難點16輔助圓四種常考模型

題型一：定點定長構(gòu)造輔助圓

題型二：定弦定角構(gòu)造輔助圓

題型三：主從聯(lián)動構(gòu)造輔助圓

題型四：定角定高構(gòu)造輔助圓

.精淮理分

題型一：定點定長構(gòu)造輔助圓

i指I點I迷I津

利用定點定長構(gòu)造輔助圓的幾種常見類型

類一點作圓三點定圓旋轉(zhuǎn)作圓折疊作圓

型

圖八（定長）,上B'「，（定長）D

0*-------X（動點）**

不E

（定點）B

（定點）

B1C

C

特平面內(nèi)，點0為定點，點AOA=OB=OC△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)得到△ABC將ABEF沿EF折疊，點E

點為動點，且0A的長度是定點，點B的對應(yīng)點

固定為點G

作定長）

D

法（定長）,?1

\0*"A（動點）（定點）J

定點）J

「8!\（:

結(jié)點A在以點0為圓心,點A,B,C均在點B,C的運動軌跡分別是以點點G的運動軌跡是以點

論0A長為半徑的圓上運動0。上A為圓心，以AB,AC的長為半徑E為圓心,BE長為半徑

的圓的一段圓弧

【中考母題學(xué)方法】

【典例1-1】（2023?黑龍江?中考真題）在Rt^ACB中，NA4c=30。,。8=2,點E是斜邊A3的中點，把

□△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得RtAAFD，點C,點8旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點分別是點D,點、F,連接CF,EF,CE,

在旋轉(zhuǎn)的過程中，△回面積的最大值是.

【答案】4+75/73+4

【分析】過點A作AGLCE交CE的延長線于點G,求出AG=[AC=^,然后由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知點P在

以A為圓心的長為半徑的圓上運動，則可得如圖中G、A、尸三點共線時點尸到直線CE的距離最大，求

出距離的最大值，然后計算即可.

【詳解】解：如圖，在Rt^ACB中，ABAC=30°,CB=2,點E是斜邊A8的中點，

0AB=2CB=4,CE=^AB=2=AE,AC=&C=2?，

0ZEC4=ZBAC=3O°,

過點A作AG，CE交CE的延長線于點G,

0AG=-AC=>/3,

2

又El在旋轉(zhuǎn)的過程中，點尸在以A為圓心AB的長為半徑的圓上運動，AF=AB=4,

回點尸到直線CE的距離的最大值為4+有，（如圖，G、A、尸三點共線時）

0ACEF面積的最大值=30￡*（4+6）=；乂2工（4+6）=4+石,

故答案為：4+^3.

【點睛】本題考查了含30。直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)等

知識，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出點尸到直線CE距離的最大值是解答本題的關(guān)鍵.

【典例1-2】（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）【問題呈現(xiàn)】數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個問題：如圖，點A是。。外

一點，點P在O。上，。。的半徑為1,連結(jié)A尸并延長至點。，使得A?=PQ,當(dāng)點尸在。。上運動一周時，

試探究點Q的運動路徑.

【問題解決】經(jīng)過討論，小組同學(xué)想利用中位線的知識解決問題：如圖①，連接AO并延長至點以使得

AO^OB,連結(jié)。尸、BQ,由中位線的性質(zhì)可推出點。的運動路徑是以點8為圓心、2為半徑的圓.下面

是部分證明過程：

證明：連結(jié)AO并延長至點B,使得AO=O3,連結(jié)。尸、BQ.

1°當(dāng)點P在直線。4外時，

證明過程缺失

2°當(dāng)點尸在直線。4上時，

易知80=20尸=2.

綜上，點。的運動路徑是以點B為圓心、2為半徑的圓.

（1）請你補全證明中缺失的過程.

【結(jié)論應(yīng)用】（2）在上述問題的條件下，記點M是線段P。的中點，如圖②.若點P在。O上運動一周，

則點M的運動路徑長為.

【拓展提升】（3）如圖③，在矩形ABCD中，AB=3,AO=4.點尸是平面內(nèi)一點，DP=2,連結(jié)AP并延

長至點0,使得=連結(jié)2。、CQ,則△BCQ面積的最大值是.

圖①圖②圖③

【答案】（1）證明見解析；（2）3萬；（3）12.

【分析】本題考查了圓的綜合知識，利用平行線的性質(zhì)，中線的性質(zhì)，確定動點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵.

