專題04二次根式

考情聚焦

課標要求考點考向

1、了解二次根式的概念，能從具體的式子中正確識別出考點一

考向一二次根式的定義和性質

二次根式。即學生需要知道形如Ya(a>0)的代數式稱為二二次根

次根式，并且理解根號內的被開方數必須是非負數。式的概

2、掌握用簡單的一元一次不等式解決二次根式中字母的念和性考向二二次根式有意義的條件

取值問題。例如，在含有二次根式的表達式中，根據二次根質

式有意義的條件，確定字母的取值范圍。二次根式的乘除

3、利用二次根式的性質和四則運算的法則進行簡單的四

則運算。這包括對二次根式進行加、減、乘、除等運算，以考向二二次根式的加減

考點二

及在運算過程中運用二次根式的性質進行化簡。

二次根

4、通過實際生活中的問題，引導學生用含根號的式子表考向三二次根式的混合運算

式的運

示問題的結果，從而體會二次根式與實際生活的緊密聯系。

算

5、在二次根式的學習中，學生需要通過對具體問題的分

考向四二次根式的應用

析和解決，逐步建立起對二次根式的抽象認識。

真題透視/

考點一二次根式的概念和性質

易錯易混提醒

(1)被開方數的條件：1、非負性：二次根式的被開方數必須是非負實數，即吟0。因為4a是要求開方的

數是非負的，否則就沒有實數解。2、唯一性：對于給定的非負實數a,它的二次根式也是唯一確定的。這

是因為非負實數平方的結果只有一個非負實數。

(2)最簡二次根式的定義：如果一個二次根式符合下列兩個條件：1.被開方數中不含能開得盡方的因數或

因式；2.被開方數的每一個因式的指數都小于根指數2。那么，這個根式叫做最簡二次根式。

A考向一二次根式的定義和性質

1.(2024?河北邯鄲.三模)甲、乙、丙、丁四位同學在進行分式接力計算過程中，開始出現錯誤的同學是

/1/但?ri3x-2x2—4x+4

化間.(1----------)+--------------

x+22x+4

x+2-(3x-2),尤2-4x+4.

甲同學：原式=

x+22x+4

_1、、/x+2—3x—22(%+2)

乙同學

(x-2>'

-r-r-.xs,x+2-3x-22(x+2)

丙同學?=x+2

(x—2產

-4x

丁同學=「千?

（I）

A.甲同學B.乙同學C.丙同學D.丁同學

【答案】B

【分析】本題考查了分式的化簡，熟練掌握分式的基本性質，化簡的基本技能是解題的關鍵.

【詳解】解：（1一主二3一三二把小

x+22%+4

%+2-(3x-2)x?-A-X+4

x+22x+4

x+2—3%+22(%+2)

x+2(x—2產

_2(尤_2%2(%+2)

x+2(I)?

-4

x-2

???開始出現錯誤的同學是乙同學,

故選B.

2.（2024?四川樂山?中考真題）已知l<x<2,化簡歷了+,-2|的結果為（）

A.-1B.1C.2x—3D.3—2x

【答案】B

【分析】本題考查了二次根式的性質，去絕對值，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

先根據值=同化簡二次根式，然后再根據l<x<2去絕對值即可.

Vl<x<2,

x—1>0,X—2<0,

|x—1+卜一=x—1+2—x=1,

+|x-2|=l,

故選：B.

3.(2024.四川廣安?中考真題)已知,直線/：y=I》-也與x軸相交于點4,以OAt為邊作等邊三角形。4餐，

-33

點用在第一象限內，過點用作x軸的平行線與直線/交于點4，與y軸交于點c「以CI4為邊作等邊三角

形CiA層(點層在點耳的上方)，以同樣的方式依次作等邊三角形GAS,,等邊三角形C3A4B4，則點&)24

的橫坐標為.

【分析】直線直線/：y=@x-也可知，點A坐標為(1,0),可得。4=1,由于。44是等邊三角形，可得

33

點心燈把y=*代入直線解析式即可求得4的橫坐標，可得由于.當4片是等邊三角形，

可得點&］：，￥］；同理，乎，發現規律即可得解，準確發現坐標與字母的序號之間的規律是解

題的關鍵.

