￡?4時，二次函數歹=-x2+mx=-x2+4x=-(x-2)2+4與直線歹=，在l<x<5的范圍內有交點,

故選：D.

8.如圖，點A、B、。都在正方形網格的格點上，貝!JtanN48C的值是()

A.—B.1C.；D.—

2417

8.C

【分析】此題考查了求角的正切值，勾股定理與網格問題，正確作出輔助線是解答本題的關鍵.

過點C作CDL/3,垂足為D,先根據勾股定理求出/8=5后，再根據=求出

CD

CD=C，然后在RSBCE求出8C,在RMADC中求出AD,最后根據tan//8C==求解即可.

【詳解】解：如圖：過點C作CDL/3,垂足為

在RtZ\4BE,AE=5,BE=5,

AB=y)AE2+BE2=V52+52=572，

■-SAABC=^AB-CD=^AC-BE,

AB-CD=AC-BE,

5亞CD=2x5，

解得：CD=母,

在RMBCE,CE=3,BE=5,

BC=y/CE2+BE2=V32+52=扃，

在RtABDC,BD=yjBC2-CD=45/2,

tanN/8C=%_，一—1.

BD4V24

故選：C.

2

9.如圖，在平面直角坐標系xp中，點4（%i，yi）,點9（%2）2）在雙曲線歹=一上，。<再</，分別過點A,

X

4SAC

點B作x軸的平行線，與雙曲線?分別交于點C,點D,若A/OB的面積為g,則公的值為（）

x6BD

9.A

3

【分析】過點A作/blx軸于點尸，過點8作軸于點"，由4（xi,》）,點3（4詞在雙曲線j;=-

221（221

上，可得尸=—，，即得梯腸（工七）|一+一,根據

4BH=—,FH=X2-XX,S.AOF=1=S^BOHSBHF=32-

X\X22\X\X2J

51J33|5x2ACx

”3的面積為Z，可得5z（…）仁+fq,即解得-7=?然后計算得到法—即可求解.

【詳解】如圖，過點A作/尸lx軸于點尸，過點5作軸于點H,

2

-2（X1，%）點8（%,%）在雙曲線＞=—上，

X

22

,,~~y'BH=~^~,FH=x2-x{fSAA0F=1=S^BOH,

?，'S^ABHF=\FH\AF+BH）=\{X2-X\）2+2

T=；（%2-再）

*"S&AOB~S4OF+S梯形/a/-S&BOH

225x2x15

/.x9-x,=—x,x.,BO----------=-

6Xjx26

設”迤，貝卜_1=3

Xit6

解得：”;3或舍2去），

.逗一3

''X1"2'

4

??TCII30|x軸，點C,點。在雙曲線歹=￡圖象上,

2)2

???點C2西,一，點D2X2,一,

IIX2)

AC=2x1-xl=xl,BD=2X2-X2=x2

,AC國2

,,訪一三一3，

故選：A.

【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，反比例系數k的幾何意義，分式方程，一元二次方

程的知識，解題的關鍵是熟練掌握反比例函數系數k的幾何意義.

10.如圖，在邊長為2的正方形/5CQ中，點E為/。的中點，將△CDE沿CE翻折得點〃落在四

邊形45CE內.點N為線段CE上的動點，過點N作2vp〃瓦1/交MC于點尸，則AW+7VP的最小值為()

2夜

,-I-

10.C

【分析】作點尸關于CE的對稱點P，過點M作"F，CD于尸，交CE于點G,連接DG,DM,根據折疊

的性質可得點9在CD上，推得MN+NP的最小值為g的長，根據折疊的性質可得CE為線段。河的垂直

平分線，根據勾股定理可得。。和EO的值，根據同位角相等，兩直線平行可得DE〃九田，根據兩直線平行,

內錯角相等可得/皮＞O=/GMO,根據垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得DO=(W,根據兩角分

別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等，全等三角形的對應邊相等可得DE=GM,根據一組

對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，有一個角是直角的平行四邊形是菱形可得四邊形DENG為菱形，

根據菱形的對角線互相平分可得EG=2OE=竽，GM=DE=1,求得CG的值，根據兩組對角相等的兩個

三角形是相似三角形，相似三角形的對應邊之比相等可求得尸G的值，即可求解.

