2025年浙江省寧波市江北區中考一模

數學模擬試卷

選擇題（每小題3分，共30分,在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求）

1.已知下列各數：—2最3.14,0,—0.2,6」其中負數有（）個

A.2個B.3個C.4個D.5個

2.下列運算正確的是（)

A.a3-a2=a6B.(%3)3=x6

C.x5+%5=%10D.(一泌)5+(—ab)2=-a3b3

3.如圖所示的幾何體由一個圓柱體和一個長方體組成,它的主視圖是（）

主視方向

4.從甲，乙，丙，丁四名同學中選出一名同學參加數學搶答競賽，四名同學數學平時成績的平均數及方差

如下表所示：

甲乙丙T

平均數（分）96939898

方差（分2）3.53.33.36.1

根據表中數據，要從這四名同學中選擇一名成績好且發揮穩定的同學去參賽，那么應該選的同學是

）

A.甲B.乙c.丙D.T

5.在△43c中/C=90°,tanA=、則sE4=()

A.逗B.2C.擠D.3A0

103410

6.如圖,四邊形4BCD與四邊形EFGH位似淇位似中心為點0,且。E=及4,則四邊形力BCD與四邊形

A.1:2B.2:1C.1:4D.4:1

7.如圖，等邊△43。內接于。。，點E是弧DC上的一點，且4D。。=90。,貝UADEC-的度數為

C.105°D.100°

8.出口貿易是我國經濟發展的重要因素，由于出口貿易持續增長,一企業生產某種商品的數量增加明

顯.已知今年生產該商品的數量比今年和去年生產的數量總和的一半多11萬件,去年的數量比今年和

去年生產數量總和的三分之一少2萬件.設今年生產該商品的數量為x萬件，去年生產該商品的數量為

y萬件,根據題意可列出的方程組是（）

（1

%=式％+y）-11久=§（久+y）+11

A.B.

1（）

、y=2（久+y）+2y=1%+y-2

'1

k=2（x+y）-11%=2（%+y）+11

C.D.彳i

（（）

y=gx+y+2、y=爐+y）-2

9.如圖,在平面直角坐標系中，矩形OABC的OA邊在x軸的正半軸上QC邊在y軸的正半軸上，點B

的坐標為（4,2），反比例函數y=0）的圖象與BC交于點D,與對角線OB交于點E,與AB交于

點F,連接OD,DE,EF,DF.下列結論：①sin/DOC=cos/BOC,②0E=BE,③S^DOE=

5.￡尸，@。。：。尸=2:3.其中正確的結論有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

10.已知以和當均是以尤為自變量的函數,a為實數.當％=加時,函數值分別為Mi和M2,若存在實數犯使

得a=M2.則稱當和當為友好函數，以下月和當不一定是友好函數的是（）

A.%=/+2久和%=3x+1B.J/】=/+。一；和丫？=一。久+與

C.丫1=-|和巧=》-3D.y1=寫^和＞2=X+a

二,填空題（每小題4分，共24分）

11.1+8的小數部分是.

（1

X+TTV=11

12.若（，則代數式/—±儼+1的值為.

x—77y=—3

13.一個不透明的盒子里，裝有除顏色外無其他差別的白珠子2顆和黑珠子若干顆，每次隨機摸出一顆

珠子，放回搖勻后再摸，通過多次試驗發現摸到白珠子的頻率穩定在0.2左右，則盒子中黑珠子可能有

顆________

14.如圖，在△ABC中，BDLAC于點D,BD=1,乙4=45。，ZC=30。，貝!J△ABC的面積

為1

15.如圖所示是拋物線y=a/+bx+c的部分圖像，圖像過點（3,0），對稱軸為直線x=l,有下列四個

結論：

①abc<0,0a-b+c=0,③y的最大值為3,④方程a/+bx+c+l=0有兩個不相等的實根，其中

正確的為。

16.“三等分一個任意角”是數學史上一個著名問題.“今天人們已經知道，僅用圓規和直尺是不可能作出

的，在探索中，有人曾利用過如圖所示的圖形，其中/BCD是長方形尸是延長線上一點,G是CF上一點,

并且NACG=AAGC,AGAF=若"=15。,GF=4,則長方形ABC。的面積為

三,解答題(本大題有8小題,共66分)

17.(1)化簡：x(x+2)—(%—I)2—4%

1

(2)先化簡，再求值：(。+26)2+9+28)6-2幼,其中。=-1/=白

4

18.如圖，在直角坐標系中,△ABC各頂點的橫，縱坐標都是整數.

(1)作出△ABC關于％軸對稱的圖形AA/iQ.