（1）通過證明是AAB。的中位線，可得8。=2。尸=2；

pnAD7

(2)過點M作MN〃。尸交AB于點N,利用平行線的性質(zhì)可得=；，從而得到M點在以N為

MNAM3

3

圓心，5為半徑的圓上，即可求解；

PDAP2

(3)過點。作QG〃尸。交的延長線于點G,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得用；=:7=￡，則。點在以G為

2(jrA(23

圓心，3為半徑的圓上，當(dāng)QGLBC時，△BC。的面積有最大值.

【詳解】解：(1)連結(jié)4。并延長至點8,使得49=03,連結(jié)。尸、BQ,如圖：

[3P0是AASQ的中位線，

團BQ=20P=2；

2°當(dāng)點尸在直線04上時，

易知BQ=2OP=2.

綜上，點。的運動路徑是以點B為圓心、2為半徑的圓;

(2)過點M作MN〃。交于點N,如圖：

p^K：

O

圖②

^\OP\\MNf

POAP

團---=----

MNAM

團PM=MQ,AP=PQ,

團___—__A_P_—_2

'MN~AM~3"

回。尸=1,

3

團腦V=:

2

3

團M點在以N為圓心，,為半徑的圓上,

，，』，3

團M點的運動路徑為：27rx-=37r,

故答案為：3兀?,

（3）過點。作QG〃尸。交AZ）的延長線于點G,如圖:

圖③

團四邊形ABCD為矩形，AD=4,

團BC=AD=4,

PDAP

團---------,

QGAQ

^PQ=^AP,

PDAP2

團---------=一,

QGAQ3

SDP=2,

團QG=3,

團。點在以G為圓心，3為半徑的圓上，

當(dāng)QG,8c時，ABCQ的面積有最大值，

0AB=3,

回△BCQ底邊BC上的高為：3+3=6,

回△2CQ的面積=；x4x6=12,

回△BCQ面積的最大值為12,

故答案為：12.

【典例1-3]（2024?甘肅蘭州?一模）綜合與實踐

【問題情境】在數(shù)學(xué)綜合實踐課上，"希望小組"的同學(xué)們以三角形為背景，探究圖形

變化過程中的幾何問題.如圖，在VA3C中，AB^AC,ABAC^90°,點。為平面內(nèi)一點（點A,B,D

三點不共線），AE為的中線.

【初步嘗試】（1）如圖1,小林同學(xué)發(fā)現(xiàn)：延長AE至點使得腔=隹，連接DM.始終存在以下兩個

結(jié)論，請你在①，②中挑選一個進行證明：

（T）DM=AC；（2）ZMDA+ZDAB=180°；

【類比探究】（2）如圖2,將AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到AF,連接CP.小斌同學(xué)沿著小林同學(xué)的思考

進一步探究后發(fā)現(xiàn)：AE=^CF,請你幫他證明：

【拓展延伸】（3）如圖3,在（2）的條件下，王老師提出新的探究方向：點。在以點A為圓心，AD為半

徑的圓上運動（">>?）,直線AE與直線CF相交于點G,連接8G,在點D的運動過程中3G存在最大

值.若4?=4,請直接寫出BG的最大值.

圖1圖2圖3

【答案】（1）見詳解（2）見詳解（3）2石+2

【分析】（1）選①證明，由中線得出ED=EB,再用SAS證明ADEM'BEA，利用全等的性質(zhì)得出=54,

由等量代換得出。0=AC.

（2）由（1）①得結(jié)論得出NOME=NBAS,從而得出由平行的性質(zhì)得出/MZM+ND4B=180。，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出/54C+/ZM尸=180。，進一步可得出/MD4=N0LF,利用AM/M絲AOLF,由全等的性

質(zhì)得出M4=CF,最后等量代換可得出AE=gb.

（3）延長AE至點M,使得“石=小，連接同（2）可得回AMZM/ACF,由全等的性質(zhì)得出

NDAE=ZAFG,,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AAFG+ZFAG=90。，當(dāng)點G在尸C上時和當(dāng)點G在FC的延長線上時，

分別求出NAGC,則在點。的運動過程中，點G在以AC為直徑的。。上運動.取AC的中點。，連接。8,

OG,由三角形三邊關(guān)系得出

BG<OB+OG,當(dāng)G,0,8三點共線時（如圖3所示），8G最大.解直角AB40,即可求出8。，進一步即

可求出BG.

【詳解】解：（1）選擇結(jié)論①

證明：I3AE為的中線

@ED=EB,

在Z\DEM和LBEA中，

ED=EB

</DEM=NBEA,

ME=AE

團△。曲修△跳X(SAS)

國DM=BA,

團AB=AC,

回DM=AC.