【詳解】解：?.?直線/：/：y=且X一直與X軸負半軸交于點A,

33

.?.點A坐標為(1,0),

/.0A=1,

過耳，層，作4〃，X軸交X軸于點M與軸交&局于點D交X軸于點N,

B,...

為等邊三角形,

/.NO4M=30°

MO=-A.O=-,

2"2

當y=3時，-3，解得：X=g,

5石石_70

??=----1=,

-424

.?.當片至時，拽走，解得：X=空,

44334

'2577r

，

4--4

同理可得：4的橫坐標為g；=,

2023

，點4必的橫坐標為

.、2023

故答案為：|.

【點睛】本題主要考查了一次函數圖象上點的坐標的特征，勾股定理的應用，等邊三角形的性質，特殊圖

形點的坐標的規律，最簡二次根式、掌握探究的方法是解本題的關鍵.

A考向二二次根式有意義的條件

4.（2024?云南?中考真題）式子后在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（）

A.x>0B.x>0C.x<0D.x<0

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件.根據二次根式有意義的條件，即可求解.

【詳解】解：.??式子石在實數范圍內有意義，

，x的取值范圍是xNO.

故選：B.

5.（2024?江蘇徐州?中考真題）若有意義，則尤的取值范圍是（）

A.x>—lB.x<—lC.x>—1D.x<—\

【答案】A

【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件，即二次根式中的被開方數是非負數.根據二次根式有意義

的條件列出關于x的不等式，求出x的取值范圍即可.

【詳解】解：二次根式77TT有意義，

x+l>0,解得.

故選：A.

6.（2024?上海.中考真題）已知以-1=1,貝1Jx=.

【答案】1

【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數是非負數是解題的關鍵.由

二次根式被開方數大于0可知2x-l>0,則可得出2x-1=1,求出x即可.

【詳解】解:根據題意可知:2x-l>0,

21=1,

解得：尤=1,

故答案為：1.

考點二二次根式的運算

易錯易混提醒

（1）加法與減法：二次根式可以進行加法和減法運算。當兩個二次根式的被開方數相同時，它們可以相加

或相減。

（2）乘法：二次根式可以進行乘法運算。兩個二次根式相乘時，被開方數相乘，根號下的系數可以相乘。

（3）分母有理化：在分母含有根號的式子中，把分母的根號化去，叫做分母有理化

A考向一二次根式的乘除

7.（2024?湖南?中考真題）計算&xg■的結果是（）

A.2A/7B.772C.14D.714

【答案】D

【分析】此題主要考查了二次根式的乘法，正確計算是解題關鍵.

直接利用二次根式的乘法運算法則計算得出答案.

【詳解】解：艮布=岳,

故選：D

8.（2024.貴州.中考真題）計算0.后的結果是.

【答案】屈

【分析】利用二次根式的乘法運算法則進行計算.

【詳解】解：原式,

故答案為：仇.

【點睛】本題考查二次根式的乘法運算，掌握二次根式乘法的運算法則々?揚=奴（?>0,6>0）是解題

關鍵.

9.（2024.重慶.中考真題）估計g（及+指）的值應在（）

A.8和9之間B.9和10之間C.10和11之間D.11和12之間

【答案】C

【分析】本題考查的是二次根式的乘法運算，無理數的估算，先計算二次根式的乘法運算，再估算即可.

【詳解】解：：至（0+6）=2#+6,

而4V724=276<5,

/.10<2A/6+6<11,

故答案為：C

10.（2024.天津?中考真題）計算（而-1）（而+1）的結果為_.

【答案】10

【分析】利用平方差公式計算后再加減即可

【詳解】解:原式=11-1=10.

故答案為：10.

【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，掌握二次根式的混合運算法則及平方差公式是解題的關

A考向二二次根式的加減

11.（2024?重慶?中考真題）已知能=后-6，則實數機的范圍是（）

A.2<m<3B.3<m<4C.4<m<5D.5<m<6

【答案】B

【分析】此題考查的是求無理數的取值范圍，二次根式的加戒運算，掌握求算術平方根的取值范圍的方法

是解決此題的關鍵.先求出根=a-百=厄，即可求出機的范圍.