【詳解】解：作點P關于CE的對稱點P,過點M作MFLCD于尸，交CE于點G,連接。G,DM,如圖:

FP

由折疊的性質知CE是NOCN的平分線，

.??點P在8上，

MN+NP=MN+NPYMF,

MN+NP的最小值為"F的長，

由折疊的性質知CE為線段DM的垂直平分線,

???AD=CD=2,DE=\,

■■CE=slCD2+DE2=V22+l2=V5，

■.--xCExDO=-xCDxDE,

?：MFLCD,NEDC=90°,

.-.DE//MF,

：.ZEDO=ZGMO,

???CE為線段。”的垂直平分線，

???DO—OM,Z.DOE=Z.MOG=90°,

/.ADOE^MOG,

；.DE=GM,

???四邊形DEMG為平行四邊形,

???/MOG=90°,

???四邊形QEMG為菱形，

:.EG=2OE=正,GM=DE=1,

5

CG=CE—CG=有一走=正,

55

-DEHMF,

即。后〃G尸，

**?△CFGs^CDE,

FG_CG

''~DE~~CE'

375

即尸G_三一，

了=否

FG=|,

.?.MF=l+-=—,

55

o

???W+AT5的最小值為不

故選：C.

【點睛】本題考查了軸對稱的應用一最短路徑問題，勾股定理，全等三角形的判定和性質，相似三角形

的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，菱形的判定和性質，平行線的判定和性質等，熟練掌握以上判

定和性質是解題的關鍵.

第n卷

二、填空題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分）

11.2024年3月24日，無錫馬拉松盛況空前，共吸引了約260000名選手踴躍報名.數據260000用科學記

數法表示為.

112.6x10s

【分析】本題考查科學記數法，將260000寫成。乂10”的形式即可，注意〔,H<1°,n的值與小數點移動

位數相同.

【詳解】解：260000=2.6x10s,

故答案為：2.6x105.

12.二次根式5萬有意義的條件是

【分析】根據二次根式有意義的條件求出3x-G0,求出即可.

【詳解】???要使加工有意義，必須3x-G0,

1

x>-

??.3,

故答案為3.

【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件的應用，注意：要使五有意義，必須吃0.

13.若反比例函數》=占工的圖象位于第一，第三象限，則后的值可以是（只要寫出一個滿足條件的左

X

值）.

13.3（答案不唯一）

k

y——

【分析】本題考查了反比例函數的圖象與性質，反比例函數x（k是常數，人二0）的圖象是雙曲線，當

左>0,反比例函數圖象的兩個分支在第一、三象限；當左<0,反比例函數圖象的兩個分支在第二、四象

k一2

y=

限.根據反比例函數X的圖象位于第一，第三象限求出k的取值范圍即可求解.

k-2

y二

【詳解】解：???比例函數X的圖象位于第一，第三象限，

；上-2〉0,

.">2,

.?.k的值可以是3

故答案為：3（答案不唯一）.

14.己知圓錐的底面圓半徑為3cm,母線長為4cm,該圓錐的側面積為cm2.

14.12兀

【分析】本題主要考查了求圓錐的側面積，根據圓錐的側面積公式求解即可.

【詳解】解：?.?底面圓半徑為3cm,

???底面周長=6%cm,

|2

=—x6?x4=12?cm

???圓錐的側面積為2,

故答案為：12兀.

15.如圖1,一張矩形紙片/BCD,將紙片沿過點。的直線折疊，使點C落到邊上點P處，折痕為

再將紙片沿過點E的直線折疊，使點B與點0重合，折痕為E尸，如圖2,已知ADEP的面積與△￡尸0的面

圖I圖2

15.3.2

【分析】本題考查矩形的折疊問題，正方形的判定，利用完全平方公式變形求值，根據題意可知四邊形PDCE

是正方形，四邊形3尸便是正方形，四邊形尸是矩形，^AP=FQ=QE=a^PD=PE=4B=b,結合題意

可得"-T,'+T,根據（"）』+"—噗,得仍總,再結合（…）』+〃+2浦

求得5（負值舍去），即可求解.利用完全平方公式變形等式是解決問題的關鍵.