(2)延長AE1至使得腔=隹，連接MD,

由(1)得：ADEM%^BEA,

?ZDME=/BAE,

^DM//AB,

BZMDA+ZDAB=180°f

團NB4C=90。，AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到AF,

團NBAC+NDAF=180。，

0ZZMB+ZC4F=18O°,

團NMDA+/DAB=180。

^\ZMDA=ZCAF,

在VMM和VC4F中，

DM=AC

<ZMDA=ZCAF,

DA=AF

團△MZM包。IF(SAS),

團MA=CF,

^\ME=AE,

^\AE=-AM,

2

BAE=-CF.

2

F

(3)如圖2,延長AE至點M,使得腔=AE,連接MD,

同(2)可得I3AMD4段AC4F.

SZDAE=ZAFG,

回A￡>繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AF,

EIZZMF=90o,

^ZDAE+ZFAG=9Q°,

EINAFG+NE4G=90。，

當(dāng)點G在FC上時，

0ZAGC=ZAFG+ZFAG=90°,

當(dāng)點G在FC的延長線上時，

0ZAGC=180°-(ZAFG+ZFAG)=90°,

在點D的運動過程中，點G在以AC為直徑的。。上運動.

取AC的中點。，連接08,OG,

SBG<OB+OG

當(dāng)G,O,2三點共線時(如圖3所示)，BG最大.

0/54。=90°,

團A"。為直角三角形.

0AB=4,

0AC=4.

回AC為直徑，

團AO=OG=2,

^BO=yjBA'+AO2=A/42+22=2-45，

EI3G=BO+GO=2岔+2.

【點睛】

本題主要考查了三等三角形的判定以及性質(zhì)，平行線的判定以及性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及三角形三邊關(guān)系

得應(yīng)用，勾股定理等知識點，分析出當(dāng)G,。，2三點共線時（如圖3所示），BG最大是解題的關(guān)鍵.

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式1-1］（2023?河北張家口?一模）在VABC中，要判斷和NC的大小關(guān)系（23和NC均為銳角）,

同學(xué)們提供了許多方案，老師選取其中兩位同學(xué)的方案（如圖1和圖2）（）

①以點”為圓心，N3長為半徑作①作邊BC的垂直平分線

圖觀察點C與。Z的位置關(guān)系即可.J垣觀察E尸與邊/C是普看交點及交點位置即可J

圖1圖2

對于方案回、團說法正確的是

A.回可行、回不可行B.回不可行、13可行C.回、團都可行D.回、回都不可行

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形邊角關(guān)系直接判斷即可得到答案;

【詳解】解析：若點C在。A外，則AC>AB,

.-.ZB>ZC；

若點C在OA上，則AC=AB,

:.NB=NC；

若點C在。A內(nèi)，則AC<AB,

:.ZB<ZC；

I可行；

若所與邊AC交于點A,則AC=AB,

:.NB=NC；

若跖與邊AC交于不是A的點，則AC>AB,

.-.ZB>ZC；

若跖與邊C4的延長線有交點，則AC<AB,

:.ZB<ZC.II可行，

故選C.

【點睛】本題考查二角形邊角關(guān)系：二角形中大角對大邊，小角對小邊.

【典例1-2】（2023?遼寧鞍山?一模）如圖，等邊三角形A3c和等邊三角形ADE,點N,點M分別為BC,DE

的中點，AB=6,AD=4,VADE繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，的最大值為.

【答案】5石

【分析】由題可知：點M在以點A為圓心，AM為半徑的圓上，連接AM,AN,貝U：AM+AN>MN,

當(dāng)AN,M三點共線時，MN的值最大，進行求解即可.

【詳解】解：連接

團等邊三角形ABC和等邊三角形ADE,點N,點M分別為BC,DE的中點，AB=6,AD=4,

?AMIDE,ANIBC,DM=2,BN=3,

^AN=ylAB2-BN2=3y/3>AM=>]AD2-DM2=2A/3>

國VADE繞點A旋轉(zhuǎn)，

團點M在以點A為圓心，AM為半徑的圓上，

團AM+ANNMN,

團當(dāng)A,N,M三點共線時，的值最大,

即：MN=AM+AN=56;

故答案為：5A/3.

【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，以及借助圓，求線段的最值.解題的關(guān)鍵

是確定點M在以點A為圓心，AM為半徑的圓上.

【變式1-3］（23-24九年級下?吉林長春?期末）【問題呈現(xiàn)】數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個問題：如圖①，QO

的半徑為廠=2,點4在。。上，點8為線段0A中點，過點8作。4垂線/.點P是。。上一動點，點尸關(guān)

于直線/的對稱點為P,試探究點尸'的軌跡.