(2)求△ABC的面積

19.已知關于X的方程%2—2%+爪=1有兩個不相等的實數根.

(1)求m的取值范圍.

(2)如果m為非負整數，且該方程的根都是整數，求m的值.

20.某工廠進行廠長選拔，從中抽出一部分人進行篩選，其中有“優秀”，“良好”，“合格”,“不合格”.

(1)本次抽查總人數為，“合格”人數的百分比為.

(2)補全條形統計圖.

(3)扇形統計圖中“不合格人數”的度數為.

(4)在“優秀”中有甲乙丙三人，現從中抽出兩人，則剛好抽中甲乙兩人的概率為

21.小嘉騎自行車從家出發沿公路勻速前往新華書店，小嘉媽媽騎電瓶車從新華書店出發沿同一條路

回家，線段。4與折線B-C-D-E分別表示兩人離家的距離y(km)與小嘉的行駛時間t(h)之間的

函數關系的圖象，請解決以下問題.

(1)求。A的函數表達式.

(2)求點K的坐標.

(3)設小嘉和媽媽兩人之間的距離為S(km),當SW3時，求t的取值范圍.

22.如圖所示,在矩形4BCD中,對角線AC的垂直平分線分別交于點E,F,連接CE,AF.

(1)求證：四邊形ZECF是菱形.

(2)若力B=4,BC=8,求菱形AECF的面積.

23.【定義】

例如，如圖1,過點A作ZB1人交。于點B,線段AB的長度稱為點A到。的垂直距離，過A作4c平行

于y軸交%于點C,AC的長就是點A到。的豎直距離.

當。與x軸平行時,/B=AC.

當。與x軸不平行，且直線確定的時候，點到直線的垂直距離48與點到直線的豎直距離4c存在一定

的數量關系,當直線人為y=|x+1時,AB=AC.

【應用】

如圖2所示，公園有一斜坡草坪，其傾斜角為30。,該斜坡上有一棵小樹（垂直于水平面），樹高2m,現

給該草坪灑水，已知小樹的底端點A與噴水口點O的距。A=2m,建立如圖2所示的平面直角坐標系，

在噴水過程中，水運行的路線是拋物線y=-/+bx,且恰好經過小樹的頂端點B,最遠處落在草坪的C

處.

（1）b=.

（2）如圖3,現決定在山上種另一棵樹MN（垂直于水平面），樹的最高點不能超過噴水路線，為了

加固樹，沿斜坡垂直的方向加一根支架PN,求出PN的最大值.

【拓展】

(3)如圖4,原有斜坡不變，通過改造噴水槍，使得噴出的水的路徑近似可以看成圓弧，此時，圓弧與y

軸相切于點O,若此時0C=48m,如圖，種植一棵樹MN(垂直于水平面)，為了保證灌溉,請求出MN最

高應為多少？

24.如圖，△力BC中,AB=BC,以力C為直徑的O。分別交邊AB,BC于點D,E,過點4作。。的切線交CB

的延長線于點F.

(2)若AF=8,cos^BAF=去求BC和DE的長.

答案解析部分

1.B

2.D

3.B

解：從正面看下面是一個比較長的矩形，上面是一個比較窄的矩形.

故選:B.

利用從正面看得到的幾何圖形解答即可.

4.C

解：V93<96<98.

二丙和丁的平均水平較高.

V3.3<3.5<6.1.

..?乙和丙的成績較穩定.

要從這四名同學中選擇一名成績好且發揮穩定的同學去參賽，那么應該選的同學是丙.

故答案為：C.

利用表中數據可知丙和丁的平均水平較高，由方差可知乙和丙的成績較穩定，據此可得到成績好且發

揮穩定的同學.

5.A

6.B

7.C

8.D

解：設今年生產該商品的數量為x萬件，去年生產該商品的數量為y萬件.

(%=i(x+y)+11

由題意得2]

(y=3(x+y)-2

故答案為：D.

設今年生產該商品的數量為x萬件，去年生產該商品的數量為y萬件，根據“該商品的數量比今年和去

年生產的數量總和的一半多11萬件，去年的數量比今年和去年生產數量總和的三分之一少2萬件”即

可列出二元一次方程組，進而即可求解。

9.A

10.B

解：A,當%=丫2,則/+2%=3久+1,整理x2-x-l=0.

A=(-1)2-4xlx(-1)=5>0.

...存在實數科使得Ml=知2.則稱y1和丫2為友好函數，故不符合題意.

B,當丫廣當，則/+a-3=—a%*整理x2+ax+*a1=0.

△=a2-3a+2.

當l<a<2時,△<0,當=丫2無解.

...不一定存在實數m,故符合題意.

C,當當="，則—1=久—3,整理x2-3x+2=0.