【詳解】解：在矩形"CD中，AB=CD,AD=BC,NADC=NC=NB=90。,

由折疊可知，NC=NDPE=90。,CD=PD,NB=NFQE=90。,BF=FQ,

???四邊形PDCE是正方形，四邊形WQE是正方形，四邊形力尸。尸是矩形，

...設/P=FQ=0E=a,PD=PE=AB=b,

-3b.AF=e片+/=工

-225,5,則5

(b—aY=a2+b2—lab=—ah=—

,25,則25,

(a+b)2=a2+b2+2ab=—+—=—

則''52525

a+—

5（負值舍去）,

AD=AP+PD=a+b=—=3.2

則5

故答案為：3.2.

16.已知a、￡均為銳角，且滿足sina-；+成前瓦方=0,貝！|a+￡=

16.75°

【分析】根據非負數的性質得到sina=*,tan|3=l,利用特殊角的三角函數值分別求出a、p,計算即可.

【詳解】由已知得sina—2=0,tan0—1=0,

,.oi=3O°,0=45。，

.?-a+p=75°.

【點睛】本題考查的是特殊角的三角函數值、非負數的性質，掌握絕對值和算術平方根的非負性是解題的

關鍵.

17.某臨街店鋪在窗戶上方安裝如圖1所示的遮陽棚，其側面如圖2所示，遮陽棚展開長度N8=200cm,

遮陽棚前端自然下垂邊的長度3c=20cm,遮陽棚固定點A距離地面高度4。=280cm,遮陽棚與墻面的夾

角/8/。=60。，如圖3,某一時刻，太陽光線與地面的夾角/CFG=45。，則遮陽棚在地面上的遮擋寬度DF

的長為cm（結果保留根號）.

圖1圖2

17(10073-160^(-160+10073

【分析】本題考查了解直角三角形的應用，矩形的判定和性質.作于點E,S工4D于點H,延

長BC交OG于點K,則8KLDG,則四邊形是矩形，在中，可得

CH=DK-BE00V3cm；AE=100cm,從而得到CK=ZW=160cm,然后在RtZkCFA?中，根據

/CFG=45。，可得尸K=CK=160cm,即可求解.

【詳解】解：如圖，作于點E,CH,/O于點H,延長3c交OG于點K,則3KLOG,則四邊

形BEHCHDKC是矩形,

,.,EH=BC=20cm，

在RtA/BE中，/BAD=60。,AB=200cm,

.CH-DK=BE=ABxsin/BAD=1OOVJcmAE=ABxcos/BAD=100cm

,,，

...NO=280cm,

,.,CK=DH=AD-AE-EH=160cm，

在RtZ\C株中，ZCFG=45°f

,.,FK=CK=160cm，

DF=DK-FK=(100V3-160)cm

痂受安川(10073-160)

故答案為：\'

18.若二次函數)=/？+云+。的圖象如圖所示，貝IJ不等式。①—2)2+6(、一2)+。<0的解集為.

【分析】直接利用函數圖象即可得出結論.

【詳解】???由函數圖象可知，當x<l或x>3時，函數圖象在x軸的下方，

二函數y=a(x-2)2+b(x-2)+c的圖象與x軸的交點為3,5,(把x-2作為一個整體，代入上面的函數中，)

二不等式a(x-2)2+b(x-2)+c<0<0的解集為x<3或x>5,

故答案為x<3或x>5.

【點睛】本題考查的是二次函數與不等式組，能根據題意利用數形結合求出不等式的解集是解答此題的關

鍵.

三、解答題(本大題共10個小題，共96分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

19.(1)解方程：X2+4X-5=0；

[3x+l<4,

(2)解不等式組：.、“

[x+2<2x+4.

19.⑴西=1,%=-5；⑵-2<x<1,

【分析】(1)利用因式分解法求解即可；

(2)分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可.

【詳解】解：(1)X2+4X-5-0

(x-l)(x+5)=0

,,,x—1=0x+5=0

...解得占=1,x2=-5.