【問題解決】經(jīng)過討論，小組同學(xué)猜想點P在一個確定的圓上，下面是部分證明過程：

證明：

證明過程缺失

團點P在以點為圓心，為半徑的圓上.

（1）請你補全證明中的缺失過程.

【結(jié)論應(yīng)用】（2）如圖②，。。的半徑為廠=2,點A與點C在。。上且/AOC=90。.點8為線段上的

點，且48=；，過點B作。A的垂線/.點P是AC上一動點，點尸關(guān)于直線/的對稱點為P.當(dāng)點尸從點

A運動到點C時，點P的運動路徑長為.

【拓展提升】（3）如圖③，若把上述問題的條件"42=；"去掉，其它條件不變，。為。。直徑.點。到

點P'距離d的取值范圍是.

【分析】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握對稱的性質(zhì)，能夠確定尸'點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵；

（1）利用對稱性可知0P=0P=2,再由圓的定義可得P在以A為圓心，2為半徑的圓上；

（2）作。點關(guān)于直線/的對稱點O',則P在以O(shè)'為圓心，2為半徑的;的圓上，再求點P的運動路徑即

可；

（3）作。點關(guān)于直線/的對稱點M,P在以M為圓心，2為半徑的;的圓上，當(dāng)直線/經(jīng)過直徑CO時，DP'

有最小值2,當(dāng)直線/經(jīng)過點A時，。尸有最大值4挺.

【詳解】（1）回點B為線段Q4中點，

^OB=AB

回。、A點關(guān)于直線I對稱

團點尸關(guān)于直線/的對稱點為P,

團OP=OP'=2

團產(chǎn)'以A為圓心，2為半徑的圓上；

圖①

（2）作。點關(guān)于直線/的對稱點O'

回點P關(guān)于直線I的對稱點為P'，

SOP=O'P'

團點尸是AC上一動點,

"，在以。，為圓心，2為半徑的9的圓上,

圖②

(3)作。點關(guān)于直線I的對稱點M

團點P關(guān)于直線I的對稱點為P'，

團尸，在以M為圓心，2為半徑的J的圓上

當(dāng)直線/經(jīng)過直徑cr>時，0P有最小值2,

當(dāng)直線/經(jīng)過點A時，DP有最大值4金

IS2<d<4y/2

【變式1-4】(2023?河北保定二模)已知，在半圓。中，直徑AB=10,點C,。在半圓。上運動，弦8=5.

⑴如圖1,當(dāng)AC=2O時，求證：鉆絲△DBA；

⑵如圖2,若/D4B=22.5。，求圖中陰影部分(弦AD、直徑A3、弧8。圍成的圖形)的面積；

⑶如圖3,取C。的中點點C從點A開始運動到點。與點B重合時結(jié)束，在整個運動過程中：點M到

的距離的最小值是.

【答案】⑴見解析

⑵丁0+9萬

(3)|-V3

4

【分析】(1)先根據(jù)圓周角定理證明NC4B=NDO4,再證明△C4504JDA4(SAS)即可;

(2)過。作AB于H連接，先證明ZDOB=45°,再求出。”的長，再根據(jù)S陰影部分=S扇形OOB+SaAO。

即可；

(3)連接OCO2OM,過點M作"于點”，先證明△OCD是等邊三角形，再根據(jù)

M"=MO.sinNMOH,當(dāng)sinNMOH最小時，即當(dāng)點。與點A重合時，有最小值.

【詳解】⑴證明：^CD=CD,

團NC4D=ND5C,

回AC=BD

⑦NDAB=/CBA,AC=BD,

國NCAD+NDAB=NDBC+NCBA.

即/CAB=/DBA,

在△CAB和△DBA中，

AC=BC

<ZCAB=ZDBA,

AB=BA

團△CAB^ADBA(SAS)；

(2)解：過。作。"JLAB于〃連接O。，如圖:

回。4=OD=5,

團ZDAB=ZADO=22.5°,

團ZDOB=ZOAD-^-ZADO=45°,

45XKX5225

國DH=---------------71，

3608

=^OA-DH=^-y/2,

25

團S陰影部分=S扇形DOB+S&AOD=工友H----71;

8

(3)解：連接0c。2。加,過點M作MH于點H,

D

,-.OC=OD=CD,

AOCD是等邊三角形,

回點加是8的中點，

:.OMLCD,ZC=6Q°,

.-.OM=OC-sin60°=5x^=—

22

5h

在RtAA/WO中，MH=MO-sinZMOH=—sinZMOH,

2

當(dāng)sinNMOH最小時，有最小值,

即當(dāng)點C與點A重合時，ZMOH=ZCOM=|ZCOD=30。,

=—sin30=—,

24

故答案為：曲

【點睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，掌握全等三角形的定，圓的性質(zhì)及圓中的相關(guān)計算是解題的關(guān)鍵.