【詳解】Vm=727-73-373-73=273=

〈屈<4,

3<m<4,

故選：B.

12.（2024?山東青島?中考真題）計算：-2sin45°=.

【答案】2及+3/3+2應

【分析】本題主要考查了二次根式的加減計算，負整數指數鬲和求特殊角三角函數值，先計算特殊角三角

函數值，負整數指數募和化簡二次根式，再根據二次根式的加減計算法則求解即可.

【詳解】解：A/18+Q^-2sin45°

=3點+3-2x也

2

=372+3-72

=2&+3,

故答案為：20+3.

13.（2024.山東濟寧?中考真題）下列運算正確的是（）

A.V2+>/3=5/5B.72x75=710

C.2+夜=1D.7（-5）2=-5

【答案】B

【分析】此題考查二次根式的運算法則，根據二次根式的加法法則對A進行判斷；根據二次根式的乘法法

則對B進行判斷；根據二次根式的除法法則對C進行判斷；根據二次根式的性質對D進行判斷.

【詳解】A.行■與8不能合并，所以A選項錯誤；

B.應x^=JHL所以B選項正確；

C.2+￡=j4+2=0,所以C選項錯誤；

D."（-5）2=|-5|=5,所以D選項錯誤.

故選：B.

A考向三二次根式的混合運算

14.（2024.甘肅.中考真題）計算：V18-Vi2x^|.

【答案】0

【分析】根據二次根式的混合運算法則計算即可.

本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

【詳解】^-712x^=718-J12x|=718-71?=0.

f-11l

15.（2024?上海?中考真題）計算：|1-有1+242+五月-（1-囪）。.

【答案】2"

【分析】本題考查了絕對值，二次根式，零指數塞等，掌握化簡法則是解題的關鍵.先化簡絕對值，二次

根式，零指數鬲，再根據實數的運算法則進行計算.

L121L

【詳解】解：|1-^|+24+2+Jg

=73-1+2^+----2二坦廣-1

(2+V3X2-V3)

=73-1+2^+2-73-1

=2^/6-

16.（2024?四川遂寧?中考真題）計算：sin45°+t-1+/+

【答案】2024

【分析】此題主要考查了實數運算及二次根式的運算，直接利用負整數指數鬲的性質、特殊角的三角函數

值、絕對值的性質、算術平方根分別化簡得出答案，正確化簡各數是解題關鍵.

【詳解】解：sin45o+4一1+"+［焉］

乙\乙U乙J.J

=T+1-T+2+2021

=2024.

17.（2024.山西.中考真題）⑴計算：（—2）x3+表+亞-1g］；

（2）先化簡，再求值：［4x（2/-x+l）+（2x+l）（2x-l）+l］+（-2x）,其中％=一；.

【答案】（1）-5；（2）-4X2-2,-3.

【分析】（1）根據有理數乘法，二次根式的性質，二次根式的除法，零指數次鬲運算法則進行計算即可；

（2）先算括號內的單項式乘以多項式，平方差公式，再合并同類項，最后算多項式除以單項式即可；

本題考查了實數的混合運算和整式的乘法運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

【詳解】解：⑴原式=-6+2-1,

二一5；

2

（2）原式=（8尤3_4f+4X+4X-1+1）4-（-2%）

=+4x）+（-2x）,

=-4X2-2,

當x=時，

2

原式=—4x1—gj—2=—3?

A考向四二次根式的應用

18.（2024.四川德陽?中考真題）將一組數0,2,跖2衣質,26，，而,,按以下方式進行排列：

第一行V2

第二行2V6

第三行2VIVTO2V3

則第八行左起第1個數是（）

A.772B,872C.屈D.4出

【答案】C

【分析】本題考查了數字類規律探索，正確歸納類推出一般規律是解題關鍵.求出第七行共有28個數，從

而可得第八行左起第1個數是第29個數，據此求解即可得.

【詳解】解：由圖可知，第一行共有1個數，第二行共有2個數，第三行共有3個數，

歸納類推得：第七行共有1+2+3+4+5+6+7=28個數，

則第八行左起第1個數是^/^^=同，

故選：C.