]3x+144①

(2)+2<2x+4②

解不等式①，移項，合并同類項得，3X<3

系數化為1得，xWl；

解不等式②，移項，合并同類項得，一》<2

系數化為1得，》>-2

故不等式組的解集為：-2<x<l.

【點睛】此題考查了解一元二次方程和解一元一次不等式組，解題的關鍵是熟練掌握以上運算法則.

20.(1)計算：(_2)2+-3|-岳；

(2)化簡：(x-2y)2-x(x-y).

20.(1)2.(2)4/-3孫

【分析】本題考查了實數的混合運算，完全平方公式，單項式乘以多項式；

(1)根據有理數的乘方，化簡絕對值，求一個數的算術平方根進行計算即可求解；

(2)根據完全平方公式，單項式乘以多項式進行計算即可求解.

【詳解】解：⑴(-2)?+1-3|一后

=4+3-5

=2；

(2)(x-2y)2-x(x-y)

=x2-4xy+4y2-x2+xy

=4y2-3xy

21.如圖，在平行四邊形/BCD中，點E在3c邊上，點B在DC的延長線上，且乙0/￡=".

(1)求證：AABE-AECF；

點E在BC邊上，點尸在DC的延長線上，且

求證：AABE-AECF；

37

21.(1)詳見解析；(2)5

【分析】(1)由平行四邊形的性質可知AB1ICD,ADHBC.所以NB=NECF,4DAE=NAEB,又因為又NDAE

=ZF,進而可證明△ABE7ECF；

ABBE

(2)由(1)可知：△ABEs^ECF,得出EC=CF,由平行四邊形的性質可知BC=AD=8,所以EC=

BC-BE=8-2=6,代入計算求出CF,即可得出答案.

【詳解】(1)證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

.-.ABHCD,AD||BC,CD=AB,

???zB=zECF,zDAE=zAEB.

又?.2DAE=NF,

.?.Z.AEB=Z.F.

.-.AABE-AECF；

(2)解：vAABE^AECF,

.ABBE

,\EC-CT

,??四邊形ABCD是平行四邊形,

???BC=AD=8.CD=AB=5,

???EC=BC-BE=8-2=6.

5_2

:.6~CF

12

..CF=5,

37

.?.FD=CD+CF=5

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定及性質，掌握相似三角形的判定方法及性質是解題的關鍵.

22.滄浪亭（C）,獅子林（S）、拙政園（Z）、留園（Z）被譽為蘇州四大園林.周末小明一家準備到蘇州四

大園林游玩.

（1）若小明一家隨機選擇其中一個園林游玩，恰好選中獅子林（S）的概率是「

（2）若小明一家隨機選擇其中兩個不同園林游玩，求恰好選中拙政園（Z）和留園（￡）的概率（用畫樹狀圖

或列表的方法求解）.

22.（1）4

1

⑵6

【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的

關鍵.

（1）由題意知，共有4種等可能的結果，其中恰好選中獅子林B）的結果有1種，利用概率公式可得答案.

（2）列表可得出所有等可能的結果數以及恰好選中拙政園億）和留園（約的結果數，再利用概率公式可得出

答案.

【詳解】（1）解：由題意知，共有4種等可能的結果，其中恰好選中獅子林（$）的結果有1種，

???恰好選中獅子林（S）的概率是I.

￡

故答案為：4.

（2）解：列表如下:

CszL

C(C,S)(C,Z)(C⑷

S⑸。）(S,Z)(S,L)

Z(Z,C)(Z,S)(Z,L)

L(L,C)(3)H,Z)

共有12種等可能的結果，其中恰好選中拙政園億）和留園（切的結果有：（Z/）,U，Z）,共2種,

2__j_

?二恰好選中拙政園億）和留園⑷的概率為五-6.

23.某校在八年級開展了以“爭創文明城市，建設文明校園”為主題的系列藝術展示活動，活動項目有“繪畫

展示”“書法展示”“文藝表演”“即興演講”四組(依次記為4,B,C,D).學校要求八年級全體學生必須參加

且只能參加其中的一個項目，為了解八年級學生對這幾項活動的喜愛程度，隨機抽取了部分八年級學生進

行調查，并將調查的結果繪制成兩幅不完整的統計圖.