【變式1-5］（2022九年級上?全國?專題練習(xí)）圓的定義：在同一平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的所有點所

組成的圖形.

圖2

⑴已知：如圖1,OA^OB^OC,請利用圓規(guī)畫出過A、B、C三點的圓.若N4CB=70。，則NACB=

(2)已知，如圖2,RSABC中，ZABC=90°,ZBCA=30°,AB=2.點尸為AC邊的中點，將AC沿54方向

平移2個單位長度，點4尸、C的對應(yīng)點分別為點。、E、F,求四邊形或小C的面積和N的的大小.

⑶如圖3,將AC邊沿BC方向平移。個單位至。/，是否存在這樣的。，使得直線。尸上有一點Q,滿足

NBQA=45。且此時四邊形網(wǎng))戶的面積最大？若存在，求出四邊形&4￡)尸面積的最大值及平移距離。，若不

存在，說明理由.

【答案】⑴35。

(2)四邊形8。”的面積為6石，的大小為30。

⑶四邊形fiWF的最大面積為4+26，平移2個單位

【分析】(1)利用圓的定義知AB.C三點共圓，再利用圓周角定理求解即可；

(2)根據(jù)圖形的平移性質(zhì)，判定平移后圖形形狀，繼而確定面積的計算方式和方法，角度問題也迎刃而解;

(3)因角度不變，借助圓周角定點在圓周上運動時角度不變的思想，判斷出。點能夠向右移動的最大距離,

求出四邊形的最大面積.

【詳解】(1)解:以。為圓心，為半徑作輔助圓，如圖，

ZAOB=70°,

ZACB=35°,

故答案為：35。；

(2)解：連接PE,如圖,

及△ABC中，ZABC=90°,ZBG4=30°,AB=2,

AC=4,ABAC=60°,BC=2拒,

VP為RUABC斜邊AC中點,

;.BP=-AC=2,

2

線段AC平移到。尸之后，AB=AD=PE=2,BP=AE=2,

，四邊形為菱形,

Q/R4c=60°,

:.ZBEA=30°,

-,-CF//BD,且ZABC=90°,

，四邊形題甲C為直角梯形,

.-.S=1(BZ)+CF)-BC=1X6X2V3=6A/3;

(3)解：如圖所示,

二

B7F

'、、O

A'、、一—JQ(D)

當(dāng)AC邊沿BC方向平移2個單位至。歹時,

滿足ZBQA=45。且此時四邊形BADF的面積最大,

此時直角梯形ABED的最大面積為,

S=g(BF+AQ).AE=；x(2G+2+2)x2=4+2代.

【點睛】本題主要考查圖形的平移、圓心角、圓周角之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，找到極值點求

解.

題型二：定弦定角構(gòu)造輔助圓

:指I點I迷I津

定弦定角構(gòu)造輔助圓的幾種常見類型

類型定角為直角定角為銳角定角為鈍角

圖示CC

A

AB

特點在4ABC中，已知AB的長，點在^ABC中,已知AB的長，點C為在4ABC中，已知AB的長，點C

C為動點，且保持/ACB=90°動點,且保持/ACB=a（a為銳角）為動點，且保持/ACB=a（a為鈍角）

動點定“一、、條-…'、N----、

（國

運動A\O：B

F

軌跡1B

結(jié)論點C在以點0為圓心,AB長點C在以點0為圓心、，圓心角為點C在以點0為圓心，圓心角為

為直徑的圓上運動2a的優(yōu)弧AB上運動（點0,C（360°-2a）的劣弧AB上運動（點

在AB同側(cè)）0,C在AB異側(cè)）

【中考母題學(xué)方法】

【典例2-1】（2024?江蘇揚州?中考真題）如圖，已知兩條平行線八％點A是4上的定點，4皿于點8,

點C、。分別是人4上的動點，且滿足AC=fiD,連接CD交線段A3于點E,BHLCD于點、H,則當(dāng)NB4"

最大時，sinNBA/f的值為.

【分析】證明AACE絲A瓦史（ASA）,得出BE=AE=：A8,根據(jù)3H_LC。，得出NBHE=90。,說明點H

在以BE為直徑的圓上運動，取線段BE的中點O,以點。為圓心，OB為半徑畫圓，則點H在。。上運動,

說明當(dāng)與。O相切時最大，得出根據(jù)AO=AE+OE=3OE,利用

sinNBAH=^=黑二，即可求出結(jié)果.