19.（2024?四川南充?中考真題）如圖，已知線段A3,按以下步驟作圖：①過點2作3CLAB,使3c=

連接AC；②以點。為圓心，以5c長為半徑畫弧，交AC于點。；③以點A為圓心，以4）長為半徑畫弧,

交AB于點E.若=,則根的值為（）

A.B.C.75-1D.75-2

22

【答案】A

【分析】本題考查了勾股定理，根據垂直定義可得NABC=90。，再根據設=%然后在

RtZkABC中，利用勾股定理可得，再根據題意可得：AD=AE,CD=BC=^-a,從而利用線段

22

的和差關系進行計算，即可解答.

【詳解】I?：9：BC1AB,

：.ZABC=90°,

*.*BC=—AB,設AB=a

2

BC=—ci,

由題意得：AD=AE,CD=BC=-a,

2

AE=AD=AC-CD=—a--a=^^-a

222

,/AE=mAB,

.A/5—1

??m=----

2

故選：A

20.（2024.四川宜賓?中考真題）如圖,正方形ABCD的邊長為1,M、N是邊BC、CO上的動點若/A￡4N=45。,

則MN的最小值為

N

DC

/

-------'R

【答案】-2+2V2/2V2-2

【分析】將△4W順時針旋轉90。得到，5尸，再證明，題4P&M4N（SAS）,從而得到

MN=MP=BM+BP=BM+DN,再設設C7V=a,CM=b,得至UMZV=2—a—6,利用勾股定理得至U

222222

CN+CM=MN,gpa+b=（2-a-b）,整理得到（2—a）（2-＞）=2,從而利用完全平方公式得到

MN=2—a—bN-2+2小（2-a）（2-b）,從而得解.

【詳解】解：：正方形ABCD的邊長為1,

AD=AB=BC=CD=1,/BAD=ZABC=NC=ND=90°,

將△ADN順時針旋轉90。得到ABP,貝IJ.ADN—他尸，

/.ZDAN=ZBAP,〃=ZABP=90°,AN=AP,DN=BP、

...點尸、B、M、C共線，

/MAN=45。，

Z.ZMAP=ZMAB+BAP=ZMAB+DAN=90°-ZMAN=45°=ZMAN,

VAP=AN,AMAP=ZMAN,AM=AM,

.?一47V(SAS),

MP=MN,

：.MN^MP=BM+BP=BM+DN,

設CN=a,CM=b,貝ljDN=l-a,BM=l—b,

：.MN=BM+DN=2-a—b、

,：ZC=90°,

C.CN-+CM-=MN2,即/+k=(2-a-6『，

整理得：(2/(2—6)=2,

/.MN=2—a—b

=-2+（2-o）+（2-Z?）

=-2++

=-2+（y/2-a^-2y/2-a-yl2-b+^2-b^+2yj2-a-y/2^b

=-2+（j2-"也一0+2^（2-a）（2-Z?）

>-2+2yl（2-a）（2-b）

=-2+2垃,

當且僅當j2-a=J2-6,即2-°=2-。=夜，也即cz=b=2-0時，肱V取最小值-2+2夜，

故答案為：-2+20.

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，正方形的性質，勾股定理，二次根式的運算，完全平方公式

等知識，證明MN=3M+OV和得到（2-a）（2-》）=2是解題的關鍵.

21.（2024.河北.中考真題）情境圖1是由正方形紙片去掉一個以中心。為頂點的等腰直角三角形后得到

的.

該紙片通過裁剪，可拼接為圖2所示的鉆石型五邊形,數據如圖所示.

（說明：紙片不折疊，拼接不重疊無縫隙無剩余）

27

圖1圖2

操作嘉嘉將圖1所示的紙片通過裁剪，拼成了鉆石型五邊形.

如圖3,嘉嘉沿虛線防，GH裁剪，將該紙片剪成①，②，③三塊，再按照圖4所示進行拼接.根據嘉嘉

的剪拼過程，解答問題：

(1)直接寫出線段跖的長；

(2)直接寫出圖3中所有與線段8E相等的線段，并計算8E的長.