△=9-8=1>0.

.?.存在實數m,故不符合題意.

D,當%=丫2,則=x+a,整理x2+ax-a-2=0.

△=a?+4a+8=(a+2)2+4>0.

.?.存在實數m,故不符合題意.

故答案為：B.

根據友好函數的定義,直接令以=丫2,建立關于X的方程，若方程無解即得結論.

11.V3-1

解：?/1<V3<2

/.2<1+V3<3

..?1+V5的整數部分為2

二小數部分為1+V3-2=V3-1

故答案為：V3-1

估算無理數的范圍,求出整數部分，則小數部分為該無理數減去整數部分，即可求出答案.

12.-2

13.8

14.1+用

2

解：在小ABD中,NA=45o,NADB=90。.

NABD=45。=NA,二AD=BD=1.

在小CBD中,NC=30°,NBDC=90°.

ABC=2BD=2.

?**CD=VfiC2-BD2=V22-l2=V3

；.AC=AD+CD=1+8

**?△ABC的面積為：1x^1CXBDX(1+V3)X1

故答案為：竽

先根據含有特殊角的直角三角形的性質，結合勾股定理求出AD,CD,得AC,再根據三角形面積公式計算

AABC的面積。

15.①②④

解：???拋物線開口向下，與y軸交于正半軸.

?,?a<0,c>0.

???拋物線的對稱軸為直線x=-/=1,且過點(3,0).

b=-2a>0,拋物線過點(—1.0).

???abc<0,a—b+c=0.

???①正確，②正確.

???拋物線開口向下，對稱軸是直線久=1.

.?.當x=1時,y有最大值=a+b+c=a—2a+(-3a)=—4a.

其值與a有關.

.?.③錯誤.

方程a/+久+c+1=0的根即是y=ax2+bx+c的圖象與y=—1的交點.

由圖象知,y=ax2+bx+c的圖象與y=—1的圖象有兩個交點.

??.④正確.

故答案為：①②④

根據函數的開口反方向結合二次函數與坐標軸的交點得到a<0,c>0,進而根據二次函數的對稱軸結

合題意即可得到b=—2a>0,拋物線過點(-L0),從而得到abc<O,a-b+c=0即可判斷①和②，根

據開口方向結合二次函數的最值即可得到當％=1時,y有最大值=a+b+c=a-2a+(-3a)=

-4a,其值與a有關，進而判斷③，根據二次函數與一元二次方程的綜合結合二次函數的圖象即可判斷

④.

16.8

解：...四邊形ABCD是長方形.

.-.AD//BC,ZD=ZBCD=90°.

.\ZECB=ZF=15O.

ZGAF=ZF=15°.

???NAGC=NGAF+NF=30°,AG=FG=4.

■:NACG=NAGC.

ZACG=30°,AC=AG=4.

???ZACD=90°-ZACG-ZECB=45°.

/.△ACD是等腰直角三角形.

???AD=CD=g=2V1

V2

工長方形4BC0的面積為：2魚X2V2=8.

故答案為：8.

根據長方形的性質求出AD//BC,ND=NBCD=90。,再證明△ACD是等腰直角三角形，最后計算求解即

可。

17.(1)-1,(2)2a2+4ab,l

18.(1)解:如圖:

X

(2)解:S4ABe=4x7-jx2x3-Jx5x4-|xlx7=28-3-10-3.5=11.5

(1)根據軸對稱的性質找到點出、BQJ,然后順次連接即可.

(2)用一個長方形的面積減去三個三角形的面積計算△4BC的面積.

19.(1)m<2

(2)m=1

20.(1)50A,40%.

(2)解：不合格的人數為：50x32%=16.

補全圖形如下：

(3)115.2°

(4)I

解：(1)本次抽查的總人數為8+16%=50(人).

“合格”人數的百分比為1—(32%+16%+12%)=40%.

故答案為：50人,40%.

(3)解：扇形統計圖中“不合格”人數的度數為360。X32%=115.2。.

故答案為：115.2°.

(4)列表如下：

甲乙丙

甲(乙，甲)(丙，甲)

乙(甲，乙)(丙，乙)

丙(甲，丙)(乙，丙)

由表知，共有6種等可能結果，其中剛好抽中甲乙兩人的有2種結果.

所以剛好抽中甲乙兩人的概率為"=￡

63

故答案為：事.

(1)利用優秀人數與它所占百分比得到總人數，然后利用百分比之和為1得到合格人數所占百分比,

(2)運用總人數乘以不合格人數占百分比求出人數，再補全直方圖，(3)根據360。乘以“不合格人數

的百分比解題即可.