根據以上信息，解答下列問題：

(1)本次一共抽樣調查了名學生；

(2)表示“書法展示”的扇形圓心角的度數為。；

(3)將條形統計圖補充完整；

(4)若該校八年級共有1200名學生，請估計該校八年級學生選擇“文藝表演”的人數.

23.(1)50名

(2)108

(3)見詳解

(4)120名

【分析】本題考查條形統計圖、扇形統計圖、用樣本估計總體，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結

合的思想解答.

(1)根據。組的人數和所占的百分比，可以計算出本次調查的總人數；

(2)根據(1)中的結果和條形統計圖中的數據，可以計算出選擇B的人數，即可計算出表示“書法展示”的

扇形圓心角的度數；

(3)根據(2)中的結果，將條形統計圖補充完整即可；

(4)根據樣本估計總體即可得出答案.

【詳解】(1)解：本次調查的學生總人數是12+24%=50(名)；

故答案為：50；

(2)選擇8的有：50-18-5-12=15(人)，

360°X—=108°

???表示“書法展示”的扇形圓心角的度數為50；

(4)50(A),

答：估計該校八年級學生選擇“文藝表演”的人數有120人.

24.如圖是由小正方形組成的4x6網格，每個小正方形的頂點叫做格點，圖中4B,C,D,E都是格點，P

是CE上一點.僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖.

(1)如圖1,先畫點尸，使四邊形DCE尸為平行四邊形，連接EP,再畫EP的中點G；

(2)如圖2,若P是CE與網格線的交點，先畫點尸繞點C逆時針旋轉90。的對應點。，再在AD上畫點4,

使得NBHE=NDHQ.

24.(1)作圖見解析；

(2)作圖見解析.

【分析】(1)根據平行四邊形的性質即可畫出點尸，連接勵7,與五P相交于點G,由網格可知2刊〃CE,

因為點3為E尸的中點，所以2G為△EEP的中位線，故點G為旌的中點;

(2)取格點N,連接CN,交網格于點。，根據網格可證明ABCE絲ADCN,得到4BC￡=/DCN,進而

可得/PC°=90。，再利用由三角形全等可得CP=C。；連接格點4T,與網格相交于點K,連接EK,與

2。相交于點以，由正方形的性質可得NKO°="000=45。，進而可得NK。"=N0O"=135。，即可證到

△KOHOQOH,即得到NK7/O=NQM9,又因為/BHE=/KHO,故/BHE=/QHO,即

/BHE=ZDHQ.

本題考查了平行四邊形的性質，三角形中位線的性質，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，掌握平

行四邊形和正方形的性質是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：如圖1,點尸、G即為所求;

即為所求.

25.“端午節”吃粽子是中國傳統習俗，在“端午節”來臨前，某超市購進一種品牌粽子，每盒進價是40元，

并規定每盒售價不得少于50元，日銷售量不低于350盒，根據以往銷售經驗發現，當每盒售價定為50元

時，日銷售量為500盒，每盒售價每提高1元，日銷售量減少10盒，設每盒售價為x元，日銷售量為p盒.

(1)當x=60時，P=；

(2)當每盒售價定為多少元時，日銷售利潤少(元)最大？最大利潤是多少？

(3)小強說：“當日銷售利潤最大時，日銷售額不是最大，”小紅說：“當日銷售利潤不低于8000元時，每盒

售價x的范圍為60WxW80.”你認為他們的說法正確嗎？若正確，請說明理由；若不正確，請直接寫出正

確的結論.

25.⑴400

（2）當每盒售價定為65元時，日銷售利潤W（元）最大，最大利潤是8750元.

（3）他們的說法正確，理由見解析

【分析】（1）根據每盒售價定為50元時，日銷售量為500盒，每盒售價每提高1元，日銷售量減少10盒,

列式計算即可；

（2）根據銷售量乘以每盒的利潤得到少=T°（X-70）~+9000，根據二次函數的性質即可得到答案；

（3）設日銷售額為V元，則>=T°卜-50）2+25000,根據二次函數的性質即可判斷當日銷售利潤最大時,

日銷售額不是最大，即可判斷小強的說法；當少=8000時，由8000=-10（》-70『+9000,解得

國=60,%=80,由拋物線開口向下，得到當604xW80時，8000<^<9000,即可判斷小紅的說法.