探究淇淇說：將圖1所示紙片沿直線裁剪，剪成兩塊，就可以拼成鉆石型五邊形.

請你按照淇淇的說法設計一種方案：在圖5所示紙片的2C邊上找一點尸(可以借助刻度尺或圓規)，畫出

裁剪線(線段PQ)的位置，并直接寫出的長.

圖5

【答案】⑴EF=1；(2)BE=GE=AH=GH,BE=2-后；3尸的長為五或2-應.

【分析】本題考查的是正方形的性質，等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理的應用，二次根式的混合

運算，本題要求學生的操作能力要好，想象能力強，有一定的難度.

(1)如圖，過G'作G'KLFH'于K,結合題意可得：四邊形R9G'K為矩形，可得R?=KG',由拼接可得：

HF=FO=KG',可得.AHG,H'G'D,AAFE為等腰直角三角形，一G'KH'為等腰直角三角形，設

H'K=KG'=x,則H，G=HT)=血x,再進一步解答即可；

(2)由A4FE為等腰直角三角形，EF=AF=1；求解BE=2-應,再分別求解GE,AH,GW；可得答案,

如圖，以B為圓心、，80為半徑畫弧交BC于P,交于。'，則直線P。'為分割線，或以C圓心，C。為

半徑畫弧，交BC于P,交C。于。，則直線PQ為分割線，再進一步求解3尸的長即可.

【詳解】解：如圖，過G'作G，K_LW于K,

結合題意可得：四邊形/OG'K為矩形，

FO=KG、

由拼接可得：HF=FO=KG,

由正方形的性質可得：ZA=45°

.AHG,H'G'D,△AFE為等腰直角三角形,

為等腰直角三角形,

設H'K=KG'=x,

H'G=H'D=?x.

:.AH=HG=?x,HF=FO=x,

???正方形的邊長為2,

，對角線的長,2?+2?=2拒，

/.OA=>/2,

??x+元+\p2.x=，

解得：x=6,-i,

EF=AF=(A/2+1)X=(V2+1)(V2-1)=1;

(2)為等腰直角三角形，EF-AF=1；

AE=y/2EF=V2,

/?BE=2-y[2,

GE=H'G=瓜=血脂昌=2-0,

AH=GH=V2.x=2—>/2,

BE=GE=AH=GH；

如圖，以B為圓心、，80為半徑畫弧交2C于P,交AB于O',則直線P'。'為分割線,

此時=P'Q'=72+2=2,符合要求，

或以C圓心，C。為半徑畫弧，交BC于P,交C。于Q,則直線P。為分割線，

此時CP=CQ=J^,PQ=V2+2=2,

BP=2-y/2,

綜上：BP的長為&或2-0.

22.（2024?江蘇鹽城?中考真題）發現問題

小明買菠蘿時發現，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽.

提出問題

銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數學道理呢？

圖1

分析問題

某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側面展開圖上可以看成

點，每個點表示不同的籽.該菠蘿的籽在側面展開圖上呈交錯規律排列，每行有"個籽，每列有4個籽，行

上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（n,4均為正整數，n>k>3,d>0）,如圖1所示.

小明設計了如下三種鏟籽方案.

方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為共鏟行，則鏟除全部籽的路徑總長

為；

方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為；

方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長.

解決問題

在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進行評價.

壬三由川由】…Z：N?

圖1圖2圖3

【答案】分析問題：方案1：（“-1”；2k；2（n-l）dk，方案2：2（k-l）dn；方案3：號（2k-1）nd；

解決問題：方案3路徑最短，理由見解析

【分析】分析問題：方案1：根據題意列出代數式即可求解，.方案2：根據題意列出代數式即可求解；方案

3：根據圖得出斜著鏟每兩個點之間的距離為包￥=幽，根據題意得一共有2〃列，2%行，斜著鏟相

22

當于有“條線段長，同時有24-1個，即可得出總路徑長；

解決問題：利用作差法比較三種方案即可.

題目主要考查列代數式，整式的加減運算，二次根式的應用，理解題意是解題關鍵.