AO3OE3

【詳解】解：回兩條平行線4、4,點A是4上的定點，AB，/?于點8，

團點B為定點，AB的長度為定值，

飄〃6，

SZACE=ZBDE,ZCAE=ZDBE,

SAC=BD,

ElAACE^ABDE（ASA）,

^BE=AE^-AB,

2

^BHLCD,

=90°,

團點H在以防為直徑的圓上運動，

如圖，取線段班的中點O,以點O為圓心，05為半徑畫圓,

則點”在。。上運動，

團當(dāng)AH與。。相切時NB4H最大,

BOH±AH,

0AE=BE=2OE,

團AO=AE+OE=3O石，

⑦OH=OE,

國sinN?=絲=匹」，

AO3OE3

故答案為：—.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三

角形等知識點，解題的關(guān)鍵是確定點H的運動軌跡.

【典例2-2】（2024?河南?中考真題）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,CA=CB=3,線段CD繞點C在

平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，過點B作AD的垂線，交射線AD于點￡.若CD=1,則AE的最大值為,最小值

為.

【答案】272+1/1+27220-1/-1+2應(yīng)

【分析】根據(jù)題意得出點。在以點C為圓心，1為半徑的圓上，點E在以A3為直徑的圓上，根據(jù)

AE=AB-cosZBAE,得出當(dāng)cos/BAE最大時，AE最大，cos/BAE最小時，AE最小，根據(jù)當(dāng)AE與。C相

切于點，且點。在VABC內(nèi)部時，4AE最小，AE最大，當(dāng)AE與OC相切于點。，且點。在VA3C外

部時，/54E最大，AE最小，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可.

【詳解】解：0ZACfi=90°,CA=CB=3,

[3ABAC=ZABC=1x90°=45°,

2

團線段CD繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，8=1,

回點。在以點C為圓心，1為半徑的圓上,

0ZAEB=9O°,

團點E在以A3為直徑的圓上，

在RtAABE■中，AE=AB-cosZBAE,

團AB為定值，

團當(dāng)cosZBAE最大時，A￡1最大，cosNBM最小時，AE最小，

團當(dāng)AE與。C相切于點。，且點。在VABC內(nèi)部時，NB4石最小，A￡最大，連接CO,CE,如圖所示:

則CD_LAE,

ZADC=ZCDE=90°,

^AD=y/AC2-CD2=732-l2=272-

0AC=AC,

SZCED=ZABC=45°,

0ZCDE=90°,

EIACDE為等腰直角三角形,

團DE=CD=1,

國AE=AD+DE=2&+1，

即AE的最大值為2>/I+l;

當(dāng)AE與。C相切于點。，且點。在VA3C外部時，NBAE最大,AE最小，連接CD,CE,如圖所示:

則CD_LAE,

0ZCDE=90°,

^AD=ylAC2-CDr=732-12=242'

團四邊形ABCE為圓內(nèi)接四邊形，

SZCEA=180°-ZABC=135°,

0ZCED=180°-ZCEA=45°,

0ZCDE=90°,

團ACDE為等腰直角三角形，

團DE=CD=1,

^AE=AD-DE=2y/2-l<

即AE的最小值為20-1;

故答案為：2拒+1;272-1.

【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，

解直角三角形的相關(guān)計算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)，找出AE取最大值和最小值時，

點。的位置.

【典例2-3】（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）（1）如圖1,在VABC中，NBAC=6CT,為BC邊上的高，若A￡>=9,

求VA3C面積的最小值；

（2）某花卉培育公司有一塊直角三角形鮮花培育基地，現(xiàn)在研究人員打算在這塊鮮花培育基地上規(guī)劃出一

部分來培育新品種郁金香.如圖2,V43C是這片鮮花培育基地的平面示意圖，^ABC=9（T,點。是AC邊

上一點，連接80,ZABD=ZCBD,且BD=80點m,點、P為BC上一點,ZCDP=45°,為了更有效的利

用這塊鮮花培育基地，需要新品種郁金香培育基地4?尸￡>的面積盡可能的小，請你求出新品種郁金香培育

基地ABPD面積的最小值.