【詳解】⑴解：當尤=60時,^=500-10（60-50）=400（盒），

故答案為：400

⑵由題意得，*。（1。）=[5。。-1。（一明（10）

=-10x2+1400%-40000=-10（X-70）2+9000

又...02350,gp500-10（x-50）>350i

解得x465,

■,--10<0,

...當尤=65時，w最大，最大值為8750,

二當每盒售價定為65元時，日銷售利潤W（元）最大,最大利潤是8750元.

（3）他們的說法正確，理由如下：

設日銷售額為了元，則

y=[500-10（x-50）]x=-10x2+1000%=-10（x-50）2+25000

?--10<0,

...當x=50時，y最大,最大值為25000,

二當x=65時，W最大，此時W為8750,

即小強的說法正確；

2

當少=8000時，8000=-10（X-70）+9000；解得占=60,超=80,

??,拋物線開口向下，

...當604x?80時，v50<x<65,

???當日銷售利潤不低于800。元時,每盒售價x的范圍為604x465.

故小紅的說法錯誤.

【點睛】此題考查了二次函數的應用，根據題意正確列出函數解析式是基礎，熟練掌握二次函數的性質和

正確計算是解題的關鍵.

26.如圖，48是。。的直徑，點。在直徑48上（D與A,2不重合），CD1.48且CD=A8,連接CB,

與。。交于點R在8上取一點E,使E尸與。。相切.

⑵若。是CM的中點，AB=4,求CF的長.

26.（1）證明見詳解

13

⑵5

【分析】（1）連接°尸，根據垂直定義可得/CDS=90。，從而可得/B+/C=90。，然后利用等腰三角形的

性質可得N2=N0用，由切線的性質得+繼而得到/C=/￡FC,即可解答；

（2）連接么尸，根據已知可得。0=工。=1,BD=3,從而在RS8DC中，利用勾股定理求出BC=5,,然

后利用直徑所對的圓周角是直角可得//必=9。°,從而可證△5DCSABE4,進而利用相似三角形的性質可

求出W的長，最后進行計算即可解答.

【詳解】（1）證明：連接。尸,

E

B一'：CD±AB

ZCDB=90°

:.ZB+ZC=90°9

???O/是。。的半徑，即是oo的切線,

,?,ZOFE=90°，

...ZOFB+ZEFC=9Q°

???OB=OF

...ZB=ZOFB

,.,ZC=ZEFC，

...EF=EC.

(2)解：解：連接，尸，

是CM的中點，

:.OD=AD=-OA=\

2,

BD=OB+OD=3,

在RtABDC中，AB=CD=4,

BC=y/BD2+CD2=V32+42=5

???43是0°的直徑，

ZAFB=90°,

???NAFB=ZBDC=90°,ZB=ZB,

:ABDCSABFA,

DBBC

3_5

.所」2

..Dr----

5,

13

:.CF=BC-BF=—

5,

13

???。廠的長為了.

【點睛】本題考查了切線的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定，圓周角定理,

根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵.

一3

27.如圖1,在平面直角坐標系中，RW的直角邊。/在＞軸的正半軸上‘且。"6'tan”"點尸

(2)如圖2,若點E為線段05的中點，連接尸E,以尸￡為折痕，在平面內將折疊，點A的對應點為

A',當尸4103時，求折痕尸E的長;

(3)如圖3,若尸為線段40上一點，且/尸=2,連接尸P,將線段EP繞點廠順時針方向旋轉60。得線段

FG,連接。G,直接寫出△。廠G周長的最小值及此時點G的坐標.

27.(1)點P的坐標為(務6)；

⑵公里

（3）周長的最小值為4+4g，點G的坐標為I3I.