【詳解】解：方案1：根據題意每行有〃個籽，行上相鄰兩籽的間距為d,

.??每行鏟的路徑長為

V每列有k個籽，呈交錯規律排列，

.?.相當于有2左行,

鏟除全部籽的路徑總長為成,

故答案為：（〃—1”；2k；2（n-l）dk；

方案2:根據題意每列有人個籽，列上相鄰兩籽的間距為d,

.?.每列鏟的路徑長為（"1”，

???每行有〃個籽，呈交錯規律排列，，

.?.相當于有2九列，

.?.鏟除全部籽的路徑總長為2億-1）加,

故答案為：2（1）加；

方案3：由圖得斜著鏟每兩個點之間的距離為=&,

22

根據題意得一共有2〃列，2%行，

斜著鏟相當于有〃條線段長，同時有24-1個，

鏟除全部籽的路徑總長為：?x（2k-l）nd；

解決問題

由上得：2（睚一。dk—2（k—Qdn=2ndk—2dk—2ndk+2dn=2d（睚一k）>0,

方案1的路徑總長大于方案2的路徑總長；

2（k-Ddn-^^x（2k-l）dw=（2_a）左_2+^^］辦，

n>k>3,

當k=3時，

（2一碼義3一2+彳=4-乎>0,

而-#x（2k-l）而>0,

...方案3鏟籽路徑總長最短，銷售員的操作方法是選擇最短的路徑，減少對菠蘿的損耗.

,新題特訓,

一、單選題

1.（2024.廣東江門.模擬預測）下列二次根式是最簡二次根式的是（）

A.5/32B.Vo7C.D.V15

【答案】D

【分析】本題考查最簡二次根式，根據最簡二次根式的定義進行解題即可.

【詳解】解：A,732=4^,不是最簡二次根式；

B.限=如，不是最簡二次根式；

5

c.、口=2&'，不是最簡二次根式；

V33

D.厲是最簡二次根式；

故選D.

2.（2024?貴州?模擬預測）下列二次根式中，與&是同類二次根式的是（）

A.5/6B.y/siC.D.J18

【答案】C

【分析】此題考查同類二次根式的概念，根據同類二次根式的概念，需要把各個選項化成最簡二次根式,

被開方數是3的即和豆是同類二次根式.

【詳解】A.而與百不是同類二次根式，故該選項錯誤；

B.場1=9與百不是同類二次根式，故該選項錯誤；

c.J=q與否是同類二次根式，故該選項正確；

D.屈=30與名不是同類二次根式，故該選項錯誤；

故選：C.

3.（2024.重慶.模擬預測）計算布+逐x/的結果為（）

A.4B.3C.1D.-

4

【答案】B

【分析】根據二次根式的乘除混合運算法則計算解答即可.

本題考查了二次根式的乘除混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

【詳解】解：瓜；瓜乂瓦

|xl2=3,

故選B.

4.（2024?河北邯鄲?模擬預測）已知通-mJ1=后，則（）

A.4B.2C.1D.-

2

【答案】B

【分析】本題考查二次根式的運算，考查學生的運算能力，熟練掌握知識點是解題的關鍵,先計算二次根

式的戒法，再計算除法即可.

【詳解】=Vs—=A/2

〃2=4-J—=2,

V2

故選：B.

5.（2024.寧夏銀川.模擬預測）下列計算，正確的是（）

A.56-2后=3B.3+73=3A/3C.73x76=372D.715-75=3

【答案】C

【分析】本題考查了二次根式的加減乘除運算，根據二次根式的加法、減法、乘法、除法法則逐項判斷即

可解答，掌握二次根式的相關運算法則是解題的關鍵.

【詳解】A、573-2^=3^3,原選項計算錯誤，不符合題意；

B、3與6不是同類二次根式，不可以合并，原選項計算錯誤，不符合題意；

C、73x76=372,原選項計算正確，符合題意；

D、715^75=73,原選項計算錯誤，不符合題意；

故選：C.

6.（2024?云南?模擬預測）估算回+逐x2的結果在（）

A.7和8之間B.8和9之間C.9和10之間D.10和11之間

【答案】B

【分析】本題考查二次根式的運算，無理數的估算，先根據二次根式的運算法則，進行計算，再利用夾逼

法求出無理數的范圍即可.