【答案】(1)276；(2)64000平方米

【分析】(1)作VABC的外接圓。。，連接。4、OB、OC,過點。作OEL3c于點E,根據(jù)等腰三角形

的性質(zhì)得出ZOBC=ZOCB=30。，設(shè)3=03=OC=r,則OE=；r,BC=2BE=6廠，根據(jù)OA+OEt,

得r+grN9,求出r26,BC=2BE=V3r>673,然后求出結(jié)果即可；

(2)過點。作于點E,3C于點尸，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE=D/，證明

RtABDE^RtABDF(HL),得出2O=8O0m,ZDBE=^ZABC=45°,ZBED=9Q0,求出

^BDE=^BE-DE=3200(^),在B尸上截取尸G=AE，連接￡>G，證明AORG絲aE4(SAS)，得出

S

ZADE=ZGDF,根據(jù)S四邊形.=S四邊形皿++.DEA=6400+S^DPG,得出要使四邊形ABPD的面積最

小，只需ADPG的面積最小，求出/P￡>G=45。，AOGP的外接圓圓心為。，連接。。，OG,0P,作OHJLGP

于點H,根據(jù)OG+^OG280,得出OGZ80(2-⑹，求出PG=2G8=應(yīng)06N1600-160，得出

S-PDG=；PG.DFN；義(1600-160)x80=(6400^/2-6400)m2,最后求出結(jié)果即可.

【詳解】解：(1)如圖，作VABC的外接圓。O,連接。4、OB、OC,過點。作OELBC于點E,

：.ZBOc=no,

:.ZOBC=ZOCB=30°,

設(shè)OA=OB=OC=Y,則=

2

回公卜⑶二與,

S\OE±BC,

0BC=2BE=6,

由OA+OENAD,得r+；rN9,

BPr>6,

BC=2BE=y/3r>6y/3,

S/=J.BC.AO&x66x9=27百，

.■.AABC面積的最小值為276；

(2)如圖，過點。作。E■上AB于點E,￡>b_18。于點尸，

ZABD=ZCBD,

:.DE=DF,

又,：BD=BD,

RtABDE=RtABDF(HL),

BD=8072m,ZDBE=-ZABC=45°,/BED=90°,

2

:.^BDE,VW用均為等腰直角三角形，

S.DE=DF=BE=BF=80m,

2

■.S^BDE=^BE-DE=3200(m),

如圖，在防上截取尸G=AE,連接。G,

■：FG=AE,ZDFG=ZDEA=90°,DF=DE,

.*.△DFG^ADE4（SAS）,

.\ZADE=ZGDFf

…S四邊形ABpD=S四邊形班;。尸+S4DPF+S叢DEA=6400+.，

要使四邊形ABPD的面積最小，只需△。尸G的面積最小，

ZCDP=45°,

.-.ZADP=180°-45°=135°,

/ADE+NPDF=45°,

/GDF+/PDF=NPDG,

;.NPDG=45°.

如圖，ADGP的外接圓圓心為。，連接OD,OG,OP,作于點

^GDP=45°,

/GOP=90°,

NOGP=NOPG=45°,

:.OH=GH=—OG,

2

5

由題意得OD+O/NO尸，BPOG+—OG>SO,

2

OG>80（2-V2）,

PG=2GH=V20G>160點-160，

2

S^PDG=|PGZ）F>|X（160忘-160）x80=（64005/2-6400）m,

S四邊形的切>6400+64000-6400=64000（m2）,

二新品種郁金香培育基地ABPD面積的最小值為6400近平方米.

【點睛】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形面積的計

算，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的判定

和性質(zhì).

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式2-1］（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）如圖，CD為。O直徑，AfiLCD且過半徑0。的中點X,過點A

的切線交C￡>的延長線于G,且GH=6,點E為。。上一動點，CFLAE于點片當(dāng)點E從點2出發(fā)逆時

針運動到點C時，點尸經(jīng)過的路徑長是（）

26R4石,0瓜n8若

A.-----771r13.-----7TC.2.\37兀rU?-------71

333

【答案】B

【分析】連接AC,AO,由ABLCD,利用垂徑定理得到H為A3的中點，證明AAOGSAHQ4,可求圓的

半徑，在直角三角形AOH中，由A0與OH的長，利用勾股定理求出AH的長，進而確定出的長，由

CO+加求出CB的長，在直角三角形A"C中，利用勾股定理求出AC的長，由CP垂直于AE,得到三角

形ACF始終為直角三角形，點廠的運動軌跡為以AC為直徑的圓上，當(dāng)E位于點8時，CHLAE,止匕時B

與"重合；當(dāng)E位于點C時，此時尸與C重合，可得出當(dāng)點E從點B出發(fā)逆時針運動到點C時，點尸所經(jīng)

過的路徑長C8的長，在直角三角形ACH中，利用銳角三角函數(shù)定義求出NC4”的度數(shù)，進而確定出CH所

對圓心角的度數(shù)，再由AC的長求出半徑，利用弧長公式即可求出CH的長，即可求出點P所經(jīng)過的路徑長.