(4)利用列表得到所有等可能結果,從中找到抽中甲乙兩人的有2種結果數，然后利用概率公式解題

即可.

21.(1)解：過原點。(0,0)設。4的函數表達式為丫=血尢(血中0).

把力(0.8,8)代入可得：m=10

".y=10%

，。人的函數表達式y=10%.

(2)設線段CD所在直線的函數表達式為y=kx+b(kW0),：0(0.1,8),0(050)在直線CD上.

?fO.l/c+b=8(k=-20

**to.5fc+fo=0，解得:Ib=10

直線CD的解析式為：y=—20x+10

1

-

-f丫=1成解得?k=3

ty=-20%+1=103

.?.點K的坐標為:G，學)?

(3)解：當小嘉和媽媽相遇前：—20久+10—10x〈3,解得久25

當小嘉和媽媽相遇后：10%+20%-10<3,解得x<

的取值范圍為：^<%<

(1)把4(0.8,8)代入求出m值即可解題.

(2)先利用待定系數法求出直線CO的解析式，然后利用方程組求交點即可.

(3)分相遇前和相遇后兩種情況列不等式求解集即可.

22.(1)證明過程見解答

(2)20

23.探索：等

應用：⑴2V3

(2)解：由(1)知,A(g，l),設直線OC的解析式為y=丘,則遍k=1.

解得：卜=卻

V3

???y=-yx-

如圖，設M，，?，則可也—/+2V3t).

???zl=30°.

.??42=60°.

?：MN||y軸

???乙NMP=42=60°.

???NP1OC.

???乙NPM=90°.

2

PN=MN-sin乙NMP=（一針+怨t）.sin60。=（一t2+早t）x^=一字,一祟）+^|^-

43

”2<0，

.?.當t=孥時,PN取得最大值綏I

624

答：PN的最大值為藜.

24

【拓展】

如圖，取。C的中點G,作GH1OC交%軸于點4,延長HG交圓弧于點N,過點N作MN||y軸交OC于點M,此

時MN最大.

OC=4V3m,HG1OC.

OG=2OC=2Vsm.

在Rt△OGH^^COH=30°.

???GH=OG?tanzCOH=2V3tan30°=2^/3x字=2(m)?

OH=2GH=4m.

又???HN=OH=4m.

??.NG=HN-GH=4—2=2(m).

Z1=30°.

???Z2=90°-30°=60°.

?:MN||y軸.

???乙NMG=42=60°.

???乙NGM=90°.

后,

.#.rNG24、

smzJVMGsin6003、)

答：MN最IWI應為

探索：解：?.?直線。為y=2%+l，如圖,設直線Zi與％、y軸分別交于Q、P點.

令x=0,得y--1.

；.P(0,l),即OP=1.

令y=0,W|x+1=0.

解得：%=-2.

；.Q(-2,0)WOQ=2,

PQ='OP?+OQ2=Vl2+22=V5,

'：AC||y軸.

z.1=/.ACB.

???Z1=LQPO.

，Z-ACB=Z-QPO.

???/-ABC=（QOP=90°.

，△ABC~&QOP.

AB_OQ_2_2V5

'衣=而=西=丁

AB=等4。

故答案為：竽.

應用：（1）如圖，延長B4交支軸于點“，則乙4"。=90。.

???乙4。曰=30°,OA=2m.

???AH=^OA=Im,OH=OA-cos^AOH=2cos30°=2X堂=弁

4z

AB=2m.

BH=AB+AH=2+1=3(m).

B(V3-3).

把B(g，3)代入y=-x2+bx得:—3+=3.

解得：b=2A/3-

故答案為：2

探索：設直線及與久、y軸分別交于Q、尸點，先出P(0,l),Q(-2,0)根據勾股定理求得PQ=踽,根據直

線平行性質可得21=乙1CB,再根據角之間的關系可得乙4BC=乙QOP=90。,由相似三角形判定定理

可得△ABCfQOP,則縹=*=婆，化簡計算即可求出答案.

應用：⑴延長BA交支軸于點“，則乙4H。=90。,利用解直角三角形可得B(點3),根據待定系數法將點

8(g，3)代入丫=-%2+bx,即可求得答案.

(2)設直線OC的解析式為y=kx,根據待定系數法將點A坐標代入解析式可得直線。C的解析式y=

梟設亭)，則N(t,-t2+2屈),根據兩點間距離可得"N=—#+季t，再根據正弦定義可得

2

PN=-學(”消+等，運用二次函數的性質即可得出答案.

拓展：取OC的中點G,作GH1OC交無軸于點H,延長HG交圓弧于點N,過點N作MN||y軸交。C于點M,此

時MN最大，運用垂徑定理可得OG