【詳解】解：炳+古義2=2石+2有=46=回，

?:庖〈屈〈扃,

8〈胸<9,

故選B.

7.（2024.河北秦皇島.一模）若使算式而“O”血的運算結果最小，貝卜。”表示的運算符號是（）

A.+B.-C.xD.+

【答案】B

【分析】本題考查了二次根式的加減乘除運算和大小比較，掌握二次根式的運算是解題的關鍵.

分別把四個選項中的符號代入計算，再比較結果的大小即可.

【詳解】解：瓜+&=26.+&=3及,

氓-近=2直-0=近,

尿血=20x71=4,

年一忘=2女十0=2,

,/372>4>2>V2,

表示的運算符號是“一”時，運算結果最小，

故選：B.

8.（2024?遼寧?模擬預測）下列各式計算正確的是（）

A.^/12=35/2B.5A/2-3A/2=2

C.夜=D.（V2+V3）2=5+276

【答案】D

【分析】本題主要考查二次根式的化簡、二次根式的混合運算、完全平方公式，掌握二次根式的運算法則

是解題的關鍵.

A將二次根式化簡到最簡即可；：6根據加法法則運算即可；C根據夜、聲=痣計算即可；D結合完全平

方公式和二次根式的運算法則計算即可.

【詳解】解：A、疝=2抬，故選項不符合題意.

B、5A/2-3A/2=2A/2,故選項不符合題意.

C、壺乂6=娓,故選項不符合題意.

D、（V2+V3）2=2+3+2x72x^=5+2A/6,故選項符合題意.

故選：D.

9.（2024?河北張家口?三模）若。=而,則計算國”的結果正確的是（）

A.2075B.±20/C.±100?D.10072

【答案】A

【分析】本題考查二次根式的性質和化簡，先根據a=J而求出標=10,即可求解.

【詳解】?:a=5

：.a2=10

J200a2=V2000=20A/5

故選：A.

10.（2024.湖北.模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，以點。為圓心，長為半徑作弧，交A3于點區

分別以B,E為圓心，以大于長為半徑作弧，兩弧交于點尸，作射線。/交A3于點G.連接CG,若

ZZ）CG=30°,AG=3,則菱形ABCD的面積為（）

A9石口7605出p.3A/3

2222

【答案】A

【分析】由題意可得知DGLAB,由菱形的性質可得出AD=AB=CD,AD〃BC.設DG=x,則

AD=AB=CD=6,由勾股定理解出x,最后根據菱形的性質求面積即可.

【詳解】解：由作圖知，DG1AB,

四邊形ABCD是菱形，

.-.AD=AB=CD,AD//BC,

:.DG±CD,

設DG=x,

ZDCG=30°,

CG=2DG,

,-.CD=AD=>JCG2~DG2=瓜，

在RtADG中，由勾股定理得

乎或"=一半（舍去）’

:.DG*AB*

22

二菱形ABCD的面積EDG=乎*手考

故選：A.

【點睛】本題考查了垂線的尺規作圖，菱形的性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理，熟練掌

握矩形的性質與判定定理以及菱形的性質是解題的關鍵.

11.（2024?河南新鄉?模擬預測）如圖1,VABC中/胡C=90。，AB=AC=2.。是斜邊上一動點，從點B

運動到點C停止，連接AE>,過點A作AELAZ）,且使鉆=AD（點E在直線AD右側）,點尸是AC中

x變化的圖象如圖2所示，6為曲線最低點的縱坐標，則:=（）

b

C.372D.V10

102

【答案】D

【分析】連接CE并延長，過點A作“4LAC,交CE于點H,過點F作PGLCF7于點G,連接加，證明

△ABZ運△ACE,得出/ACE=NABC=45。，說明點E在過點C垂直8C的直線上，根據垂線段最短，得

出當點￡在點G處時，FE最小，即6；當點。在點C處時，E在點H處，此時FE最大，求出a=?,

2

最后求出結果即可.