【詳解】解：連接AC,AO,

SiABYCD,

國打為A3的中點，即=

團AG是O。的切線，

團ZOAG=90°=ZAHO,

又ZGOA=ZAOH,

團△AOG^AHOA,

「AOOG

團---=----

HOOA

即OA2=OHOG,

0OA2=；OA[6+：OA],

回Q4=4或。4=0（不符合題意，舍去）

SOH=2,AH=VAC2-OH2=2yj3=BH，

團AC=y/AH2+CH2=4A/3，

^CFrAE,

回△ACP始終為直角三角形，點廠的運動軌跡為以AC為直徑的圓上，

當(dāng)E位于點8時，CHLAE,此時P與H重合；當(dāng)E位于點C時，此時尸與C重合,

團當(dāng)點E從點B出發(fā)逆時針運動到點C時，點尸所經(jīng)過的路徑長C8的長，

在RtAAS中，tanZACW=—=^,

CH3

0ZACH=30°,

SZCAH=60°,

fflCH所對圓心角的度數(shù)為120。,

團直徑AC=473,

_VlJZ.120T-2退4月萬

13cH1的長=—痂工=三一，

lot)J

則當(dāng)點E從點B出發(fā)逆時針運動到點C時，點尸所經(jīng)過的路徑長S的長為多.

故選：B.

【點睛】此題考查了圓的綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，弧長

公式，以及圓周角定理，其中根據(jù)題意得到當(dāng)點E從點8出發(fā)逆時針運動到點C時，點F所經(jīng)過的路徑長

為CH的長是解本題的關(guān)鍵.

【變式2-2]（2023?陜西西安?模擬預(yù)測）（1）問題提出：如圖①，VABC為等腰三角形，ZC=120°,

AC=BC=8,￡＞是A3上一點，且C￡＞平分VABC的面積，則線段C￡＞的長度為.

（2）問題探究：如圖②，VABC中，ZC=120°,AB=W,試分析和判斷VABC的面積是否存在最大值,

若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由.

（3）問題解決：如圖③，2023年第九屆絲綢之路國際電影開幕式在西安曲江競技中心舉行，主辦方要在

會場旁規(guī)劃一個四邊形花圃滿足3c=600米，CD=300米，ZC=60°,NA=60。，主辦方打算過

3C的中點M點（入口）修建一條徑直的通道ME（寬度忽略不計）其中點E（出口）為四邊形ABCD邊上

一點，通道ME把四邊形A8CD分成面積相等并且盡可能大的兩部分，分別規(guī)劃成不同品種的花圃以供影迷

休閑觀賞.問是否存在滿足上述條件的通道ME?若存在，請求出點A距出口的距離AE的長；若不存在，

請說明理由.

圖①圖②圖③

【答案】（1）4；（2）存在，最大值為空叵；（3）存在通道ME把四邊形分成面積相等并且盡可能

3

大的兩部分，AE的長為75百米

【分析】（1）根據(jù)C￡＞平分VABC的面積，得到人。=血，利用三角形內(nèi)角和及等腰三角形的性質(zhì)求出

ZA=ZB=30°,即可根據(jù)30度角的性質(zhì)求出線段CD的長度；

（2）作VABC的外接圓，圓心為。，作OH_LAB并延長交。。于點。，連接05,3。，證明

△AOD'BOD,得到NADO=/3DO=60。，利用正切值求出由NC=120。，即點C在劣弧A3上，

得到當(dāng)VABC的高最大時，VABC的面積最大，即點C與點。重合時，VABC的高的最大值為根據(jù)

面積公式計算即可；

（3）連接DM,證得NCDB=90°,由ZA=60。，△BCD的面積是定值，得到要使四邊形ABCD的面積最

大，只要的面積最大即可，求出四邊形ABCD的面積的最大值，連接AM,求出的面積，

得到點E在4。上，過點M作必/LA7）于點打，連接ME,根據(jù)三角函數(shù)求出MH,再利用AAEM的面

積求出AE即可.

【詳解】解:（1）回。平分VABC的面積，

團AD=BD,

團AC=5C=8,ZC=120°,

BZA=ZB=30°,

0C￡)=-AC=4,

2

故答案為：4.

(2)作VABC的外接圓，圓心為。，作并延長交0。于點，

連接OAOB,ARBZ),

貝I]ZADB=ZACB=120°,

0OHXAB,OA=OB,

SZAOD=ZBOD,AH=BH=5,