【分析】（1）利用正切函數的定義求得和08的長，如圖1中，過點P作尸"08于點利用角平分

線定理以及三角形的面積公式求出產/即可；

（2）如圖2中，設交于點T.利用相似三角形的性質求出ET,再求出尸5,得到點尸的坐標，再

利用勾股定理可得結論；

（3）如圖，以4尸為邊向右作等邊尸K,連接KG,延長KG交x軸于點R,過點K作尸于點

J.他.于點0,延長正交N5于點生連接耳G.證明AWRKFG（SAS）,推出

ZPAF=ZGKF=90°,推出點G在直線KR上運動，當點。、G、片共線時，0G+FG的值最小，即△。尸G的周

長有最小值，最小值為叱+°片的長，據此求解即可.

3

tanB=一

【詳解】（1）解：在RM/O5中，ZOAB=90°,04=6,4,

OA63

tanBn=----------=—

...ABAB4,

AB=8,OS=V62+82=10,

..3（8,6）；

如圖1中，過點P作PHLOB于點、H.

點尸在NNO5的平分線上，ZOAB=90°,

PA=PH,

S2PB=-PBxOA=-OBxPH

△°PB22,

（8-PA）x6=10xPA

解得尸N=P"=3,

???點尸的坐標為(3'6)；

(2)解：如圖2中，設尸4交08于點7.

圖21??Z0AB=90°,OE=EB,

.-.EA=EO=EB=5,點E的坐標為（4,3）,

NEAB=ZB,

由翻折的性質可知為以=4',

ZA'=ZB,

?「AP±OB,

.\ZETAr=ZBAO=90°,

...△A'TEsABAO,

A'EET

：.OBAO,

5_ET

:.ET=3,BT=5-3=29

,“°sB①AB

PB方,

2_8

PF-Io,

:.PB=-

2,

AP=AB-PB=8--=—

22,

???點尸的坐標為

杷-4：+(6一3)2

PE=

(3)解：如圖，以“尸為邊向右作等邊△/伊，連接KG,延長KG交x軸于點R,過點K作K/_LN尸于點

J.KQ,OR于點Q,延長尸K交4B于點片，連接大G.

/ZAFK=ZPFG=60°

ZAFP=NKFG,

:FA=FK,FP=FG,

:△AFPmAKFG(SAS)

?.ZPAF=Z.GKF=90°,

,,ZKAF=900-60°=ZKEA

?},

.FK=F】K

,,，

???欣是線段用的垂直平分線，

,FG=F】G

,,，

.??點G在直線KH上運動，當點。、片共線時，OG+FG的值最小,即△。戶G的周長有最小值，最小值為

"+°耳的長，

KJLOA,KQ1OR,

，四邊形JOQK是矩形,

OJ=KQ,JK=OQ

-KA=KF,KJ±AF,AF=2,OF=6-2=4

:,AJ=JF=\KJ=y/3AF、=2KJ=2A/3

KQ=OJ=5

???ZKRQ=360°-90°-90°-120°=60°

:.QR=^-KQ=^-

：.OR=6+巫=處

33,

,K（G，5）,d*。］大（26,6）

「?△°尸G周長的最小值為4+jG+（26）2=4+46

設直線KR的解析式為y=去+6,

y/3k+b=5

'巫k+b=O

則13,

k=—5/3

<

解得，W=8,

???直線KR的解析式為y=-J1x+8,

同理直線KR的解析式為V=岳，

聯立得島=一后+8,

4^/3

X=-----

解得3

y=g牛=4

???點G的坐標為

【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判

定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中

考壓軸題.

28.如圖，二次函數夕=加一6"+c（a<0）的圖象與x軸的負半軸和正半軸分別交于A,8兩點，與〉軸交

于點C,頂點為P,對稱軸交無軸于點。，點。是拋物線對稱軸上一動點，直線80交了軸于點E,且

5EQ=3BQ.

Ox

（1）請直接寫出A,8兩點的坐標：A,B；

42

（2）當頂點P與點。關于x軸對稱時，S&QCE\.

①求此時拋物線的函數表達式；

②在拋物線的對稱軸上是否存在點尸，使NBEF=2N0BE.若存在，請求出點尸的坐標；若不存在，請說

明理由.

28.