【詳解】解：連接CE并延長，過點A作〃4LAC,交CE于點H,過點尸作FGJ_CH于點G,連接

如圖所示：

AB=AC=2,

：.ZABC=ZACB=-x90°=45°,

2

AD±AE,

^DAE=9O°,

ABAD+ADAC=ADAC+ZCAE=90°,

???ZBAD=ZCAE,

,:AD=AE,

：.^ABD^/\ACE,

???ZACE=ZABC=45°,

/BCE=450+45°=90°,

點E在過點C垂直BC的直線上,

???垂線段最短，

當點￡在點G處時，FE最小，

?.?點/為AC的中點,

CF^AF=-x2=l,

2

VZFGC=90°,ZFCG=45°,

/.AFCG為等腰直角三角形，

?“叵rmV2

??FG=xCF=—,

22

FE■的最小值為也，即6=亞；

22

,/Z.CAH=90°,ZACH=45°,

??…AS為等腰直角三角形，

AC=AH=2,

當點。在點C處時，E在點H處,此時FE最大,

FH=^AF1+AH2=75，

.?.FE的最大值為行，即°=百，

2

故選：D.

【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質，勾股定理，三角形全等的判定和性質，垂線段最短，解

題的關鍵是作出輔助線，分別求出。、b的值.

12.（2024?湖南?模擬預測）設A=1+±+±+1+二+』+1+4+4+...+1+」^+—1^,則不超

V1222V2232V3242V2023220242

過A的最大整數為（）

A.2027B.2026C.2025D.2024

【答案】D

【分析】本題主要考查了二次根式的化簡，根據1+3+1n+11|把原式的對應項化簡，然后

n〃+1)2nn+1

計算求解即可.

【詳解】解：對于正整數人有

1H—7H-----------T

f(H+1)2

H+l1111

+(w+])2——j

nn+\nn+1

1上-冠

=2024———

2024

???不超過A的最大整數為2024.

故選：D.

二、填空題

13.（2024.吉林長春.二模）近與最簡二次根式20/1是同類二次根式，則機的值為.

【答案】3

【分析】本題主要考查了同類二次根式，最簡二次根式，根據同類二次根式定義可知2機+1=7,求出解即

可.

【詳解】與最簡二次根式20^由是同類二次根式，

2m+1=7,

解得機=3.

故答案為：3.

14.（2024.河北.模擬預測）若a的倒數是:，則右的值為一.

O

【答案】20

【分析】本題考查的是倒數的含義，二次根式的化簡，先求解。=8,再化簡我即可.

【詳解】解：.?力的倒數是2

O

a=8,

\[a=y/s=2A/2；

故答案為：20.

15.（2024?山東泰安?一模）如圖，把一張大正方形按下圖方式（兩個小正方形分別有一邊在大正方形的邊

±）剪去兩個面積分別為8和18的小正方形，那么剩下的紙片（陰影部分）的面積是.

【答案】24

【分析】題目主要考查二次根式的應用，理解題意，根據正方形的面積確定大正方形的邊長即可求解.

【詳解】解：?.?兩個面積分別為8和18的小正方形，

二大正方形的邊長為：78+V18=2A/2+3A/2=5A/2,

大正方形的面積為：50x5夜=50,

,剩余的面積為：50-18-8=24,

/.陰影部分的面積是24,

故答案為：24.

求出斐波那契數列中的第2個數為.

【答案】1

【分析】本題考查了二次根式的混合運算與化簡求值，把2代入式子計算即可得出答案，熟練掌握運算方法

是解此題的關鍵.

【詳解】解:由題意得：當〃=2時，

=—=xlxV5

故答案為：1.

17.（2024?吉林?模擬預測）比較大小：.6.（填“>”或“<”）

【答案】＜

【分析】此題主要考查了實數大小比較的方法，解答此題的關鍵是要明確：正實數>0>負實數，兩個正實

數，平方大的這個數也大.

首先求出2/、6的平方的值，比較出它們的平方的大小關系；然后根據兩個正實數，平方大的這個數也大，

判斷出26與6的大小關系即可.

【詳解】解：=12,6?=36,

,12<36,

,2代<6.

故答案為：<.

18.（2024.廣東?模擬預測）若恒有式子-則實數尤的取值范圍是.

【答案】x>l/l<x

【分析】本題考查二次根式的性質，根據值=列出不等式求解即可.